1、第10章 数据分析与处理第 10 章 数据分析与处理10.1 10.1 卷积定卷积定理理10.2 10.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换(DFT(DFT)10.3 10.3 其他变换其他变换 10.4 10.4 数字处理数字处理 10.5 10.5 数字滤波技数字滤波技术术10.6 10.6 系统辨系统辨识识10.7 10.7 现代数据分析与处理技现代数据分析与处理技术术第10章 数据分析与处理10.1 卷卷 积积 定定 理理卷积积分及卷积定理在数据分析与处理理论中应用很普遍，本小节将介绍有关卷积的基本概念和性质。第10章 数据分析与处理1.卷积积分卷积积分设有两个函数 x 1(t)和 x 2
2、(t)，则卷积积分的定义为由卷积积分的定义可知，任意函数 x(t)与脉冲函数 (t)卷积的结果是函数 x(t)本身。进一步可以证明，任意函数 x(t)与脉冲函数 (t-t 0)卷积的结果，相当于把函数本身延迟 t 0。第10章 数据分析与处理图 10.1 所示为矩形函数 x(t)与脉冲函数 (t-1)的卷积结果。图 10.1 卷积积分示例第10章 数据分析与处理2.时域卷积定理时域卷积定理时域卷积定理:若对于两个函数 x 1(t)和 x 2(t)，已知则有第10章 数据分析与处理证明:时域卷积定理说明，两个函数在时域中卷积，卷积信号的频谱等于频域中各自的频谱直接相乘。第10章 数据分析与处理3
3、.频域卷积定理频域卷积定理频域卷积定理:若对于两个函数 x 1(t)和 x 2(t)，已知则有第10章 数据分析与处理证明:频域卷积定理说明，两个函数在时域上直接相乘，相乘信号的频谱等于频域上各自频谱的卷积。第10章 数据分析与处理 4.帕塞瓦尔帕塞瓦尔(Parseval)定理定理帕塞瓦尔(Parseval)定理:如果 x(t)和 X()为傅立叶变换对，则帕塞瓦尔定理描述为帕塞瓦尔定理是一个重要的定理，它说明信号在时域中的能量和信号的频域中的能量是相等的。这也是能量守恒定律在信号处理中的体现。第10章 数据分析与处理帕塞瓦尔定理可以用卷积定理证明。证明如下:考虑时域卷积定理式(10.2)的傅立
4、叶反变换为取 t=0 时，有取 x 2(t)=x*1(-t)，此时 X 2()=X*1()，有省去下标 1 就得到帕塞瓦尔公式:第10章 数据分析与处理10.2 离散傅立叶变换离散傅立叶变换(DFT)1.DFT 定义定义可以由傅立叶级数(FS)(参考第 3 章)的定义导出 DFT 的表达式。对连续周期信号x(t)采样后得到离散信号x(nTs)，则第10章 数据分析与处理式中，信号基频 f 1=1/T 1，f 1 为谱线间隔;采样频率 f s=1/T s，T s 为采样间隔，通常记作 。且有这里，T 1/T s 称为时域采样点数，f s/f 1称为频域采样点数，可见此时时域和频域的离散点数相等，
5、均为 N，从而得到第10章 数据分析与处理综上所述，离散傅立叶变换(DFT)的定义为式中，0 n N-1，0 k N-1，x n、X k 分别为 x(nT s)和 X(kf1)的简写形式。第10章 数据分析与处理从上述分析可知，不论函数原来是否有周期性，经时频域双边离散化以后，函数在时域和频域都将具有周期性。并且，时域的周期与频域的离散谱线的间隔互为倒数;而频域的周期与时域的离散间隔(或采样间隔)互为倒数。式(10.9)计算的是一个周期内的值。因为对于无限长的周期序列来说，只要知道一个周期中的内容就足够了。第10章 数据分析与处理对于非周期的有限长序列，DFT 将其视为对一无限长周期序列的一个
6、周期进行处理;而对于无限长的非周期序列来说，由于计算机的内存以及运算速度有限，通常是截取有限长度的序列值，然后进行 DFT。换句话说，不论原始过程是否具有周期性，一旦做 DFT，则它们一律被当作具有周期性的无限长序列进行处理，该序列的周期即为 DFT 的计算长度 T 1=NT s。同时，计算长度又确定了离散谱的频率间隔 f=f 1=1/T 1，f 又称为频率分辨率。第10章 数据分析与处理2.DFT 的图解的图解从原理上讲，DFT 包括时域采样、时域加窗和频域采样三个步骤。下面以余弦函数为例，作出其 DFT 的分步图解，如图 10.2 所示。图 10.2 余弦函数的 DFT 图解(a)(c)为
