1、 九年级（上）期末数学试卷九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题 2 分，共 20 分） 1 （2 分）如图所示几何体的左视图是（ ） A B C D 2（2 分） 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志， 如图， 红丝带重叠部分形成的图形是 （ ） A正方形 B等腰梯形 C菱形 D矩形 3 （2 分） 在一次酒会上， 每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次， 则参加酒会的人数为（ ） A9 人 B10 人 C11 人 D12 人 4 （2 分）若，则的值为（ ） A1 B C D 5 （2 分）若一元二次方程x 22x+m0 有两个不相同的
2、实数根，则实数 m的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 6 （2 分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一 点C，测得PC100 米，PCA35，则小河宽PA等于（ ） A100sin35米 B100sin55米 C100tan35米 D100tan55米 7 （2 分）如图，在ABC中，DEBC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD4，DB2，则DE： BC的值为（ ） A B C D 8 （2 分）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（ ） A点（2，1）在它的图象上 B它的图象在第一、三象限 C当x0 时，y随x的增大而增大
3、D当x0 时，y随x的增大而减小 9 （2 分）点D是线段AB的黄金分割点（ADBD） ，若AB2，则BD（ ） A B C1 D3 10 （2 分）若将函数y2x 2的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，可得到的抛物线是 （ ） Ay2（x1） 23 By2（x1） 2+3 Cy2（x+1） 23 Dy2（x+1） 2+3 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11 （3 分）若关于x的一元二次方程x 2+mx+m2190 的一个根是3，则 m的值是 12 （3 分）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有 3 个红球，每次摸球前，将盒中所
4、有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中通过大量 重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.03，那么可以推算出n的值大约是 13 （3 分）如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA20cm，AA50cm，这 个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长比是 14 （3 分）如图，B（3，3） ，C（5，0） ，以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比 例函数的解析式为 15 （3 分）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水， 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图 1） 如果曲线APB表示的是落点B离点O最远 的
5、一条水流 （如图 2） ， 水流喷出的高度y（米） 与水平距离x（米） 之间的关系式是yx 2+4x+ ， 那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外 16 （3 分）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的 中点H，连接GH，若BCEF4，CDCE2，则GH 三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18、19 小题各 8 分，共 22 分） 17 （6 分）计算： （） 0+|1 |+（） 12sin45 18 （8 分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分 别标有数字 1，2，3 （1
6、）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘 一次， 当转盘停止转动时， 再次记录下指针所指扇形中的数字， 求这两个数字之和是 3 的倍数的概率 （用 画树状图或列表等方法求解） 19 （8 分）如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶 部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行 12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路 灯BD的底部已知王华同学的身高是 1.6m，两个路灯的高度都是 9.6m （1）求两个路灯之间的距离； （2
7、）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？ 四、 （每小题 8 分，共 16 分） 20 （8 分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的 夹角为 64，吊臂底部A距地面 1.7m（参考数据 sin640.90，cos640.44，tan642.05） （1） 当吊臂底部A与货物的水平距离AC为 5m时， 吊臂AB的长为 m（计算结果精确到 0.1m） ； （2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的 长度与货物的高度忽略不计） 21 （8 分）如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的
