1、 微专题 38 向量的数量积数量积的投影定义 一、基础知识 1、向量的投影： （1）有向线段的值：设有一轴l，AB是轴上的有向线段，如果实数满足AB，且当 AB与轴同向时，0，当AB与轴反向时，0，则称为轴l上有向线段AB的值。 （2） 点在直线上的投影： 若点A在直线l外， 则过A作 AAl于 A， 则称 A为A在直线l上 的投影；若点A在直线l上，则A在A在直线l上的投影 A与A重合。所以说，投影往往伴 随着垂直。 （3）向量的投影：已知向量, a b，若a的起点,A B在b所在轴l（与b同向）上的投影分别 为 ,A B， 则向量 AB在轴l上的值称为a在b上的投影， 向量 AB称为a在b
2、上的投影向量。 2、向量的投影与向量夹角的关系：通过作图可以观察到，向量的夹角将决定投影的符号，记 为向量, a b的夹角 （1）为锐角：则投影（无论是a在b上的投影还是b在a上的投影）均为正 （2）为直角：则投影为零 （3）为钝角：则投影为负 3、投影的计算公式：以a在b上的投影为例，通过构造直角三角形可以发现 （1）当为锐角时，cosb，因为0，所以cosb （2）当为锐角时，coscosbb ，因为0，所以cosb 即 cosb （3）当为直角时，0，而cos0，所以也符合cosb 综上可得：a在b上的投影cosb，即被投影向量的模乘以两向量的夹角 4、数量积与投影的关系（数量积的几何定
3、义） ： A A A A 向 量, a b数 量 积 公 式 为c o saba b， 可 变 形 为 c o sa bab或 cosa bba，进而与向量投影找到联系 （1）数量积的投影定义：向量, a b的数量积等于其中一个向量的模长乘以另一个向量在该向 量上的投影，即 ab a bb （记 ab 为a在b上的投影） （2）投影的计算公式：由数量积的投影定义出发可知投影也可利用数量积和模长进行求解： ab a b b 即数量积除以被投影向量的模长 5、数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量 问题 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足
4、确定的情况下（此时便于确定投 影） ，例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值， 则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 二、典型例题： 例 1：已知向量, a b满足3,2 3ab，且 aab，则b在a方向上的投影为（ ） A3 B3. C 3 3 2 D 3 3 2 思路：考虑b在a上的投影为 a b b ，所以只需求出a b即可。由aab 可得： 2 0aabaa b，所以9a b 。进而 93 3 22 3 a b b 答案：C 小炼有话说：本题主要应用
5、投影的计算公式，注意在哪个向量投影，便用数量积除以该向量 的模长 例 2：如图，在ABC中，4,30ABBCABC，AD是边BC上的高，则AD AC 的值等于（ ） A0 B4 C8 D4 思路：由图中垂直可得：AC在AD上的投影为AD，所以 2 AD ACAD，只需求出 ABC的高即可。由已知可得sin2ADABABC，所以 2 4AD ACAD 答案：B 例 3 ： 两 个 半 径 分 别 为 12 , r r的 圆,M N, 公 共 弦AB长 为 3 ， 如 图 所 示 ， 则 AM ABAN AB_. 思路：AB为两个圆的公共弦，从而圆心,M N到弦AB的投影为 AB的中点，进而,AM
6、 AN在AB上的投影能够确定，所以考虑计 算AM AB和AN AB时可利用向量的投影定义。 解：取AB中点T，连结,MT NT，由圆的性质可得：,MTAB NTAB 2 19 22 AM ABATABAB 2 19 22 AN ABATABAB 9AM ABAN AB 例 4：如图，O为ABC的外心，4,2,ABACBAC为钝角，M是边BC的中点，则 AM AO的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 思路：外心O在,AB AC上的投影恰好为它们的中点，分别设为 ,P Q，所以AO在,AB AC上的投影为 11 , 22 APABAQAC，而M恰好为BC中点，故考虑 1 2 AMA
