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1、第 1 页，共 15 页高二数学期终试卷高二数学期终试卷副标题题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共 8 小题，共 40.0 分） 1. 已知集合 = * | 0+， = *| 1 6+，则 = A. *1,0+ B. *| 6+ C. *1,0,1,2,3,4,5,6+ D. *|1 0+ 2. 命题“ 0， 2 0”的否定是( ) A. “ 0， 2 0” B. “ 0， 2 0” C. “ 0， 2 0” D. “ 0， 2 0” 3. 设，则“ 5”是“1 4”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.

2、函数() = ln4 5的大致图象是 ( ) A. B. C. D. 5. 已知() = 3，则(2) = ( ) A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 6. 在中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(2 + 2 2)tan = 3，则角 B的值为 ( ) A. 6 B. 3 C. 6或 5 6 D. 3或 2 3 7. 设坐标原点为O，抛物线2 = 2与过焦点的直线交于A、 B两点，则等于( ) A. 3 4 B. 3 4 C. 3 D. 3 8. 已知等差数列*+的前 n 项和为，5 = 5，5= 15，则数列* 1 +1+的前 100项和100为( ) A.

3、100 101 B. 99 101 C. 99 100 D. 101 100 二、不定项选择题（本大题共 4 小题，共 16.0 分） 9. 已知直线 l：3 + 1 = 0，则下列结论正确的是( ) A. 直线 l的倾斜角是 6 B. 若直线 m： 3 + 1 = 0，则第 2 页，共 15 页 C. 点(3,0)到直线 l的距离是 2 D. 过(23,2)与直线 l平行的直线方程是3 4 = 0 10. 以下是关于圆锥曲线的四个命题中真命题为( ) A. 设 A，B为两个定点，k 为非零常数，若 = ，则动点 P 的轨迹是双曲线； B. 方程 + = 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心

4、率； C. 双曲线 = 与椭圆 + = 有相同的焦点； D. 以过抛物线的焦点的一条弦 AB 为直径作圆，则该圆与抛物线的准线相切 11. 已知1与2是共轭虚数，以下 4 个命题一定正确的是( ) A. 1 2 |2|2 B. 12= |12| C. 1+ 2 D. 1 2 12. 某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布，其密度函数为 () =，(正态分布的函数表达式为() = 1 2 ; ()2 22)则下列命题中正确的是( ) A. 该市这次考试的数学平均成绩为 80分 B. 分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同 C. 分数在 110 分以上的

5、人数与分数在 50 分以下的人数相同 D. 该市这次考试的数学标准差为 10 三、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 已知 x， :，且满足 3 + 4 = 1，则 xy的最大值为_ 14. 如图所示，以等腰直角三角形 ABC斜边 BC 上的高 AD 为折痕，使平面平面 ACD，则 = 15. 现有 10张奖券，其中 8张 2 元的， 2张 5 元的，从中同时取 3 张，记所得金额为元；则( = 9) =_ 16. 若直线 + 1 = 0与2 4 + 3 = 0垂直，则二项式(2 1 ) 5的展开式中 x的系数为_ 四、解答题（本大题共 7 小题，共 70.0

6、分） 17. 已知等差数列*+的前 n 项和为，且1+ 2= 0,5= 15，数列*+满足： 1= 2，且:1+ (+ 2)= 3:1. (1)求数列*+和*+的通项公式； (2)若= 1 (:5)log2+1，求数列*+的前 n项和. 第 3 页，共 15 页 18. 已知函数() = 1 + 23sincos 2sin2， (1)求函数()的单调区间； (2)若把()向右平移 6个单位得到函数()，求()在区间, 2 ,0-上的最小值和最大值 19. 如图，四棱锥中，底面 ABCD是边长为 2的正方形， , ，且 = 2，E为 PD中点 (1)求证：平面 ABCD；

7、(2)求二面角的正弦值 20. 新华书店刚刚上市了中国古代数学史，销售前该书店拟定了 5 种单价进行试销，每种单价(元)试销 l天，得到如下表单价(元)与销量(册)的数据：单价 x (元) 18 19 20 21 22 销量 y (册) 61 56 50 48 45 第 4 页，共 15 页 (1)根据表中数据，请建立 y关于 x 的回归直线方程； (2)预计今后的销售中，销量(册)与单价(元)服从()中的回归方程，已知每册书的成本是 12元，书店为了获得最大利润，该册书的单价应定为多少元？附： = =1 ; 2 =1 ;2 ， = ， 5 1 = 5160， 25 0)的右焦点