8、图象交于A（2，1） 、 B两点，点C坐标为（0，2） ，过点C的直线l与x轴平行 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求ABC的面积 五、 （本题 10 分） 22 （10 分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车已知该型号汽车的进价为 15 万元/辆，经销一段 时间后发现：当该型号汽车售价定为 25 万元/辆时，平均每周售出 8 辆；售价每降低 0.5 万元，平均每 周多售出 1 辆 （1）当售价为 22 万元/辆时，求平均每周的销售利润 （2）若该店计划平均每周的销售利润是 90 万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价 六、 （本题 10 分） 23 （10 分）如图 1，在正方形
9、ABCD中，AB4m，点P从点D出发，沿DA向点A匀速运动，速度 是 1cm/s，同时，点Q从点A出发，沿AB方向，向点B匀速运动，速度是 2cm/s，连接PQ、CP、CQ， 设运动时间为t（s） （0t2） （1）是否存在某一时刻，使得PQBD若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （2）设PQC的面积为S（cm 2） ，求 S与t之间的函数关系式； （3）如图 2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使SQCM：SPCM4：5？若存 在，直接写t的值；若不存在，说明理由 七、 （本题 12 分） 24 （12 分） 【探索发现】 （1）如图 1，是一张直角三角形纸片，B9
10、0，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大 的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证 明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】 （2）如图 2，在ABC中，BCa，BC边上的高ADh，矩形PQMN的顶点P、N分别在边AB、AC 上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值（用含a、h的代数式表示） ； 【灵活应用】 （3）如图 3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB28，BC36，AE18，CD14，小明从中剪出了一 个面积最大的矩形（B为所剪出矩形的内角） ，直接写出该矩形的面积 八、 （本题
11、12 分） 25 （12 分）如图，已知二次函数yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，图象经过B（3， 0） 、C（0，3）两点，且与x轴交于点A （1）求二次函数yax 2+bx+c（a0）的表达式； （2）在抛物线的对称轴上找一点M，使ACM周长最短，求出点M的坐标； （3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使BPC为直角三角形时点P的坐标 九年级（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的每小题 2 分，共 20 分） 1 （2 分）如图所示几何体的左视图是（ ） A B C D 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图
12、，可得答案 【解答】解：观察发现：其左视图应该为矩形，为了表示中间凹的部分，应该用虚线， 故选：B 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图 2（2 分） 红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志， 如图， 红丝带重叠部分形成的图形是 （ ） A正方形 B等腰梯形 C菱形 D矩形 【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条彩带宽度相同；再由平行四边形的面积可得邻 边相等，则重叠部分为菱形 【解答】解：如图所示：过点A作AEBC于E，AFCD于F， 因为两条彩带宽度相同， 所以ABCD，ADBC，AEAF 四边形ABCD是平行四边形 SABCDBCAECDAF又AEAF
13、 BCCD， 四边形ABCD是菱形 故选：C 【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，一组邻边相等的平行四边形是菱形 3 （2 分） 在一次酒会上， 每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 55 次， 则参加酒会的人数为（ ） A9 人 B10 人 C11 人 D12 人 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯 55 次，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【解答】解：设参加酒会的人数为x人， 根据题意得：x（x1）55， 整理，得：x 2x1100， 解得：x111，x210（不合题意，舍去） 答：参加酒会的人数为 11 人 故选：C 【点评
14、】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 4 （2 分）若，则的值为（ ） A1 B C D 【分析】根据合分比性质求解 【解答】解：， 故选：D 【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分 比性质；等比性质 5 （2 分）若一元二次方程x 22x+m0 有两个不相同的实数根，则实数 m的取值范围是（ ） Am1 Bm1 Cm1 Dm1 【分析】根据方程的系数结合根的判别式0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得 出实数m的取值范围 【解答】解：方程x 22x+m0 有两个不相同的实数根， （2） 24m0
