1、 微专题 80 排列组合的常见模型 一、基础知识： （一）处理排列组合问题的常用思路： 1、特殊优先：对于题目中有特殊要求的元素，在考虑步骤时优先安排，然后再去处理无要求 的元素。 例如：用0,1,2,3,4组成无重复数字的五位数，共有多少种排法？ 解：五位数意味着首位不能是 0，所以先处理首位，共有 4 种选择，而其余数位没有要求，只 需将剩下的元素全排列即可，所以排法总数为 4 4 496NA种 2、寻找对立事件：如果一件事从正面入手，考虑的情况较多，则可以考虑该事的对立面，再 用全部可能的总数减去对立面的个数即可。 例如：在 10 件产品中，有 7 件合格品，3 件次品。从这 10 件产
2、品中任意抽出 3 件，至少有一 件次品的情况有多少种 解：如果从正面考虑，则“至少 1 件次品”包含 1 件，2 件，3 件次品的情况，需要进行分类 讨论，但如果从对立面想，则只需用所有抽取情况减去全是正品的情况即可，列式较为简单。 33 107 85NCC（种） 3、先取再排（先分组再排列） ：排列数 m n A是指从n个元素中取出m个元素，再将这m个元 素进行排列。但有时会出现所需排列的元素并非前一步选出的元素，所以此时就要将过程拆 分成两个阶段，可先将所需元素取出，然后再进行排列。 例如：从 4 名男生和 3 名女生中选 3 人，分别从事 3 项不同的工作，若这 3 人中只有一名女 生，
3、则选派方案有多少种。 解：本题由于需要先确定人数的选取，再能进行分配（排列） ，所以将方案分为两步，第一步： 确定选哪些学生，共有 21 43 C C种可能，然后将选出的三个人进行排列： 3 3 A。所以共有 213 433 108C C A 种方案 （二）排列组合的常见模型 1、捆绑法（整体法） ：当题目中有“相邻元素”时，则可将相邻元素视为一个整体，与其他 元素进行排列，然后再考虑相邻元素之间的顺序即可。 例如：5 个人排队，其中甲乙相邻，共有多少种不同的排法 解：考虑第一步将甲乙视为一个整体，与其余 3 个元素排列，则共有 4 4 A种位置，第二步考虑 甲乙自身顺序，有 2 2 A种位置
4、，所以排法的总数为 42 42 48NAA种 2、插空法：当题目中有“不相邻元素”时，则可考虑用剩余元素“搭台” ，不相邻元素进行 “插空” ，然后再进行各自的排序 注： （1）要注意在插空的过程中是否可以插在两边 （2）要从题目中判断是否需要各自排序 例如：有 6 名同学排队，其中甲乙不相邻，则共有多少种不同的排法 解：考虑剩下四名同学“搭台” ，甲乙不相邻，则需要从 5 个空中选择 2 个插入进去，即有 2 5 C 种选择，然后四名同学排序，甲乙排序。所以 242 542 480NCAA种 3、错位排列：排列好的n个元素，经过一次再排序后，每个元素都不在原先的位置上，则称 为这n个元素的一
5、个错位排列。例如对于, , ,a b c d，则, , ,d c a b是其中一个错位排列。3 个元 素的错位排列有 2 种，4 个元素的错位排列有 9 种，5 个元素的错位排列有 44 种。以上三种 情况可作为结论记住 例如：安排 6 个班的班主任监考这六个班，则其中恰好有两个班主任监考自己班的安排总数 有多少种？ 解：第一步先确定那两个班班主任监考自己班，共有 2 6 C种选法，然后剩下 4 个班主任均不监 考自己班，则为 4 个元素的错位排列，共 9 种。所以安排总数为 2 6 9135NC 4、依次插空：如果在n个元素的排列中有m个元素保持相对位置不变，则可以考虑先将这m 个元素排好位
6、置，再将nm个元素一个个插入到队伍当中（注意每插入一个元素，下一个元 素可选择的空1） 例如：已知, , , ,A B C D E F6 个人排队，其中, ,A B C相对位置不变，则不同的排法有多少种 解：考虑先将, ,A B C排好，则D有 4 个空可以选择，D进入队伍后，E有 5 个空可以选择， 以此类推，F有 6 种选择，所以方法的总数为4 5 6120N 种 5、不同元素分组：将n个不同元素放入m个不同的盒中 6、 相同元素分组： 将n个相同元素放入m个不同的盒内， 且每盒不空， 则不同的方法共有 1 1 m n C 种。解决此类问题常用的方法是“挡板法” ，因为元素相同，所以只需考
