1、 微专题 70 求点的轨迹问题 一、基础知识： 1、求点轨迹方程的步骤： （1）建立直角坐标系 （2）设点：将所求点坐标设为, x y，同时将其他相关点坐标化（未知的暂用参数表示） （3）列式：从已知条件中发掘, x y的关系，列出方程 （4）化简：将方程进行变形化简，并求出, x y的范围 2、求点轨迹方程的方法 （1）直接法：从条件中直接寻找到, x y的关系，列出方程后化简即可 （2）代入法：所求点,P x y与某已知曲线 00 ,0F x y上一点 00 ,Q x y存在某种关系， 则可根据条件用, x y表示出 00 ,x y，然后代入到Q所在曲线方程中，即可得到关于, x y的方程
2、 （3）定义法：从条件中能够判断出点的轨迹为学过的图形，则可先判定轨迹形状，再通过确 定相关曲线的要素，求出曲线方程。常见的曲线特征及要素有： 圆：平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹 直角圆：若ABAC，则A点在以BC为直径的圆上 确定方程的要素：圆心坐标, a b，半径r 椭圆：平面上到两个定点的距离之和为常数（常数大于定点距离）的点的轨迹 确定方程的要素：距离和2a，定点距离2c 双曲线：平面上到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于定点距离）的点的轨迹 注：若只是到两定点的距离差为常数（小于定点距离） ，则为双曲线的一支 确定方程的要素：距离差的绝对值2a，定点距离2c 抛物线：平面上
3、到一定点的距离与到一定直线的距离（定点在定直线外）相等的点的轨迹 确定方程的要素：焦准距：p。若曲线位置位于标准位置（即标准方程的曲线） ，则通过准线 方程或焦点坐标也可确定方程 （4） 参数法： 从条件中无法直接找到, x y的联系， 但可通过一辅助变量k， 分别找到, x y与k 的联系，从而得到, x y和k的方程： xf k yg k ，即曲线的参数方程，消去参数k后即可得 到轨迹方程。 二、典型例题： 例 1：设一动点P到直线:3l x 的距离到它到点1,0A的距离之比为 3 3 ，则动点P的轨 迹方程是（ ） A. 22 1 32 xy B. 22 1 32 xy C. 2 2 4
4、 1 36 xy D. 22 1 23 xy 思路：设,P x y，则可直接利用已知条件列出关于, x y的等式，化简即可 解：设,P x y 2 2 33 3 1 P l xd PA xy 2 2 3331xxy 22 2 331xxy 22 21626xxy 2 2 2 2 4 2461 36 xy xy 答案：C 例 2：已知两定点的坐标分别为1,0 ,2,0AB，动点满足条件2MBAMAB ，则动 点M的轨迹方程为_ 思路：通过作图可得2MBAMAB等价的条件为直线,MA MB的斜率的关系，设 MAB，则2MBA，则可通过,MA MB的斜率关系得到动点M的方程 解：若M在x轴上方，则t
5、an ,tan2 MAMB kk 2 2 1 MA MB MA k k k , 12 MAMB yy kk xx 代入可得： 2 2 1 2 22 1 1 y y x x y x ，化简可得： 22 33xy即 2 2 1 3 y x 若M在x轴下方，则tan ,tan2 MAMB kk ，同理可得： 2 2 1 3 y x 当2 2 时，即MAB为等腰直角三角形，2,3M或2, 3M满足上述方程 所以当x在一四象限时，轨迹方程为 2 2 11 3 y xx 当M在 线 段AB上 时 ， 同 样 满 足20MBAMAB ， 所 以 线 段AB的 方 程 012yx 也为M的轨迹方程 综上所述：
6、M的轨迹方程为 2 2 11 3 y xx或012yx 答案： 2 2 11 3 y xx或012yx 例 3：已知F是抛物线 2 4xy的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点M的轨迹 方程是（ ） A. 2 1 2 xy B. 2 1 2 16 xy C. 2 22xy D. 2 21xy 思路：依题意可得0,1F，,M x y ， 00 ,P x y，则有 0 0 00 2 2 121 2 x x xx yyy y ，因 为 00 ,P x y自身有轨迹方程，为： 2 00 4xy，将 0 0 2 21 xx yy 代入可得关于, x y的方程，即 M的轨迹方程： 2 2 24 21
