1、 中考数学 （山东专用） 第八章 专题拓展 8.4 二次函数综合问题 1.(2020济宁,21,9分)我们把方程(x-m)2+(y-n)2=r2(r0)称为圆心为(m,n)、半径长为r的圆的标准方程.例如,圆 心为(1,-2)、半径长为3的圆的标准方程是(x-1)2+(y+2)2=9.在平面直角坐标系中,C与x轴交于点A,B,且点B 的坐标为(8,0),与y轴相切于点D(0,4),过点A,B,D的抛物线的顶点为E. (1)求C的标准方程; (2)试判断直线AE与C的位置关系,并说明理由. 解析解析 (1)如图,连接CD,CB,过点C作CMAB于M.设C的半径为r. C与y轴相切于点D(0,4)
2、, CDOD, CDO=CMO=DOM=90, 四边形ODCM是矩形, CM=OD=4,CD=OM=r, B(8,0), OB=8, BM=8-r, 在RtCMB中,BC2=CM2+BM2, r2=(8-r)2+42,解得r=5, C(5,4), C的标准方程为(x-5)2+(y-4)2=25. (2)AE是C的切线. 理由:连接AC,CE. 由(1)知AM=BM=3, A(2,0),B(8,0), 设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x-8), 把D(0,4)代入y=a(x-2)(x-8),可得a=, 抛物线的解析式为y=(x-2)(x-8)=x2-x+4=(x-5)2-, 1 4 1 4
3、1 4 5 2 1 4 9 4 抛物线的顶点E, AE=,CE=4+=,AC=5, EC2=AC2+AE2, CAE=90, CAAE, AE是C的切线. 9 5,- 4 2 2 9 3 4 15 4 9 4 25 4 2.(2019枣庄,25,10分)已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与 y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标; (2)如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P,使四边形PBOC的面 积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存在,请说明理由;
4、 (3)如图2,若点M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,求点M的坐标. 3 2 解析解析 (1)抛物线的对称轴是直线x=3, -=3,解得a=-, 抛物线的解析式为y=-x2+x+4. 当y=0时,-x2+x+4=0,解得x1=-2,x2=8, 点B在点A右侧, 点A的坐标为(-2,0),点B的坐标为(8,0). (2)当x=0时,y=-x2+x+4=4, 点C的坐标为(0,4). 3 2 2a 1 4 1 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 设直线BC的解析式为y=kx+b(k0),将(8,0),(0,4)代入y=kx+b得解得 直线BC的解析
5、式为y=-x+4. 假设存在点P,使四边形PBOC的面积最大, 设点P的坐标为(0x8),如图所示,过点P作PDy轴,交直线BC于点D,则点D的坐标为 , 则PD=-x2+x+4-=-x2+2x, =SBOC+SPBC 80, 4, kb b 1 -, 2 4. k b 1 2 2 13 ,-4 42 xxx 1 ,-4 2 xx 1 4 3 2 1 -4 2 x 1 4 PBOC S四边形 =84+PD OB =16+8 =-x2+8x+16 =-(x-4)2+32. 0x8, 当x=4时,四边形PBOC的面积最大,最大值是32. 存在点P(4,6),使得四边形PBOC的面积最大, 四边形P
6、BOC面积的最大值为32. 1 2 1 2 1 2 2 1 -2 4 xx (3)设点M的坐标为,则点N的坐标为, MN=, 又MN=3, =3, 2 13 ,-4 42 mmm 1 ,-4 2 mm 2 131 -4- -4 422 mmm 2 1 -2 4 mm 2 1 -2 4 mm 当0m8时,-m2+2m-3=0, 解得m1=2,m2=6, 点M的坐标为(2,6)或(6,4); 当m8时,-m2+2m+3=0,解得m3=4-2,m4=4+2, 点M的坐标为(4-2,-1)或(4+2,-1). 综上,点M的坐标为(2,6)或(6,4)或(4-2,-1)或(4+2,-1). 1 4 1
