1、第10章 时频分析与小波变换第10章 时频分析与小波变换10.1 引言10.2 信号的时频域分析10.3 小波变换10.4 小波反变换及小波容许条件10.5 多分辨率分析10.6 离散小波变换和数字滤波器组10.7 WVD、STFT Spectrogram和Scalogram的关系第10章 时频分析与小波变换10.1 引引 言言图10.1显示了一个语音信号的波形，图下部是五岁男孩发“Hood”音时的时间波形，右部为标准功率谱，其中隐含了四个频率分量。从图10.1可知，单从频谱或单从时域，我们都无法看出信号的频率随时间变化的变化规律。但其上方的时变谱图，即一个时间和频率函数则清楚地描述了信号频率
2、的变化情况。由此图不仅可以看出频率随时间的变化规律，而且可以通过图中所显示的相对亮度辨别信号的频率分布密度。第10章 时频分析与小波变换图 10.1 “Hood”音的时频谱第10章 时频分析与小波变换 10.2 信号的时频域分析信号的时频域分析10.2.1 短时傅立叶变换短时傅立叶变换(STFT)STFT可以克服传统傅立叶变换的局限，用一个时频域聚集性都较好的基本函数集t，()=(t)ej与信号比较，从而分析展开信号，这就是STFT的基本思想。即给定一个信号s(t)L2(R)，其STFT为(10.2.1),jjSTFT(,)()()d()()ed(),()e ttsstst这个内积公式反映了信
3、号s(t)与基本函数(t)ej之间的相似程度，(t)函数通常时间持续期较短，往往被称为窗函数。所以式(10.2.1)称为短时傅立叶变换(STFT)或窗口傅立叶变换。第10章 时频分析与小波变换STFT的含义可解释为:在时域用窗函数(t)去截信号s(t)，对截下来的局部信号作傅立叶变换，即得到t时刻该段信号的傅立叶变换。由于窗函数(t)时间持续期较短，s()*(t)的傅立叶变换反映了信号的局部频域特性。不断地移动t，也即不断地移动窗函数(t)的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。这些傅立叶变换的集合，即是STFTx(t，)，如图10.2所示。显然，STFT(t，)是变量(t，)的二维函数。第
4、10章 时频分析与小波变换图 10.2 短时傅立叶变换第10章 时频分析与小波变换我们还可以从另外一个概念来理解STFT。STFT变换中将信号与在时频域中都是有限支撑的基本函数序列(t)ej作内积。若函数(t)集中于t=0处，它的傅立叶变换()集中于=0处，则基函数序列t，()的时间中心0=t(注意，t是移位变量)，其时宽为(10.2.2)22222,()|()|d|()|d ttt即t，()的时间中心由t决定，但时宽和t无关。同理，t,()的傅立叶变换t，()的频率中心0=,而频宽(10.2.3)2222211,22()|()|d|()|d t也和中心频率无关。第10章 时频分析与小波变换那
5、么式(10.2.1)中的STFT(t，)就表示了信号在tt,t+t，+邻域内的特性。不确定性原理不确定性原理 如果，当|t|时，有(10.2.4)()0ts t 则12 t(10.2.5)其中，t、分别是时宽和频宽，要使等号成立，要求s(t)为高斯函数，即(10.2.6)2()ets tA第10章 时频分析与小波变换证明:由式(10.2.2)和式(10.2.3)有:(10.2.7)222()d tts tt2221()d2 S(10.2.8)那么有(10.2.9)2222221()d()d2 tt s ttS令S()=H()，代入式(10.2.9)有(10.2.10)22221()d()*()
6、d2 tt s tth t htt其中我们采用了Parseval关系。由傅立叶变换的导数的性质得(10.2.11)d()j()d Ss tt第10章 时频分析与小波变换把式(10.2.11)代入式(10.2.10)可得(10.2.12)22222d()d()dd tt s tts ttt由Schwarz不等式可得(10.2.13)2222dd()d()d()()dddt s tts ttts ts tttt因为222d1d()11()()d()d()dd2d222 tstts ts tttsttstttt(10.2.14)第10章 时频分析与小波变换把式(10.2.14)插入式(10.2.13
