1、 微专题 46 多变量表达式的范围消元法 一、基础知识： 1、消元的目的：若表达式所含变量个数较多，则表达式的范围不易确定（会受多个变量的取 值共同影响） ， 所以如果题目条件能够提供减少变量的方式， 则通常利用条件减少变量的个数， 从而有利于求表达式的范围（或最值） ，消元最理想的状态是将多元表达式转为一元表达式， 进而可构造函数求得值域 2、常见消元的方法： （1）利用等量关系消元：若题目中出现了变量间的关系（等式） ，则可利用等式进行消元， 在消元的过程中要注意以下几点： 要确定主元：主元的选取有这样几个要点：一是主元应该有比较明确的范围（即称为函数 的定义域） ；二是构造出的函数能够解
2、得值域（函数结构不复杂） 若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。例如选择t为主元，且有 ,xftaxb，则t除了满足自身的范围外，还要满足 af tb（即解不等式） （2）换元：常见的换元有两种： 整体换元：若多元表达式可通过变形，能够将某一个含多变量的式子视为一个整体，则可 通过换元转为一元表达式，常见的如, y yx x 等，例如在 xy u xy 中，可变形为 1 1 y x u y x ， 设 y t x ，则将问题转化为求 1 1 t u t 的值域问题 注：在整体换元过程中要注意视为整体的式子是否存在范围，即要确定新元的范围 三角换元：已知条件为关于, x y的二次等式时，可
3、联想到三角公式，从而将, x y的表达式 转化为三角函数表达式来求得范围。因为三角函数公式的变形与多项式变形的公式不同，所 以在有些题目中可巧妙的解决问题，常见的三角换元有： 平方和：联想到正余弦平方和等于 1，从而有： 22 cos 1 sin x xy y ,0,2 推广： 22 22 cos 1 sin xaxy ybab ,0,2 平 方 差 ： 联 想 到 正 割 （ 1 cos ） 与 正 切 （ sin tan cos ） 的 平 方 差 为 1 ， 则 有 22 1 sec cos 1,0,2 sin tan cos x xy y ， 推广： 22 22 sec cos 1,0
4、,2 sin tan cos a xa xy bab yb 注：若, x y有限定范围时，要注意对取值的影响，一般地，若, x y的取值范围仅仅以象 限为界，则可用对应象限角的取值刻画的范围 3、消元后一元表达式的范围求法： （1）函数的值域通过常见函数，或者利用导数分析函数的单调性，求得函数值域 （2）均值不等式：若表达式可构造出具备使用均值不等式（2abab等）的条件，则可 利用均值不等式快速得到最值。 （3）三角函数： 形如sincosab的形式：则可利用公式转化为sinA的形式解得值域（或最 值） 形如sinf：则可通过换元sint将其转化为传统函数进行求解 形如： sin cos a
5、 b ，可联想到此式为点cos ,sin和定点, a b连线的斜率，其中 cos ,sin为单位圆上的点，通过数形结合即可解得分式范围 二、典型例题： 例 1：设实数, ,a x y满足 222 21 23 xya xyaa ，则xy的取值范围是_ 思路：考虑xy可用 22 ,xy xy进行表示，进而得到关于a的函数，再利用不等式组中 22 ,xy xy天然成立的大小关系确定a的范围，再求出函数值域即可 解： 22 2222 111 2123=364 222 xyxyxyaaaaa 由 222 21 23 xya xyaa 及 2 22 2xyxy（*）可得： 2 2 21223aaa， 解得
6、： 22 22 22 a 21113113 3112,2 24242 xya 小炼有话说： （*）为均值不等式的变形： 2 2222 2 22 2 2222 xyxyxyxy xyxy 例 2：已知函数 1 ,ln2 2 x x f xeg x，对任意的aR，存在0,b，使得 f ag b，则ba的最小值为（ ） A. 21e B. 2 1 2 e C. 2ln2 D. 2ln2 思路：由已知 f ag b，可得： 1 ln 22 a b e ，考虑进行代入消元，但所给等式中无论 用哪个字母表示另一个字母， 形式都比较复杂不利于求出最值。 所以可以考虑引入新变量m作 为桥梁，分别表示, a b
