1、 微专题 73 求参数的取值范围 一、基础知识： 求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通 过解函数的值域求得参数范围 1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。常见的不 等关系如下： （1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围 椭圆（以 22 22 10 xy ab ab 为例） ，则,xa a ，,yb b 双曲线： （以 22 22 1,0 xy a b ab 为例） ，则,xa （左支）, a （右支） yR 抛物线： （以 2 20ypx p为例，则0,x （2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消
2、元后的一元二次 方程0 （3）点与椭圆（以 22 22 10 xy ab ab 为例）位置关系：若点 00 ,x y在椭圆内，则 22 00 22 1 xy ab （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件 2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条 件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变 量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围 （1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的 值域，常见的函数有： 二次函数；“对勾函数”0 a yxa x ； 反比例
3、函数； 分式函数。若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进 行解决。 （2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达 式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。 3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点： （1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建 立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域 （2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式） ，一方面可以考虑将表达式视为整体，看 能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建
4、立起关 于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题： 例 1：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab ， 1 F、 2 F是其左右焦点，离心率为 6 3 ，且经过 点3,1. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若 12 ,A A分别是椭圆长轴的左右端点，Q为椭圆上动点，设直线 1 AQ斜率为k，且 11 , 23 k ，求直线QA2斜率的取值范围； 解： （1） 6 3 c e a :3:1:2a b c 椭圆方程为： 22 22 1 3 xy bb 代入3,1可得： 2 4b 22 312ab 椭圆方程为： 22 1 124 xy （2）由（1）可得： 12 2 3,0 ,2 3
5、,0AA 设,Q x y， 则 2 3 y k x 2 2 3 A Q y k x 2 2 2 122 32 3 A Q yyy k k xxx Q在椭圆上 22 22 1 112 1243 xy yx 2 2 2 1 123 A Q y k k x 2 1 3 A Q k k 11 , 23 k 12 ,1 33k 即 2 2 ,1 3 A Q k 例 2：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，其左，右焦点分别是 12 ,F F，过 点 1 F的直线l交椭圆C于,E G两点，且 2 EGF的周长为4 2 （1）求椭圆C的方程 （2）若过点2,0M的直线与椭圆