7、虑每个盒子里所含元 素个数，则可将这n个元素排成一列，共有1n 个空，使用1m个“挡板”进入空档处， 则可将这n个元素划分为m个区域，刚好对应那m个盒子。例如：将 6 个相同的小球放入到 4 个不同的盒子里，那么 6 个小球 5 个空档，选择 3 个位置放“挡板” ，共有 3 5 20C 种可能 7、涂色问题：涂色的规则是“相邻区域涂不同的颜色” ，在处理涂色问题时，可按照选择颜 色的总数进行分类讨论，每减少一种颜色的使用，便意味着多出一对不相邻的区域涂相同的 颜色（还要注意两两不相邻的情况） ，先列举出所有不相邻区域搭配的可能，再进行涂色即可。 例如：最多使用四种颜色涂图中四个区域，不同的涂
8、色方案有多少种？ 解：可根据使用颜色的种数进行分类讨论 （1）使用 4 种颜色，则每个区域涂一种颜色即可： 4 14 NA （2）使用 3 种颜色，则有一对不相邻的区域涂同一种颜色，首 先要选择不相邻的区域：用列举法可得：, I IV不相邻 所以涂色方案有： 3 24 NA （3）使用 2 种颜色，则无法找到符合条件的情况，所以讨论终止 总计 43 44 48SAA种 二、典型例题： 例 1： 某电视台邀请了 6 位同学的父母共 12 人， 请 12 位家长中的 4 位介绍对子女的教育情况， 如果这 4 位中恰有一对是夫妻，则不同选择的方法种数有多少 思路：本题解决的方案可以是：先挑选出一对夫
9、妻，然后在挑选出两个不是夫妻的即可。 第一步：先挑出一对夫妻： 1 6 C 第二步：在剩下的 10 个人中选出两个不是夫妻的，使用间接法： 2 10 5C 所以选择的方法总数为 12 610 5240NCC（种） 答案：240种 例 2：某教师一天上 3 个班级的课，每班上 1 节，如果一天共 9 节课，上午 5 节，下午 4 节， 并且教师不能连上 3 节课（第 5 节和第 6 节不算连上） ，那么这位教师一天的课表的所有不同 排法有（ ） A. 474种 B. 77种 C. 462种 D. 79种 思路：本题如果用直接法考虑，则在安排的过程中还要考虑两节连堂，并且会受到第 5,6 节 课连
10、堂的影响，分类讨论的情形较多，不易求解。如果使用间接法则更为容易。首先在无任 何特殊要求下，安排的总数为 3 9 A。不符合要求的情况为上午连上 3 节： 3 4 A和下午连上三节： 3 3 A，所以不同排法的总数为： 333 943 474AAA（种） 答案：A 例 3：2 位男生和 3 位女生共 5 位同学站成一排，若男生甲不站两端，3 位女生中有且只有两 位女生相邻，则不同排法的种数是（ ） A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 思路：首先考虑从 3 位女生中先选中相邻的两位女生，从而相邻的女生要与另一女生不相邻， 则可插空，让男生搭架子，因为男生甲不站两端，所以在插空的过程中
11、需有人站在甲的边上， 再从剩下的两个空中选一个空插入即可。 第一步：从三位女生中选出要相邻的两位女生： 2 3 C 第二步：两位男生搭出三个空，其中甲的边上要进入女生，另外两个空中要选一个空进女生， 所以共有 1 2 C种选法。 第三步：排列男生甲，乙的位置： 2 2 A，排列相邻女生和单个女生的位置： 2 2 A，排列相邻女 生相互的位置： 2 2 A 所以共有 21222 32222 48NCCAAA种 答案：B 例 4：某班班会准备从甲，乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言，要求甲，乙两名同学至少有一 人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序种数为（ ） A.
