1、 微专题 45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设01,2, i ain （1）调和平均数： 12 111 n n n H aaa （2）几何平均数： 12 n nn Ga aa （3）代数平均数： 12n n aaa A n （4）平方平均数： 222 12n n aaa Q n 2、均值不等式： nnnn HGAQ，等号成立的条件均为： 12n aaa 特别的，当2n 时， 22 GA 2 ab ab 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）2,0abab a b：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情 况 （2） 2 2 ab a
2、b ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3） 22 2abab，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要 注意此不等式的适用范围, a bR 4、利用均值不等式求最值遵循的原则： “一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x 求 2 3 yx x 的最小值。 此时若直接使用均值不等式， 则 2 3 2 4yxx x ， 右侧依然含有x， 则无法找到最值。 求和的式子乘积为定值。例如：上式中 2 4 yx x 为了乘
3、积消掉x，则要将 3 x 拆为两个 2 x ，则 2223 3 4222 2 33 4yxxx xxxx x 乘积的式子和为定值，例如 3 0 2 x，求 32f xxx的最大值。则考虑变积为 和后保证x能够消掉，所以 2 11 2329 32232 2228 xx f xxxxx （3） 等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立 （彼此不冲突） 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证 是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和
4、为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1axby（a为常数） ，求 mn xy 的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰 好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数 项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231xyxy，求 32 xy 的最小值 解： 323294 2366 yx xy xyxyxy 9494 1212224 yxyx xyxy （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24xyxyxy，求2xy的最小值 解：
5、2 2 211 2 2 2228 xyxy xyx y 所以 2 2 2424 8 xy xyxyxy 即 2 28 2320 xyxy，可解得24 34xy，即min24 34xy 注：此类问题还可以通过消元求解： 42 24 1 x xyxyy x ，在代入到所求表达式求 出最值即可，但要注意0y 的范围由x承担，所以0,2x 二、典型例题： 例 1：设1x，求函数 (5)(2) 1 xx y x 的最小值为_ 思路：考虑将分式进行分离常数， (5)(2)4 15 11 xx yx xx ，使用均值不等式可 得： 4 2159 1 yx x ，等号成立条件为 4 11 1 xx x ，所以
6、最小值为9 答案：9 例 2：已知0,0 xy，且 11 5xy xy ，则xy的最大值是_ 思路：本题观察到所求xy与 11 xy 的联系，从而想到调和平均数与算术平均数的关系，即 2114 11 2 xy xyxy xy ，代入方程中可得： 24 5540 xyxyxy xy ，解得：14xy，所以最大值为 4 答案：4 例 3：已知实数,m n，若0,0mn，且1mn，则 22 21 mn mn 的最小值为（ ） A. 1 4 B. 4 15 C. 1 8 D. 1 3 思路：本题可以直接代入消元解决，但运算较繁琐。考虑对所求表达式先变形再求值，可用 分离常数法将分式进行简化。 22 4
