1、 微专题 11 函数零点的性质 一、基础知识： 1、函数零点，方程，图像交点的相互转化：有关零点个数及性质的问题会用到这三者的转 化，且这三者各具特点： （1）函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数 的单调性确定是否存在零点 （2）方程：方程的特点在于能够进行灵活的变形，从而可将等号两边的表达式分别构造为 两个可分析的函数，为作图做好铺垫 （3）图像的交点：通过作图可直观的观察到交点的个数，并能初步判断交点所在区间。 三者转化：函数 f x的零点方程 0f x 的根 方程变形 方程 g xh x的根 函数 g x与 h x的交点 2、此类问题的处理步骤： （
2、1）作图：可将零点问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题， 并作出函数图像 （2）确定变量范围：通过图像与交点位置确定参数和零点的取值范围 （3）观察交点的特点（比如对称性等）并选择合适的方法处理表达式的值， 3、常见处理方法： （1）代换法：将相等的函数值设为t，从而用t可表示出 12 ,x x，将关于 12 ,x x的表达 式转化为关于t的一元表达式，进而可求出范围或最值 （2）利用对称性解决对称点求和：如果 12 ,x x关于xa轴对称，则 12 2xxa；同理， 若 12 ,x x关于,0a中心对称，则也有 12 2xxa。将对称的点归为一组，在求和时可与 对称轴
3、（或对称中心）找到联系 二、典型例题： 例 1：已知函数 lgf xx，若0ab，且 f af b，则2ab的取值范围是 （ ） A. 2 2, B. 2 2, C. 3, D. 3, 思路：先做出 f x的图像，通过图像可知，如果 f af b，则01ab ，设 f af bt，即 lg 0 lg at t bt ，由, a b范围 可得：lg0,lg0ab，从而 lg lg t t atae bt be ， 所 以 1 22 t t abe e ， 而0 t e ， 所 以 1 23 , t t e e 答案：C 小炼有话说： （1）此类问题如果 f x图像易于作出，可先作图以便于观察函数
4、特点 （2）本题有两个关键点，一个是引入辅助变量t，从而用t表示出, a b，达到消元效果，但 是要注意t是有范围的（通过数形结合yt需与 yf x有两交点） ；一个是通过图像判 断出, a b的范围，从而去掉绝对值。 例 2：已知函数 2015 cos,0, 2 log, xx f x x x ，若有三个不同的实数, ,a b c，使得 f af bf c ，则abc的取值范围是 _ 思路： f x的图像可作，所以考虑作出 f x的图像， 不妨设abc，由图像可得： 0,1f af b ,0,a b，且关于 2 x 轴对称，所以有 22 ab ab ，再观察c，且 2015 log0,1 c
5、 f cf a ， 所 以 2015 0log12015 c c ， 从 而 2, 2 0 1 6abcc 答案：2 ,2016 小炼有话说：本题抓住, a b关于 2 x 对称是关键，从而可由对称求得ab，使得所 求式子只需考虑c的范围即可 例 3：定义在R上的奇函数 f x，当0 x时， 1 2 log (1),0,1 13 ,1, xx f x xx ，则关于x 的函数 (01)F xf xaa的所有零点之和为（ ） A. 21 a B. 1 2a C. 21 a D. 1 2 a 思路： f x为奇函数，所以考虑先做出正半轴的图 像，再利用对称作出负半轴图像，当0 x 时，函数 图象由
6、两部分构成，分别作出各部分图像。 F x的 零点，即为方程 0f xa的根，即 f x图像与 直线ya的交点。 观察图像可得有 5 个交点： 12 ,x x 关于3x 对称， 12 6xx ， 3 0 x 且满足方程 333 f xaf xafxa 即 13 2 log1xa，解得： 3 12ax ， 45 ,x x关于3x 轴对称， 45 6xx 12345 12axxxxx 答案：B 例 4：已知 1 1 3 k，函数 21 x f xk的零点分别为 1212 ,x xxx，函数 21 21 x k g x k 的零点分别为 3434 ,x xxx， 则 4321 xxxx的最小值为 （