15、， 解得：m1 故选：D 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键 6 （2 分）如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上的一 点C，测得PC100 米，PCA35，则小河宽PA等于（ ） A100sin35米 B100sin55米 C100tan35米 D100tan55米 【分析】根据正切函数可求小河宽PA的长度 【解答】解：PAPB，PC100 米，PCA35， 小河宽PAPCtanPCA100tan35米 故选：C 【点评】考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题 （画出平
16、面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题） 根据题目已知特点选用适当锐角三 角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案 7 （2 分）如图，在ABC中，DEBC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD4，DB2，则DE： BC的值为（ ） A B C D 【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据 相似三角形的对应边成比例解则可 【解答】解：DEBC， ADEABC， 故选：A 【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错 8 （2 分）对于反比例函数y，下列说法不正确的是（ ） A
17、点（2，1）在它的图象上 B它的图象在第一、三象限 C当x0 时，y随x的增大而增大 D当x0 时，y随x的增大而减小 【分析】根据反比例函数的性质用排除法解答 【解答】解：A、把点（2，1）代入反比例函数y得11，故A选项正确； B、k20，图象在第一、三象限，故B选项正确； C、当x0 时，y随x的增大而减小，故C选项错误； D、当x0 时，y随x的增大而减小，故D选项正确 故选：C 【点评】本题考查了反比例函数y（k0）的性质： 当k0 时，图象分别位于第一、三象限；当k0 时，图象分别位于第二、四象限 当k0 时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k0 时，在同一个象限，y随x的增
18、大 而增大 9 （2 分）点D是线段AB的黄金分割点（ADBD） ，若AB2，则BD（ ） A B C1 D3 【分析】根据黄金分割点的定义和ADBD得出ADAB，代入数据即可得出BP的长度 【解答】解：由于D为线段AB2 的黄金分割点， 且ADBD， 则AD2（1）cm BDABAD2（1）3 故选：D 【点评】本题考查了黄金分割应该识记黄金分割的公式：较短的线段原线段的 ，较长 的线段原线段的 10 （2 分）若将函数y2x 2的图象向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，可得到的抛物线是 （ ） Ay2（x1） 23 By2（x1） 2+3 Cy2（x+1） 23 Dy2（x+1）
19、 2+3 【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式 【解答】解：原抛物线的顶点为（0，0） ，向左平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位，那么新抛物 线的顶点为（1，3） ； 可设新抛物线的解析式为y（xh） 2+k，代入得：y2（x+1）2+3， 故选：D 【点评】主要考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的 关键是得到新抛物线的顶点坐标 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11 （3 分）若关于x的一元二次方程x 2+mx+m2190 的一个根是3，则 m的值是 2 或 5 【分析】将x3 代入方程可得
20、m 23m100，解之即可 【解答】解：将x3 代入方程可得：93m+m 2190， 即m 23m100， 解得：m2 或m5， 故答案为：2 或 5 【点评】本题主要考查方程的解和解方程的能力，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键 12 （3 分）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有 3 个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中通过大量 重复试验，发现摸到红球的频率稳定在 0.03，那么可以推算出n的值大约是 100 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例 关系入手，列出
21、方程求解 【解答】解：由题意可得，0.03， 解得，n100 故估计n大约是 100 故答案为：100 【点评】 此题主要考查了利用频率估计概率， 大量反复试验下频率稳定值即概率 用到的知识点为： 概率所求情况数与总情况数之比 13 （3 分）如图，三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子，现测得OA20cm，AA50cm，这 个三角尺的周长与它在墙上形成影子的周长比是 2：7 【分析】 先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比， 再根据相似三角形周长的比 等于相似比解答即可 【解答】解：如图，OA20cm，AA50cm， ， 三角尺与影子是相似三角形， 三角尺的周长与它在墙上形成的影
22、子的周长的比AB：AB2：7 故答案为 2：7 【点评】本题考查了相似三角形的应用，注意利用了相似三角形对应边成比例的性质，周长的比等 于相似比的性质 14 （3 分）如图，B（3，3） ，C（5，0） ，以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比 例函数的解析式为 y 【分析】设A坐标为（x，y） ，根据四边形OABC为平行四边形，利用平移性质确定出A的坐标，利 用待定系数法确定出解析式即可 【解答】解：设A坐标为（x，y） ， B（3，3） ，C（5，0） ，以OC，CB为边作平行四边形OABC， x+50+3，y+003， 解得：x2，y3，即A（2，3） ， 设过点A的反比
