1、 中考数学 （浙江专用） 第八章 数学思想方法 8.1 分类讨论思想 1.已知直角三角形两边的长a、b满足|a-2|+=0,则第三边长为 . 2 3b 答案答案 1或 7 解析解析 由非负数的性质知,a-2=0且b2=3,a=2,b=.当a为斜边长时,由勾股定理得,第三边长为1;当 a为直角边长时,由勾股定理得,第三边长为. 3 7 2.A,B两地相距450千米,甲、乙两车分别从A、B两地同时出发,相向而行.已知甲车速度为120千米/时,乙 车速度为80千米/时,经过t小时两车相距50千米,则t的值是 . 答案答案 2或2.5 解析解析 相遇前:120t+80t+50=450,解得t=2;相遇
2、后:120t+80t-50=450,解得t=2.5. 3.(2017湖北襄阳,15,3分)在半径为1的O中,弦AB,AC的长分别为1和,则BAC的度数为 . 2 答案答案 15或105 解析解析 O的半径为1,弦AB=1, OA=OB=AB, AOB是等边三角形,OAB=60, 弦AC=,OAC=45. 如图1,此时BAC=BAO-CAO=60-45=15; 如图2,BAC=BAO+CAO=60+45=105. 2 4.如图,已知点A(-1,0)和点B(1,2),在坐标轴上确定点P,使得ABP为直角三角形,那么满足条件的点P共 有 个. 答案答案 6 解析解析 当AB为斜边,APB=90时,存
3、在3个满足题意的点;当PAB=90时,存在1个满足题意的点;当PBA= 90时,存在2个满足题意的点,满足条件的点P共有6个. 5.(2017湖北鄂州,15,3分)如图,ACx轴于点A,点B在y轴的正半轴上,ABC=60,AB=4,BC=2,点D为 AC与反比例函数y=(k0)的图象的交点,若直线BD将ABC的面积分成12的两部分,则k的值为 . 3 k x 答案答案 -8或-4 解析解析 如图,过点C作CMAB于点M,在RtCBM中,BC=2,ABC=60,BM=,CM=3,SABC=AB CM=AC AO=6,BD将ABC的面积分成12的两部分,AD=AC或AD=AC,点D在反比例函数 y
4、=(k0)的图象上,k=-AC OA=-4或k=-AC OA=-8. 33 1 2 1 2 1 3 2 3 k x 1 3 2 3 6.(2020温州,24,14分)如图,在四边形ABCD中,A=C=90,DE,BF分别平分ADC,ABC,并交线段AB, CD于点E,F(点E,B不重合).在线段BF上取点M,N(点M在BN上),使BM=2FN.当点P从点D匀速运动到点E 时,点Q恰好从点M匀速运动到点N.记QN=x,PD=y,已知y=-x+12,当Q为BF的中点时,y=. (1)判断DE与BF的位置关系,并说明理由; (2)求DE,BF的长; (3)若AD=6. 当DP=DF时,通过计算比较B
5、E与BQ的大小关系; 连接PQ,当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时,求所有满足条件的x的值. 6 5 24 5 解析解析 (1)DEBF,理由如下(如图1): 图1 A=C=90, ADC+ABC=360-(A+C)=180. DE,BF分别平分ADC,ABC, ADE=ADC,ABF=ABC, 1 2 1 2 ADE+ABF=180=90. ADE+AED=90, AED=ABF,DEBF. (2)在y=-x+12中,令x=0,得y=12,DE=12.令y=0,得x=10,MN=10. 把y=代入y=-x+12,得x=6,即NQ=6, QM=10-6=4. Q是BF的中点,FQ=Q
6、B. BM=2FN,FN+6=4+2FN,得FN=2,BM=4, BF=FN+MN+MB=16. (3)如图2,连接EM并延长交BC于点H, 1 2 6 5 24 5 6 5 图2 FM=2+10=12=DE,DEBF, 四边形DFME是平行四边形, DF=EM. AD=6,DE=12,A=90, DEA=30=FBE=FBC. ADE=60=CDE=FME, MEB=FBE=30,EHB=90, DF=EM=BM=4,MH=2,HB=2, BE=4. 当DP=DF时,-x+12=4,解得x=. BQ=14-x=14-=. 4,BQBE. (i)当PQ经过点D时(如图3),y=0, x=10.