7、4 77 7777 7777 3.(2020泰安新泰期末,25,13分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,点D与点C关于 x轴对称,点P是x轴上的一个动点,设点P的坐标为(m,0),过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q. (1)求点A、点B、点C的坐标; (2)当点P在线段OB上运动时,直线l交直线BD于点M,试探究m为何值时,四边形CQMD是平行四边形; (3)点P在线段AB上运动过程中,是否存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似?若存在, 求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 1 2 3 2 解析解析 (1)抛物线y=-x2+x+2,当x=
8、0时,y=2, C(0,2), 当y=0时,即-x2+x+2=0,解得x1=4,x2=-1, A(-1,0),B(4,0), A(-1,0),B(4,0),C(0,2). (2)点D与点C关于x轴对称, D(0,-2),CD=4, 设直线BD的关系式为y=kx+b,把D(0,-2),B(4,0)代入得,解得k=,b=-2, 直线BD的关系式为y=x-2. 1 2 3 2 1 2 3 2 -2, 40, b kb 1 2 1 2 由点P的坐标为(m,0),得M,Q, QM=-m2+m+2-m+2=-m2+m+4, 当QM=CD时,四边形CQMD是平行四边形, -m2+m+4=4, 解得m1=0(
9、舍去),m2=2, 当m=2时,四边形CQMD是平行四边形. (3)在RtBOD中,OD=2,OB=4,OB=2OD. 若MBQ=90,如图1所示, 由QBMBOD,得QP=2PB, 1 ,-2 2 mm 2 13 ,-2 22 mmm 1 2 3 2 1 2 1 2 1 2 设点P的横坐标为x,则QP=-x2+x+2,PB=4-x, -x2+x+2=2(4-x), 解得x1=3,x2=4(舍去), 当x=3时,PB=4-3=1, PQ=2PB=2, 点Q的坐标为(3,2). 若MQB=90,如图2所示,此时点P、Q与点A重合, Q(-1,0). 点M在直线BD上,QMB90,这种情况不存在.
10、 综上所述,点P在线段AB上运动过程中,存在点Q,使得以点B、Q、M为顶点的三角形与BOD相似,点Q的 1 2 3 2 1 2 3 2 坐标为(3,2)或(-1,0). 4.(2020临沂兰山期末,26,13分)如图,抛物线y=ax2+bx-3经过点A(2,-3),与x轴负半轴交于点B,与y轴交于点C, 且OC=3OB. (1)求抛物线的解析式; (2)抛物线的对称轴上有一点P,使PB+PC的值最小,求点P的坐标; (3)点M在抛物线上,点N在抛物线的对称轴上,是否存在以点A,B,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存 在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由. 解析解析 (
11、1)令x=0,则y=-3,OC=3, OC=3OB,OB=1,B(-1,0), A(2,-3),B(-1,0)在抛物线y=ax2+bx-3上, 抛物线的解析式为y=x2-2x-3. (2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2-2x-3, 抛物线的对称轴为直线x=1, 由(1)知,C(0,-3),A(2,-3), 点A,C关于直线x=1对称, 直线AB与直线x=1的交点为点P, 42 -3-3, - -30, ab a b 1, -2, a b 设直线AB的解析式为y=kx+c, 点A(2,-3),B(-1,0)在直线AB上, 直线AB的解析式为y=-x-1. 令x=1,则y=-2,P(1,-2
12、). (3)设点N(1,n),M(m,m2-2m-3), A(2,-3),B(-1,0), 当AB与MN为对角线时,AB与MN互相平分, (2-1)=(m+1),m=0,M(0,-3); -0, 2-3, kc kc -1, -1, k c 1 2 1 2 当AN与BM为对角线时,AN与BM互相平分, (1+2)=(m-1),m=4,M(4,5); 当AM与BN为对角线时,AM与BN互相平分, (m+2)=(1-1),m=-2,M(-2,5). 故满足条件的点M的坐标为(0,-3)或(4,5)或(-2,5). 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)易知点B坐标,将点A,B坐标