6、C相交于两点,A B，设P为椭圆上一点，且满足 OAOBtOP（O为坐标原点） ，当 2 5 3 PAPB时，求实数t的取值范围 解： （1） 2 2 c e a :2 : 1 : 1ab c 2 EGF的周长44 22Caa 1b 椭圆方程为： 2 2 1 2 x y （2）设直线AB的方程为2yk x， 1122 ,A x yB x y，,P x y OAOBtOP 12 12 xxtx yyty 联立直线与椭圆方程： 2222 22 2 128820 21 yk x kxk xk xy 2 222 84 12820kkk ，解得： 2 1 2 k 23 121212 222 884 ,4
7、4 212121 kkk xxyyk xxkk kkk 2 2 2 8 21 4 21 k x tk k y tk ，代入 2 2 1 2 x y可得： 22 2 22 84 22 2121 kk tktk 2 2 2 16 12 k t k 由条件 2 5 3 PAPB可得： 2 5 3 AB 2 12 2 5 1 3 ABkxx 2 2 1212 20 14 9 kxxx x ，代入 22 1212 22 882 , 2121 kk xxx x kk 可得： 2 22 222 22 88220 1441 14130 21219 kk kkk kk 2 1 4 k 2 1 1 , 4 2 k
8、 2 2 2 2 1618 =16,4 1 123 2 k t k k 2 62 6 2,2 33 t 例 3：在平面直角坐标系中，已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 2 2 ，且在所有 过焦点的弦中，弦长的最小值为2 （1）求椭圆方程 （2） 若过点0,2B的直线l 与椭圆交于不同的两点,E F（E在,B F之间） ， 求三角形OBE 与三角形OBF面积比值的范围 解： （1） 2 2 c e a : :2:1:1a b c 由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为 2 2 2 b a 1,2ba 椭圆方程为 2 2 1 2 x y （2）设:2lykx， 1122 ,E
9、x yF x y 1122 11 , 22 OBEOBF SOBxxSOBxx 1 1 22 OBE OBF xSx Sxx 联立直线与椭圆方程： 22 22 2 12860 22 ykx kxkx xy 2 22 3 824 120 2 kkk 1212 22 86 ,0 1212 k xxx x kk 12 ,x x同号 2 2 2 2 12 12 2 1221 2 8 3212 2 6 3 12 12 k xxkxx k x xxxk k 2 3 2 k 2 2 2 3 23 211 6 4, 1 333 12 2 k k k 12 21 16 42 3 xx xx 设 1 2 0 x
10、t x ，所解不等式为： 1 241 1161 23 33 tt t tt t 1 2 1 ,11,3 3 x x ，即 1 ,11,3 3 OBE OBF S S 例 4：已知椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 3 3 ，直线:2l yx与以原点为圆 心，椭圆 1 C的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆 1 C的方程 （2） 设椭圆 1 C的左焦点为 1 F， 右焦点为 2 F， 直线 1 l过点 1 F且垂直于椭圆的长轴， 动直线 2 l垂 直于直线 1 l，垂足为点P，线段 2 PF的垂直平分线交 2 l于点M，求点M的轨迹 2 C的方程 （3）设）设 2 C
11、与与x轴交于点轴交于点Q，不同的两点，不同的两点,R S在在 2 C上，且满足上，且满足0QR RS，求，求QS的取值的取值 范围范围 解： （1） 3 3 3 c eac a :2l yx与圆 222 xyb相切 2 2 O l db 2b 3ac 2222 2bacc即 2 1c ，解得1c 3a 22 1: 1 32 xy C （2）由（1）可得 1: 1lx 线段 2 PF的垂直平分线交 2 l于点M 2 PMMF即 1 2M l dMF M的轨迹为以 2 F为焦点， 1 l为准线的抛物线，设为 2 20ypx p 2 1,0F 2p 2 2: 4Cyx （3）思路：由已知可得0,0Q
12、，设 22 12 12 , 44 yy RySy ，则所求QS为关于 2 y的函数， 只需确定 2 y的范围即可，因为0QR RS，所以有可能对 2 y的取值有影响，可利用此条件 得到 2 y关于 1 y的函数，从而求得 2 y范围。 解： 2 C与椭圆的交点为0,0Q，设 22 12 12 , 44 yy RySy 222 121 121 , 44 yyy QRyRSyy 222 121 121 0 16 yyy QR RSyyy ，因为 12 yy，化简可得： 21 1 16 yy y 考虑 2 2 22 2 22 1 864 44 y QSyy 由可得 2 222 2111 22 111