8、F与抛物线2= 8焦点重合，且椭圆的离心率为 6 3 ，过 x 轴正半轴一点(,0)且斜率为 3 3 的直线 l交椭圆于 A，B 两点 (1)求椭圆的标准方程； (2)是否存在实数 m使以线段 AB 为直径的圆经过点 F，若存在，求出实数 m 的值；若不存在说明理由 22. 已知函数() = ( 1)(ln 1) (1)求()在(1,0)处的切线方程； (2)若 (1,+)，不等式() 恒成立，且，求 a的最大值第 5 页，共 15 页 23. 有一名高二学生盼望 2021年进入某名牌大学学习，假设该名牌大学有以下条件之一均可录取： 2021年 2 月通过考试进入国家数学奥赛集训

9、队(集训队从 2020年 9 月省数学竞赛一等奖中选拔)； 2021年 6月自主招生考试通过并且达到 2021年 6 月高考重点分数线(该校自主招生不需要学生竞赛获奖)；2021年 6月高考达到该校录取分数线(该校录取分数线高于重点线)该学生已具备参加省数学竞赛、自主招生和高考的资格，且估计自己通过各种考试的概率如下表省数学竞赛一等奖自主招生通过高考达重点线高考达该校分数线 0.5 0.6 0.9 0.7 若该学生数学竞赛获省一等奖，则该学生估计进入国家集训队的概率是0.2.若进入国家集训队，则提前录取，若未被录取，则再按、顺序依次录取：前面已经被录取后，不得参加后面的考试或录

10、取.(注：自主招生考试通过且高考达重点线才能录取) ()求该学生参加自主招生考试的概率； ()求该学生参加考试的次数 X 的分布列及数学期望； ()求该学生被该校录取的概率第 6 页，共 15 页答案和解析答案和解析 1.【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查集合交集的运算，属于基础题因为集合 A的意义知 A是小于或等于 0的整数集，根据集合的交集概念计算即可【解答】解： = * 0+ * 1 6+ = *1,0+ 故选 A 2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查全称量词命题的否定，根据全称命题和特称命题互为否定即可求解，属于基础题【解答】解：全称命题的否定只需将全称量词

11、改为存在量词，并将结论否定 3.【答案】B 【解析】【分析】本题考查充分条件、必要条件与充要条件的判断，属于基础题由 5推不出1 4，1 4能推出 5，即可判断【解答】解：由题意得 5推不出1 4，1 4能推出 5 故“ 5”是“1 1，当 0时，函数为单调增函数，故排除 D 故选 C 5.【答案】D 【解析】【分析】本题考查了导数的运算和导数值的求法，属于基础题先求导，再代值计算即可【解答】第 7 页，共 15 页解：() = 3，则() = 32，则(2) = 3 4 = 12，故选：D 6.【答案】D 【解析】【分析】本题主要考查余弦定理，属于基础题先利用余

12、弦定理得到余弦值，再得到正弦值，再求出角【解答】解：由已知： 2:2;2 3 = 2 3 2:2;2 2 = 23 3 = 23 3 = 1， = 3 2 , = 3 或 2 3 ，故选 D 7.【答案】A 【解析】【分析】本题考查抛物线的简单几何性质的应用和平面向量的数量积公式，通过给变量取特殊值，检验所给的选项，是一种简单有效的方法根据抛物线的标准方程，求出焦点(1 2,0)，当 AB 的斜率不存在时，可得( 1 2,1)， ( 1 2,1)，求得的值，结合选择题的特点，得出结论【解答】解：抛物线2= 2的焦点(1 2,0 )，当 AB的斜率不存在时，可得(1

