1、 微专题 89 比赛与闯关问题 一、基础知识： 1、常见的比赛规则 （1）n局m胜制：这种规则的特点为一旦某方获得m次胜利即终止比赛。所以若比赛提前结 束，则一定在最后一次比赛中某方达到m胜。 例如：甲，乙两队举行排球比赛，比赛采取 5 局 3 胜制，已知甲获胜的概率为 2 3 ，求甲以3:1 获胜的概率： 解：本题不能认为“四局中甲赢得三局”，从而 3 3 4 2132 3381 PC ，因为如果前三局连胜， 则结束比赛而不会开始第四局，所以若比分为3:1，则第四局甲获胜，前三局的比分为2:1， 所以 2 2 3 21224 33381 PC （2）连胜制：规定某方连胜m场即终止比赛，所以若
2、提前结束比赛，则最后m场连胜且之前 没有达到m场连胜。 例如：甲，乙两队举行比赛，比赛共有 7 局，若有一方连胜 3 局，则比赛立即终止。已知甲 获胜的概率为 3 4 ，求甲在第 5 局终止比赛并获胜的概率 解：若第 5 局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第 3,4,5 局获胜，且第二局 失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜） ，第一局无论胜负不影响获胜结果。所以 3 1327 44256 P （3）比分差距制：规定某方比对方多m分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在 得分过程中要注意使两方的分差小于m （4）“一票否决制”：在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则
3、被淘汰。此类问题要注意若 达到第m阶段，则意味着前1m个阶段均能通关 2、解答此类题目的技巧： （1）善于引入变量表示事件：可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。例如： i A 表示“第i局比赛胜利”，则 i A表示“第i局比赛失败”。 （2）善于使用对立事件求概率：若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用 1P AP A 解出所求事件概率。在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为 1 的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率 二、典型例题： 例 1：某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即 被
4、淘汰已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 4 5 ， 3 5 ， 2 5 ，且各轮问 题能否正确回答互不影响 （1）求该选手被淘汰的概率； （2）记该选手在考核中回答问题的个数为，求随机变量的分布列与数学期望 （1）思路：依题可知，比赛规则为：只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要 考虑到是第几轮被淘汰，情况较多。但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以 考虑利用对立事件进行求解 设 i A为“选手正确回答第i轮问题”，事件A为“选手被淘汰” 123 4 3 2101 111 5 5 5125 P AP AP A A A （2）思路：可取的值为1,2,3，
5、可知若想多答题，则需要前面的问题均要答对，所以1 时，则第一题答错；2时，则第一题答对且第二题答错（若第二题答对则需要答第三题） ； 3时，则第一题答对且第二题答对（第三题无论是否正确，均已答三题） ，分别求出概率 即可 解：可取的值为1,2,3 1 1 5 P 428 2 5525 P 4312 3 5525 P 的分布列为 1 2 3 P 1 5 8 25 12 25 181257 123 5252525 E 例 2：某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要 进行比赛，根据规则：每两支队伍之间都要比赛一场；每场比赛胜者得3分，负者得0分，没 有平局，获得
6、第一名的将夺得这个参赛名额已知乙队胜丙队的概率为 5 1 ，甲队获得第一名 的概率为 6 1 ，乙队获得第一名的概率为 15 1 （1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率 21,P P； （2）设在该次比赛中，甲队得分为X，求X的分布列及期望 （1）思路：解决 21,P P要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。若甲队第一名， 则甲战胜乙且战胜丙， 即 12 1 6 PP ； 若乙队第一名， 则乙战胜甲且战胜丙， 即 1 11 1 515 P， 两个方程即可解出 12 21 , 34 PP 解：设事件A为“甲队获第一名”，则 12 1 6 P APP 设事件B为“乙队获第一名”，则 1 11