7、)中，可以得到不确定不等式关系式(10.2.5)。如果式(10.2.5)为等式，那么式(10.2.13)必须是等式，仅当s(t)=kts(t)，也就是s(t)如式(10.2.6)所示时等号才成立。由此可见，STFT的时域和频域的性能是互相矛盾的。如果选择(t)使得时域具有较高的分辨率(t变小)，那么频率分辨率就会恶化(变大)。反之，如果选择(t)使得频域分辨率变好(变小)，不可避免地就会降低时域性的分辨率(t较大)。在给定(t)的情况下，STFT的基函数t，()具有时-频平面上的一个如下的分辨“细胞”:其中心在(t，)处，大小为t，不管(t，)取何值(即移到何处)，该“细胞”的面积始终保持不变
8、。该面积的大小即是STFT的时-频分辨率，如图10.3所示。第10章 时频分析与小波变换图 10.3 STFT的时-频分辨率第10章 时频分析与小波变换STFT的平方即|STFT|2，被称为STFT Spectrogram(短时傅立叶变换谱图)。STFT Spectrogram是简单和有用的时频谱，它是信号的二次函数，粗略地描述了信号在联合时频域内的能量分布。尽管一般STFT是复数的，但STFT Spectrogram是实函数。第10章 时频分析与小波变换例例10.1 设x(t)由两个高斯幅度线性调频信号组合而成，这两个信号一个时间中心在t1=50处，时宽t1=32，另一个时间中心在t2=90
9、处，时宽t2也是32，调制信号的归一化频率都是0.25，如图10.4(a)和(b)的上部所示。选择g()为Hanning窗，取窗的宽度为55，其STFT如图10.4(a)所示，这时频率定位是准确的，而在时间上分不出这两个“原子”信号的时间中心。我们将窗函数的宽度减为13，所得STFT如图10.4(b)所示，这时，在时间上也实现了两个中心的定位。可以看到，由于受不定原理的制约，我们对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。第10章 时频分析与小波变换图 10.4 窗函数宽度对时频分辨率的影响第10章 时频分析与小波变换为了可以应用数字信号处理，必须将STF
10、T推广到离散时间信号。在实际处理中，STFT中的傅立叶变换被替换为离散傅立叶变换，其结果是STFT在时频域内均为离散，因而适用于数字处理，即(10.2.15)12,0STFT,STFT(,)LniLnt k tiL tk ns iik Wt其中，t代表时域采样间隔，k(kt)是L点窗函数。式(10.2.15)称为离散STFT，以区别于在频域内连续的离散时间STFT。不难证明离散STFT在频域内的周期函数 STFTk，n=STFTk，n+lL，l=0，1，2，3，与连续时间STFT类似。需指出的是，任意二维离散函数一般不一定是有效的离散短时傅立叶变换。第10章 时频分析与小波变换10.2.2 W
11、igner分布分布(WVD)描述信号频域状态的表示方法主要有两种:一种是线性表达(如傅立叶变换)，另一种是二次表达(如功率谱)。前面我们讨论了线性的联合时频表达:STFT。本节我们将讨论一种二次或双线性联合时频表达Wigner分布(WignerVille Distuibution)。信号s(t)、g(t)的傅立叶变换分别是S(j)、G(j)，那么，s(t)、g(t)的联合Wigner分布定义为(10.2.16)j,22 eds gWts tgt信号s(t)的自Wigner分布定义为(10.2.17)j,22 edsW ts tst第10章 时频分析与小波变换定义瞬时自相关函数为(10.2.18
12、)*(,)()()22ssRts ts t则式(10.2.16)又可表示为(10.2.19)jWVD(,)(,)edssstRt可以证明(10.2.20)(10.2.21)*,WVD(,)WVD(,)s gg stt而*WVD(,)WVD(,)sstt所以自Wigner分布是实的。第10章 时频分析与小波变换式(10.2.16)和式(10.2.17)给出了如何利用信号s(t)和g(t)来得到Wigner分布，我们同样也可以从频域来描述WVD。令:则对应的傅立叶变换是*11()(),()()22s ts tg tg tj2*j21111()()2(2)e,()()2(2)ettsSSgGG*j,