13、 2,1)，( 1 2,1)， = 1 2 1 2 + 1 (1) = 1 4 1 = 3 4，另解：设过焦点的直线为 = + 1 2，代入抛物线的方程可得2 2 1 = 0，可得12= 1， = 12+ 12 = (12)2 4 + 12= 1 4 1 = 3 4，故选 A 8.【答案】A 第 8 页，共 15 页【解析】【分析】本题主要考查的是等差数列的通项公式与求和问题，可先求出通项公式再裂项求和即可【解答】解：设公差为 d，依题可得1 + 4 = 5 51+ 10 = 15，解得 = 1 1= 1, 所以= 1+ ( 1) = ，所以 1 +1 = 1 (:1)，

14、所以100= 1 12 + 1 23 + + 1 100101 = 1 1 2 + 1 2 1 3 + + 1 100 1 101 = 1 1 101 = 100 101，故选 A 9.【答案】CD 【解析】【分析】本题考查直线的点斜式方程，直线垂直的判定，点到直线的距离公式等知识，属于中档题，【解答】解：对于 A，直线的斜率为3，倾斜角为 3，A错误，对于 B，直线 3 + 1 = 0的倾斜角为 6 ,3 + 1 = 0的倾斜角为 3，两直线不垂直，B 错误，对于 C，点(3,0)到直线 l的距离为|3:1| 3:1 = 4 2 = 2，C正确，对于 D，设与直线 l 平行

15、的直线方程为3 + = 0，因为它过(23,2)，所以2 3 2 + = 0, = 4,过(23,2)与直线 l 平行的直线方程是3 4 = 0， D 正确，故选 CD 10.【答案】BCD 【解析】【分析】本题考查圆锥曲线的几何性质，解决本题的关键是掌握好圆锥曲线的几何性质即可，属于容易题根据椭圆，双曲线，抛物线的性质求解即可【解答】解：A不正确，若动点 P的轨迹为双曲线，则|要小于 A、B为两个定点间的距离，当 |大于 A、B为两个定点间的距离时动点 P 的轨迹不是双曲线， B 正确，方程22 5 + 2 = 0的两根分别为 1 2和 2， 1 2和 2可分别作为椭圆和双曲线

17、解析】【分析】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 1与2是共轭虚数，设1= + ，2= ，a，，利用复数的运算性质及其有关概念即可得出【解答】解：1与2是共轭虚数，设1= + ，2= ，a，， 12= 2 2+ 2，当 0时，不能比较大小，因此 A不正确； 12= 2+ 2，B正确； 1+ 2= 2 ，C 正确； 1 2 = : ; = (:)2 (;)(:) = 2;2 2:2 + 2 2:2 ，不一定是实数，因此 D 不一定正确故选：BC 12.【答案】ACD 【解析】【分析】本题主要考查了正态分布曲线的特点及

18、曲线所表示的意义，以及利用几何图形的对称性求解，属于基础题根据密度函数的特点可得：平均成绩及标准差，再结合正态曲线的对称性可得分数在 110 分以上的人数与分数在 50分以下的人数相同从而即可选出答案【解答】解：其密度函数为() = 1 210 ;(80) 2 200( )，该市这次考试的数学平均成绩为 80 分，A 正确；该市这次考试的数学标准差为 10，D正确从图形上看，它关于直线 = 80对称，且 50 与 110也关于直线 = 80对称，故分数在 110分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同，B 错误，C正确故选 ACD 13.【答案】3 【解析

19、】解：因为 0， 0，所以1 = 3 + 4 2 3 4 3 (当且仅当 3 = 4，即 = 3 2， = 2时取等号)，第 10 页，共 15 页于是， 3 1， 3 故答案为：3 本题为利用基本不等式求最值，可直接由条件 3 + 4 = 1出发，求解本题主要考查了用基本不等式解决最值问题的能力，属基本题 14.【答案】60 【解析】【分析】本题主要考查了直线与直线所成的角，二面角，面面垂直的性质，属于基础题连接 BC，设 = = 1，在四面体中求解 BC 长度，即可得到答案【解答】解：连接 BC，不妨设 = = 1，则 = = 2 2 ，，平面平面 ACD，且