7、1 21 2121 mn mn mnmn ，结合分母可将条 件1mn，变形为 214mn，进而利用均值不等式求出最值 解： 2222 441 141 21 212121 mnmn mn mnmnmn 4141 32 2121 mn mnmn 1214mnmn 414141112 2141 21214421 nm mn mnmnmn 41129 52 4214 nm mn 22 91 2 2144 mn mn ，即 22 21 mn mn 的最小值为 1 4 答案：A 例 4：已知正实数, x y满足24xyxy，则xy的最小值为_ 思路：本题所求表达式xy刚好在条件中有所体现，所以考虑将xy视
8、为一个整体，将等 式中的项往xy的形式进行构造， 21xyxyxyxxyx yxy ，而 1x y可以利用均值不等式化积为和，从而将方程变形为关于xy的不等式，解不等式即 可 解： 24414xyxyxyxxyx yxy 2 1 1 2 xy x y 方程变形为： 2 1 4 2 xy xy 2 1416xyxy 2 6150 xyxy 解得： 696 2 63 2 xy 答案：xy的最小值为2 63 例 5：已知20ab，则 4 (2) a bab 的最小值为_ 思路一：所求表达式为和式，故考虑构造乘积为定值以便于利用均值不等式，分母为 2bab，所以可将a构造为 11 22 22 aabb
9、 ，从而三项使用均值不等式即可求 出最小值： 3 41818 (2)3 (2)3 (2)2(2)2(2) aabbabb babbabbab 思路二：观察到表达式中分式的分母2bab，可想到作和可以消去b，可得 2 2 2 2 bab baba ，从而 2 44 (2) aa baba ，设 2 4 f aa a ，可从函 数 角 度 求 得 最 小 值 （ 利 用 导 数 ）， 也 可 继 续 构 造 成 乘 积 为 定 值 ： 3 22 44 33 222 2 aaa a f a aa 答案：3 小炼有话说： （1）和式中含有分式，则在使用均值不等式时要关注分式分母的特点，并在变 形的过程
10、中倾向于各项乘积时能消去变量，从而利用均值不等式求解 （2）思路二体现了均值不等式的一个作用，即消元 （3）在思路二中连续使用两次均值不等式，若能取得最值，则需要两次等号成立的条件不冲 突。所以多次使用均值不等式时要注意对等号成立条件的检验 例 6：设二次函数 2 4f xaxxc xR的值域为0,，则 19 19ca 的最大值为 _ 思路：由二次函数的值域可判定0a ，且04ac，从而利用定值化简所求表达式： 199189185 1 1999913913 acac caacacacac ，则只需确定9ac的范围 即可求出 19 19ca 的最值。由均值不等式可得：912ac，进而解出最值 解
11、：二次函数 2 4f xaxxc xR的值域为0, 16404 0 acac a 991199189185 1 191999913913 acacac cacaacacacac 92 912acac 1956 1 1912 135ca 答案： 6 5 例 7：已知, ,x y zR，则 222 xyyz xyz 的最大值是_ 思路：本题变量个数较多且不易消元，考虑利用均值不等式进行化简，要求得最值则需要分 子与分母能够将变量消掉，观察分子为,xy yz均含y，故考虑将分母中的 2 y拆分与 22 ,xz搭 配，即 222 2222 11 22 xyyzxyyz xyz xyyz ，而 2222
12、2222 1111 22,22 2222 xyxyxy zyzyyz，所以 2 222 xyyz xyyz 答案： 2 2 小炼有话说：本题在拆分 2 y时还有一个细节，因为分子,xy yz的系数相同，所以要想分子分 母消去变量， 则分母中,xy yz也要相同， 从而在拆分 2 y的时候要平均地进行拆分 （因为 22 ,xz 系数也相同） 。所以利用均值不等式消元要善于调整系数，使之达到消去变量的目的。 例 8 ： 已 知 正 实 数, x y满 足3xyx y， 若 对 任 意 满 足 条 件 的, x y， 都 有 2 ()() 10 xya xy 恒成立，则实数a的取值范围为_ 思路：首
13、先对恒成立不等式可进行参变分离， 1 axy xy 。进而只需求得 1 xy xy 的最小值。将xy视为一个整体，将3xyxy中的xy利用均值不等式 换成xy，然后解出xy的范围再求最小值即可 解： 2 1 ()() 10 xya xyaxy xy ,0 x y 2 2 xy xy 2 3 2 xy xyxy 2 41 2xyxy 解得：6xy或2xy （舍） min 1137 6 66 xy xy （在6xy时取得） 37 6 a 例 9：已知1,0,0 xyyx，则 1 21 x xy 的最小值是_ 思路：观察到所求 1 21 x xy 的两项中x部分互为倒数，所以想到利用均值不等式构造乘
14、积 为定值，所以结合第二项的分母变形 1 2 x 的分子。因为1xy，所以12yx，则 1111 22244 xyxy xxxx ，所以原式 11 21 4414414 xxxyxyx xxyxxyx ， 因为要求得最小值， 所以0 x时， min 1 44 x x ，故 1 21 x xy 最小值为 3 4 答案： 3 4 小炼有话说：本题考验学生对表达式特点的观察能力，其中两项的x互为倒数为突破口，从 而联想到均值不等式，在变形时才会奔着分子分母向消出定值的方向进行构造 例 10：已知, , ,25,9, mn m n s tRmnnm st ，且,m n是常数，又2st的最小值 是1，则