7、 1 515 P BP 解得： 12 21 , 34 PP （2）思路：依题意可知X可取的值为0,3,6，0X 即两战全负；3X 即一胜一负，要分 成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；6X 即两战全胜；分别求出概率即可。 X可取的值为0,3,6 12 1 011 4 P XPP 1212 7 311 12 P XPPP P 12 1 6 6 P XPP X的分布列为 X 0 3 6 P 1 4 7 12 1 6 17111 036 41264 EX 例 3：甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用 7 场 4 胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影 响，只要有一队获胜 4 场就结束比赛 现已比赛
8、了 4 场，且甲篮球队胜 3 场 已知甲球队第 5， 6 场获胜的概率均为 5 3 ，但由于体力原因，第 7 场获胜的概率为 5 2 （1）求甲队分别以2:4，3:4获胜的概率； （2）设 X 表示决出冠军时比赛的场数，求 X 的分布列及数学期望 （1）思路：前四场比赛甲乙比分为3:1，根据 7 场 4 胜制可知，甲再赢一场比赛立刻结束， 所以要想获得2:4，3:4，必须在甲赢一场之前，乙获得比分。所以若比分为2:4，则第 5 场乙胜，第 6 场甲胜；若比分为3:4，则第5,6场均乙胜，第 7 场甲胜，用概率的乘法即可求 出两个比分的概率 解：设事件 i A为“甲队在第i场获胜”，则 567
9、32 , 55 P AP AP A 设事件A为“甲队 4：2 获胜”，事件B为“甲队 4：3 获胜” 56 2 36 5 525 P AP A A 567 2228 5551 2 5 P BPA A A （2）思路：比赛的场数取决于甲是否取胜，所以X可取的值为5,6,7，若5X ，则甲4:1 获胜，即胜第五场；若6X 则甲4:2获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；若7X ，则只 需前六场打成3:3即可，所以只需乙连赢两场。分别计算概率即可得到分布列和期望 比赛场数X可取的值为5,6,7 5 3 5 5 P XP A 56 6 6 25 P XP A A 56 2 24 7 5 525 P XP A
10、 A X的分布列为 X 5 6 7 P 3 5 6 25 4 25 364139 567 5252525 EX 例 4：甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是 3 1 ，规定有一方累计 2 胜或者累计 2 和时，棋局结束。棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；若一方累计 2 胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。设结束时对弈的总局数为 X （1）设事件A：“3X 且甲获得冠军”，求 A 的概率； （2）求 X 的分布列和数学期望。 （1）思路：事件A代表“对弈 3 局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和 或一胜一负（胜负先后顺序均可） 。按照这几种情况
11、找到对应概率相乘即可 解：设事件 i A为“甲在第i局取胜”，事件 j B为“第j局和棋”， 事件 k C为“乙在第k局取胜” 123123123123 P AP A A AP AA AP B B BP BB B 1212111212118 33333333333327 （2）思路：依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行 4 次比赛，最少进 行 2 次比赛，故X可取的值为2,3,4；在这些值中2,4XX包含情况较少，2X 即为 相同的结果出现两次， 以甲为研究对象， 则情况分为“两胜”， “两负”， “两和”三种情况。4X 即为前三场“胜负和”均经历一次， 所以概率 3 3 1
12、 1 12 4 3 3 39 P XA。 对于3X 的情况， 由于种类较多，所以利用分布列概率和为 1 的性质用124P XP X进行计算 X可取的值为2,3,4 121212 1111111 2 3333333 P XP A AP B BP CC 3 3 1 1 12 4 3 3 39 P XA 4 3124 9 P XP XP X X的分布列为 X 2 3 4 P 1 3 4 9 2 9 14226 234 3999 EX 小炼有话说：在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么 可以考虑先计算出其他取值的概率，再用 1 减去其他概率即可 例 5：某电视台举办的闯关
13、节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败 即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次 机会） ，已知某人前三关每关通过的概率都是 2 3 ，后两关每关通过的概率都是 1 2 （1）求该人获得奖金的概率 （2）设该人通过的关数为X，求随机变量X的分布列及数学期望 （1）思路：若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过， 借助机会再次通过。分别计算概率再相加即可 解：设事件 i A为“第i关通过”，事件A为“获得奖金” 12345123445123455 P AP A A A A AP A A A A A AP A