20、平面平面 = ，平面 ABD，平面 ADC，又平面 ADC，，是等腰直角三角形， = 2 = 1，在四面体中，是等边三角形， = 60 故答案为60 15.【答案】 7 15 【解析】【分析】本题考查了古典概型，属于基础题求出奖金的可能值，根据公式求出概率【解答】解： = 9代表事件为取出的三张有两张 2 元的，一张 5元的，所以( = 9) = 8 221 10 3 = 7 15 故答案为 7 15 16.【答案】 5 2 【解析】【分析】本题主要考查两条直线垂直的性质，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题由条件利用两条直线垂直的性质求得

21、a的值，再利用二项式展开式的通项公式求得展开式中 x 的系数【解答】解：由直线 + 1 = 0与2 4 + 3 = 0垂直，可得 1 1 2 = 1，求得 = 1 2，第 11 页，共 15 页则二项式(2 1 ) 5 = (1 2 2 1 ) 5的展开式的通项公式为 :1= 5 .1 2/ 5; (1) 10;3，令10 3 = 1，求得 = 3，可得展开式中 x 的系数为5 3 (1 2) 2 (1) = 5 2，故答案为： 5 2 17.【答案】解：(1)设等差数列*+的公差设为 d，等差数列*+的前 n 项和为，且1+ 2= 0,5= 15，可得21+ = 0， 5

22、1+ 1 2 5 4 = 15，由联立解得：1= 1， = 2，则= 1 + 2( 1) = 2 3；数列*+满足：1= 2，:1+ (+ 2)= 3:1，可得1= 2= 1，:1+ (2 1)= (6 1)，即为:1= 4，所以数列*+是以 1 为首项，4为公比的等比数列，可得= 4;1，故数列*+和*+的通项公式分别为= 2 3，= 4;1； (2)由(1)得= 1 (:5)log2+1 = 1 4(:1) = 1 4( 1 1 :1)， = 1 4,(1 1 2) + ( 1 2 1 3) + + ( 1 1 :1)- = 1 4.1 1 :1/ = 4(:1) 【解析】本题

23、考查等差数列和等比数列的定义、通项公式和求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能力，属于中档题 (1)设等差数列*+的公差设为 d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可得*+的通项公式；由递推关系式得到数列*+为等比数列，根据等比数列的定义可得*+的通项公式； (2)求得= 1 (:5)log2+1 = 1 4(:1) = 1 4( 1 1 :1)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和 18.【答案】解： = 3sin2 + cos2 = 2sin(2 + 6 )，令，，得，，可得函数()的单调增区间为，；令2k + 2 2 + 6

24、 2k + 3 2 ，，得k + 6 k + 2 3 ，，可得函数()的单调减区间为,k + 6 ,k + 2 3 -，；第 12 页，共 15 页 (2)若把函数()的图象向右平移 6个单位，得到函数的图象， , 2 ,0-， 2 6 , 7 6 , 6-，，故()在区间, 2 ,0-上的最小值为2，最大值为 1 【解析】本题考查三角函数的化简及函数 = Asin(x+ )的图象性质和最值、二倍角公式和辅助角公式，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题 (1)利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数()的解析式，再利用正弦函数的单调性，求

25、得函数()的单调区间； (2)利用函数 = Asin(x + )的图象变换规律求得()的解析式，由 x 的范围求出 x + 的范围，即可利用正弦函数的性质求出()的范围 19.【答案】(1)证明：底面 ABCD为正方形，，又， = ，AB，平面 PAB，平面 PAB，又平面 PAB，，同理，又 = ，BC，平面 ABCD，平面 ABCD； (2)解：建立如图的空间直角坐标系，则(0,0，0)，(2,2，0)，(0,1，1)，(2,0，0)，设 = (,y，)为平面 ABE 的一个法向量，又 = (0,1，1)， = (2,0，0)， + = 0 2 = 0 ，令

26、 = 1， = 1，得 = (0,1,1)，同理 = (1,0，2)是平面 BCE的一个法向量，则cos = 2 25 = 10 5 ，二面角的正弦值为 15 5 第 13 页，共 15 页【解析】本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求二面角，属于中档题 (1)证明， .即可得平面 ABCD； (2)分别以 AB，AD，AP 所在的直线分别为 x，y，z 轴，建立如图空间直角坐标系，求出平面 BCE 的一个法向量、平面 ABE 的一个法向量即可 20.【答案】解：(1)由题意， = 18:19:20:21:22 5 = 20， = 61:56:50:48:45 5 = 52，