7、时域采样过程，连续函数经采样后频谱产生周期性延拓;第10章 数据分析与处理图 10.2 余弦函数的 DFT 图解第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理目前实现 FFT 主要有软件和硬件两种方法。FFT 是功率谱、互谱、频率响应函数、相干函数等经典频域分析和许多相关分析方法的基础。FFT 算法的基本思想是利用的周期性和对称性来减少计算量。第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理 4.泄露泄露如图 10.2 中(d)和(e)所示，数据分析过程中要对采集信号进行截断，图 10.2(d)中就是用一个矩形窗函数对采集信号进行截断。加窗实际上是将采集信号和窗函数信号进行相乘。如果在时域加
8、窗，则根据频谱卷积定理可知采集信号加窗之后的频谱会发生改变。图10.2(e)中，矩形窗信号的频谱和采集信号的频谱进行了卷积，使采集信号的频谱发生了泄露，使能量不再集中在原来的频率点上，而是向两边的频率分量有所泄露。第10章 数据分析与处理应该说，泄漏是加窗的必然结果，是不可避免的，除非加一无限宽度的矩形窗，它的频谱是一个脉冲信号，才能保证结果没有频谱泄露，但加一无限宽度的矩形窗在实际中是不可能的，也是无意义的。第10章 数据分析与处理5.常用窗函数常用窗函数矩形窗的频谱为 Sinc 函数，其引起的频谱泄露比较严重。评价一个窗函数的指标有三个:(1)主瓣宽度，主瓣宽度越小越好，主瓣越小说明能量越
9、集中。(2)旁瓣幅值衰减程度，即旁瓣相对于主瓣的幅值大小，旁瓣幅值衰减越大越好。(3)能量泄漏因子(leakagefactor)，它表明能量分散在主瓣以外的程度。第10章 数据分析与处理为了减少加窗引起的泄露，选择窗函数是一个关键方法。常用的窗函数除了矩形窗外，还有三角窗、高斯窗、汉宁窗、汉明窗等。下面就列出各个窗函数的时域波形和频谱波形以供参考(见图 10.3)。第10章 数据分析与处理图 10.3 各种窗函数的时域波形与频域波形(1)(a)矩形窗;(b)三角窗第10章 数据分析与处理图 10.各种窗函数的时域波形与频域波形(1)(c)高斯窗;(d)汉宁窗第10章 数据分析与处理图 10.3
10、 各种窗函数的时域波形与频域波形(2)(e)汉明窗;第10章 数据分析与处理图 10.3 各种窗函数的时域波形与频域波形(2)(f)布莱克曼窗;(g)凯撒窗第10章 数据分析与处理(1)矩形窗(Rectangular)。矩形窗有最小的主瓣宽度，但旁瓣比较大。(2)三角窗(Triangle)/Bartlett 窗。第10章 数据分析与处理(3)高斯窗(Gauss)。(4)汉宁窗(Hanning)。第10章 数据分析与处理(5)汉明窗(Hamming)。汉明窗的宽度与汉宁窗相同，是矩形窗的 2 倍，99.96%的能量集中在主瓣里。(6)布莱克曼窗(Blackman)。布莱克曼窗的主瓣宽度是矩形窗的
11、 3 倍，主瓣能量更集中。第10章 数据分析与处理(7)凯撒窗(Kaiser)。在凯撒窗中，非常重要，它决定窗的参数。当 =0 时，凯撒窗演变为矩形窗;当 增大时，主瓣宽度增大，旁瓣幅值减小。第10章 数据分析与处理10.3 其其 他他 变变 换换10.3.1 拉普拉斯变换拉普拉斯变换1.定义定义一般傅立叶变换存在的条件是要求信号必须满足绝对可积条件，在引入脉冲函数后，对于功率集中于特定频率上的周期函数，可以避开绝对可积条件的要求，因此使得傅立叶变换的应用范围得以推广。然而，尽管如此，却仍有许多重要的函数没有包括在内。例如斜坡函数、正指数函数等仍不能做傅立叶变换。为了处理这样的函数，引入了拉普
