1、北师大版数学八升九暑假作业专题复习提升-专题七 平行四边形中的各类问题类型一 平行四边形中的折叠问题1. 将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D处，折痕为EF.求证：ABEADF.2. 如图，将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与点A重合，点D的落点记为点D，折痕为EF，连接CF.（1） 求证：四边形AFCE是平行四边形；（2） 若B=45 ，FCE=60 ，AB=62，求线段DF的长.类型二 平行四边形中的动点问题3. 如图，在四边形ABCD中，AD/BC，B=90 ，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每
2、秒2cm的速度向点C运动，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点P运动到点C时，点Q随之停止运动，设运动的时间为ts.（1） 求DQ，PC的代数表达式；（2） 当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形.4. 如图，等边ABC的边长为8，动点M从点B出发，沿BACB的方向以每秒3个单位长度的速度运动，动点N从点C出发，沿CABC的方向以每秒2个单位长度的速度运动.（1） 若动点M，N同时出发，经过几秒第一次相遇？（2） 若动点M，N同时出发，且其中一点到达终点时，另一点即停止运动.在ABC的边上是否存在一点D，使得以点A，M，N，D为顶点
3、的四边形为平行四边形？若存在，求此时运动的时间t及点D的具体位置；若不存在，请说明理由.类型三 平行四边形中的最值问题5. 如图，在RtABC中，B=90 ，AB=3，BC=4，点D为BC上一动点（不与点C重合），以AD，CD为一组邻边作平行四边形ADCE，当DE的值最小时，求平行四边形ADCE的周长.6. 如图所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA=4，BAD=120 ，AEF为正三角形，点E，F分别在边BC，CD上滑动，且点E，F不与点B，C，D重合.（1） 四边形ABCD 平行四边形（是或不是）.（2） 证明不论点E，F在BC，CD上如何滑动，总有BE=CF.（3） 当点E，F
4、在BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值.类型四 平行四边形中的存在性问题7. 如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB=6cm，BE是ABC的平分线，点M从点E出发，沿ED方向以1cm/s的速度向点D运动，点N从点C出发，沿射线CB方向以4cm/s的速度运动，当点M运动到点D时，点N随之停止运动，设运动时间为ts.（1） 求AE的长.（2） 是否存在以点M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.8. 如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中OA=8，OB
5、=6，AD=12，点E是线段OD的中点.（1） 直接写出点C，D的坐标.（2） 求直线AE的解析式.（3） 平面内是否存在一点F，使以点A，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由.答案专题七 平行四边形中的各类问题类型一 平行四边形中的折叠问题1证明： 将平行四边形纸片ABCD 折叠，使点C 与A 重合，点D 落到D 处，折痕为EF，CD=AD，CE=AE，DF=DF，CEF=AEF. 四边形ABCD 为平行四边形，AD/BC，AD=BC，AB=CD，AB=AD.AD/BC，AFE=CEF，AFE=AEF，AE=AF，AF=CE，ADAF=BC
6、CE，DF=BE，BE=FD.在ABE 和ADF 中，AB=AD,AE=AF,BE=DF,ABEADFSSS.2（1） 证明：如图1， 点C 与点A 重合，折痕为EF，图11=2，AE=EC. 四边形ABCD 为平行四边形，AD/BC.3=2.1=3.AE=AF.AF=EC.又AF/EC， 四边形AFCE 是平行四边形.（2） 解：如图2，作AGBE 于点G，则AGB=AGE=90 .图2 点D 的落点为点D，折痕为EF，DF=DF. 四边形ABCD 为平行四边形，AD=BC.又AF=EC，ADAF=BCEC，即DF=BE.在RtAGB 中，AGB=90 ，B=45 ，AB=62，AG=GB=