13、 16256256 3223264yyyy yyy 2 2 64y时，可得 2 2 2 1 8648 5 4 QSy 8 5,QS 例 5：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率 1 3 e ，左焦点为 1 F，椭圆上的点到 1 F距 离的最大值为8 （1）求椭圆C的方程 （2）在（1）的条件下，过点N的直线l与圆 22 36xy交于,G H两点，l与点C的轨迹 交于,P Q两点，且8 2,2 34GH ，求椭圆的弦RQ长的取值范围 解： （1）由离心率可得： 1 3 c e a :3 : 22 : 1a b c 依题意可得：8ac 可得：6,2ac 222 32bac 椭
14、圆方程为： 22 1 3632 xy （2）由（1）可得椭圆方程为 22 1 3632 xy 不妨设2,0N 当直线斜率不存在时，8 2GH ，符合题意，可得： 32 3 RQ 当直线斜率存在时， 设直线:2l yk x 2 2 1 O l k d k 在圆 22 36xy中 2 2 22 11 36 24 drGHGH 8 2,2 34GH 可得： 2 2 2 4 2424 1 k d k 解得： 2 1k 设 1122 ,R x yQ x y，联立直线与椭圆方程： 22 2 1 3632 yk x xy 消去y可得： 2 2 2 1 21 3632 x kx 2222 9836362880
15、kxk xk 2 22 1212 222 368 3636288 , 989898 k kk xxx x kkk 2 22 12121 2 114RQkxxkxxx x 2 2 2 2 22 368 36 14 9898 k k k kk 2 222 2 2 2 3 64 3 6898 1 98 kkk k k 442 2 2 2 996 46 4 1 21 98 kkk k k 22 2 22 2 64649696 12 1 98 98 kk k k k 2 2 2 1 21 2 1 21 2 8 98 9 k k k 由 2 1k 可得： 32192 317 RQ 综上所述：RQ的取值范围
16、是 32 192 , 317 例 6：已知椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的两个焦点 12 ,F F， 动点P在椭圆上，且使得 1 90FPF的点P恰有两个，动点 P到焦点 1 F的距离的最大值为22 （1）求椭圆 1 C的方程 （2）如图，以椭圆 1 C的长轴为直径作圆 2 C，过直线2 2x 上的动点T，作圆 2 C的两条 切线，设切点分别为,A B，若直线AB与椭圆 1 C交于不同的两点,C D，求 AB CD 的取值范围 解： （1）使得 1 90FPF的点P恰有两个 12 FPF的最大值为90 P为短轴顶点时， 1 90FPF bc 2222 222abcbabc
17、P到焦点 1 F的距离的最大值为2 2ac 2,2ac 椭圆 1 C的方程： 22 1 42 xy （2）由椭圆方程可得圆 22 2: 4Cxy 设 1122 2 2,TtA x yB x y，由圆的性质可得： 1122 :4,:4AT x xy yBT x xy y 代入 2 2,Tt可得： 11 22 2 24 2 24 xty xty ,A B满足方程2 240 xty 则O到AB的距离 2 4 8 OAB d t 2 22 2 4 24 8 OAB t ABrd t 下面计算CD：联立方程 22 22 2 24 168160 24 xty tyty xy 设 3344 ,C x yD
18、x y 3434 22 816 , 1616 t yyyy tt 2 22 2 121212 2 48 114 8816 t tt CDyyyyy y t 2222 2222 416416 4 88488 ABtttt CDtttt 不妨设 2 88mtm 32 33 1225612256 1 ABmm CDmmm 设 11 0 8 ss m ，所以 3 1 12256 AB ss CD 设 3 1 12256f sss 2 1 127680 8 fsss f s在 1 0, 8 单调递增 所以 1,2f s ，即 1, 2 AB CD 例 7：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab
19、 过点 3 1, 2 ，且离心率 1 2 e （1）求椭圆方程 （2）若直线:0l ykxm k与椭圆交于不同的两点,M N，且线段MN的垂直平分线 过定点 1 ,0 8 G ，求k的取值范围 解： （1） 1 2 c e a 可得：: :2: 3:1a b c 椭圆方程为 22 22 1 43 xy cc ，代入 3 1, 2 可得： 2 22 191 11 44 3 c cc 椭圆方程为： 22 1 43 xy 设 1122 ,M x yN x y，联立方程可得： 22 222 3412 3484120 xy kxkmxm ykxm 2 22222222 84 34412644 16481