12、拉斯变换。第10章 数据分析与处理拉普拉斯变换(LaplaceTransform，LT)和反变换(InverseLaplaceTransform，ILT)的定义如下:式中，s 为拉普拉斯变量，它是一个复数，s=+j。拉普拉斯反变换积分比较复杂，实际中很少用到，工程上有拉普拉斯变换表，通过查表就可以很快由 X(s)计算出 x(t)。第10章 数据分析与处理2.性质性质微分定理:设函数 x(t)的拉普拉斯变换为 X(s)，即 L x(t)=X(s)，则函数 x(t)的微分的拉普拉斯变换为该定理可以用分部积分法证明，证明如下:因为第10章 数据分析与处理因此由此得到应用实微分定理可以将微分方程转化成
13、代数方程进行求解，从而简化运算过程。可以看出拉普拉斯变换是一种强有力的数学工具。第10章 数据分析与处理10.3.2 Z 变换变换在离散时间系统中，Z 变换(简称 ZT)作为一种数学工具，可以把离散系统的数学模型差分方程转化为简单的代数方程，使求解过程得以简化。故 Z 变换在离散系统中的地位类似于连续系统中的拉普拉斯变换。Z 变换的定义如下:第10章 数据分析与处理如果简记 x(nT s)为 x n，则 Z 变换为滞后定理:设 t x max，则丢掉本次的采样值，而以上次的采样值作为此次的采样值，即比如，在转台测控系统里如果转台角度的采样值大于 360，则丢弃本次采样值，而用上次采样的角度值作
14、为此次的角度采样值。第10章 数据分析与处理 2)限速滤波首先定义采样信号的瞬时速度 v i 如下:所谓限速滤波，就是判断当前的瞬时速度 v i是否超过最大速度限制 v max，如果|v i|v max，则丢掉此次的瞬时速度，而以上次的瞬时速度代替，即 v i=v i-1。相应地，此次的采样值应该按下式计算:第10章 数据分析与处理 3)限加速度滤波首先定义采样信号的瞬时加速度 a i 为所谓限加速度滤波，就是判断当前的瞬时加速度 a i是否超过最大加速度限制 a max，如果|a i|a max，则丢掉此次的瞬时加速度，而以上次的瞬时加速度代替，即 a i=a i-1。相应地，此次的瞬时速度
15、和采样值应该按下式计算:第10章 数据分析与处理除了这三种程序判断滤波方法以外，还有限加加速度滤波，其思想和原理和上述三种方法都一样，这里就不再赘述。各种数字滤波器都有它的优缺点，实际应用中，根据干扰的性质和系统的性能要求具体选择使用，也可以把几种滤波器综合起来使用。第10章 数据分析与处理10.5.4 使用使用 Matlab 设计数字滤波器设计数字滤波器Matlab 提供了专门设计滤波器的工具箱(FilterDesign&AnalysisTool，FDATool)，可以实现滤波器设计、性能仿真评估以及结果输出等功能，极大地方便了工程应用。下面通过几个设计实例演示低通、带通和高通线性滤波器的设
16、计。1)低通滤波器假设采样频率为 1000Hz，设计通带为 100Hz、阻带为 200Hz 的 FIR 线性相位低通滤波器，阻带衰减 80dB。设计滤波器采用最小阶数设计法，即在满足设计要求的条件下实现最小的滤波器阶数。FDATool 的设计结果如图 10.5 所示，从中可以看出滤波器的幅频和相频特征以及滤波器设计阶数和类型。第10章 数据分析与处理图 10.5 低通滤波器设计结果第10章 数据分析与处理设计好的滤波器可以通过各种方式输出到工作间或通过 Targets 菜单下的生成 C 头文件菜单得到 C 语言格式的滤波器数，如下所示，其中 LB 为滤波器阶数，B 为滤波器数组。第10章 数据
17、分析与处理上述滤波器为双精度浮点型的滤波器。通过选择滤波器数据类型，还可以生成定点型的滤波器，如下所示。将滤波器转为定点型可以减小运算量，但要损失一些滤波效果。第10章 数据分析与处理2)带通滤波器假设采样频率为 1000Hz，设计 FIR 线性相位滤波器，通带为 100200Hz，50Hz 以下和 250Hz 以上阻带衰减 80dB。设计滤波器采用最小阶数设计法。设计结果如图 10.6 所示。从图 10.6 中可以看出 FIR 带通滤波器在通带内保持了线性相位特征。第10章 数据分析与处理图 10.6 带通滤波器设计结果第10章 数据分析与处理3)高通滤波器假设采样频率为 1000Hz，设计