7、） A. 1 B. 2 log 3 C. 2 log 6 D. 3 思路： 从 ,f xg x解析式中发现 12 ,x x可看做21 x y 与yk的交点， 34 ,x x可看做21 x y 与 21 k y k 的 交点， 且 1234 0,0 xx xx， 从而 1234 ,x x x x均可由k 进行表示，所以 4321 xxxx可转化为关于k的函 数，再求最小值即可 解：由图像可得： 1234 0,0 xx xx 3 1 2 4 12 12 21 , 21 21 21 x x x x k k k k k k 1222 log 1,log 1xkxk 322422 131 l o g1l
8、 o g,l o g1l o g 21212121 kkkk xx kkkk 43212222 311314 loglogloglog3 1111 kkk xxxx kkkk 1 ,1 3 k 4 33, 1k 43212 log 3,xxxx 答案：B 例 5：已知函数 3 1 log11 3 x f xx 有两个不同的零点 12 ,x x，则（ ） A. 12 1x x B. 1212 xxxx C. 1212 xxxx D. 1212 xxxx 思路：可将零点化为方程 3 1 log11 3 x x 的根，进而转化为 3 log1g xx与 1 1 3 x h x 的 交 点 ， 作 出
9、 图 像 可 得 12 12xx， 进而可将 3 1 log11 3 x x 中 的绝对值去掉得： 1 2 31 32 1 log11 3 1 log11 3 x x x x ，观察选项涉及 1212 ,xx xx，故将可得： 21 321 11 log11 33 xx xx ， 而 1 3 x y 为 减 函 数 ， 且 21 xx， 从 而 321211212 log1101110 xxxxx xxx ，即 1212 x xxx 答案：D 例 6： 已知函数 )( ,3 )0(|,ln| )( 33 3 exxe exx xf， 存在 321 xxx，)()()( 321 xfxfxf，
10、则 2 3) ( x xf 的最大值为 思路：先作出 f x的图像，观察可得： 3 123 01xxex ，所求 2 3) ( x xf 可先减少变 量个数，利用 32 f xf x可得： 2 32 222 ()lnf xf xx xxx ，从而只需求出 lnx y x 在 3 1,e的最小值即可： 2 1lnx y x ，所以函数 lnx y x 在1,e单增，在 3 , e e单减。从而 max ln1e y ee 答案： 1 e 例 7 ： 已 知 定 义 在R上 的 函 数 f x满 足 ： 2 2 2,0,1 2,1,0 xx f x xx ， 且 2f xf x， 25 2 x g
11、 x x ，则方程 f xg x在区间5,1上的所有实根之 和为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 思路：先做图观察实根的特点，在1,1中，通过作图可 发 现 f x在1,1关 于0 , 2中 心 对 称 ， 由 2f xf x可得 f x是周期为 2 的周期函数，则 在下一个周期3, 1 中， f x关于2,2中心对称， 以此类推。从而做出 f x的图像（此处要注意区间端点 值在何处取到） ，再看 g x图像， 251 2 22 x g x xx ，可视为将 1 y x 的图像向 左平移 2 个单位后再向上平移 2 个单位，所以对称中心移至2,2，刚好与 f x对称中 心重合，
12、如图所示： 可得共有 3 个交点 123 xxx， 其中 2 3x ， 1 x与 3 x 关于2,2中 心对称，所以有 13 4xx 。所以 123 7xxx 答案：C 例 8：函数 2 23,0 2ln,0 xxx f x x x ，直线ym与函数 f x的图像相交于四个不同 的点，从小到大，交点横坐标依次记为, , ,a b c d，有以下四个结论 3,4m 4 0,abcde 56 2 11 2,2abcdee ee 若关于x的方程 f xxm恰有三个不同实根，则m的取值唯一 则其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 思路：本题涉及到m的取值，及 4 个交点的性质，所以先 作出