7、21xyxy 答案：D 例 4：已知F是抛物线 2 4yx上的焦点，P是抛物线上的一个动点，若动点M满足 2FPFM，则M的轨迹方程是_ 思路：考虑设 00 ,M x yP x y，由抛物线 2 4yx可得：1,0F，且 2 00 4yx，故考虑 利用向量关系得到, x y与 00 ,xy的关系，从而利用代入法将 00 ,xy用, x y进行表示，代入到 2 00 4yx即可 解：由抛物线 2 4yx可得：1,0F 设 00 ,M x yP x y 00 1,1,FPxyFMxy 2FPFM 00 0 0 21121 22 xxxx yyyy P在 2 4yx上 2 00 4yx，将代入可得：
8、 2 24 21yx，即 2 21yx 答案： 2 21yx 例 5：在平面直角坐标系xOy中，直线44xtt 与椭圆 22 1 169 xy 交于两点 1122 ,P t yP t y，且 12 0,0yy， 12 ,A A分别为椭圆的左，右顶点，则直线 12 AP与 21 A P 的交点所在曲线方程为_ 思 路 ： 由 椭 圆 可 得 ： 12 4,0 ,4,0AA， 从 而 可 确 定 线 12 AP与 21 A P的 方 程 。 21 122 1 :4 ,:4 44 yy APyxA Pyx tt ，若联立方程解, x y，则形式较为复杂不易化 简，观察两条直线方程的特点，可发现若两边
9、相乘，有平方差的特点，且xt与椭圆相交， 则 12 ,P P关 于x轴 对 称 ， 有 21 yy 。 所 以 两 方 程 左 右 两 边 分 别 相 乘 可 得 ： 2 22 1 2 4 16 y yx t ，再利用 11 ,P t y满足椭圆方程，消去等式中的 1 , t y即可 解：由椭圆可知： 12 4,0 ,4,0AA，设交点坐标, x y。 xt与椭圆相交于 12 ,P P 12 ,P P关于x轴对称 21 yy 考虑直线 12 AP与 21 A P的方程：由 121 4,0 ,AP ty可得： 1 2 1 4 A P y k t 1 12: 4 4 y APyx t 同理可得：
10、1 21: 4 4 y A Pyx t 可得： 2 22 1 2 16 16 y yx t 由 11 ,P t y在椭圆上可得： 22 22 1 1 9 116 16916 ty yt ，代入可得： 2 22 2 9 16 16 1616 t yx t ，整理后可得： 22 1 169 xy 答案： 22 1 169 xy 小炼有话说： 本题消元的方法比较特殊， 是抓住了两直线中某些地方具备平方差公式的特点， 从而两式相乘，再进行代入消元。 例 6：若动圆过定点3,0A 且和定圆 2 2 :34Cxy 外切，则动圆圆心P的轨迹方 程是_ 思路：定圆的圆心为3,0C，观察到恰好与3,0A 关于
11、原点对称，所以考虑P点轨迹是否为椭圆或双曲线，设动圆P 的半径为r，则有PAr，由两圆外切可得2PCr， 所以2PCPA，即距离差为定值，所以判断出P的轨 迹 为 双 曲 线 的 左 支 ， 则1,3ac， 解 得 222 8bca， 所 以 轨 迹 方 程 为 2 2 11 8 y xx 答案： 2 2 11 8 y xx 小炼有话说：本题从所给条件中的对称定点出发，先作一个预判，从而便可去寻找符合定义 的要素，即线段的和或差。要注意本题中PCPA，所以轨迹为双曲线的一支。 例 7：是圆 2 2 125xy的圆心为C，1,0A是圆内一定点，Q为圆周上任一点，线段 AQ的垂直平分线与CQ的连线
12、交于点M，则M的轨迹方程为（ ） A. 22 44 1 2125 xy B. 22 44 1 2125 xy C. 22 44 1 2521 xy D. 22 44 1 2521 xy 思路：可得1,0C ，发现刚好与1,0A均在x轴上且关于原点对称，从而联想到双曲线或 椭圆的焦点，观察几何性质可得：由AQ的中垂线可得AMQM， 从而考虑5CMAMCMQMCQr，即M到,A C的 距离和为定值 5， 从而判断出其轨迹为椭圆， 可得 5 25,1 2 aac， 则 222 21 4 bac，所以椭圆方程为： 22 44 1 2521 xy 答案：C 例 8：已知直线ykxm与抛物线 2 2yx交
13、于,A B两点，且OAOBOAOB，其 中O为坐标原点，若OMAB于M，则点M的轨迹方程为（ ） A. 22 2xy B. 2 2 11xy C. 2 2 11xy D. 2 2 14xy 思路：先处理条件OAOBOAOB可得由,OA OB为邻 边的平行四边形对角线相等，所以该四边形为矩形。即 OAOB，设 1122 ,A x yB x y，即 1212 0 x xy y，联立 直线与抛物线方程并利用韦达定理可得2mk ，从而可得直 线过定点2,0，结合图像性质可得OMAB，则M的轨迹为以OC为直径的圆，轨迹方 程为 2 2 11xy 解：OAOBOAOB，且,OAOB OAOB为,OA OB