14、A A A A A 3233 21211121114 323222322227 （2）思路：依题意可知X的取值为0,1,2,3,4,5，其中前三关失败即结束，所以0X 为第 一关失利； 1X 为第一关通过且第二关失利；2X 为第二关通过且第三关失利；3X 为第三关通过且第四关失利两次；4X 为第四关通过且第五关失利两次；5X 为五关全 部通过获得奖金（即第一问的结果） ，其中由于4X 情况较为复杂，所以考虑利用 101235P XP XP XP XP X 进行处理 X的取值为0,1,2,3,4,5 1 1 0 3 P XP A 12 2 12 1 3 39 P XP A A 123 2 2 1
15、4 2 3 3 327 P XP A A A 32 12344 212 3 3227 P XP A A A A A 4 5 27 P XP A 2 4101235 27 P XP XP XP XP XP X X的分布列为： 0 1 2 3 4 5 P 1 3 2 9 4 27 2 27 2 27 4 27 12422416 012345 39272727279 EX 例 6:：袋中装有黑球和白球共 7 个，从中任取 2 个球都是白球的概率为 1 7 。现有甲、乙两人 从袋中轮流、不放回地摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取直到袋中的球取完即终 止。若摸出白球，则记 2 分，若摸出黑球，则记
16、 1 分。每个球在每一次被取出的机会是等可 能的。用表示甲，乙最终得分差的绝对值 （1）求袋中原有白球的个数； （2）求随机变量的概率分布列及期望E （1）思路：可先设白球个数为n，已知事件“两球都是白球”的概率，可用古典概型进行表示， 进而得到关于n的方程，解出3n 解：设袋中原有白球的个数为n，事件A为“取出两个白球” 2 2 2 7 1 3 7 n n C P AC C 可解得3n （2）思路：尽管题目描述上是甲，乙轮流取球，但进一步分析可发现在取球过程中，一个人 的取球结果并不影响下一个人的取球，且所求随机变量为取球完成后，两人结果的比较。所 以只需关注甲，乙最后取到的球的个数即可。由
17、（1）可知袋中有 4 个黑球，3 个白球，甲先 取球，所以甲取到 4 个球，甲取球的结果可以是：4 黑，1 白 3 黑，2 白 2 黑，3 白 1 黑，对 应的分数为4分，5分，6分，7分，剩下的球属于乙，所以乙对应的情况为 3 白，2 白 1 黑， 1 白 2 黑， 3 黑， 分数为6分，5分，4分，3分。 所以甲乙分数差的绝对值可取的值为0,2,4， 再分别求出概率即可。 可取的值为0,2,4 31 43 4 7 12 0 35 CC P C 422 443 4 7 19 2 35 CCC P C 13 43 4 7 4 4 35 CC P C 故的分布列为： 0 2 4 P 12 35
18、19 35 4 35 1219454 20024 35353535 E 小炼有话说： （1）本题第（2）问的亮点在于，分析过程的特点后，直接从结果入手，去分析 两人所得球的情况，忽略取球的过程，从而大大简化概率的计算 （2）本题要注意甲取球的结果就已经决定乙的结果，所以在计算概率时以甲的取球结果为研 究对象。 例 7：某校举行中学生“珍爱地球 保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初 赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有 5 次答题机会，选手累计 答对 3 题或答错 3 题即终止比赛，答对 3 题者直接进入复赛，答错 3 题者则被淘汰已知选 手甲答对每个题的
19、概率均为 3 4 ，且相互间没有影响 （1）求选手甲进入复赛的概率； （2）设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望 （1）思路：若甲能进入复赛，则要答对三道题，但因为答对 3 题后立即终止比赛，所以要通 过最后一次答题正确进入复赛。答题的次数为 3 次，4 次，5 次，答题 3 次即为全对，答题 4 次，则要在前 3 次答对 2 题，即 2 2 3 31 44 C ，然后第 4 题正确进入复赛；同理，答题 5 次 时，要在前 4 次中答对 2 题，即 22 2 4 31 44 C ，然后第 5 题正确。 解：设事件A为“甲进入复赛” 3222 22 34 3313313459
20、 4444444512 P ACC （2）思路：首先甲最少答 3 题，最多答 5 题，故X可取的值为3,4,5，要注意答题结束分为 进入复赛和淘汰两种情况。当甲答 3 道题时，可能全对或全错；同理甲答 4 道题时，可能 3 对 1 错或是 3 错 1 对；当甲答 5 道题时，只要前 4 题 2 对 2 错，无论第 5 题结果如何，均答 了 5 道题。分别计算对应概率即可得到X的分布列，从而计算出EX 解：X可取的值为3,4,5 33 31105 3 446432 P X 22 22 33 31313145 4 444444128 P XCC 22 2 4 3127 5 44128 P XC X
21、的分布列为 X 3 4 5 P 5 32 45 128 27 128 54527483 345 32128128128 EX 小 炼 有 话 说 ： 本 题 的 关 键 在 于 对 独 立 重 复 试 验 模 型 概 率 公 式 的 理 解 ： 对 于 1 n k kk kn PC pp ，是指在n次独立重复试验中，没有其它要求，事件A发生k次的概率。 其中 k n C代表n次中的任意k次试验的结果是A。如果对k次试验的结果有一定的要求，则不 能使用公式。例如本题在第（1）问中处理答题 4 次的时候，因为要在第 4 次答题正确，对前 3 次答题没有要求，所以在前 3 次试验中可使用公式计算，而