13、f x的图像， 从而从图上确定存在4个交点时，m的 范围是3,4，所以正确。从图像上可看出, a b在同一曲 线，, c d 在同一曲线上，所以在处理时将, a b放在一 组，, c d放在一组。 涉及到根的乘积，一方面, a b为方程 2 23xxm的两根，所以由韦达定理，可得 3abm， 而, c d为 方 程2lnxm的 两 根 ， 且 2 0ced， 从 而 2lnln2cd，即 4 ln4cdcde，所以有 44 30,abcdmee，正确 由中的过程可得：2ab ，2lnln2cdm，所以 22 , mm cede ，从 而 222 1 22 mmm m abcdeeee e ，而
14、3,4m， 34 , m ee e 设 2 1 2 m m f mee e ，则 f m为增函数，所以 56 2 11 2,2f mee ee 正确 可将问题转化为 yf x与yxm 的交点个数问题，通过作图可得m的值不唯一 综上所述：正确 答案：A 例 9 ： 已 知 函 数 l o g1 ,11 0,1 21, 13 a xx f xaa fxax ， 若 12 xx， 且 12 f xf x，则 12 xx的值（ ） A. 恒小于 2 B. 恒大于 2 C. 恒等于 2 D. 与a相关 思路：观察到当11x 时， f x为单调函数，且13x时， f x的图像相当于作 1,1x 时关于1x
15、 对称的图像再进行上下平移，所以也为单调函数。由此可得 12 f xf x时， 12 ,x x必在两段上。设 12 xx ，可得 12 113xx ，考虑使用 代换法设 12 f xf xt，从而将 12 ,x x均用, a t表示，再判断 12 xx与2的大小即可。 解：设 12 f xf xt，不妨设 12 113xx ，则 2 121x 11 log11 t a xtxa 1 22 log313 ta a xatxa 1 12 2 tta xxaa 若01a，则 x ya为减函数，且 1 1 tta ttaaa 12 2xx 若1a ，则 x ya为增函数，且 1 1 tta ttaaa
16、 12 2xx 12 xx的值恒大于 2 答案：B 例 10： 定义函数 3 48,12, 2 ( ) 1 ( ),2. 22 xx f x x fx ， 则函数( )( )6g xxf x在区间1,2 n （ * Nn） 内的所有零点的和为（ ） An B2n C 3 (21) 4 n D 3 (21) 2 n 思路：从 1 ( ) 22 x f xf 可得：函数 f x是以 1 2,2 nn 区间为 一段，其图像为将前一段图像在水平方向上拉伸为原来的 2 倍， 同时竖直方向上缩为原来的 1 2 ，从而先作出1,2x时的图像， 再依以上规律作出 1 2,4 , 4,8 , 2,2 nn 的图
17、像， g x的零 点无法直接求出，所以将 0g x 转化为 6 fx x ，即 yf x与 6 h x x 的交点。通过作图可得，其交点刚好位于每一段中的极大值点位置， 可 归 纳 出 1 2, 2 nn 中 极 大 值 点 为 1 223 2 24 nn n n x ， 所 以 所 有 零 点 之 和 为 2 21 33 21 4212 n n S 答案：D 小炼有话说： （1）本题考查了合理将x轴划分成一个个区间，其入手点在于( ) 2 x f的出现， 体现了横坐标之间 2 倍的关系，从而所划分的区间长度成等比数列。 （2）本题有一个易错点，即在作图的过程中，没有发现 6 h x x 恰好
18、与 f x相交在极大 值点处，这一点需要通过计算得到：当 3 2 x 时， 33 4,323 22 fhfh ， 从而归纳出规律。所以处理图像交点问题时，如果在某些细节很难通过作图直接确定，要通 过函数值的计算来确定两图像的位置 三、近年模拟题题目精选 1、 （2016 四川高三第一次联考）已知函数四川高三第一次联考）已知函数 1 11 ,0, 22 1 2,2 2 x xx f x x ，若存在，若存在 12 ,x x，当，当 12 02xx时，时， 12 f xf x，则，则 122 x f xf x的取值范围为（的取值范围为（ ） A. 23 2 0, 4 B. 923 2 , 164