7、BAC，所以 22 111 11 +5 222 22 AM AOABACAOAB AOAC AOABAC 答案：B 小炼有话说：题目中遇到外心时，要注意外心的性质，即到各边的投影为各边的中点，进而 在求数量积时可联想到投影法。 例 5：若过点1,1P的直线l与 22 :4O xy相交于 ,A B两点，则OA OB的取值范围是_ 思路：本题中因为,OA OB位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即 过B作直线OA的垂线， 垂足为D，通过旋转AB可发现，当OBOA时，0OA OB，AB位于其他位置时，D 点 始 终 位 于OA的 反 向 延 长 线 上 ，OA OBOAOD ，
8、故0O A O B， 故 m a x 0O A O B，下面寻找最小值，即DO的最大值，可得当B在OA上的投影与C重合 时 ，DA最 大 ， 即 为AC， 此 时 直 线OP即 为 直 线AB。 所 以 2 min 4OA OBOAODOAOCr 。进而OA OB的范围是4,0 答案：4,0 例 6： 已知1,3OAOB， 且,O AO B的夹角为150， 点C是AOB的外接圆上优弧AB 上的一个动点，则OA OC的最大值是_ 思路： 题中OA的模长为定值， 考虑OA OC即为OA乘以OC 在OA上的投影，从而OA OC的最大值只需寻找投影的大小， 观察图形可得只有当MC与OA同向时，投影最大
9、。即 max OA OCOAOD，只需计算OD的模长即可 解：当MC与OA同向时，OC在OA上的投影最大 max OA OCOAOD 在AOB中， 222 2cos7ABOAOBOA OBAOB 7AB 7 22 7 1 sin 2 AB R AOB 即7R 11 7 22 ODONNDOAR max 1 7 2 OA OCOAOD 答案： 1 7 2 例 7：如图，菱形ABCD的边长为2,60 ,AM 为DC中点，若N为菱形内任意一点（含 边界） ，则AM AN的最大值为（ ） A. 3 B. 2 3 C. 6 D. 9 思路：在所给菱形中AM方向大小确定，在求数量积 时可想到投影定义，即A
10、M乘以AN在AM上的投影，所以AM AN的最大值只需要寻找 AN在AM上的投影的最大值即可，而A点也确定，所以只需在菱形内部和边界寻找在AM 投影距离A最远的， 结合图像可发现C的投影距离A最远， 所以 max AM ANAM AC， 再由,AD DC表示后进行数量积运算即可 解： max 1 2 AM ANAM ACADDMADDCADDCADDC 2213 9 22 ADDCAD DC 答案：9 小炼有话说： （1）从例 7 也可以看出投影计算数量积的一个妙用，即在求数量积最值时，如果其中一个向 量位置确定，那么只需看另一向量在该向量处的投影即可，这种方法往往能够迅速找到取得 最值的情况
11、（2）在找到取到最值的N点位置后，发现利用投影计算数量积并不方便（投影，AM不便 于计算） ，则要灵活利用其他方法把数量积计算出来（寻求基底，建系等） 。正所谓：寻找最 值用投影，而计算时却有更多方法供选择。 例 8：如图，在等腰直角ABC中，2ACBC，点,M N分别是,AB BC的中点，P点 是ABC内（包括边界）任一点，则AN MP的取值范围是_ 思路：因为P点为ABC内任一点，所以很难用定义表示出AN MP，考虑利用投影定义。 由AN长为定值，可得AN MP为AN乘以MP在AN上的投影，所以只需找到投影的范 围即可。如图，过M作AN的垂线，则M点的投影为F，当P在B点时， MP在AN上