18、 IIR 滤波器，通带为 200Hz 以上，0100Hz 的衰减为 100dB。设计滤波器采用最小阶数设计法。设计结果如图 10.7 所示。从图 10.7 中可以看出 IIR 带通滤波器设计阶数只为 9 阶，但在通带内无法保持线性相位特征。第10章 数据分析与处理图 10.7 高通滤波器设计结果第10章 数据分析与处理设计好的 IIR 滤波器通过 Targets 菜单下的生成 C 头文件菜单，得到 C 语言格式的滤波器数，如下所示，其中 NL 为滤波器阶数，NUM 为滤波器分子数组，DEN 为滤波器分母数组。第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理从设计结果上看，IIR 滤波器可以在较
19、少阶数的条件下实现，较高的滤波性能，但 IIR滤波器含有极点，存在不稳定的因素。如果在实际计算中计算精度不够，则有可能造成滤波器不稳定。第10章 数据分析与处理10.6 系系 统统 辨辨 识识10.6.1 系统辨识概系统辨识概念念系统辨识是根据系统的输入/输出数据来确定系统的数学模型。通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，以便预测系统未来的输出，以及设计控制器对系统进行有效控制。第10章 数据分析与处理系统进行分析的主要问题是根据输入信号和系统的特性来确定输出信号，而系统辨识所研究的问题恰好相反。通常，系统辨识预先给定一个模型类(如线性模型)
20、和一类输入信号(如正弦信号)以及等价准则(如误差函数)，然后根据采集输出信号来确定使误差函数最小的系统模型作为辨识的结果。系统辨识包括两个方面:结构辨识和参数估计。在实际的辨识过程中，随着使用的方法不同，结构辨识和参数估计这两个方面并不是截然分开的，而是可以交织在一起进行的。第10章 数据分析与处理辨识的基本步骤如下:(1)先验知识和建模目的的确定。先验知识指关于系统运动规律、数据以及其他方面的已有知识。这些知识对选择模型结构、设计实验和决定辨识方法等都有重要作用。用于不同目的的模型可能会有很大差别。(2)实验设计。辨识是从实验数据中提取有关系统信息的过程，实验设计的目标之一是使所得数据能包含
21、系统更多的信息。它主要包括输入信号设计、采样频率设计、预处理滤波器设计等。第10章 数据分析与处理(3)结构辨识。结构辨识即选择模型类中数学模型的具体表达形式。除线性系统的结构可通过输入/输出数据进行辨识外，一般的模型结构主要通过先验知识获得。(4)参数估计。知道模型的结构后，可用输入/输出数据确定模型中的未知参数。实际测量都是有误差的，所以参数估计以统计方法为主。(5)模型适用性检验。造成模型不适用主要有三方面原因:模型结构选择不当;实验数据误差过大或数据代表性太差;辨识算法存在问题。检验方法主要包括利用先验知识检验和利用数据检验两类。第10章 数据分析与处理系统辨识的实质是一个最优化问题，
22、而大部分系统辨识的对象为线性系统。AR(AutoReturn)模型辨识技术就是一种典型的线性模型辨识算法，在对线性系统的辨识中有较好的效果。下面重点介绍 AR 模型辨识技术。第10章 数据分析与处理10.6.2 AR 模型原理模型原理AR 自回归方法是离散系统时间序列建模的一种方法。自回归模型的定义是，如果时间序列y t 满足 y t=?1 y t-1+?p y t-p+t，其中 t 是独立同分布的随机变量序列，且满足:则称时间序列y t 服从 p 阶自回归模型。第10章 数据分析与处理由于在谱分析、信号处理以及系统辨识许多领域中，人们经常采用 AR 模型。因此，时序分析中估计 AR 模型的参