20、236kmkmk mk mkm 22 4 4812360km 22 43mk 设MN中点 00 ,P x y，则 1212 , 22 xxyy P 121212 22 86 ,2 4343 kmm xxyyk xxm kk 22 43 , 43 43 kmm P kk 则MN的中垂线为： 22 314 4343 mkm yx kkk ，代入 1 ,0 8 可得： 2 1 43 8 mk k ，代入 22 43mk可得： 2 22 1 4343 8 kk k 222 1 4364 20 kkk 5 10 k或 5 10 k 即k的取值范围是 55 , 1010 例 8： 在平面直角坐标系xOy中
21、， 原点为O,抛物线C的方程为yx4 2 ,线段AB是抛物线C 的一条动弦 （1）求抛物线C的准线方程和焦点坐标F; （2）当8AB时，设圆)0) 1(: 222 rryxD（,若存在且仅存在两条动弦AB,满足 直线AB与圆D相切，求半径r的取值范围？ 解： （1）由抛物线yx4 2 可得：0,1F，准线方程：1y （2）设直线:AB ykxb， 1122 ,A x yB x y ，联立方程： 2 2 440 4 ykxb xkxb xy 1212 4 ,4xxk x xb 22222 12 111616812ABkxxkkbkkb 2 2 4 1 bk k AB与圆相切 2 1 1 DAB
22、b dr k 2 2 2 4 1 1 1 k k r k ，不妨令 2 1,1tkt 则 3 4 rt t ，令 3 3 3 4 ,12 4 4 ,2 tt t f tt t tt t f t在1, 2 单调递减，在 2,单调递增 13f 则若关于k的方程有两解，只需关于t的方程有一解 3r 时，yr与 yf t有一个交点 3r 例 9： 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 15 4 ， 12 ,F F是椭圆的两个焦点，P是 椭圆上任意一点，且 12 PFF的周长是82 15 （1）求椭圆C的方程 （2）设圆 2 2 4 : 9 Txty，过椭圆的上顶点作圆T的两条
23、切线交椭圆于,E F两点， 当圆心在x轴上移动且1,3t时， 求 EF的斜率和取值范围 解： （1） 15 4 c e a :4 : 1 :1 5abc 12 PFF的周长 1212 2282 15CFFPFPFac 4,15ac 222 1bac 椭圆方程为： 2 2 1 16 x y （2）由椭圆方程可得：0,1M ，设过M且与圆T相切的直线方程为11,2 i yk xi 2 12 3 1 i i k t dr k 2 22 31219141 iiii ktkktk，整理可得： 22 941850 ii tktk 两条切线斜率 12 ,k k是方程 22 941850tktk的两根 联立直
24、线ME与椭圆方程可得： 1 22 1 1616 yk x xy 消去y可得： 22 11 116320kxk x 1 2 1 32 116 E k x k ，同理可得： 2 2 2 32 116 F k x k 12 12 11 EF EFEF EF EFEFEF k xk xyyk xk x k xxxxxx 12 12 22 12 12 1 2 12 22 12 3232 1 161 16 1 163232 1 161 16 kk kk kkkk k kkk kk 由 22 941850tktk可得： 1212 22 185 , 9494 t kkk k tt 2 2 2 18 61 94
25、 6 528 283 1 163 94 EF t t t k t t tt 设 1 6 28 3 f t t t ，可知 f t为增函数，1,3t 6 ,18 25 EF k 例 10：已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab ，其中 12 ,F F为左右焦点，且离心率为 3 3 e ， 直线l与椭圆交于两不同点 1122 ,P x yQ x y，当直线l过 椭圆C右焦点 2 F且倾斜角为 4 时，原点O到直线l的距离为 2 2 （1）求椭圆C的方程 （2）若OPOQON，当OPQ的面积为 6 2 时，求ONPQ的最大值 解： （1）设直线: l yxc 2 1 22 O l c dc