13、j1111*j(42)WVD(,)()()ed22 ()()ed ()()4 (2)22 ed2s gtts tg tsgSGSG根据卷积理论，式(10.2.16)变形为第10章 时频分析与小波变换令2=+/2，则(10.2.22)*j,1WVD(,)()()ed222ts gtSG其中，。则自Wigner分布Auto-WVD为jj()()ed,()()edttSs tt Gg tt(10.2.23)*j1WVD(,)()()ed222tstSS例例10.2 求高斯函数的Wigner分布:(10.2.24)2142()ets t其中，s(t)是单位能量的归一化高斯函数，对应的WVD是22221
14、2()()j2222()WVD(,)eeed2ettstt(10.2.25)第10章 时频分析与小波变换表明高斯函数的WVD集中在原点(0，0)处，即信号的时频中心。参数控制WVD在时频域内的扩展。越大，则WVD在时域内展开越小，在频域内展开越大，反之亦然。WVD的等高线图由一系列同心椭圆组成，等高线下降到e1的椭圆如图10.5所示，其面积为。与例10.1的STFT Spectrogram比较，WVD分解更稳定，不受窗函数的影响。对于STFT，最小椭圆面积(即等高线降到峰值的e1倍时)是A=2，为WVD的最小椭圆面积的两倍。换句话说，如果用面积A作为标准，WVD的分辨率比STFT Spectr
15、ogram高两倍。很容易证明式(10.2.25)同时满足时域、频域边缘条件。第10章 时频分析与小波变换图 10.5 聚集在(0，0)的高斯函数的WVD 分布第10章 时频分析与小波变换10.2.3 Wigner分布的性质分布的性质Wigner分布有一系列有用的性质，这是它得到广泛应用的主要原因，现分别予以讨论。1.时移时移 s(t)WVDs(t，)则(10.2.26)000()()WVD(,)ss ts ttt00WVD(,)WVD(,)ssttt第10章 时频分析与小波变换2.频率调制频率调制00j0()WVD(,)()()eWVD(,)stss tts ts tt则00WVD(,)WVD
16、(,)sstt(10.2.27)第10章 时频分析与小波变换3.边缘条件边缘条件时间边缘:(10.2.28)*j2*11WVD(,)d()()edd222 2 ()()()d()22 sts ts ts ts ts t频率边缘:(10.2.29)*jj*2jWVD(,)d()()ed d22 e()()d d22 e()d()stts ts tts ts ttRS第10章 时频分析与小波变换4.时间尺度时间尺度令x(t)=x(t)，此处为大于零的常数，则)/,(|1),(tWtWxx第10章 时频分析与小波变换5.信号的相乘信号的相乘令y(t)=x(t)h(t)，则de2222),(j*tht
17、xthtxtWydtWtWtWtWtrtrhxhxhx),(),(21),(*),(21de),(),(j可以看出，两个信号积的自WVD等于这两个信号各自的WVD在频率轴上的卷积。我们可以对无限长的信号加窗截短，这样只会影响其频率分辨率，而不影响其时域分辨率。第10章 时频分析与小波变换6.信号的滤波信号的滤波令y(t)=x(t)*h(t)，则d),(),(),(*),(),(tttWtWtWtWtWhxhxy7.瞬时频率性质瞬时频率性质令s(t)=A(t)ejj(t)，幅度A(t)和相位j(t)都是实函数，j(t)是信号的瞬时频率(均值瞬时频率)。对于Wigner分布而言，可以证明(10.2
18、.30)211WVD(,)dWVD(,)d22()()1()WVD(,)d2jsssttttttA ttt第10章 时频分析与小波变换也就是说在t时刻，WVD的均值瞬时频率等于原信号的均值瞬时频率。这一性质十分重要，以前我们讨论的STFT和WT的谱图都不具备这样的性质。通常，我们利用瞬时频率特性式(10.2.30)来衡量时变谱是否能反映信号频率分量的变化。对于理想时变谱，我们总希望满足(10.2.31)(,)d()(,)djP ttP t值得注意的是，Spectrogram和Scalogram均不满足式(10.2.31)。第10章 时频分析与小波变换8.群时延性质群时延性质假设，则相位一阶导数
19、的关系式2j()被称为群时延。对于Wigner-Ville分布，可以证明j()()()()ej Fs tSB(10.2.32)2WVD(,)dWVD(,)d2()WVD(,)d()j sssttttttttS上式表明WVD的条件均值时间等于群时延。尽管其他许多时变谱也拥有WVD的所有有用特性，但没有一种谱能像WVD那样给高斯包络信号提供如式(10.2.25)般理想的表达形式。即使有的谱可能满足边缘条件和瞬时频率特性，但它们存在负值，而且不像式(10.2.25)那样集中。第10章 时频分析与小波变换式(10.2.25)表明在任意时间都存在多个频率分量。也就是说，瞬时频率不是时间的单值函数。信号能