23、例解析式为y， 把A（2，3）代入得：k6， 则过点A的反比例解析式为y， 故答案为：y 【点评】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，以及平行四边形的性质，熟练掌握待定系数 法是解本题的关键 15 （3 分）体育公园的圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处为喷头向外喷水， 水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下（如图 1） 如果曲线APB表示的是落点B离点O最远 的一条水流 （如图 2） ， 水流喷出的高度y（米） 与水平距离x（米） 之间的关系式是yx 2+4x+ ， 那么圆形水池的半径至少为 米时，才能使喷出的水流不至于落在池外 【分析】求出函数解析式中y0 时x的值
24、，结合x0 可得最终的x的值，从而得出OB的长 【解答】解：在yx 2+4x+ 中，当y0 时，x 2+4x+ 0， 解得x1，x2， x0， x，即OB， 圆形水池的半径至少为米时，才能使喷出的水流不至于落在池外， 故答案为： 【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是明确函数解析式中两个变量的实际意义 16 （3 分）矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B、C、E共线，点C、D、G共线，连接AF，取AF的 中点H，连接GH，若BCEF4，CDCE2，则GH 【分析】延长GH交AD于点P，先证APHFGH得APGF2，GHPHPG，再利用勾股定理 求得PG2，从而得出答案 【解答】解：
25、如图，延长GH交AD于点P， 四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形， ADCADGCGF90，ADBC4、GFCE2， ADGF， GFHPAH， 又H是AF的中点， AHFH， 在APH和FGH中， ， APHFGH（ASA） ， APGF2，PHHGPG， PDADAP2，GDGCCD422 GP2 GHGP 故答案为： 【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾 股定理等知识点 三、解答题（第 17 小题 6 分，第 18、19 小题各 8 分，共 22 分） 17 （6 分）计算： （） 0+|1 |+（） 12sin45 【分析】直接利用
26、绝对值的性质以及负指数幂的性质、零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别 化简得出答案 【解答】解：原式1+1+22 +2 2 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 18 （8 分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分 别标有数字 1，2，3 （1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ； （2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘 一次， 当转盘停止转动时， 再次记录下指针所指扇形中的数字， 求这两个数字之和是 3 的倍数的概率 （用 画树状图或列表等方法求解）
27、 【分析】 （1）由标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中，奇数的有 1、3 这 2 个，利用概率公式计算可得； （2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是 3 的倍数的情况数，再根据 概率公式即可得出答案 【解答】解： （1）在标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中，奇数的有 1、3 这 2 个， 指针所指扇形中的数字是奇数的概率为， 故答案为：； （2）列表如下： 1 2 3 1 （1，1） （2，1） （3，1） 2 （1，2） （2，2） （3，2） 3 （1，3） （2，3） （3，3） 由表可知，所有等可能的情况数为 9 种，其中这两个数字之和是 3 的倍数的有
28、 3 种， 所以这两个数字之和是 3 的倍数的概率为 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之 比 19 （8 分）如图，王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶 部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行 12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路 灯BD的底部已知王华同学的身高是 1.6m，两个路灯的高度都是 9.6m （1）求两个路灯之间的距离； （2）当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？ 【分析】 （1）依题意得到APMABD，再由它可以求出AB； （2）设王华走到路灯BD处头的顶部
29、为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F则BF即为此时他 在路灯AC的影子长，容易知道EBFCAF，再利用它们对应边成比例求出现在的影子 【解答】解： （1）由对称性可知APBQ，设APBQxm MPBDAPMABD x3 经检验x3 是原方程的根，并且符合题意 AB2x+1223+1218（m） 答：两个路灯之间的距离为 18 米 （2）设王华走到路灯BD处头的顶部为E，连接CE并延长交AB的延长线于点F， 则BF即为此时他在路灯AC的影子长， 设BFym BEAC EBFCAF ，即 解得y3.6， 经检验y3.6 是分式方程的解 答：当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是