26、 3 3 c e a 33ac 222 2bac 椭圆方程为 22 1 32 xy （2）若直线l斜率存在，设: l ykxm， 1122 ,P x yQ x y OPOQON 1212 ,Nxxyy 联立方程： 22 236 ykxm xy 消去y可得： 2 2 236xkxm，整理可得： 222 326360kxkmxm 2 2222 64 32 3624 320kmkmkm 22 32km 2 1212 22 636 , 3232 kmm xxx x kk 1212 22 64 22 3232 kmm yyk xxmkm kk 22 64 , 32 32 kmm N kk 考虑 222
27、2 2 121 2 2 2 6132 14 32 kkm PQkxxx x k 2 1 O l m d k 222 2 2 11 2 61326 22322 1 OPQO l mkkm SPQ d k k 222 23232mkmk 222 22222222 432323243220mkmkkmkm 即 2 22 3220km 22 322km 2222 646432 , 32 3222 kmmkmmk N kkmmm m 22 2 22222 946642 6 km ON mmmmm 2 2 222 2 242 2 22 1 24 132 32 244 4 32 m m kkm PQ mm
28、k 2 22 22 22 22 64 22 6425 2 mm ONPQ mm 等号成立条件： 22 22 642m mm 2m时ONPQ的最大值是5 当斜率不存在时，,P Q关于x轴对称，设 00 ,P x y 00 ,0 x y 0000 16 2 22 OPQ Sxyx y，再由 22 00 1 32 xy 可得： 0 0 6 2 1 x y 可计算出2 65ONPQ 所以综上所述ONPQ的最大值是5 三、历年好题精选 1、已知点P是双曲线 22 1 84 xy 上的动点， 12 ,F F分别是双 曲线的左右焦点，O为坐标原点，则 12 PFPF OP 的取值范围 是（ ） A. 0,6
29、 B. 2, 6 C. 16 , 22 D. 6 0, 2 2、 （2015，新课标 I）已知 00 ,M x y是双曲线 2 2 :1 2 x Cy上的一点， 12 ,F F是C上的两 个焦点，若 12 0MF MF，则 0 y的取值范围是（ ） A. 33 , 33 B. 33 , 66 C. 2 2 2 2 , 33 D. 2 3 2 3 , 33 3、 （2014，四川）设mR，过定点A的动直线0 xmy和过定点B的动直线 30mxym交于点,P x y，则PAPB的最大值是_ 4、 （2016，广东省四校第二次联考）抛物线 2 20ypx p的焦点为F，已知点,A B为抛 物线上的两
30、个动点， 且满足120AFB， 过弦AB的中 点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则 MN AB 的 最大值为（ ） A. 3 3 B. 1 C. 2 3 3 D. 2 5、 （2016，贵州模拟）设椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，上顶点 为A， 过点A与 2 AF垂直的直线交x轴负半轴于点Q， 且 1 F是线段 2 QF的中点， 若果 2 ,A Q F 三点的圆恰好与直线:330l xy相切. （1）求椭圆C的方程； （2）过定点0,2M的直线 1 l与椭圆C交于,G H两点，且MGMH.若实数满足 MGMH，求 1 的取值范围. 6、 （
31、2015，山东理）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 为 3 2 ，左、右焦点分别是 12 ,F F,以 1 F为圆心，以 3 为半径的圆与以 2 F为圆心，以 1 为半径 的圆相交，交点在椭圆C上. （1）求椭圆C 的方程； （2）设椭圆 22 22 :1 44 xy E ab ，P为椭圆C上的任意一点，过点P的直线ykxm交椭圆 E于,A B两点，射线PO交椭圆E于点Q 求 | | OQ OP 的值；求ABQ面积最大值. 7、 （2014，四川）已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的焦距为4，其短轴的两个端 点与长轴的一个端
32、点构成正三角形 （1）求椭圆C的标准方程 （2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线3x 上任意一点，过F作TF的垂线交 椭圆C于点,P Q 证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点） 当 TF PQ 最小时，求点T的坐标 8、 （2014，湖南）如图，O为坐标原点，椭圆 22 1 22 :10 xy Cab ab 的左右焦点 分别为 12 ,F F，离心率为 1 e；双曲线 22 2 22 :10,0 xy Cab ab 的左右焦点分别为 34 ,F F，离心率为 2 e，已知 1 2 3 2 e e ，且 （1）求 12 ,C C的方程 （2） 过 1 F作 1 C的不垂直于y轴的弦,AB M为