23、数是一个十分重要的问题。这里，重点介绍最小二乘 AR 模型的参数估计方法。假设一个离散线性系统为式中，(k)N(0，2)，b 1，b 2，b n 为系统参数，z(k)为观测数据，(k)N(0，2)为噪声。对式(10.56)，待估计参数 b 1，b 2，b n 与 (k)无关，仅与观测数据 z(k)成线性关系。第10章 数据分析与处理将 AR 模型表示为矩阵形式:第10章 数据分析与处理10.6.3 使用使用 Matlab 进行进行 AR 模型辨识模型辨识Matlab 下的系统辨识工具箱(SystemIdentificationToolbox)为系统辨识提供了完整的函数支持。使用系统辨识工具箱可
24、以方便地实现模型的辨识和辨识结果的评估。下面一段代码首先建立一个如式(10.56)所示的离散模型 m0 作为目标模型，然后使用高斯随机数据 X 作为系统输入，并产生用系统的输出数据 Z，然后用 arx 函数通过最小二乘算法进行模型辨识。第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理图 10.8 模型辨识的 Bode 图第10章 数据分析与处理10.7 现代数据分析与处理技术现代数据分析与处理技术前面所讲的数据分析与处理的内容都属于经典内容，在经典的数据分析中，傅立叶变化是有力的数学工具，并能对平稳信号进行有效的分析。然而，工程实际中很多的信号不满足平稳性的要求，它们是
25、非平稳的，其统计特性或者说频谱是随着时间变化而变化的。此时，傅立叶变换就显得力不从心了，因为傅立叶变换是对采集信号全体的变换，而不关心各频率分量发生的时刻。为了有效地分析非平稳信号，常用的现代数据分析与处理方法有两种:短时傅立叶变换(STFT)和小波变换(WT)。第10章 数据分析与处理10.7.1 短时傅立叶变换短时傅立叶变换由于全局傅立叶变换不关心各频率分量发生的时刻，为了弥补这一缺点，DennisGabor 于 1946 年引进了短时傅立叶变换(Short-TimeFourierTransform，STFT)。它的基本思路是:把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一时间间隔，以
26、便确定该时间间隔存在的频率。下面就介绍这一思路的数学表示方法。第10章 数据分析与处理1.STFT 的定义的定义STFT 的数学处理方法是对信号 x(t)施加一个实滑动窗 w(t-)(反映滑动窗的位置)后，再做傅立叶变换，即第10章 数据分析与处理它也可以看做是 x(t)与调频信号 g(t)=w(t-)ej t 的内积，其中 是移位因子，是角频率。在这个变换中，w(t)起时限作用，随着时间 的变化，w(t)所确定的“时间窗”在 t 轴上移动，“逐渐”对 x(t)进行分析，因此 STFT x(，)大致反映了信号 x(t)在时刻 含有频率成分为 的相对含量，如图 10.9 所示。这样，信号在滑动窗
27、上展开就可以表示为在-t/2，+t/2、-/2，+/2 这一时频区域内的状态。通常把时频区域称为窗口，t 和 分别称为窗口的时宽和频宽，它们表示时频分析的分辨力。第10章 数据分析与处理图 10.9 短时傅立叶变换的时频特点第10章 数据分析与处理在实际应用中，我们希望窗函数 w(t)是一个“窄”的时间函数，以便于细致观察 x(t)时宽 t 内的变化状况;基于同样的理由，我们还希望 w(t)的频带 也很窄，以可以仔细观察 x(t)的在频带 区间内的频谱。毫无疑问，时频窗口的宽度愈小，利用 STFT 对信号进行分析的分辨力愈高，但海森伯格(Heienberg)的测不准原理(Uncertainty
28、Princi-ple)指出，t 和 是相互制约的，两者不可能都任意小。事实上，窗口的面积=t 1/2，且仅当 w(t)为高斯函数时，等号才成立。第10章 数据分析与处理2.STFT 的特点的特点假定 w(t)是高斯型的，当 =0 时，有对于固定频率 =0 0，调频信号及其傅立叶变换分别为第10章 数据分析与处理由于 0 只影响 g(t)中的复指数因子，因此，从时域上看，当 0 变为 2 0 时，g(t)的包络不变，只是包络线下的谐波频率发生变化，如图 10.10 所示;从频域上看，当 0 变为 2 0时，G()的中心频率变成 2 0，但带宽仍保持不变。第10章 数据分析与处理图 10.10 S