30、3.6 米 【点评】两个问题都主要利用了相似三角形的性质：对应边成比例 四、 （每小题 8 分，共 16 分） 20 （8 分）如图，吊车在水平地面上吊起货物时，吊绳BC与地面保持垂直，吊臂AB与水平线的 夹角为 64，吊臂底部A距地面 1.7m（参考数据 sin640.90，cos640.44，tan642.05） （1） 当吊臂底部A与货物的水平距离AC为5m时， 吊臂AB的长为 11.4 m（计算结果精确到0.1m） ； （2）如果该吊车吊臂的最大长度AD为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是多少？（吊钩的 长度与货物的高度忽略不计） 【分析】 （1）根据直角三角形的性质和三角函数
31、解答即可； （2）过点D作DH地面于H，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可 【解答】解： （1）在 RtABC中， BAC64，AC5m， AB50.4411.4（m） ； 故答案为：11.4； （2）过点D作DH地面于H，交水平线于点E， 在 RtADE中， AD20m，DAE64，EH1.7m， DEsin64AD200.918（m） ， 即DHDE+EH18+1.719.7（m） ， 答：如果该吊车吊臂的最大长度AD为 20m，那么从地面上吊起货物的最大高度是 19.7m 【点评】本题考查解直角三角形、锐角三角函数等知识，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角 形，记住锐角三角函数的定
32、义，属于中考常考题型 21 （8 分）如图，一次函数ykx+b的图象与反比例函数y的图象交于A（2，1） 、 B两点，点C坐标为（0，2） ，过点C的直线l与x轴平行 （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）求ABC的面积 【分析】 （1）将点A，点B坐标代入解析式可求一次函数与反比例函数的表达式； （2）先求出一次函数与y轴的交点坐标，由三角形的面积公式可求ABC的面积 【解答】解： （1）A（2，1） 、B两点在反比例函数y的图象上， m2（1）2，mn， n4 B（，4） ，反比例函数解析式为：y， A（2，1） 、B（，4） ，两点在一次函数ykx+b的图象上， 解得：k2，b5
33、 一次函数解析式为：y2x5 （2）一次函数y2x5 与y轴相交 交点坐标为（0，5） SABC 【点评】 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题， 熟练掌握两个图象的交点坐标满足两个图 象的解析式是本题的关键 五、 （本题 10 分） 22 （10 分）某汽车专卖店经销某种型号的汽车已知该型号汽车的进价为 15 万元/辆，经销一段 时间后发现：当该型号汽车售价定为 25 万元/辆时，平均每周售出 8 辆；售价每降低 0.5 万元，平均每 周多售出 1 辆 （1）当售价为 22 万元/辆时，求平均每周的销售利润 （2）若该店计划平均每周的销售利润是 90 万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的
34、售价 【分析】 （1） 根据当该型号汽车售价定为 25 万元/辆时， 平均每周售出 8 辆； 售价每降低 0.5 万元， 平均每周多售出 1 辆，即可求出当售价为 22 万元/辆时，平均每周的销售量，再根据销售利润一辆汽 车的利润销售数量列式计算； （2）设每辆汽车降价x万元，根据每辆的盈利销售的辆数90 万元，列方程求出x的值，进而 得到每辆汽车的售价 【解答】解： （1）由题意，可得当售价为 22 万元/辆时，平均每周的销售量是：1+814， 则此时，平均每周的销售利润是： （2215）1498（万元） ； （2）设每辆汽车降价x万元，根据题意得： （25x15） （8+2x）90， 解得
35、x11，x25， 当x1 时，销售数量为 8+2110（辆） ； 当x5 时，销售数量为 8+2518（辆） ， 为了尽快减少库存，则x5，此时每辆汽车的售价为 25520（万元） ， 答：每辆汽车的售价为 20 万元 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，本题关键是会表示一辆汽车的利润，销售量增加的 部分找到关键描述语，找到等量关系：每辆的盈利销售的辆数90 万元是解决问题的关键 六、 （本题 10 分） 23 （10 分）如图 1，在正方形ABCD中，AB4m，点P从点D出发，沿DA向点A匀速运动，速度 是 1cm/s，同时，点Q从点A出发，沿AB方向，向点B匀速运动，速度是 2cm/
36、s，连接PQ、CP、CQ， 设运动时间为t（s） （0t2） （1）是否存在某一时刻，使得PQBD若存在，求出t的值；若不存在，说明理由； （2）设PQC的面积为S（cm 2） ，求 S与t之间的函数关系式； （3）如图 2，连接AC，与线段PQ相交于点M，是否存在某一时刻t，使SQCM：SPCM4：5？若存 在，直接写t的值；若不存在，说明理由 【分析】 （1）由运动知，DPt，AQ2t，得出AP4t，BQ42t，判断出AQAP，得出 2t 4t，即可； （2）直接利用面积的和差即可得出结论； （3）先判断出，进而得出，再判断出，即可得出，解方程即 可得出结论 【解答】解： （1）如图 1，
37、连接BD， 四边形ABCD是正方形， ABBCCDAD4， 由运动知，DPt，AQ2t， AP4t，BQ42t， ABAD， ABDADB， PQBD， ABDAQP，APQADB， APQAQP， AQAP， 2t4t， t； （2）SS正方形ABCDSAPQSBCQSCDP AB 2 AQAPBQBCDPCD 162t（4t）（42t）4t4 16+t 24t8+4t2t t 22t+8（0t2） ； （3）如图 2， 过点C作CNPQ于N， SMCQMQCN，SMCPMPCN， SQCM：SPCM4：5， ， ， 过点M作MGAB于G，MHAD于H， 点M是正方形ABCD的对角线AC上的
38、一点， MGMH， SAMQAQMG，SAPMAPMH， ， ， t1 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，平行线的性质，同高的两三角形的面积 比是底的比，方程思想，解本题的关键是用方程的思想解决问题 七、 （本题 12 分） 24 （12 分） 【探索发现】 （1）如图 1，是一张直角三角形纸片，B90，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大 的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证 明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为 【拓展应用】 （2）如图 2，在ABC中，BCa，BC边上的高ADh，矩形PQ