27、5 1 = 5160， 25 0)，由 2 6 + 2 2 = 1 = 3 3 ( ) 消去 y得22 2 + 2 6 = 0 由 = 42 8(2 6) 0，解得23 0， 0 23 设(1,1)，(2,2)，则1+ 2= ，12= 2;6 2 12= , 3 3 (1 )- , 3 3 (2 )- = 1 312 3 (1+ 2) + 2 3 = (1 2,1)， = (2 2,2)，第 14 页，共 15 页 = (1 2)(2 2) + 12= 4 312 :6 3 (1+ 2) + 2 3 + 4 = 2(;3) 3 ，若存在 m 使以线段 AB为直径的圆经过点 F，则必

28、有 = 0，即2(;3) 3 = 0，解得 = 0,3.又0 1)，令() = ln 1，则() = ln + 1 因为，所以() 0，因此函数()在上是增函数又因为(1) = 1 0，所以函数()在(1,2)上存在唯一的零点0，使得(0) = 0ln0 1 = 0，因此当 (1,0)时，() 0，即() 0，即() 0，所以函数()在(1,0)是增函数，因此当 = 0时，函数()取得最小值， ()min= (0) = (0 1)(ln0 1) = (0 1).1 0 1/，所以要，不等式() 恒成立，则 (0 1). 1 0 1/对0 (1,2)恒成立令() = ( 1)

29、.1 1/( (1,2)，则() = 1;2 2 (2) = 1 2，所以 1 2 又因为，所以 a 的最大值为1 【解析】本题考查了函数零点存在性定理，导数的几何意义，直线的点斜式方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，导数中的恒成立与存在性问题和函数的最值，考查了学生的运算和逻辑思维能力，属于较难题 (1)利用导数的几何意义，结合直线的点斜式方程，计算得结论； (2)由(1)知：() = ln;1 ( 1)，令() = ln 1，利用导数研究函数的单调性得函数()在上是增函数，再利用函数零点存在性定理得函数()在(1,2)上存第 15 页，共 15 页在唯一

30、的零点0，再利用导数研究函数的极值得当 = 0时，函数()取得最小值，再利用导数中的恒成立问题处理策略得 (0 1). 1 0 1/对0 (1,2)恒成立，再令 () = ( 1).1 1/( (1,2)，利用导数研究函数的单调性和利用函数单调性求最值得 1 2，最后利用题目条件得结论 23.【答案】解： ()设学生数学竞赛获省一等奖，参加国家集训队的事件分别为 A、 B，则() = 0.5,() = 0.2，则该学生参加自主招生考试的概率为1= () + () = 1 0.5 + 0.5 (1 0.2) = 0.9，即该学生参加自主招生考试的概率为0.9； ()该学生参加考试的

31、次数 X 的可能取值为 2，3，4， ( = 2) = ()() = 0.5 0.2 = 0.1， ( = 3) = () = 1 0.5 = 0.5， ( = 4) = ()() = 0.5 0.8 = 0.4， X 2 3 4 P 0.1 0.5 0.4 () = 2 0.1 + 3 0.5 + 4 0.4 = 3.3； ()设该生自主招生考试通过且高考达重点分数录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件为 C、D， () = 0.1,() = 0.9 0.6 0.9 = 0.486,() = 0.9 0.4 0.7 = 0.252，所以该学生被该校录取的概率为2= ()

32、+ () + () = 0.838 【解析】本题考查了离散型随机变量及其分布列、期望和相互独立事件同时发生的概率，是中档题 ()参加自主招生考试的学生为未获得一等奖或获得一等奖但未进入国家队，由相互独立事件计算即可； ()该学生参加考试的次数X的可能取值为2， 3， 4， ( = 2) = ()() = 0.5 0.2 = 0.1，( = 3) = () = 1 0.5 = 0.5，( = 4) = ()() = 0.5 0.8 = 0.4，得出分布列和期望； ()设该生自主招生考试通过且高考达重点分数录取，自主招生未通过但高考达到该校录取分数线录取的事件为 C、D，按照录取的条件计算即可得，(),(),()，根据2= () + () + ()，从而可得该学生被该校录取的概率

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