12、 的投影最大且为线段FE的长，当P在A点时， MP在AN上的投影最小，为AF，分 别计算相关模长即可。在图中有条件可得：5,1ANCNBN BEAE，所以可 得：Rt ACNRt BEN， 则 5 = 5 A NN E NE CNBN ， 所以 6 5 5 AEANNE， 由FMBE，M为中点可得：F为AE中点，从而,MB MA在AN方向上的投影分别为 33 5,5 55 ，由5,AN 即可求得AN MP的范围为3,3 答案：3,3 例 9：已知M为直角三角形ABC的外接圆，OB是斜边AC上 的高，且6,2 2ACOB，AOOC，点P为线段OA的 中 点 ， 若DE是M中 绕 圆 心M运 动
13、的 一 条 直 径 ， 则 PD PE_ 思路：本题的难点在于DE是一条运动的直径，所以很难直接用定 义求解。考虑到DE为直径，所以延长EP交圆M于Q，即可得 DQQE， 则PD在PE上 的 投 影 向 量 为PQ。 所 求 P DP EP EP Q ，而由PEPQ联想到相交弦定理，从而 PEPQAPPC。考虑与已知条件联系求出直径AC上的各 段线段长度。由射影定理可得： 2 8AOCOOB，且6AOCOAC，所以解 得2,4AOOC， 再 由P为OA的 中 点 可 得1 ,5A PP C， 所 以 5P EP QA PP C，进而5PD PEPEPQ 答案：5 M CA O B P D E
14、M CA O B P D E Q P P A A B BC C I I D D F F E E 例 10： 已知C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，I为PC 上 一 点 ， 满 足4PAPB，10PAPB， PA PCPB PC PAPB ，且0 ACAP BIBA ACAP ， 则 BI BA BA 的值为（ ） A. 2 B. 4 C. 3 D. 5 思 路 ： 从 条 件 上 判 断 很 难 用 代 数 方 式 求 解 ， 所 以 考 虑 作 图 观 察 几 何 特 点 ， 则 10PAPBAB。由 PA PCPB PC PAPB 及所求 BI BA BA 可想到投影与数量积的关系，
15、 即PC在,PA PB上 的 投 影 相 等 ， 即 可 得 到PC平 分APB。 再 分 析 0 ACAPACAP BIBAAI ACAPACAP ，且 ACAP ACAP 为,AC AP 的单位向量，由平行四边形性质可得和向量平分PAC， 而AI与和向量共线，从而AI平分PAC，由此可得I为 APB的内心，作出内切圆。所求 BI BA BA 也可视为BI在 BA上的投影， 即BF， 由内切圆性质可得： PDPE ADAF BFBE ， 所以 4PAPBPDADBEPEAFBF，且有 10AFBFAB，可解得3 BI BA BF BA 答案：C 小炼有话说：本题用到向量运算中的两个几何意义，
16、从而将表达式与图形特征联系起来：一 个是向量投影的定义；一个是两个模长相等向量（如单位向量）的和平分向量夹角。 三、历年好题精选（数量积三种求法综合） P P A A B BC C I I 1、 如图： 在平行四边形ABCD中， 已知8,5ABAD，3,2CPPD AP BP， 则A BA D 的值是 . 2、 已知O的半径为 1， 四边形ABCD为其内接正方形，EF 为O的一条直径，M为正方形ABCD边界上一动点，则 ME MF的最小值为_ 3、已知点M是边长为 2 的正方形ABCD的内切圆内（含边界)的一动点，则MA MB的取 值范围是（ ） A. 0 , 1 B. 2 , 1 C. 3
17、, 1 D. 4 , 1 4、已知,P M N是单位圆上互不相同的三个点,且满足PMPN，则PM PN的最小值 为（ ） A 1 4 B 1 2 C 3 4 D 1 5、如图，,A B是半径为 1 的圆O上两点，且 3 AOB ，若点 C是圆O上任意一点，则OA BC的取值范围是_ 6、 （2015，福建文）设1,2 ,1,1 ,abcakb，若bc， 则实数k的值等于（ ） A. 3 2 B. 5 3 C. 5 3 D. 3 2 7、 （2015，天津）在等腰梯形ABCD 中,已知/ /,2,1,60ABDC ABBCABC ,动点 E和F分别在线段BC和DC上,且, 1 , 9 BEBC