19、C. 91 , 162 D. 23 21 , 42 2、 （2016，苏州高三调研）已知函数，苏州高三调研）已知函数 sin0,f xxkx xkR有且只有三个零点，有且只有三个零点， 设此三个零点中的最大值为设此三个零点中的最大值为 0 x，则，则 0 2 00 1sin2 x xx _ 3 3、已知函数已知函数 2 ,ln ,1 x f xxg xxx h xxx的零点分别为的零点分别为 123 ,x x x，则则 123 ,x x x的大小关系是的大小关系是_ 4 、 已 知 函 数已 知 函 数 3 1 log 3 x f xx 的 零 点 为的 零 点 为 0 x， 有有0abc使
20、得使 得 0f a f b f c ，则下列结论不可能成立的是则下列结论不可能成立的是（ ） A. 0 xa B. 0 xb C. 0 xc D. 0 xc 5、已知 2 1,0 log,0 xx f x x x ，若方程 f xa有四个不同的解 1234 xxxx，则 12 34 11 xx xx 的取值范围是（ ） A. 1 0, 2 B. 1 0, 2 C. 1 0, 2 D. 0,1 6 、 已 知 函 数已 知 函 数 2 log,02 sin,210 4 xx f x xx ， 若 存 在 实 数若 存 在 实 数 1234 ,x x x x， 满 足满 足 1234 xxxx，且
21、且 1234 f xf xf xf x，则则 34 12 22xx x x 的取值范围的取值范围 是是（ ） A. 4,16 B. 0,12 C. 9,21 D. 15,25 习题答案： 1、答案：答案：C 解析：解析：如图可知：如图可知： 12 211 1 ,1 22 2 xx 122121111 1 111 2 x f xf xxf xxf xxx 2 2 111 1119 22416 xxx 911 1622 g xg 2、答案： 1 2 解析： sin0sinf xxkxxkx，即sinyx与ykx恰有三个公共点，通 过数形结合可得： 横坐标最大值 0 x为直线与曲线在 3 , 2 相
22、切的切点。 设改点 00 ,A x y， sinyx的导数为 cosyx，所以 00 0 00 0 0 0 sin sin cos cos yx x xy kx x x ，代入到所求表达式 可得： 0 00 22 00 0 0 0 sin cos1 21sin2 sin 1sin2 cos x xx xx x x x 3、答案： 123 xxx 解析： 02,0ln x f xx g xxx ， 在同 一坐标系下作出2 ,ln , x yyx yx 如图所示可得 12 01xx。令 2 010h xxx ，解得 15 2 x ，所以 3 35 1 2 x ，从而 123 xxx 4、答案：C
23、解析：可判断出 f x为减函数，则 0fafb fc包含两种情况，一个是 ,f af bf c均小于零。 可知当0,1x时， 0f x 。 所以 f x的零点必在1,a 中，即 0 xa，A 选项可能；另一种情况为 0,0,0f af bf c，则 0 ,xb c， 即 B,D 选项可能。 当xc时， 由 0f c 和 f x为减函数即可得到 f x不再存在零点。 5、答案：B 解析：作出 f x的图像可知若 f xa有四个不同的解，则0,1a，且在这四个根中， 12 ,x x关于直线1x 对称， 所以 12 2xx ， 34 1xx ， 所以 2324 loglogaxx ， 即 3 4 1
24、 2 2 a a x x ，所以 12 34 111 22 2 a a g axx xx ，由0,1a可得 g a的范围是 1 0, 2 6、答案：B 解析：不妨设 1234 f xf xf xf xa，作出 f x的图像可知若ya与 yf x有四个不同交点，则0,1a，且 1234 1,xx x x 关于6x 轴对称。所以有 212212 34 loglog1 12 xxx x xx 即 343434 34 1212 2224 20 xxx xxx x x x xx x 因为 3434 1212xxxx，所以 34 444 12 22 1220,8,10 xx xxx x x ， 求出该表达式的范围即为0,12