15、3mn_ 思路：条件中有9 mn st ，且有min21st，进而联想到求2st最小值的过程中达 到的最值条件与,m n相关： 1121 22222 2 999 mnmtsn ststmnmnmn stst ，即2st 的最小值为 1 22 2 9 mnmn，所以 1 22 21 9 25 mnmn mn nm ，解得 1 2 m n ，所以 37mn 答案：7 三、历年好题精选 1、 (2016， 天津河西一模） 如图所示， 在ABC中，DBAD， 点F在线段CD上， 设ABa， ACb，AFxayb，则 1 41 yx 的最小值为（ ） A.226 B.36 C.246 D.223 2、
16、（2016，南昌二中四月考）已知, a b都是负实数，则 2 ab abab 的最小值是（ ） A. 5 6 B. 221 C. 2 21 D. 221 3、 （2016，重庆万州二中）已知, a b为正实数，且2ab，则 22 2 2 1 ab ab 的最小值 为_ 4、 （扬州市 2016 届高三上期末）已知1ab且2log3log7 ab ba，则 2 1 1 a b 的最 小值为_ 5、已知正项等比数列 n a满足 765 2aaa，若存在两项, mn aa，使得 1 4 mn a aa，则 14 mn 的最小值为（ ） A. 3 2 B. 5 3 C. 25 6 D. 不存在 6、设
17、1 , 2 , 1 ,0 ,0,0OAOBaOCbab ，O为坐标原点。若, ,A B C三点 共线，则 12 ab 的最小值是_ 7、已知,0,a b，且21ab ，则 22 24sabab的最大值是（ ） A. 21 2 B. 2 1 C. 21 D. 21 2 8、设,1,1x yR ab，若3,2 3 xy abab，则 11 xy 的最大值为 9、已知ab，且1ab ，则 22 ab ab 的最小值是 习题答案：习题答案： 1、答案：D 解析：2AFxAByACxADyAC，因为,C F D三点共线，所以21xy，根据 所求表达式构造等式为212xy，所以有： 141 14118 2
18、124 12121 yx xy xyxyxy ，由均值不等式可得： 1818 24 2 11 yxyx xyxy ，所以 141 64 232 2 12xy 2、答案：B 解析： 22 2222 221 11 2 23232 3 abaabbab ab ababaabbaabb ba ,0a b , a b b a 是正实数 22 22 2 abab baba 1 1132 22 22 22 23 ab abab 3、答案： 2 2 3 解析： 22 221 212 11 ab ab abab 21 3 1 ab ab 21 1 1ab 2ab 13ab 22 2211 21 2111 113
19、1 ab ab ababab 212111 121 3131 bbaa abab 2112 2 2 313 ba ab 4、答案：3 解析： 23 2log72 log7log30 log aaa a bbb b 2log1 log30 aa bb 1 log 2 ab 或log3 ab 1ab 1 loglog 2 aa ba 2 ba 2 1111 112113 1111 aaaa baaa 5、答案：A 解析： 22 765555 222aaaq aqaaqq 解得：2q 或1q （舍） 11 1111 4224 mn mn a aaaaa 2 2166 m n mn ,m nN 141
20、1414 14 66 nm mn mnmnmn 而 44 24 nmnm mnmn 1493 62mn 下面验证等号成立条件： 22 4 42 6 nm nmnm mn mn 解得： 2 4 m n 所以等号成立， 14 mn 的最小值为 3 2 注：本题要注意到,m nN，在利用均值不等式求最小值的过程中有可能等号成立的条件不 满足。所以在变量范围比较特殊时，要注意验证等号成立条件 6、答案：8 解析：, ,A B C三点共线 ABAC 1, 1 ,1, 2ABaACb 21121abab 12124 2228 ba ab ababab 7、答案：A 解析： 22 2222 22 ab abab 2 2 222 21 422 22 ab abab 22 1 4 2 ab 21 2 s 8 8、答案：1 解析：3 xy ab log 3,log 3 ab xy 333 1111 logloglog log 3log 3 ab abab xy 2 2 33 2 ab ab 3 11 log 31 xy 9、答案：2 2 解析： 2222 222 2 2 abaabb ab ababab