33、AB的中 点，当直线OM与 2 C交于,P Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值 9、 （2014，山东）已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为F，A为C上异于原点 的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有 FAFD，当A的横坐标为 3 时，ADF为正三角形 （1）求C的方程 （2）若直线 1 ll，且 1 l和C有且只有一个公共点E 证明直线AE过定点，并求出定点坐标 ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理 由 10、 （淮安、宿迁、连云港、徐州苏北四市 2016 届高三上期末）如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆C：)
34、0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率 2 1 e，左顶点为)0 , 4(A，过点A作斜 率为)0( kk的直线l交椭圆C于点D，交y轴于点E. （1）求椭圆C的方程; （2）已知P为AD的中点，是否存在定点Q，对于任意的)0( kk都有EQOP ，若存在， 求出点Q的坐标；若不存在说明理由; （3）若过O点作直线l的平行线交椭圆C于点M，求 OM AEAD 的最小值. 11、 （南通市海安县 2016 届高三上期末）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 C： )0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的焦距为 2 （1）若椭圆C经过点) 1 , 2 6 (，求椭圆 C
35、 的方程； （2）设2,0A ，F为椭圆C的左焦点，若椭圆C存在点P，满足2 PF PA ，求椭圆C的 离心率的取值范围； 12、已知定点)0 ,3(),0 ,3( 21 FF ，曲线 C 是使| 21 RFRF为定值的点R的轨迹，曲线 C过点) 1 , 0(T. （1）求曲线C的方程； （2）直线l过点 2 F，且与曲线C交于PQ，当PQF1的面积取得最大值时，求直线l的方程； （3） 设点P是曲线C上除长轴端点外的任一点， 连接 1 PF、 2 PF， 设 21PF F的角平分线PM 交曲线C的长轴于点( ,0)M m，求m的取值范围. 13、已知圆 2 22 :2Mxyr(0)r ,若椭
36、圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右顶点为圆 M的圆心，离心率为 2 2 （1）求椭圆 C 的方程； （2）若存在直线: l ykx，使得直线l与椭圆C分别交于,A B两点，与圆M分别交于,G H 两点，点G在线段AB上，且AGBH，求圆M的半径r的取值范围 14、已知 1 F、 2 F是椭圆 22 22 1 xy ab (0)ab的左、右焦点，且离心率 1 2 e ，点P为椭圆 上的一个动点， 12 PFF的内切圆面积的最大值为 4 3 . (1) 求椭圆的方程； (2) 若,A B C D是椭圆上不重合的四个点，满足向量 1 F A与 1 FC共线， 1 FB与 1 FD共
37、 线，且0AC BD，求|ACBD的取值范围. 习题答案：习题答案： 1、答案：B 解析：设,P x y，其中0 x ，由焦半径公式可得： 12 ,PFexa PFexa 12 2222 2PFPFexaexaex OP xyxy 2 2 6 4, 22 x ye代入可得： 12 222 2 2 66 34 4 2 2 PFPFexaexax OP xyx x x 因为 2 8x 所以解得 12 2 6 2,6 34 2 PFPF OP x 由对称性可知：当0 x 时， 12 2,6 PFPF OP 2、答案：A 解析：由 2 2 :1 2 x Cy可得 12 3,0 ,3,0FF，所以 10
38、0 3,MFxy 200 3,MFxy，则 22 1200 30MF MFxy ，由 2 2 0 0 1 2 x y得： 22 00 22xy 代入到不等式： 2 120 310MF MFy ，解得 0 33 , 33 y 3、答案：5 解析：由两条动直线 13 xmy m xy 可得两条信息：两个定点坐标0,0 ,1,3AB， 且两条直线垂直，垂足即为P，所以PAB为直角三角形，可知 222 10PAPBAB， 由均值不等式可得 2222 5 22 PAPBPAPB PA PBPA PB ，等号成立 当且仅当PAPB 4、答案：A 解析：过,A B分别作准线的垂线，垂足设为,Q P 设,AF