18、DFDC 则AE AF的最小值为 _ 答案： 29 18 8、 （2015， 山东） 已知菱形ABCD的边长为,60aABC， 则BD CD（ ） A. 2 3 2 a B. 2 3 4 a C. 2 3 4 a D. 2 3 2 a 9、 （2015，福建）已知 1 ,ABAC ABACt t ，若P点是ABC所在平面内一点，且 4ABAC AP ABAC ，则PB PC的最大值等于（ ） B A D C E F O O A A B B C C A. 13 B. 15 C. 19 D. 21 10、（2016，无锡联考）如图，已知正方形ABCD的边长为 2，点E为AB的中点以A为 圆心，AE
19、为半径，作弧交AD于点F若P为劣弧EF上的动点， 则PC PD的最小值为_ 11、 （2016，南京金陵中学期中）如图，梯形ABCD中，AB ,6,2CD ABADDC，若12AC BD，则 AD BC_ 12、 已知圆O的直径为BC， 点A是圆周上异于,B C的 一点，且1ABAC，若点P是圆O所在平面内一 点，且9 ABAC AP ABAC ，则PB PC的最大值为（ ） A. 2 3 B. 9 C. 76 D. 81 13、 如图， 在半径为 1 的扇形AOB中，60 ,AOBC为弧上的动点，AB与OC交于点P， 则OP BP最小值是_ 14、 如图， 已知圆 22 :444Mxy， 四
20、边形ABCD 为圆M的内接正方形，,E F分别为边,AB AD的中点，当正方形 ABCD绕M圆心转动时，ME OF的取值范围是（ ） A. 8 2,8 2 B.8,8 C. 4,4 D. 4 2,4 2 15、在直角梯形ABCD中，ABCD， 2 BAD ，且 1 1 2 ABADCD，M是AB F E A C B o M x y D 的中点，且2BNND，则CM AN的值为（ ） A. 5 4 B. 5 4 C. 7 6 D. 7 6 16、如图，在平行四边形ABCD中，2,1, 3 ABADA ，点M在AB边上，且 1 3 AMAB，则DM DB（ ） A. 3 2 B. 3 2 C. 1
21、 D. 1 习题答案：习题答案： 1、答案：22 解析： 1 4 APADDPADAB， 33 44 BPBCCPBCCDADAB， 所以 13 () () 44 AP BPADABADAB 2213 216 ADAD ABAB， 即 13 22564 216 AD AB，解得22AD AB 2、答案： 1 2 解析：以EF为坐标轴建系，则1,0 ,1,0EF，设,M x y 1.,1.MExyMFxy 22 1ME MFxy，所以ME MF的最小值只需找到 22 xy的最小值 即正方形边上的点到原点距离的最小值，数形结合可得： 22 min 1 2 xy min 1 2 ME MF 3、答案
22、：C 解析：考虑如图建立坐标系，可得：1, 1 ,1, 1AB ，内切圆方程为： 22 1xy，故 设cos , sin,0,2,01M rrr ，则 1cos , 1sin,1cos , 1sinMArrMBrr 2 222 cos11sin2 sinMA MBrrrr 设 2 2 sinfrr，可得 22 2 ,2frr rr ， 再由01r可得： 22 21,0 ,20,3rrrr ，所以1,3MA MB 4、答案：B 解析：设1,0cos ,sinPM，则由PMPN可得：cos , sinN cos1,sin,cos1, sinPMPN，其中0 2 2 22 11 cos1sin2co