20、量是以均值瞬时频率为中心发散的，瞬时带宽并不是零。实际上，这一结论不仅对上面的例子成立，而且对任何能量有限的信号均成立。那么，什么是瞬时带宽，信号能量又是怎样关于均值瞬时频率j(t)发散的呢？因为式(10.2.25)所示的WVD非负，所以我们可以用条件方差来衡量瞬时带宽。例如:22221(2)22()WVD(,)dWVD(,)d1e()ed2()tststtttts t第10章 时频分析与小波变换不幸的是，除了少数情况外，一般WVD会产生负值。其结果是我们不能用传统的方差概念来衡量瞬时带宽。当WVD是负值时，它的条件方差(或信号能量的发散)也会产生负值，这显然是无意义的。所以计算瞬时带宽时一定
21、要小心。最后，正如短时傅立叶变换一样，并非所有时变函数P(t，)都是WVD分布。例如:001(,)0ttP t且其它(10.2.33)该式就不是一个有效的WVD分布，因为没有信号会在时域和频域内同时集聚。第10章 时频分析与小波变换10.2.4 WVD的交叉项的交叉项设信号s(t)=s1(t)+s2(t)，则有(10.2.34)1212,WVD(,)WVD(,)WVD(,)2Re WVD(,)ssss stttt例例10.3 两个复正弦信号和的Wigner分布。两个复正弦信号的和s(t)=s1(t)+s2(t)=ej1t+ej2t，该信号的传统功率谱为P()=2(1)+2(2)(10.2.35
22、)而其WVD为(10.2.36)WVDs(t,)=2(1)+2(2)+4()cos(dt)第10章 时频分析与小波变换其中，=(1+2)/2，d=12，分别表示两复正弦信号在频域内的几何中心和距离，如图 10.6所示。对于信号s1(t)=ej1t，其Wigner分布为000j()j()j22j()0WVD(,)eeeded2()ttst(10.2.37)第10章 时频分析与小波变换图 10.6 两个正弦信号和的WVD分布第10章 时频分析与小波变换这就是说，其WVD是聚集在频率0处的，这正是我们所期望的结果。所以式(10.2.36)中的前两项是信号在频率1、2处的自项，而第三项则是在频率处出现
23、的一个强交叉项。与两自项不同，交叉项不满足非负性，而是以频率d振荡的。但交叉项的时间积分却为零，即(10.2.38)4()cos()d0,0 ddtt交叉项的幅度是自项的两倍，而d是交叉项振荡的频率，1与2相差越远，交叉项的振荡频率越高。因为式(10.2.36)所示的传统功率谱在频率处没有信息，而且交叉项所含的能量为零，所以通常交叉项被认为是干扰项。第10章 时频分析与小波变换例例10.4 两个高斯函数和的WVD。假设信号s(t)含有两个调频高斯信号，一个集中在(t1,1)，另一个集中在(t2,2)，即(10.2.39)2124()j21()eiit ttis t则(10.2.40)22221
24、2()()11()()WVD(,)2e4ecos()()iit tsit tdddttttt第10章 时频分析与小波变换如图10.7所示，显然可以看到信号的自项是非负的，交叉项位于两个自项的中间(t，)，而且交叉项沿时间和频率轴两个方向都有振荡，振荡幅度是自项的两倍，振荡离开振荡中心(t，)后就按指数衰减。振荡频率正比于td和d，其包络也是高斯型的。例10.4描述了交叉项的机理。实际上，交叉项反映了对应自项对的互相关性，它的位置及振荡频率都由自项的时间、频率中心决定。如果已知自项的位置，则可以准确描述出对应的交叉项。对于两个高斯函数的和函数，其自项和交叉项都是对称的，且在联合时频域内聚集。为了
25、研究交叉项对信号有用特性的影响，我们可以计算一些有用特性。第10章 时频分析与小波变换图 10.7 在两自项之间(t，)处出现交叉项第10章 时频分析与小波变换例如，利用式(10.2.40)，求出其时间边缘条件:222222()cos()()2412()()21|()|e2ee e()ecos()didiitt ttt tit tt tddis tA tt(10.2.41)第一项是对非负自项的求和，第二项是振荡的交叉项，振荡频率d与两自项在频域内的距离成正比。幅度A(t2d)随着两自项在时域内的距离的增大而呈指数衰减，也就是说，两自项相距越远，则交叉项所含能量越小。同样可以证明其他性质也成立，