29、TFT 调频信号频率变化的特性第10章 数据分析与处理由此可见，当窗函数 w(t)选定后，时频分辨力也就随之确定了。也就是说，STFT 的时窗宽度与频窗宽度是固定的，其实质是只具有单一的分辨力，如图 10.11 所示。若要改变分辨力，则必须重新选择窗函数。第10章 数据分析与处理图 10.11 STFT 的时频窗特性第10章 数据分析与处理而在实际应用中，对于非平稳信号，当信号波形发生剧烈变化的时刻，主频是高频，因此，必须选取“窄”的窗函数，以提高时域分辨力，但与“窄”的调频函数 g(t)相对应的频谱带宽则较宽;信号波形变化比较平缓的时刻，主频是低频，故又要求 g(t)的频谱必须是“窄”的，才
30、能有高频域分辨力。显然，STFT 不能兼顾二者。这就提出了能根据非平稳信号主频的变化而“自适应”改变窗函数的数学变换小波变换。第10章 数据分析与处理10.7.2 小波变换小波变换1.小波变换的定义小波变换的定义设 x(t)是平方可积函数，即 x(t)L2(R)，则 x(t)的小波变换(WaveletTransform，WT)定义为式中，(t)是基本小波或母小波(motherwavelet)函数，而是基本小波的位移和尺度伸缩，也称之为 (t)的生成小波。a 0，称为尺度因子;b 反映时间位移，其值可正可负。符号表示内积。式(10.59)中 的 t、a 和 b 均 为 连 续 变 量，因此式(1
31、0.59)称为连续的小波变换(ContinuousWaveletTransform，CWT)。第10章 数据分析与处理2.小波变换的几点说明小波变换的几点说明关于式(10.59)，应作如下几点说明:(1)基本小波 (t)可以是复信号，特别是解析信号。例如:便是解析信号，它是高斯包络下的复指数函数，其虚部是实部的希尔伯特(Hilbert)变换:式中，*表示卷积。第10章 数据分析与处理(2)尺度因子 a 的作用是将基本小波 (t)做伸缩，a 愈大，(t/a)愈宽。对于一个持续时间有限的小波，(t)与 ab(t)之间的关系以及不同尺度 a 下小波分析区间的变化可用图 10.12 表示。从图中可以看
32、出，小波的持续时间随 a 的增大而加宽，幅度则与 a 成反比，但波形形状保持不变。第10章 数据分析与处理图 10.12 小波的移位和伸缩第10章 数据分析与处理(3)ab(t)前加因子 1/a 的目的是使不同的 a 值下 ab(t)的能量保持不变。(4)式(10.59)定义的内积往往被不严格地解释成卷积。这是因为两式相比，区别仅在 (t-b)改成 (b-t)=-(t-b)，即 (t)的首尾对调。如果 (t)是关于 t=0 对称的函数，则计算结果是一样的;如非对称，在计算方法上也没有本质区别。第10章 数据分析与处理 3.小波变换的特点小波变换的特点假定小波 (t)是高斯型的，即 Morlet
33、 小波:它的频谱 ()为第10章 数据分析与处理由于 ()是中心频率在 0 处的高斯型函数，如图 10.13(a)所示，因此可以表征X()在 0 附近的局部性质。如果采用不同的尺度伸缩因子 a，(a)的中心频率和带宽将发生变化。例如当 a=2 时，(t/2)的傅立叶变换为可见，此时中心频率降到 0/2，而带宽的比例系数由 2 T-1/2 变为T-1/2，如图 10.13(b)所示，因而|(a)|的品质因数不变。第10章 数据分析与处理图 10.13 小波尺度变化时中心频率和带宽同时变化，但品质保持不变(a)Q=0/B;(b)Q=(0/a)/(B/a)=Q第10章 数据分析与处理总之，从频域上看
34、，用不同的尺度做小波变换，相当于用一组中心频率不同的带通滤波器对信号进行处理。带通滤波器的作用既可以对信号进行分解，也可以用于信号的检测(此时，它的作用相当于调谐)。第10章 数据分析与处理图 10.14 表示小波变换在时频平面上基本分析单元的特点。当 a 值小时，(t/a)很“窄”，因此在时轴上的观测范围小，可以“细致观察”时域波形的变化;而在频域上相当于用较高频率的小波，对信号的频谱做分辨力较低的分析。当 a 值较大时，(t/a)变“宽”，时轴上的观测范围大，可以“初略观察”时域波形;而在频域上相当于用低频小波对信号做分辨力较高的分析。分析频率有高有低，但在各分析频段内的品质因数 Q 却保