7、，进而将ba变为关于m的表达式再求最值。 解：令 f ag bm 1 2 ln 1 ln 2 22 a m em am b m be 1 2 2ln m baem ，设 1 2 2ln0 m h mem m 1 2 1 2 m h me m 可得 1 0 2 h 且 h m为增函数 1 0,0 2 mh m 1 ,0 2 mhm h m在 1 0, 2 单调递减，在 1 , 2 单调递增 minmin 1 2ln2 2 bah mh 答案：D 例 3：设正实数zyx,满足043 22 zyxyx，则当 z xy 取得最小值时，2xyz的最 大值为 思路：首先要通过 z xy 取得最小值，得到,
8、 ,x y z之间的关系，然后将所求表达式进行消元，再 求最值即可。 解： 2222 34034xxyyzzxxyy 22 3444 323 zxxyyxyxy xyxyyxyx 等号成立条件为： 22 4 42 xy xyxy yx ，代入到可得： 2 22 23 242zyy yyy 2 2 ,2xy zy 2 22 2222222122xyzyyyyyy 2xyz的最大值为 2 例 4：已知0,0,0abc，且 222 1 ,4ababc，则ab bc ac的最大值为（ ） A. 12 2 B. 3 C. 3 D. 4 思路：所求表达式为1 c ab，考虑消元，由已知可得 222 4ab
9、c，从而 222 26abababc，达到消元效果，所求表达式为 2 16f ccc ，进 而将问题转化为求函数的最值。先确定c的取值范围，由 222 422cabab可得 2 2c ，即02c，所以 2 222 16139f cccc ，所以当 2 2c 时， max 212 2f cf 答案：A 小炼有话说： （1）本题处理的关键在于选择c作为核心变量，这是因为在条件中可得到 22 ,ab ab，从而ab可用c表示，使得消元变得可能 （ 2 ） 在 处 理 22 16f ccc 的 最 值 时 ， 也 许 会 想 到 均 值 不 等 式 ： 22 22 6 63 2 cc cc ，但看一下
10、等号成立条件： 22 63ccc并不满足 0, 2 c ，故等号不成立。所以不能使用均值不等式求出最值。转而使用二次函数求得最 值。 例 5：已知 22 ,21a bR ab，则23ab的最大值为_ 解： 22 21ab 设 2 cos ,0,2 2 sin a b 2 232cossin32cossin3 2 ab 3cos3，其中 12 tan 22 可知当cos1 时， max 233333ab 答案：33 例 6：若实数, x y满足条件 22 1xy，则 2 12y xx 的取值范围是_ 思 路 一 ： 考 虑 所 求 式 子 中 2 1 x 可 变 为 22 2 xy x ， 所
11、以 原 式 变 形 为 ： 2 22 2 2 21 xyyyy xxxx ，可视为关于 y x 的二次函数，设 y t x ，其几何含义为 , x y与0,0连线的斜率，则由双曲线性质可知该斜率的绝对值小于渐近线的斜率，即 1,1t ，则 2 2 21122,2f tttt 思路二：本题也可以考虑利用三角换元。设 1sin ,tan coscos xy ，从而原式转化为： 2 22 cos2 tancos1sin2sinsin12 ， 由s i n1 , 1 可 知 2 s i n12的范围为2,2 答案：2,2 例 7： 已知函数 2 lnf xxxax有两个极值点,m n， 且 1 ,1
12、2 m ， 则 f mf n的 取值范围是_ 解： 2 121 2 xax fxxa xx ,m n为方程 2 210 xax 的两个根 11 22 mnn m 1 22 2 a mnamnm m 2222 lnlnln m f mf nmmamnnanmna mn n 2222 ln2ln mm mnmnmnmn nn 代入 1 2 n m 可得： 22 2 1 ln 2 4 f mf nmm m 设 2 tm 1 ,1 2 m 1 ,1 4 t 设 1 ln2 4 g ttt t 2 22 2111 10 44 t g t ttt g t在 1 ,1 4 单调递减 1 ,1 4 t 13