12、 360 B. 520 C. 600 D. 720 思路：因为选人的结果不同会导致安排顺序的不同，所以考虑“先取再排” ，分为“甲乙”同 时选中和“甲乙只有一人选中”两种情况讨论：若甲乙同时被选中，则只需再从剩下 5 人中 选取 2 人即可： 2 5 C，在安排顺序时，甲乙不相邻则“插空” ，所以安排的方式有： 22 32 AA， 从而第一种情况的总数为： 222 1532 120NCAA（种） ，若甲乙只有一人选中，则首先先从 甲乙中选一人，有 1 2 C，再从剩下 5 人中选取三人，有 3 5 C，安排顺序时则无要求，所以第二种 情况的总数为： 134 2254 480NCCA（种） ，从
13、而总计 600 种 答案：C 例 5：从单词“equation”中选取 5 个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且 顺序不变）的不同排列共有_种 思路：从题意上看，解决的策略要分为两步：第一步要先取出元素，因为“qu”必须取出， 所以另外 3 个元素需从剩下的 6 个元素中取出，即 3 6 C种，然后在排列时，因为要求“qu”相 连，所以采用“捆绑法” ，将 qu 视为一个元素与其它三个元素进行排列： 4 4 A，因为“qu”顺 序不变，所以不需要再对 qu 进行排列。综上，共有： 34 64 480CA种 答案：480 例 6：设有编号1,2,3,4,5的五个茶杯和编号为1,
14、2,3,4,5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶 杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有（ ） A. 30 种 B. 31 种 C. 32 种 D. 36 种 思路：本题可按照相同编号的个数进行分类讨论，有两个相同时，要先从 5 个里选出哪两个 相同，有 2 5 C种选法，则剩下三个为错位排列，有 2 种情况，所以 2 15 2NC，有三个相同时， 同理，剩下两个错位排列只有一种情况（交换位置） ，所以 3 25 1NC，有四个相同时则最后 一个也只能相同，所以 3 1N ，从而 23 55 21 131SCC （种） 答案：B 例 7：某人上 10 级台阶，他一步可能跨 1 级台阶，称为
15、一阶步，也可能跨 2 级台阶，称为二 阶步；最多能跨 3 级台阶，称为三阶步，若他总共跨了 6 步，而且任何相邻两步均不同阶， 则此人所有可能的不同过程的种数为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 答案：A 思路：首先要确定在这 6 步中，一阶步，二阶步，三阶步各有几步，分别设为, ,x y zN ， 则有 6 2310 xyz xyz ，解得： 432 0,2,4 210 xxx yyy zzz ，因为相邻两步不同阶，所以符合要 求的只有 3 2 1 x y z ，下面开始安排顺序，可以让一阶步搭架子，则二阶步与三阶步必须插入一 阶步里面的两个空中，所以共有 2 种插法，二阶步
16、与三阶步的前后安排共有 3 种（三二二， 三二三，二三三） ，所以过程总数为2 36N 答案：A 例 8：某旅行社有导游 9 人，其中 3 人只会英语，2 人只会日语，其余 4 人既会英语又会日语， 现要从中选 6 人，其中 3 人负责英语导游，另外三人负责日语导游，则不同的选择方法有 _种 思路：在步骤上可以考虑先选定英语导游，再选定日语导游。英语导游的组成可按只会英语 的和会双语的人数组成进行分类讨论，然后再在剩下的人里选出日语导游即可。第一种情况： 没有会双语的人加入英语导游队伍， 则英语导游选择数为 3 3 C， 日语导游从剩下 6 个人中选择， 有 3 6 C中，从而 33 036
17、NCC，第二种情况：有一个会双语的人加入英语导游队伍，从而可得 123 1435 NC CC，依次类推，第三种情况。两个会双语的加入英语导游队伍，则 213 2434 NCCC，第四种情况，英语导游均为会双语的。则 33 343 NCC，综上所述，不 同的选择方法总数为 3312321333 3643543443 216SCCC CCCCCCC(种) 答案：216 种 例 9：如图，用四种不同颜色给图中, , , ,A B C D E F六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且 图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有（ ） A. 288种 B. 264种 C. 240种 D. 168
18、种 思路：如果用四种颜色涂六个点，则需要有两对不相邻的点涂相同的颜色。所以考虑列举出 不相邻的两对点。列举的情况如下：,A CB D，,A CB E，,A CD F， ,A FB D，,A FB E，,A FC E，,B DC E，,B ED F， ,C ED F共九组，所以涂色方法共有 4 4 9216A 如果用三种颜色涂六个点，则需要有三对不相邻的点涂相同的颜色，列举情况如下： ,A CB ED F，,A FC EB D共两组，所以涂色方法共有 3 4 248A 综上所述，总计264种 答案：B 例 10：有 8 张卡片分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8，从中取出 6 张卡片排成
19、3 行 2 列，要求 3 行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为 5，则不同的排法共有（ ） A. 1344 种 B. 1248 种 C. 1056 种 D. 960 种 思路：中间行数字和为 5 只有两种情况，即1,4和2,3，但这两组不能同时占据两行，若按题 意思考，以1,4占中间行为例，则在安排时既要考虑另一组2,3是否同时被选中，还要考虑同 时被选中时不能呆在同一行，情况比较复杂。所以考虑间接法，先求出中间和为 5 的所有情 况，再减去两行和为 5 的情形 解：先考虑中间和为 5 的所有情况： 第一步：先将中间行放入1,4或2,3： 1 2 C 第二步：中间行数字的左右顺序： 2 2 A 第三步：从剩下 6 个数字中选择 4 个，填入到剩余的四个位置并排序： 4 6 A 所以中间和为 5 的情况总数为 124 224 1440SCAA 在考虑两行和为 5 的情况： 第一步：1,4，2,3两组中哪组占用中间行： 1 2 C 第二步：另一组可选择的行数： 1 2 C 第三步：1,4，2,3在本行中的左右顺序： 22 22 A A 第四步：从剩下 4 个数中选取 2 个填入所剩位置并排序： 2 4 A 所以两行和为 5 的情况： 11222 22224 192NCCAAA 从而仅有中间行为 5 的情况为1248SN（种） 答案：B