26、比如容易证明只有相距较近的自项产生的交叉项才对均值瞬时频率有较大影响。第10章 时频分析与小波变换10.2.5 平滑的平滑的WVD和解析信号的和解析信号的WVD在前面几节我们已经看到，多分量和信号的WVD是自项和交叉项的线性组合。其中通常自项是比较平滑的，而交叉项总有比较明显的振荡。因此，我们可以用一个低通滤波器H(t，)作用于WVD，以便减小交叉项的干扰:(10.2.42)SWVD(,)WVD(,)(,)d dsstx y H txyxy由于低通滤波器的作用等价于“平滑”操作，因此式(10.2.42)被称为平滑WVD(Smoothed WignerVille Distribution，SWV
27、D)。通常，低通滤波可以在很大程度上抑制交叉项；但另一方面，平滑又降低了分辨率。所以在平滑度与分别率之间存在一种折中。第10章 时频分析与小波变换式(10.2.42)也可以用于其他双线性变换Cs(t，)，即任何双线性变换均可以表示为WVDs(t，)与某个二维滤波器H(t，)的卷积:(10.2.43)(,)WVD(,)(,)d dssC tx y H txyxy然而，只有H(t，)是一个低通滤波器时，该变换才有平滑的作用。反之，Wigner分布也可以表示为某个双线性变换Cs(t，)与一个二维滤波器G(t，)的卷积，即(10.2.44)WVD(,)(,)(,)d dsstC x y G txyxy
28、除非G(t，)是一个低通滤波器，否则这一操作不会对Cs(t，)有平滑作用。第10章 时频分析与小波变换通常，我们遇到的大多数信号是实信号，而实信号的频谱总是共轭对称的，这时，功率谱仅有一半含有信息量，另一半是冗余分量。对于实信号，它的负频分量不仅引起冗余，还会造成交叉项。为了减少交叉项干扰，Boashash提出使用解析信号的WVD。因为解析信号是单边带信号，对应的WVDa(t，)避免了所有与负频分量有关的交叉项。由于解析信号没有负频谱，所以就没有正负频谱之间的交叉项。图 10.8和图 10.9分别描述了跳频实信号的WVD和相应解析信号的WVDa。显然，解析信号的WVD的效果有明显改善。第10章
29、 时频分析与小波变换图 10.8 跳频信号(实信号)的WVD变换第10章 时频分析与小波变换图 10.9 跳频信号(解析信号)的WVD变换第10章 时频分析与小波变换然而，解析信号与原信号在许多方面都不一样。例如，时域有限的实信号，它的解析信号不再是时域有限的，因为解析信号在频域内是带限的。因此，在应用解析函数时要小心，虽然解析函数与对应实信号的正功率谱相同，但它的瞬时特性与原信号截然不同。WVDa和WVD的关系可描述为*j2*j21WVD(,)()()ed2221 ()()ed222taaattSSSS等价于*j1WVD(,)()()()ed222tatHSS(10.2.45)第10章 时频
30、分析与小波变换其中，H()是一个理想的低通滤波器(是一维低通，在频域内的门函数)，截止频率为2。按卷积定理，有1sin(2)WVD(,)WVD(,)d astt(10.2.46)即是WVD与理想频率低通滤波函数sin(2t)/t的卷积。由此可见，解析过程会导致信号WVD在时间轴方向的弥散，而且WVD低频部分比高频部分扩展得宽。所以WVDs的所有时域特性都受到破坏，如时域边缘条件和瞬时频率特性，但是WVDa损失有用特性换来的好处是交叉项干扰的减少。第10章 时频分析与小波变换 10.3 小波变换小波变换10.3.1 连续小波变换的定义连续小波变换的定义给定一个基本函数(t)，令窗函数,1()()
31、a btbtaa(10.3.1)式中a、b均为常数，且a0。显然，a,b(t)是基本函数(t)先作移位再作伸缩以后得到的。若a、b不断地变化，我们可得到一族函数a,b(t)。式(10.3.1)中，b的作用是确定对x(t)分析的时间位置，也即时间中心。尺度因子a的作用是把基本小波(t)作伸缩，由(t)变成(t/a)。第10章 时频分析与小波变换当a1时，若a越大，则(t/a)的时域支撑范围(即时域宽度)较之(t)变得越大；当a0)，(t/a)始终保持了和(t)具有相同的品质因数。恒Q性质是小波变换的一个重要性质，也是区别于其他类型的变换且被广泛应用的重要原因。图10.11说明了()和(a)的带宽