22、第 4 次要单独列出。若直接用 3 3 4 31 44 C 则意味着只需 4 次答题正确 3 次（不要求是哪 3 道正确）即可，那么包含着前 3 次正确的情况，那么按要求就不会进行第 4 题了。 例 8：甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜， 则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 3 2 ，乙获胜的概率为 3 1 ，各局比赛结 果相互独立. （1）求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率； （2）记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和期望. （1）思路：依题意可知获胜的要求是连胜 2 场，所以可分 2 局，3 局，4 局三种情况，通过 后
23、两场连胜赢得比赛，其余各场按“胜负交替”进行排列 解：设 i A为“甲在第i局获胜”，事件A为“甲在4局以内（含4局）赢得比赛” 121231234 P AP A AP A A AP A A A A 22122212256 33333333381 （2）思路：首先依题意能确定X可取的值为2,3,4,5，若提前结束比赛，则按（1）的想法， 除了最后两场要连胜（或连败） ，其余各场应“胜负交替”。在每个事件中要分甲获胜和乙获胜 两种情况进行讨论 解：X可取的值为2,3,4,5 22 1212 215 2 339 P XP A AP A A 22 123123 122162 3 3333279 P
24、XP A A AP A A A 22 12341234 21212110 4 33333381 P XP A A A AP A A A A 12341234 212112128 5 3333333381 P XP A A A AP A A A A X的分布列为： X 2 3 4 5 P 5 9 2 9 10 81 8 81 52108224 2345 99818181 EX 例 9：甲乙两人进行象棋比赛，规定：每次胜者得 1 分，负者得 0 分；当其中一人的得分比另 一人的得分多 2 分时则赢得这场比赛，此时比赛结束；同时规定比赛的次数最多不超过 6 次， 即经 6 次比赛，得分多者赢得比赛，
25、得分相等为和局。已知每次比赛甲获胜的概率为 2 3 ，乙 获胜的概率为 1 3 ，假定各次比赛相互独立，比赛经次结束，求： （1）2的概率； （2）随机变量 的分布列及数学期望。 （1）思路：2代表比赛经过 2 次就结束，说明甲连胜两局或者乙连胜两局，进而可计算 出概率 解：设事件 i A为“甲在第i局获胜” 22 1212 215 2 339 PP A AP A A （2） 思路： 考虑可取的值只能是2,4,6（因为奇数局不会产生多赢 2 分的情况） ， 当4时， 即甲乙比分为3:1或是1:3（在第 4 局完成多两分） ，所以只能是在前两局打成1:1，然后一 方连赢两局结束比赛。计算出2 ,
26、4PP，即可求出6P 解：可取的值为2,4,6 5 2 9 P 1234123412341234 4PP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A 2222 21221112212120 = 33333333333381 16 6124 81 PPP 的分布列为： 2 4 6 P 5 9 20 81 16 81 52016266 246 9818181 E 例 10：某学校在一次运动会上，将要进行甲、乙两名同学的乒乓球冠亚军决赛，比赛实行三 局两胜制.已知每局比赛中，若甲先发球，其获胜的概率为 2 3 ，否则其获胜的概率为 1 2 （1）若在第一局比赛中采用掷硬币的
27、方式决定谁先发球，试求甲在此局获胜的概率； （2）若第一局由乙先发球，以后每局由负方先发球.规定胜一局记 2 分，负一局记 0 分，记 为比赛结束时甲的得分，求随机变量的分布列及数学期望E. （1）思路：本题甲获胜的概率取决于谁先发球，即为发球权确定的前提下的条件概率。若甲 获得发球权，则获胜的概率为 121 233 ，如果甲没有发球权，则获胜的概率为 111 224 ， 所以甲获胜的概率为 117 3412 解：设事件A为“甲获得胜利” 12117 232212 P A （2）思路：本题要注意发球权的不同，所使用的概率也不一样，所以要确定每一局的胜负以 决定下一局甲获胜的概率。比赛实行三局两
28、胜，所以甲可能的得分为4,2,0，若甲的得分为4 分，则为连胜两局结束比赛或 2:1 赢得比赛，胜利的情况分为“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲”三 种情况，结合着发球规则可得： 111 1 21 2 17 4 222 2 32 3 212 P，依次类推便可 计算出其它情况的概率，进而得到分布列 解：可取的值为4,2,0 4时，比赛的结果为：“甲甲”，“甲乙甲”，“乙甲甲” 111 1 21 2 17 4 222 2 32 3 212 P 2时，比赛的结果为：“乙甲乙”，“甲乙乙” 1211 1 11 2 2322 2 34 P 0时，比赛的结果为：“乙乙” 111 0 236 P 的分布列为： 0 2 4 P 1 6 1 4 7 12 11717 024 64126 E