35、持恒定。第10章 数据分析与处理图 10.14 小波变换的时频特性(a)尺度变化的影响;(b)基本分析单元的变化第10章 数据分析与处理这种分析特点是工程实际所期望的。对于高频信号，我们希望在时域有较高的分辨力，而在频域上的分辨力则允许相应地降低，因此就要求用窄的小波(即用小的尺度因子a)来“仔细观测”时域波形 x(t)。反之，对于低频信号，我们希望提高频域上的分辨力，而时域的分辨力则可以降低要求，此时，就应当用具有窄带频谱的小波(即用较大的尺度因子 a)来观察 X()。如上所述，小波分析恰恰具有这种自动调整时域和频域的“视野”及分析频率的高低，从而保证了各分析频段内的品质因数 Q 的不变性。
36、第10章 数据分析与处理 4.WT 与与 STFT 的比较的比较比较图 10.11 和图 10.14 可以看出，STFT 的基本分析单元的结构与 WT 明显不同。STFT 不具有分析频率降低(或增大)时，在时域上的视野自动扩大(或变小)的特点，也不具有品质因数 Q 恒定的特征。而 WT 是一种窗口大小(即窗口面积)固定但其形状可变的时频局部化“自适应”分析方法:在低频部分有较高的频率分辨力和较低的时间分辨力，而在高频部分具有较高的时间分辨力和较低的频率分辨力。因此，小波变换被誉为数学显微镜。第10章 数据分析与处理 5.小波分析的应用小波分析的应用小波分析可以用于数据压缩、数据降噪和波形识别等
37、重要应用领域。下面我们利用Matlab7.0 的小波分析工具箱来演示小波分析的效果。下面一段程序实现了对电信号的噪声消除。运行程序，结果如图 10.15 所示。第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理图 10.15 小波降噪结果第10章 数据分析与处理从图 10.15 中可看出原先信号中含有的噪声成分被基本消除了，且原始信号中的局部高频信号特征仍完好地保留了下来。下面一段代码实现数据压缩，运行结果如图 10.16 所示。第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理图 10.16 小波信号压缩结果第10章 数据分析与处理从图 10.16 中可以看出，经过压缩处理，信号保持了原先的特征
38、，信号非零数据个数降为原先的 15%，实现了 85%的压缩比。第10章 数据分析与处理10.7.3 自适应滤波自适应滤波1.自适应滤波的概念自适应滤波的概念自适应滤波器是能够根据输入信号自动调整性能进行数字信号处理的数字滤波器。作为对比，非自适应滤波器只有静态的滤波器系数，这些静态系数一起组成传递函数。对于一些应用来说，由于事先并不知道所需要进行操作的参数，例如一些噪声信号的特性，所以要求使用自适应的系数进行处理。在这种情况下，通常使用自适应滤波器，自适应滤波器使用反馈来调整滤波器系数以及频率响应。自适应滤波的关键在于能够通过某种算法，实现自动地调整各加权系数，以达到某种准则的最佳过滤的目的。
39、第10章 数据分析与处理图 10.17 表示自适应有限长(FIR)滤波器的基本结构，W 为滤波器的参数向量。x、y和 d 分别为滤波器输入、输出信号以及参考信号，e 为误差信号。它们之间的关系见式(10.60)式(10.63)。误差信号 e 是调整滤波器系数 W 的判断准则，通过自动地调整 W 来达到e 信号能量最小的目的。第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理图 10.17 自适应 FIR 滤波器的基本结构第10章 数据分析与处理参考信号 d 的选取对于自适应滤波器非常重要，它决定了滤波的性质和滤波的效果。如果 d 选为实际采集信号，x 为噪声参考信号，则滤波器成为自适应噪声消除器