14、为邻边的平行四边形对角 线 该四边形为矩形，即OAOB 设 1122 ,A x yB x y， 1212 0OA OBx xy y 联立方程： 2 2 ykxm yx ，消去x可得： 2 2 220 2 ky ymkyym 12 2m y y k 222 12 12 2 4 y ym x x k 2 2 2 0 mm kk ，由0km可得2mk :22l ykxmkxkk x，即直线过定点2,0C OMAB即OMCM M的轨迹为以OC为直径的圆 则该圆的圆心为1,0，半径1r 轨迹方程为 2 2 11xy 答案：B 例 9：过点6,0M 作圆 22 :6490C xyxy的割线，交圆C于,A
15、B两点，在线段 AB上取一点Q，使得 112 MAMBMQ ，求点Q的轨迹 解：设点 1122 ,A x yB x yQ x y，直线AB的斜率为k 222 12 16 ,16 ,16MAkxMBkxMQkx 由 112 MAMBMQ 可得： 222 12 112 161616kxkxkx 12 112 666xxx 12 1212 122 6366 xx x xxxx ，联立方程： 22 6 6490 yk x xyxy ，消去x可得： 2222 12 6233 12830kxkkxkk 22 1212 22 2 6233 1283 , 11 kkkk xxx x kk 代入可得： 2 2
16、22 22 2 623 12 2 1 63 12832 623 636 11 kk k xkkkk kk 即 4182 816 k x ，而 6 MQ y kk x 代入可得： 4 18 2 6 816 y x x 化简可得：92270 xy，因为Q在圆内 所以点Q的轨迹是直线92270 xy被圆截得的弦 例 10：如图所示，点N在圆 22 4xy上运动，DNx轴，点M在DN的延长线上，且 0DMDN （1）求点M的轨迹方恒，并求当为何值时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆 （2）当 1 2 时，在（1）中所得曲线记为C，已知直线:1 2 x ly，P是l上的动点，射 线OP（O为坐标原点）交曲
17、线C于点R，又点Q在OP上且满足 2 OQOPOR，求点 Q的轨迹方程 解： （1）思路：N自身有轨迹方程，且条件中所求的点M与点N存在联系（DMDN） ， 所以考虑利用代入法求轨迹方程。设 00 ,M x yN x y，然后利用向量关系找到M的坐标 与N坐标的联系 0 0 1 xx yy ，从而代入到N所在的方程便得到关于, x y的等式，即M的轨 迹方程 设 00 ,M x yN x y 0 0,0,DMyDNy DMDN 0 yy DNx轴 0 xx 0 0 00 1 xx xx yyyy 由N在 22 4xy上可知： 22 00 4xy，代入可得： 2 2 2 4 y x 即 22 2
18、 1 44 xy 当01时，M的轨迹表示焦点在x轴上的椭圆 （2）思路：由（1）可知曲线方程为 2 2 1 4 x y，从而题目中的点,P R均有方程。设所求点 ,Q x y，则可考虑寻找Q的坐标与 1122 ,P x yR x y之间的联系。本题, ,O P Q R共线是 关键点，因为在这条线上的点，其与O点距离的比值即为横纵坐标的比值。所以先从,P Q入 手，题目中没有,OP OQ的比例，则不妨设 OP t OQ ，进而得到,Q x y与 11 ,P x y的联 系 ： 1 1 xtx yty ， 再 寻 找,Q R的 联 系 ， 结 合 条 件 2 O QO PO R可 知 2 22 2
19、2 222 OPORxy t OQxy OQ ，从而用t即可表示出,Q x y与 22 ,R x y的联系（而不用再 设字母） ： 22 2 22 2 xtx yty 。所以可以用代入法分别将两组关系代入至直线与椭圆方程，再消去t即 可得到Q的轨迹方程 解：由（1）可得曲线方程为： 2 2 1 4 x y 设 1122 ,P x yR x yQ x y 2 OQOPOR 设 OP t OQ 由线段比例可得： 11 OPxy t OQxy 1 1 xtx yty 由 2 OQOPOR同理可得： 2 22 22 222 OPORxy t OQxy OQ 22 2 22 2 xtx yty ,P R分别在直线与椭圆上 2 2 12 12 1,1 24 xx yy，代入 22 12 22 1 2 , xtxxtx yty yty 可得： 2 2 2 2 1 2 24 1 4 tx ty txtx tyty tx ty ，化简可得：Q的轨迹方程为： 22 2440 xxyy