32、及中心频率随a变化的情况。由图10.10和图10.11，我们可看到小波变换在对信号分析时有如下特点:当a变小时，对x(t)的时域观察范围变窄，但对X()在频率观察的范围变宽，且观察的中心频率向高频处移动。反之，当a变大时，对x(t)的时域观察范围变宽，频域的观察范围变窄，且分析的中心频率向低频处移动。将图10.10和图10.11所反映的时频关系结合在一起，我们可得到在不同尺度下小波变换所分析的时宽、带宽、时间中心和频率中心的关系，如图10.12所示。第10章 时频分析与小波变换图 10.11 (a)随a变化的说明第10章 时频分析与小波变换图 10.12 a取不同值时小波变换对信号分析的时-频
33、区间第10章 时频分析与小波变换由式(10.3.2)，定义(10.3.5)221WT(,)()()dxtba bx ttaa为信号的“尺度图(scalogram)”。它也是一种能量分布，但它是随位移b和尺度a的能量分布，而不是简单地随(t，)的能量分布的，即我们在前面所讨论的时频分布。但由于尺度a间接对应频率(a小对应高频，a大对应低频)，因此，尺度图实质上也是一种时频分布。由于小波变换具有恒Q性质及自动调节对信号分析的时宽/带宽等一系列突出优点，因此也被人们称为信号分析的“数学显微镜”。第10章 时频分析与小波变换10.3.3 几种小波基函数几种小波基函数1.Haar小波小波Haar小波来自
34、于数学家Haar于1910年提出的Haar正交函数集，其定义是(10.3.6)1,()1,0,t01/21/21tt其它其波形如图10.13所示。(t)的傅立叶变换是(10.3.7)2j/24()jsin()e a第10章 时频分析与小波变换图 10.13 Harr小波第10章 时频分析与小波变换2.Morlet小波小波Morlet小波定义为2/2j()eettt(10.3.8)其傅立叶变换为(10.3.9)20()/2()2 e 它是一个具有高斯包络的单频率复正弦函数。考虑到待分析的信号一般是实信号，所以在MATLAB中将式(10.3.9)改造为(10.3.10)2/20()ecosttt第
35、10章 时频分析与小波变换并取0=5。该小波不是紧支撑的，理论上讲，可取+。但是当0=5，或再取更大的值时，(t)和()在时域和频域都具有很好的集中，如图10.14所示。Morlet小波不是正交的，也不是双正交的，可用于连续小波变换。但该小波是对称的，是应用较为广泛的一种小波。第10章 时频分析与小波变换图 10.14 Morlet小波第10章 时频分析与小波变换3.Mexican hat小波小波该小波的中文名字为“墨西哥草帽”，又称Marr小波。它定义为(10.3.11)22/2()(1)ettct式中，其傅立叶变换为1/423c(10.3.12)22/2()2e c该小波是由一高斯函数的二
36、阶导数所得到的，它沿着中心轴旋转一周所得到的三维图形犹如一顶草帽，故由此而得名。其波形和其频谱如图 10.15所示。第10章 时频分析与小波变换该小波不是紧支撑的，不是正交的，也不是双正交的，但它是对称的，可用于连续小波变换。由于该小波在=0处有二阶零点，因此它满足容许条件，且该小波比较接近人眼视觉的空间响应特征，因此它在1983年即被用于计算机视觉中的图像边缘检测14。第10章 时频分析与小波变换图 10.15 墨西哥草帽小波第10章 时频分析与小波变换4.Gaussian小波小波高斯小波是由一基本高斯函数分别求导而得到的，定义为2/2d()e,1,2,8dktktckt(10.3.13)式
37、中定标常数是保证|(t)|2=1。该小波不是正交的，也不是双正交的，也不是紧支撑的。当k取偶数时，(t)正对称；当k取奇数时，(t)反对称。图10.16给出了k=4时(t)的时域波形及对应的频谱。第10章 时频分析与小波变换图 10.16 高斯小波，取k=4第10章 时频分析与小波变换10.4 小波反变换及小波容许条件小波反变换及小波容许条件定理定理1 设x1(t)、x2(t)和(t)L2(R)，x1(t)、x2(t)的小波变换分别是和，则1WTx2WTx)(),(d),(WT),(WT212*021txtxcdbaababaxx(10.4.1)式中20()d c()为(t)的傅立叶变换。证明