40、;如果 d选为某一固定频率信号，则滤波器可成为陷波滤波器，可以实现去工频干扰等功能;如果x 为系统输入信号，d 选为系统输出信号，则此自适应滤波转换为系统识别过程，最终的滤波器参数也就是对系统参数的识别结构。随着数字信号处理器性能的增强，自适应滤波器的应用越来越常见，时至今日已经广泛地用于手机以及其他通信设备、数码录像机和数码照相机以及医疗监测设备中。第10章 数据分析与处理 2.最小均方自适应滤波器最小均方自适应滤波器最小均方误差(LeastMeanSquare，LMS)算法是一种易于实现、性能稳健、应用广泛的算法。所有的滤波器系数调整算法都是设法使 y 接近 d，所不同的只是对于这种接近的
41、评价标准不同。LMS 算法的目标是通过调整系数，使输出误差序列 e 的均方值最小化，并且根据这个判据来修改权系数，该算法因此而得名。第10章 数据分析与处理在 LMS 中误差 e 的均方值 E e(n)2 为自适应滤波器的性能函数，并记为 J:设 R=E x(n)x(n)T，P=E d(n)x T(n)分别为信号 x(n)的自相关矩阵和 d(n)与x(n)的互相关矩阵，则有第10章 数据分析与处理J 对 W 的导数为在输入信号和参考响应都是平稳随机信号的情况下，自适应线性组合器的均方误差性能曲面是权矢量 W(n)的二次函数。由于自相关矩阵为正定的，所以均方误差函数有唯一的最小值，也就是存在 W
42、 opt 使 J 的导数 为 0，见式(10.67)。该最小值所对应的权系数矢量 W opt 即为最优滤波器参数，如式(10.68)所示。第10章 数据分析与处理但实际上，要从式(10.65)中直接解出 W opt 是很困难的，同时需要计算矩阵 R 和 P。因此 LMS 算法在进行梯度估计时，以误差信号每一次迭代的瞬时平方值替代其均方值，这样，原来由式(10.66)定义的梯度可近似为第10章 数据分析与处理将式(10.69)带入式(10.63)，得到实际上，只是单个平方误差序列的梯度，而 (n)则是多个平方误差序列统计平均的梯度，所以 LMS 算法就是用前者作为后者的近似。因此，根据梯度下降法
43、，有第10章 数据分析与处理式中，为自适应滤波器的收敛因子。式(10.71)即为 LMS 算法的滤波器权矢量迭代公式。自适应迭代下一时刻的权系数矢量可以由当前时刻的权系数矢量加上以误差函数为比例因子的输入矢量得到。第10章 数据分析与处理 3.自适应滤波器应用自适应滤波器应用噪声消除噪声消除自适噪声消除器(AdaptiveNoiseCancellor，ANC)是自适应滤波器的典型应用，如图10.18 所示。ANC 以噪声的干扰源信号为输入信号，通过调整滤波器参数，动态地适应噪声信号的变化。自适噪声消除器调整干扰源(参考噪声)信号的幅值和相位，使其逼近信号中的噪声成分，对干扰信号进行滤波，实现去
44、噪声效果。第10章 数据分析与处理图 10.18 自适噪声消除器第10章 数据分析与处理为验证 ANC 的效果，我们以下面一段 Matlab 程序为例，采用自适应滤波器技术实现信噪分离，程序如下:第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理程序运行后的结果如图 10.19 所示。可见，通过 ANC 过程，初始化的滤波器系数 w0从 0 逐步接近 fir1(3，0.4)产生的滤波器系数。所以噪声基本从信号中去除了，达到了良好的噪声抑制效果。第10章 数据分析与处理图 10.19 ANC 去噪结果第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第
45、10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第
46、10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第
47、10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第
48、10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理第10章 数据分析与处理