39、MN的顶点P、N分别在边AB、AC 上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形PQMN面积的最大值（用含a、h的代数式表示） ； 【灵活应用】 （3）如图 3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB28，BC36，AE18，CD14，小明从中剪出了一 个面积最大的矩形（B为所剪出矩形的内角） ，直接写出该矩形的面积 【分析】 （1）由中位线知EFBC、EDAB、由可得； （2） 由APNABC知， 可得PNaPQ， 设PQx， 由S矩形PQMNPQPN （x） 2+ ，据此可得； （3）结合图形过DE上的点P作PGBC于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P作PHAB， 设PGx，知PI28x，由EIP
40、EKD知，据此求得EI36x，PH54x，再根据 矩形BGPH的面积Sx（54x）（x21） 2+567 可得答案 【解答】解： （1）EF、ED为ABC中位线， EDAB，EFBC，EFBC，EDAB， 又B90， 四边形FEDB是矩形， 则， 故答案为：； （2）PNBC， APNABC， ，可得PNaPQ， 设PQx，由S矩形PQMNPQPN（x） 2+ ， 当PQ时，S矩形PQMN最大值为 （3）如图，过DE上的点P作PGBC于点G，延长GP交AE延长线于点I，过点P作PHAB于点 H， 则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形， 设PGx，则PI28x， AB28，CD14，BC36
41、，AE18， DK14，EK18， 由EIPEKD知， 即，得EI36x， PHAIAE+EI18+36x54x， 则矩形BGPH的面积Sx（54x）（x21） 2+567， 当x21 时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为 567 【点评】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握三角形中位线定理、相似三角形的判定与性 质、矩形的判定与性质等知识点 八、 （本题 12 分） 25 （12 分）如图，已知二次函数yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，图象经过B（3， 0） 、C（0，3）两点，且与x轴交于点A （1）求二次函数yax 2+bx+c（a0）的表达式； （2）在抛物线
42、的对称轴上找一点M，使ACM周长最短，求出点M的坐标； （3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使BPC为直角三角形时点P的坐标 【分析】 （1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定 系数法即可求出二次函数的表达式； （2）连接BC，交直线x1 于点M，此时ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法 可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标； （3）设点P的坐标为（1，m） ，结合点B，C的坐标可得出PB 2，PC2，BC2的值，分BCP90， CBP90，BPC90三种情况考虑，当BCP90时，利用勾
43、股定理可得出关于m的一元一 次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；当CBP90时，利用勾股定理可得出关于 m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；当BPC90时，利用勾股定理 可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标综上，此题得解 【解答】解： （1）二次函数yax 2+bx+c（a0）的对称轴为直线 x1，点B的坐标为（3， 0） ， 点A的坐标为（1，0） 将A（1，0） ，B（3，0） ，C（0，3）代入yax 2+bx+c，得： ， 解得：， 二次函数的表达式为yx 22x+3 （2）连接BC，交直线x1 于点M，如图 1 所示 点
44、A，B关于直线x1 对称， AMBM 点B，C，M三点共线， 此时AM+CM取最小值，最小值为BC 设直线BC的函数表达式为ykx+d（k0） ， 将B（3，0） ，C（0，3）代入ykx+d，得：， 解得：， 直线BC的函数表达式为yx+3 当x1 时，yx+32， 当点M的坐标为（1，2）时，ACM周长最短 （3）设点P的坐标为（1，m） ， 点B的坐标为（3，0） ，点C的坐标为（0，3） ， PB 23（1）2+（0m）2m2+4，PC20（1）2+（3m）2m26m+10，BC20 （3） 2+（30）218 分三种情况考虑（如图 2） ： 当BCP90时，BC 2+PC2PB2，
45、18+m 26m+10m2+4， 解得：m4， 点P的坐标为（1，4） ； 当CBP90时，BC 2+PB2PC2， 18+m 2+4m26m+10， 解得：m2， 点P的坐标为（1，2） ； 当BPC90时，PB 2+PC2BC2， m 2+4+m26m+1018， 整理得：m 23m20， 解得：m1，m2， 点P的坐标为（1，）或（1，） 综上所述：使BPC为直角三角形时点P的坐标为（1，2） ， （1，） ， （1，） 或（1，4） 【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系 数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次 （二次）方程，解题的关键是： （1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式； （2）利用二 次函数的对称性及三角形的三边关系，找出点M所在的位置； （3）分BCP90，CBP90，BPC 90三种情况，找出关于m的方程