7、 图3 3 22 6(2 3)3 6 5 20 3 20 3 22 3 22 3 3 (ii)当PQ经过点C时(如图4), 图4 FQDP,CFQCDP, =, =,解得x=. (iii)当PQ经过点A时(如图5), 图5 FQ DP CF CD 2 6 12 5 x x 8 12 10 3 PEBQ,APEAQB, =. AE=6, AB=10, =, 解得x=. 由图可知,PQ不可能过点B. 综上所述,当x=10或或时,PQ所在的直线经过四边形ABCD的一个顶点. PE QB AE AB 22 1263 3 6 1212 5 14 x x 6 3 10 3 14 3 10 3 14 3 思
8、路分析思路分析 (1)利用四边形的内角和为360,可得ADC+ABC=180,再利用角平分线的定义证明 ADE+ABF=90,由ADE+AED=90可以推出AED=ABF,然后根据“同位角相等,两直线平行” 证得结论. (2)利用函数解析式求出当x=0时y的值及y=0时x的值,即可得到DE和MN的长,结合已知得QM的长,利用 FQ=QB及BM=2FN列出含FN的等式,就可以求出FN,BM的长,最后得出BF的长. (3)连接EM并延长交BC于点H,先证得四边形DFME是平行四边形,易得DF=EM,再求出MH,HB的长,利 用勾股定理求出BE的长,根据DP=DF求出x的值,即可得到BQ的长,然后比
9、较BQ与BE的大小. (i)当PQ经过点D时,y=0,则x=10; (ii)当PQ经过点C时,由FQDP得出CFQCDP,则=,即可求得x=; (iii)当PQ经过点A时,由PEBQ得出APEAQB,则=,根据勾股定理得AE=6,则AB=10, 利用比例关系解得x=. FQ DP CF CD 10 3 PE QB AE AB 3 3 14 3 7.(2020衢州,23,10分) 如图1,在平面直角坐标系中,ABC的顶点A,C分别是直线y=-x+4与坐标轴的交点,点B的坐标为(-2,0). 8 3 图1 点D是边AC上的一点,DEBC于点E,点F在边AB上,且D、F两点关于y轴上的某点成中心对称
10、,连接DF, EF.设点D的横坐标为m,EF2为l,请探究: 线段EF长度是否有最小值; BEF能否成为直角三角形. 小明尝试用“观察猜想验证应用”的方法进行探究,请你一起来解决问题. (1)小明利用“几何画板”软件进行观察,测量,得到l随m变化的一组对应值,并在平面直角坐标系中以各 对应值为坐标描点(如图2),请你在图2中连线,观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别; 图2 (2)小明结合图1,发现应用三角形和函数知识能验证(1)中的猜想.请你求出l关于m的函数表达式及自变 量的取值范围,并求出线段EF长度的最小值; (3)小明通过观察,推理,发现BEF能成为直角三角形.请你求出当BEF
11、为直角三角形时m的值. 解析解析 (1)画图略.(1分) 函数类别:二次函数.(2分) (2)如图,过点F,D分别作FG,DH垂直于y轴,垂足分别为G,H.则FGK=DHK=90,记FD交y轴于点K. D点与F点关于y轴上的K点成中心对称,KF=KD. FKG=DKH,RtFGKRtDHK(AAS),FG=DH. 由yAC=-x+4知A(0,4),又B(-2,0), yAB=2x+4.(3分) 过F点作FRx轴于点R. 8 3 D点横坐标为m,F(-m,-2m+4).(4分) ER=2m,FR=-2m+4. EF2=FR2+ER2,l=EF2=8m2-16m+16=8(m-1)2+8.(5分)
12、 令-+4=0,得x=. 0m.(6分) 当m=1时,l的最小值为8.(7分) EF的最小值为2.(8分) (3)FBE为定角,不可能为直角(不写不扣分). BEF=90时,E点与O点重合,D点与A点,F点重合,此时m=0. 如图,BFE=90时,有BF2+EF2=BE2. 8 3 x3 2 3 2 2 由(2)得EF2=8m2-16m+16, 又BR=-m+2,FR=-2m+4, BF2=BR2+FR2=(-m+2)2+(-2m+4)2=5m2-20m+20. 又BE2=(m+2)2, (5m2-20m+20)+(8m2-16m+16)=(m+2)2, 化简得,3m2-10m+8=0. 解得m1=,m2=2(不符合题意,舍去). m=. 4 3 4 3 综上可知,当BEF为直角三角形时,m=0或m=.(10分) 4 3
