1、第 1 页，共 6 页 2018 年北京市夏季普通高中会考数学试卷年北京市夏季普通高中会考数学试卷 一、选择题（本大题共 23 小题，共 46 分） 1. 直线 l：3 + 4 + 5 = 0被圆 M：( 2)2 + ( 1)2= 16截得的弦长为( ) A. 7 B. 5 C. 27 D. 10 【答案】C 【解析】解：圆( 2)2+ ( 1)2= 16， 圆心(2,1)，半径 = 4， 圆心到直线的距离 = |6:4:5| 5 = 3， 直线3 + 4 + 5 = 0被圆( 2)2+ ( 1)2= 16截得的弦长 = 27 故选：C 根据直线和圆的位置关系，结合弦长公式进行求解即可 本题考
2、查直线和圆的位置关系，利用弦长公式是解决本题的关键 2. 已知数列*+中，1= 3 4， = 1 1 1 ( :, 2)，那么2018等于( ) A. 1 3 B. 3 4 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】解：1= 3 4， = 1 1 1 ( :, 2)， 可得2= 1 4 3 = 1 3； 3= 1 (3) = 4， 4= 1 1 4 = 3 4， 5= 1 4 3 = 1 3， ， 可得数列*+为周期为 3 的数列， 2018= 6723:2= 2= 1 3， 故选：A 计算数列的前几项，可得数列*+为周期为 3 的数列，即可得到所求值 本题考查数列的周期性和运用，考查运算能力，
3、属于基础题 3. 已知sin = 4 5，那么cos2等于( ) A. 24 25 B. 7 25 C. 7 25 D. 24 25 【答案】B 【解析】解：已知sin = 4 5，那么cos2 = 1 2sin 2 = 1 2 16 25 = 7 25， 故选：B 由题意利用二倍角的余弦公式，求得cos2的值 本题主要考查二倍角的余弦公式的应用，属于基础题 4. 不等式2+ 2 0的解集为( ) A. *| 2 1+ B. *| 1 2+ C. *| 1+ D. *| 2+ 【答案】A 【解析】解： 2+ 2 0， ( 1)( + 2) 0， 2 1， 原不等式的解集为*| 2 0.那么 +
4、 4 的最小值是( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】解：根据题意， 0，则 + 4 2 4 = 4， 当且仅当 = 2时等号成立， 即 + 4 的最小值是 4； 故选：C 根据题意，由基本不等式的性质可得 + 4 2 4 = 4，即可得答案 本题考查基本不等式的性质以及应用，关键是掌握基本不等式的形式 9. 已知向量 ， 在正方形网格中的位置如图所示，那么向量 ， 的夹角为( ) A. 45 B. 60 C. 90 D. 135 【答案】A 【解析】解：由题意可得 = (3,1)， = (1,2)，设向量 ， 的夹角为，则 ,0,180-， 则cos = | |
5、 | = 3:2 9:11:4 = 2 2 ， = 45， 故选：A 先求出 2个向量的坐标，再利用两个向量的数量积的定义和公式求得cos的值，可得向量 ， 的夹角为的 值 本题主要考查两个向量的数量积的定义和公式，属于基础题 10. 某校高中三个年级共有学生 1500人，其中高一年级有学生 550 人，高二年级有学生 450 人，为了解学 生参加读书活动的情况，现采用分层抽样的方法从中抽取容量为 300的样本进行调查，那么应抽取高 三年级学生的人数为( ) A. 90 B. 100 C. 110 D. 120 【答案】B 【解析】解：高三年级有学生为1500 550 450 = 500人，
6、用分层抽样法从中抽取容量为 300的样本， 应抽取高三年级学生的人数为300 500 1500 = 100 故选：B 求出高三年级的学生人数，再根据分层抽样法原理计算从中抽取的样本人数 本题考查了分层抽样原理应用问题，是基础题 11. 当实数 x，y 满足条件 1 0 + 2 + 2 0 0 时， = + 的最大值为( ) A. 2 B. 1 C. 1 D. 2 【答案】C 第 3 页，共 6 页 【解析】解： 先根据实数 x，y 满足条件 1 0 + 2 + 2 0 0 画出可行域， 由 1 = 0 0)”的函数是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】解：() = sin， 可
7、得( + ) = sin( + )， 即有,( + ) ()- = ,sin( + ) sin- = 2cos( 2 + )sin 2， 当()的定义域为(0,+)，可得 0， + 0， 则 + 2 2，不能满足,( + ) ()- 0成立，故不正确； () = 1 ，即有( + ) = 1 :， ,( + ) ()- = ( 1 : 1 ) = :， 当()的定义域为(0,+)，可得 0， + 0，可得,( + ) ()- 0成立，故不正确； () = 2，( + ) = ( + )2， 可得,( + ) ()- = ,( + )2 2- = (2 + )， 当()的定义域为,0,+)，可得