39、a BFb，由抛物线定义可得：,AFAQ BFBP 在梯形AQPB中，可得MN为中位线 11 222 ab MNAQBPAFBF 由余弦定理可知在ABF中， 222 22 2cosABAFBFAF BFAFBabab 22 22 ABabababab 2 2 ab ab 2 2223 44 ab ABabab 2 2 2 2 1 13 4 3 33 4 ab MNMN AB AB ab 5 5、解析：设椭圆C的半焦距为0c c 由 1 F为线段 2 F Q中点， 2 AQAF 所以 2 ,A Q F三点圆的圆心为 1 ,0Fc，半径为2ca 又因为该圆与直线l相切，所以 3 21 2 c cc
40、 所以 22 4,3ab，故所求椭圆方程为 22 1 43 xy ； （2）若 1 l与x轴不垂直，可设其方程为2ykx，代入椭圆方程 22 1 43 xy 可得 22 341640kxkx，由0 ，得 2 1 4 k 设 1122 ,G x yH x y，根据已知，有 12 xx 于是 122 2 2 12 2 16 1 34 1 34 k xxx k x xx k 消去 2 x，可得 2 2 2 164 34 k k 因为 2 1 4 k ，所以 2 2 2 6464 4,16 3 34 4 k k k 即有 2 11 24,16 ，有 1 2,14 6、解析： （1） 椭圆离心率为 3
41、2 3 2 c e a ，:2:1:3a b c 左、右焦点分别是 12 (3 ,0),( 3 ,0)FbFb, 圆 1 F： 22 (3 )9,xby 圆 2 F： 22 (3 )1,xby由 两 圆 相 交 可 得22 34b， 即132b， 交 点 2 22 (,1 () ) 33bb ， 2 222 2 1 (3 ) 4 3 1 34 b b bbb ， 整理得 42 4510bb ，解得 2 1,b 2 1 4 b （舍去） 故 2 1,b 2 4,a 椭圆 C 的方程为 2 2 1 4 x y. （2） 椭圆 E 的方程为 22 1 164 xy ， 设点 00 (,)P xy，满
42、足 2 2 0 0 1 4 x y，射线 0 0 0 :(0) y PO yx xx x ， 代入 22 1 164 xy 可得点 00 ( 2, 2)Qxy，于是 22 00 22 00 ( 2)( 2)| 2 | xyOQ OP xy . 点 00 ( 2, 2)Qxy到直线AB距离等于原点 O 到直线AB距离的 3 倍： 00 22 | 22| 3 11 kxymm d kk 22 1 164 ykxm xy ，得 22 4()16xkxm，整理得 222 (1 4)84160kxkmxm 222222 6416(41)(4)16(164)0k mkmkm 2 22 2 1 |16(16
43、4) 1 4 k ABkm k 22 22 22 11| 164 |34 1646 221 41 4 mmkm SAB dkm kk 222 2 1 64 61 2 2 ( 41) mkm k ， 当且仅当 2222 |164,82mkmmk等号成立. 而直线ykxm与椭圆 C： 2 2 1 4 x y有交点 P，则 22 44 ykxm xy 有解，即 22222 4()4,(1 4)8440 xkxmkxkmxm有解， 其判别式 222222 1 6416(14)(1)16(14)0k mkmkm ，即 22 14km，则上 述 22 82mk不成立，等号不成立， 设 2 | (0,1 1
44、4 m t k ，则 22 2 | 164 66 (4) 1 4 mkm St t k 在(0,1为增函数， 于是当 22 14km时 max 6 (4 1) 16 3S ，故ABQ面积最大值为 12. 7、解析： （1）由已知可得： 22 3 224 ab cab 解得： 22 6,2ab 椭圆方程为： 22 1 62 xy （2） 由（1）可得：2,0F ，设3,Tm 0 32 TF m km 所以设:2PQ xmy， 1122 ,P x yQ x y，联立椭圆方程可得： 22 22 1 3420 62 2 xy mymy xmy 1212 22 42 , 33 m yyy y mm 1212 2 12 4 3 xxm yy m 设M为PQ的中点，则M点的坐标为 22 64 , 33 m mm 3 OM m k OT的斜率 3 OT m k M在OT上，即OT平分PQ 由可得： 2 1TFm 由弦长公式可得： 2 22 121212 114PQmyymyyy y 22 2 222 261 42 14 333 m m m mmm 2 2 2 22 22 2 3 314 114 2412412 61 m TFm mm PQmmm 2 2 143 214 2 413 m m 等号成立当且仅当 2 2 4 11 1 mm