7、6. 四边形AFCE 为平行四边形，AE/FC.4=5=60 .在RtAGE 中，AGE=90 ，4=60 ，GE=23.BE=BG+GE=6+23.DF=6+23.类型二 平行四边形中的动点问题3（1） 解：根据题意，DQ=16tcm，PC=212tcm.（2） 四边形PQDC 是平行四边形，DQ=CP.16t=212t，解得t=5， 当t=5 时，四边形PQDC 是平行四边形.4（1） 解：第一次相遇的时间为8+83+2=165（秒）.答：若动点M，N同时出发，经过165 秒第一次相遇.（2） 存在.如图1，当点M 在线段AB 上，点N 在AC 上时，图1 四边形ANDM 为平行四边形，D
8、M=AN，DM/AN.ABC 为等边三角形，BMD和NCD 是等边三角形，BM+CN=CN+AN=8，2t+3t=8，t=85，此时BD=245.如图2，当点M 在线段AC 上，点N 在AB 上时，图2同理BND 和MCD 是等边三角形，AM=3t8，AN=2t8，AM+AN=AC=8，3t8+2t8=8，t=245，此时BD=325.如图3，当点M 在线段BC 上，点N 在AB 上时，图3同理BMN 和MCD 是等边三角形，CM=3t16，AN=2t8，CM=AN,3t16=2t8，t=87.5（不合题意，舍去）.综上所述，运动了85 秒或245 秒时，A，M，N，D四点能够成平行四边形，此
9、时点D 在BC 上，且BD=245 或325.类型三 平行四边形中的最值问题5解：当DEAE 时，DE取得最小值，设此时CD=x. 四边形ADCE 是平行四边形，CD=AE，AD=CE，BC/AE.B=90 ，DEAE， 四边形BAED 是矩形，BD=AE，BD=CD=x.BC=BD+CD，BC=4，BD=CD=2.AB=3，B=90 ，AD=BD2+AB2=22+32=13， 当DE 的值最小时，平行四边形ADCE 的周长为2+13+2+13=4+213.6（1） 是（2） 证明：如图，连接AC.由（1）知四边形ABCD 为平行四边形，则AB/CD，AD/BC.BAD=120 ，AB/CD，
10、AD/BC，ABC=ADC=60 .又AB=BC=CD=DA=4，ABC 和ACD 为等边三角形，BAC=60 ，4=60 ，AC=AB.AEF 是等边三角形，EAF=60 ，1+EAC=60 ，3+EAC=60 ，1=3.又ABE=4=60 ，AC=AB，ABEACFASA.BE=CF.（3） 解：四边形AECF 的面积不变，为定值43.理由如下：由（2）得ABEACF，则SABE=SACF，故S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC，是定值.如图，作AHBC 于H 点.BAC=60 ，AB=AC=4，BH=12BC=2，则AH=AB2BH2=23，S四边形AECF
11、=SABC=12BCAH=43.综上，四边形AECF 的面积不变，为定值43.类型四 平行四边形中的存在性问题7（1） 解： 四边形ABCD 是平行四边形，AD/BC，AEB=CBE.BE 是ABC 的平分线，ABE=CBE，ABE=AEB，AE=AB.2AB=6cm，AE=3cm.（2） 存在.由（1）知，AE=3cm，AD=6cm，DE=ADAE=3cm.由运动知，EM=tcm，CN=4tcm0t3，AD/BC，要使以点M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形，只要EM=BN，当点N 在边BC 上时，BN=BCCN=64t，t=64t，t=65.当点N 在边CB 的延长线上时，BN=CNB
12、C=4t6，t=4t6，t=2.综上，当t=65 或t=2 时，以点M，E，B，N为顶点的四边形是平行四边形.8（1） 解： 四边形ABCD 是平行四边形，AD=BC=12，AD/BC. 点B，C都在x 轴上，点A 在y 轴上，OA=8，OB=6，OC=BCOB=126=6，点A 的坐标为0,8，点D 的坐标为12,8， 点C 的坐标为6,0.（2） 点E 是线段OD 的中点，E6,4.设直线AE 的关系式为y=kx+b. 直线AE 经过点A，点E，b=8,6k+b=4, 解得b=8,k=23, 直线AE 的表达式为y=23x+8.（3） 存在，点F 的坐标为6,4 或18,4 或6,12.如图1所示，当EF 为平行四边形的边时，图1EF=AD=12， 点F 的坐标为6,4 或18,4.如图2所示，当EF 为平行四边形的对角线时，图2则DG=AG=6，FG=GE=4，即点F 的坐标为6,12.综上，点F 的坐标为6,4 或18,4 或6,12.