8、 0， + 0，可得(2 + ) 0成立； 当()的定义域为(,0)，可得 0， + 0成立，故正确； () = ln， 0， + 0， 可得,( + ) ()- = ,ln( + ) ln- = ln(1 + ) 0，故成立 故答案为： 故选：D 求得四个函数的定义域，讨论 0，或 0)上，直线 l与圆 O交于 A，B 两点，且与圆 C： ( + 1)2+ ( + 1)2= 2交于 M，N 两点 ()圆 O的方程为_；(将结果直接填写在答题卡的相应位置上) ()如果点 M 为线段 AB 的中点，且| = |，求直线 l的方程 【答案】2+ 2= 16 【解析】解：() 点(4,0)在圆 O：
9、2+ 2= 2( 0)上， 2= 16， 圆 O 的方程为：2+ 2= 16 故答案为：2+ 2= 16； () | = |， ， = 0:1 ;4:1 = 1 3， 直线 l的斜率为 3 当点 M 与原点重合时，直线 l的方程为3 = 0，满足题意； 当点 M 不与原点重合时， 点 M为线段 AB的中点， ，则直线 OM的方程为 = 1 3， 设直线 l的方程为 = 3 + ， 联立 = 3 + = 1 3 ，解得( 3 10 , 10)， 点 M在圆 C：( + 1)2+ ( + 1)2= 2上， ( 3 10 + 1)2+ ( 10 + 1)2= 2， 解得 = 4或 = 0(舍) 此时
10、，直线 l的方程为3 + 4 = 0 综上，直线 l的方程为3 = 0，3 + 4 = 0 ()把已知点的坐标代入圆的方程求得圆的半径，则圆的方程可求； ()由| = |，得 ，求出直线 l的斜率，分点 M与原点重合与点 M 不与原点重合两类求解 本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，是中档题 26. 已知数列*+是等差数列，且2= 3，4+ 6= 12 ()数列*+的首项1=_；(将结果直接填写在答题卡的相应位置上) ()数列*+中，= 2( :)，设数列*+的前 n 项和为，当 60时，求 n的最大值 【答案】2 【解析】解：()数列*+是公差为 d
11、 的等差数列，且2= 3，4+ 6= 12， 则1+ = 3，1+ 3 + 1+ 5 = 12， 解得1= 2， = 1， 故答案为：2； ()= 2 + 1 = + 1， 数列*+中，= 2= 2:1， 数列*+的前 n 项和为， 可得= 4(1;2) 1;2 = 2:2 4， 当 60时，即2:2 64， 可得 + 2 6， 可得 4， 则 n的最大值为 4 ()数列*+是公差为 d的等差数列，运用等差数列的通项公式可得首项和公差的方程，解方程可得所求； ()求得= + 1，= 2= 2:1，运用等比数列的求和公式和不等式的解法，可得 n 的最大值 本题考查等差数列的通项公式和等比数列的求
12、和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题 27. 已知函数() = 3sin2 + cos2 ()函数()的最小正周期为_；(将结果直接填写在答题卡的相应位置上) ()求函数()在区间,0, 2-上的最大值和最小值 【答案】 【解析】解：()函数() = 3sin2 + cos2 = 2( 3 2 sin2 + 1 2cos2) = 2sin(2 + 6 )， 故它的周期为2 2 = ， 故答案为： ()在区间,0, 2-上，2 + 6 , 6 , 7 6 -， 故当2 + 6 = 7 6 时，函数()取得最小值为1； 第 6 页，共 6 页 当2 + 6 = 2时，函数()取得最大值
13、为 2 ()利用三角恒等变换，化简函数()的解析式，再根据正弦函数的周期性求得()的最小正周期 ()利用正弦函数的定义域和值域，求得函数()在区间,0, 2-上的最大值和最小值 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域，属于基础题 28. 自然界的资源和空间是有限的，所以很多种群的增长呈“S”型曲线.“S”型曲线在社会学、生物统计 学、临床、市场营销等很多方面都有广泛的应用.下面我们来研究一类“s”型曲线，它的函数表达式为 () = 1 : (其中 a，b 是非零常数，无理数 = 2.71828) ()当 = 2， = 1时，函数()的定义域是_；(将结果直接填写在答题卡的相应
14、位置上) ()如果 0，且 + 0，且 + 0 0， 0，2 0， 0， 0， () 1 0，即() 1 ， 函数()的图象在直线 = 1 的上方； ()：函数() = () 1 2的图象关于原点对称， 对于定义域中的任意 x，() + () = 0恒成立， 即 1 : 1 2 + 1 : 1 2 = 0恒成立， 即( )(+ ;) = 2+ 2 2恒成立， 2 + 2 2 = 0 ; 1 利用作差法比较即可， ()函数() = () 1 2的图象关于原点对称，可得对于定义域中的任意 x，() + () = 0恒成立，整 理化简即可求出 本题主要考查函函数的定义域，函数恒成立的问题，结合指数函数的性质是解决本题的关键，属于中档题