38、：证明：由小波变换的频域定义，式(10.4.1)的左边有第10章 时频分析与小波变换XXaaaaXXaaaaXXaabaaXXaabaaaXaXabbd)()()d(|)(|21d|)(|)()(2ddd)()()()()(2ddedd)()()()(4dddde)()(de)()(4*21202*210*210)j(*21202j*2j*120假定积分caaad|)(|)d(|)(|2020存在，再由Parseval定理，上述的推导最后为)(),(d)()(2121*21txtxcXXc第10章 时频分析与小波变换定理定理2 设x(t)，(t)L2(R)，记()为(t)的傅立叶变换，若(10
39、.4.2)0cd|)(|2则x(t)可由其小波变换WTx(a，b)来恢复，即(10.4.3)batbaactxbaxdd)(),(WT1)(,20证明证明:设x2(t)=(tt)，则x1(t)，x2(t)=x(t)abtatabtttabax1d)(1),(WT2第10章 时频分析与小波变换将它们分别代入式(10.4.1)的两边，再令t=t，于是有batbaactxbaxdd)(),(WT1)(,20得证。定理定理3 设(a0，b0)是(a，b)平面上的任一点，建立在(a，b)上的二维函数WTx(a，b)是某一函数的小波变换的充要条件是它必须满足如下的重建核方程，即(10.4.5)200000
40、WT(,)WT(,)(,;,)d dxxa baa b ka b a ba b式中，WTx(a0，b0)是WTx(a，b)在(a0，b0)处的值。第10章 时频分析与小波变换(10.4.6)0000,1(,;,)()()da ba bka b a btttc00,1(),()a ba bttc称为重建核。证明证明:由式(10.3.2)小波变换的定义，有,WT(,)()()dxa ba bx ttt将式(10.4.3)代入该式，有第10章 时频分析与小波变换00200,01WT(,)WT(,)()d d()dxxa ba ba baa bta bttc002,01WT(,)()()d d dxa
41、 ba baa bttta bc002,01WT(,)(),()d dxa ba baa btta bc此即式(10.4.5)和式(10.4.6)。第10章 时频分析与小波变换10.5 多分辨率分析多分辨率分析设Vm，mZ是L2(R)空间中的一系列闭合子空间，如果它们满足如下六个性质，则称Vm，mZ是一个多分辨率分析：(1)(m，k)Z2，若x(t)Vm则x(t2mk)Vm;(2)mZ，Vm Vm+1，即V0 V1 V2VmVm+1；(3)mZ，若x(t)Vm，则x(2t)Vm+1;(4);0lim0mmmmVV(5);()Closure(lim20RLVVmmmm第10章 时频分析与小波变换
42、(6)存在一个函数(t)V0，其时移(tn)，nZ就构成了V0中一组正交基底，即)(d)()(*ntntt性质(2)说明，在尺度2m+1(或m+1)时，对x(t)做分辨率为2m1的近似，其结果将包含较低一级分辨率2m时对x(t)近似的所有信息，此即空间的包含。性质(4)说明当m时，分辨率2m0，这时我们将会失去x(t)的所有信息，也即0)(limtxPmm从空间上讲，所有Vm(m=+)的交集为零空间。第10章 时频分析与小波变换由性质(3)，如果(t/2)V0，则(t)V1。根据性质(6)，有常数hn满足：(10.5.1)nnntht)(22对式(10.5.1)两边取傅立叶变换得(10.5.2
43、)22)()()()2(de)(e2de2de)(2de2jj2jjjHHtthtttnthttnttntntnt第10章 时频分析与小波变换其中，()表示(t)的傅立叶变换；H()表示hn的离散傅立叶变换，它在频域是周期的。只要(0)0，那么H(0)=1。这说明H()是一个低通滤波器。如果我们继续进行这样的分解，则有(10.5.3)0(242222)(1HHHHkk通常令(0)=1，也就是说(0)=(t)dt=1，(t)是归一化尺度函数。将式(10.5.3)代入式(10.5.2)有kkH2)(1(10.5.4)第10章 时频分析与小波变换到目前为止我们已经证明正交尺度函数(t)可以通过一个低
44、通滤波器H()来产生，其中H(0)=1，H()=0。为了计算母小波，我们这里引入另一个函数G()，且有H()G*()+H(+)G*(+)=0，(10.5.5)H()和G()对就被称为多分辨率分析中的正交镜像滤波器。式(10.5.5)的一个解是G()=ejH*(+)(10.5.6)将H(0)=1，H()=0代入式(10.5.6)得到G(0)=0和G()=1。这说明G()是一个高通滤波器。从式(10.5.6)可以算得G()的傅立叶反变换为gk=(1)kh1k (10.5.7)第10章 时频分析与小波变换设(t)是一个函数，它的傅立叶变换()满足(10.5.8)kkHGG2222)(于是相应的时间关