13、3 1 ,l n 2,l n 2 44 4 g tgg 即 3 3 ln2,ln2 4 4 f mf n 答案： 3 3 ln2,ln2 4 4 例 8： 对于0c ， 当非零实数, a b满足 22 4240aabbc且使2ab最大时， 345 abc 的最小值是_ 思路：首先要寻找当2ab最大时，, ,a b c之间的关系，以便于求多元表达式的范围 从方程 22 4240aabbc入手， 向2ab靠拢进行变形， 在利用取得最大值时, ,a b c的 关系对所求 345 abc 进行消元求最值。 解：由 22 4240aabbc可得： 2 22222 4244436232caabbaabbb
14、ababb ba 223 232222 2 abbababbab 2 2 222 22 24 abbab bab 2 222 2335 22222 2248 ab abbababab 25 2 8 abc（等号成立条件：2232ba bba 8 2 5 c ab 最大值是 8 5 c ，从而可得： 2 32 88 22 55 ba cc abab 解得： 2 3 2 10 ab cb 2 222 345345121141 1 222 3 10222 2 abcbbbbbbb b 答案： 345 abc 的最小值为2 例 9：已知函数 x axb f xe x ，其中, a bR且0a （1）若
15、2,1ab，求函数 f x的极值 （2）已知 1 x g xa xefx，设 g x为 g x的导函数，若存在1x 使得 0g xgx成立，求 b a 的取值范围 解： （1）由已知可得： 211 2 xx x f xee xx 2 222 111121 22 xxxx xx fxeeee xxxxx 令 0fx ，即解不等式 2 2102110 xxxx 解得：1x 或 1 2 x f x的单调区间为： x , 1 1,0 1 0, 2 1 , 2 fx f x f x的极大值为 1 1f e f x的极小值为 1 4 2 fe （2）由已知可得： 1 xx b g xa xeae x 2
16、1 xx b gxaxeae xx 2 1 010 xxxx bb g xgxa xeaeaxeae xxx 即 2 2 230 bb axa xx 2 2321axxbx 2 32 2323 2121 xxbxx axx 设 32 23 21 xx h x x 2322 22 66212 232463 2121 xxxxxxxx h x xx 可得当1,x时， 0h x 恒成立 h x在1,单调递增 11h xh ，即1, b a 例 10：已知函数 lnf xxaxb，其中, a bR （1）求 f x的单调区间 （2） 若1 ,0 , 2ab， 且存在实数k， 使得对任意实数1,xe，
17、恒有 ln1f xkxxx 成立，求kb的最大值 解： （1） 11ax fxa xx 当,0a 时，10ax 0fx f x在0,单调递增 当0,a时， f x在 1 0, a 单调递增， 1 , a 单调递减 （2） 思路：恒成立的不等式为：lnln1xxbkxxx，即 min ln1 ln1 xb kx xx ， 设 ln1 ln1 xb g xx xx ，可得： f x gx x ，从而通过讨论 f x的符号确定 g x的单调性，进而求出 g x的最小值（含b的表达式） ，进而将kb放缩成单变量表达 式，求出kb的最大值 解：恒成立的不等式为：lnln1xxbkxxx ln1 ln1
18、xb kx xx m i n ln1 ln1 xb kx xx 设 ln1 ln1 xb g xx xx 2222 1ln111ln1lnxbxxbxxb gx xxxxx 即 2 f x gx x 由（1）可得： f x在1,e单调递减 max 11f xfb m i n 1fxfebe 若 1100,1fbb 则 10f xf 0g x即 g x在1,e上单调递增 min 1kg xgb 0kb 若 10f ebe 即12eb 则 0f xf e 0g x即 g x在1,e上单调递减 min 2b kg xg e e 212 1 b kbbb eee ，而 12121 11120bee eeeee 当1,1be时， 00 10 1,0 0 f xef x f e g x在 0 1,x单调递减，在 0, x e上单调递增 0 000 min 000 11 lnln f x kg xg xxx xxx 000 ln0f xxxb 000 00 11 ln2lnkbxbxx xx 1 2lnh xxx x 2 2 211 110h x xxx h x单调递减 10kbh 综上所述：kb的最大值为0