23、s2cos2 cos 22 PM PN 当 1 cos 2 时，可得 min 1 2 PM PN 5、答案： 3 1 , 2 2 解析： 方法一： 以O为原点，OA为x轴建系， 则 13 1,0 , 22 OAB ， 设c o s ,s i nC， 则 13 cos,sin 22 BC 。所以 13 1 cos, 22 2 OA BC 方法二： 考虑B在OA上的投影为OA中点M， 利用数量积投影定义数形结合可知OA BC取 最大值时，C与A重合；当OA BC取最小值时，C在OA反向延长线与圆O的交点处，经 计算可得： 3 1 , 2 2 OA BC 6、答案：A 解析：由已知可得：1,2ckk
24、，因为bc，所以 3 120 2 b ckkk 7、答案： 29 18 解析：因为 1 , 9 DFDC 1 2 DCAB 11919 9918 CFDFDCDCDCDCAB ， AEABBEABBC， 1919 1818 AFABBCCFABBCABABBC ， 22191919 1 181818 AE AFABBCABBCABBCAB BC 19199 42 1 cos120 1818 2117211729 2 9218921818 当且仅当 21 92 即 2 3 时AE AF的最小值为 29 18 . 8、答案：D 解析： 2 22 3 cos120 2 BD CDADABABAB A
25、DABa aaa 9、答案：A 解析：以A为坐标原点，如图建立平面直角坐标系，则 1,0 , 0,BCt t ，, ABAC ABAC 为单位 向量， 坐标为 1,0 , 0,1，1,41,4APP， 则 1 1 , 4 ,1 ,4PBPCt t 所 以 11 1416174PB PCtt tt ， 因 为 11 42 44tt tt ， 所 以 17413PB PC 10、答案：52 5 解析：可依正方形以,AB AD为坐标轴建系，则cos ,sinP，其中0, 2 ， 0,2 ,2,2DC，2cos ,2sin,cos ,2sinPCPD ， 2 cos2cos2sin52cos4sin5
26、2 5sinPC PD 其中 1 tan,0, 24 ，所以当 2 时，PC PD取到最小值，为52 5 11、答案：0 解析：依题意可得： 1 3 DCAB 1 3 AC BDADDCADABADABADAB 2221 12 33 ADAB ADAB 6AB AD 222 0 33 AD BCADBAADDCADABADAB ADAD 12、答案：C 解析： 因为BC为直径，所以可知ABAC，设ABt ，则 1 0ACt t ，以A为原点， ,AB AC所在直线为轴建系，可得 1 ,0 ,0,B tC t ，且, ABAC ABAC 为,AB AC的单位向量， 则坐标分别为 1,0 , 0,
27、1，所以91,09 0,11,9 ABAC AP ABAC ，即1,9P， 可得到 1 1, 9 ,1,9PBtPC t ，则 9 82PB PCt t ，由 99 26tt tt 可得76PB PC 13、答案： 1 16 解析：点O在AB上的投影为AB中点M，故考虑使用投影计算数量积的最值。可知P在线 段BM上时，0OP BP，设 1 0 2 BPxx ，则 2 111 2416 OPBPMPBPxxx ，所以OP BP的最小值为 1 16 14、答案：B 解析： 111 , 222 OFOAODMEDAOAOD 221 4 ME OFOAOD 设42cos ,42sinA，其中0,2，则
28、由 2 DMA 可得： 42cos,42sin42sin ,42cos 22 D 22221 42cos42sin42sin42cos 4 ME OF 8cos8,8 15、答案：D 解析： 如图可依直角建立坐标系， 则2,0 ,0,1 ,1,1CAB， 所以 1 ,1 2 M ， 由2B NN D 可知 1 1 , 3 3 N ，所以 312 ,1 , 233 CMAN ，所以 7 6 CM AN 16、答案：D 解析：可知 1 3 DMDAAMDAAB，DBDADB 22141 333 DM DBDAABDAABDADA ABAB 由已知可得： 2 cos1 3 DA ABDAAB ，代入可得： 1DM DB