45、系是(10.5.9)2(2)(ktgtkkj第10章 时频分析与小波变换10.6 离散小波变换和数字滤波器组离散小波变换和数字滤波器组在前面讨论的基础上，我们可以推论出如果对有限的k有，则s(t)可以完全用下式来表示:ks tV ,k nk nns tctj(10.6.1)因为，式(10.6.1)可以写作:11kkkVVW 0001,0j km nm nm nm nnm mns tctdtkm(10.6.2)利用Parseval等式，我们可得到(10.6.3)*j222,122d22ed2jkkkkknk ncs ttntS第10章 时频分析与小波变换对一个归一化的(t)，也就是(0)=1，当
46、k很大时，式(10.6.3)可以简化为(10.6.4)j222,12ed222kkknk nkncSs这意味着ck，n近似等于信号s(t)在t=2kn时的采样值加上一个2k/2的幅度变化。k值越大，分辨率越高，则误差越小。不失一般性，令(10.6.5),2kk ntncs ns t因为(10.6.6)1*21,1,1*222d2d2 2222djjjkkknknkkiitncs ttts tts thtnit第10章 时频分析与小波变换通过交换求和与积分的次序，式(10.6.6)变为(10.6.7)*1,2,22,2d22jknikn iikn iink iiiichs ttthchc这意味着
47、，一旦ck，n已知，我们就能通过一个低通滤波器H()递归地计算cm，n，其中mk。图10.17图解了式(10.6.7)中的操作。图中低通滤波器后紧跟的模块表示的是2倍的下采样。第10章 时频分析与小波变换图 10.17 通过一个低通滤波器可以由高分辨率系数ck，n递归地计算出低分辨率系数ck1，n第10章 时频分析与小波变换类似地，我们能证明:(10.6.8)1,2,2knink iidgc其中gk是正交镜像滤波器中的高通滤波器，而dm，n是小波序列系数。式(10.6.7)和式(10.6.8)说明我们可以按图10.18所示那样利用数字滤波器组来得到dm，n。有趣的是，对离散采样信号，小波变换可
48、以直接通过利用滤波器组来完成，而不需要计算母小波函数(t)。第10章 时频分析与小波变换图 10.18 通过数字滤波器实现离散小波变换第10章 时频分析与小波变换式(10.6.7)和式(10.6.8)告诉我们，如果给定了高分辨率的系数，我们就可以直接计算低分辨率的系数。反之，我们也可以基于低分辨率系数计算高分辨率系数:(10.6.9),21,21,2m nniminimiiichcgd证明证明由式(10.6.7)和式(10.6.8)，式(10.6.9)的右边可以写作:第10章 时频分析与小波变换21,21,22,22,2222,22121222221niminimiiinikim knikim
49、 kikikm knikinikikin km knikinikikihcgdhhcggcchhggchhhh (10.6.10)为了得到式(10.6.10)，我们不得不证明：(10.6.11)22121221n knikinikiihhhhkn 存在两种情况:n+k是奇数和n+k是偶数。当n+k是奇数，也就是n+k=2p+1,p是一个整数，式(10.6.11)的左边可以简化为第10章 时频分析与小波变换 (10.6.12)21221212122212222122212221222220ninipnipniinipninipi niii nipni nipniihhhhhhhhhhhh 当n+
50、k是偶数时，也就是说，n+k=2p，p是一个整数，式(10.6.12)的左边可以简化为(10.6.13)222121 2222221212222212122221 2212222222nip ninip niii nip ninipniii nip nipniniii nip nip niniihhhhhhhhhhhhhhhh 第10章 时频分析与小波变换因为2i是偶数，2i+1是奇数，我们能将式(10.6.12)与式(10.6.13)合成一个:(10.6.14)2222222i nip niipniip niiihhhhhh因为低通滤波器H()满足H()H*()+H(+)H*(+)=1 (1