13、代入解析式中,构造方程组求解可得; (2)先判断出点P是直线AB与抛物线对称轴的交点,再用待定系数法求出直线AB的解析式,即可得出结论; (3)设出点M,N的坐标,利用平行四边形的对角线互相平分,建立方程求解即可得出. 5.(2020山西,23,13分)综合与探究 如图,抛物线y=x2-x-3与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A,D两点,与 y轴交于点E,点D的坐标为(4,-3). 1 4 (1)请直接写出A,B两点的坐标及直线l的函数表达式; (2)若点P是抛物线上的点,点P的横坐标为m(m0),过点P作PMx轴,垂足为M,PM与直线l交于点N,当点
14、N 是线段PM的三等分点时,求点P的坐标; (3)若点Q是y轴上的点,且ADQ=45,求点Q的坐标. 解析解析 (1)A(-2,0),B(6,0),直线l的函数表达式为y=-x-1.(3分) 详解:令x2-x-3=0,得x2-4x-12=0, (x-6)(x+2)=0, x1=-2,x2=6. A(-2,0),B(6,0). 设直线l的函数表达式为y=kx+b(k0),把A(-2,0),D(4,-3)代入得 解得 直线l的函数表达式为y=-x-1. (2)如图,根据题意可知,点P与点N的坐标分别为P,N. 1 2 1 4 -20, 4-3, kb kb 1 -, 2 -1. k b 1 2 2
15、 1 ,- -3 4 mm m 1 ,-1 2 mm PM=-m2+m+3,MN=m+1. NP=-=-m2+m+2. 分两种情况: 当PM=3MN时,得-m2+m+3=3.(4分) 2 1 - -3 4 m m 1 4 1 -1 2 m 1 2 1 -1 2 m 2 1 - -3 4 m m 1 4 1 2 1 4 1 1 2 m 解得m1=0,m2=-2(舍去). 当m=0时,m2-m-3=-3.点P的坐标为(0,-3).(5分) 当PM=3NP时,得-m2+m+3=3.(6分) 解得m1=3,m2=-2(舍去). 当m=3时,m2-m-3=-.点P的坐标为. 当点N是线段PM的三等分点时
16、,点P的坐标为(0,-3)或.(7分) (3)直线y=-x-1与y轴交于点E,点E的坐标为(0,-1). 分两种情况:如图,当点Q在y轴正半轴上时,记为点Q1. 1 4 1 4 2 11 -2 42 mm 1 4 15 4 15 3,- 4 15 3,- 4 1 2 过点Q1作Q1H直线l,垂足为H,则Q1HE=AOE=90, Q1EH=AEO,Q1HEAOE. =.即=.Q1H=2HE.(8分) 又Q1DH=45,Q1HD=90,HQ1D=Q1DH=45. DH=Q1H=2HE.HE=ED.(9分) 连接CD,点C的坐标为(0,-3),点D的坐标为(4,-3), CDy轴.ED=2. HE=
17、2,Q1H=4.Q1E=10. OQ1=Q1E-OE=10-1=9,点Q1的坐标为(0,9).(10分) 如图,当点Q在y轴负半轴上时,记为点Q2.过点Q2作Q2G直线l,垂足为G.则Q2GE=AOE=90, 1 Q H AO HE OE 1 2 Q H 1 HE 22 ECCD 22 -1-(-3)45 55 22 1 HEQ H 22 (2 5)(4 5) Q2EG=AEO,Q2GEAOE. =.即=.Q2G=2EG.(11分) 又Q2DG=45,Q2GD=90,DQ2G=Q2DG=45. DG=Q2G=2EG.ED=EG+DG=3EG.(12分) 由可知,ED=2.3EG=2.EG=.Q
18、2G=. EQ2=. OQ2=OE+EQ2=1+=.点Q2的坐标为. 点Q的坐标为(0,9)或.(13分) 2 Q G AO EG OE 2 2 Q G 1 EG 55 2 5 3 4 5 3 22 2 EGQ G 22 2 54 5 33 10 3 10 3 13 3 13 0,- 3 13 0,- 3 方法总结方法总结 与二次函数有关的解答题中涉及线段长度或最值问题时一般采用坐标法,就是以坐标系为桥 梁,通过坐标把线段转化成代数问题,通过代数运算解决问题,同时注意分类讨论思想的应用. 难点突破难点突破 本题第(3)问注意分类讨论.当点Q在y轴正半轴上时,记作Q1,作Q1H直线l于H,构造Q
19、1HE AOE;当点Q在y轴负半轴上时,记作Q2,作Q2G直线l于G,构造Q2GEAOE.然后根据相似比和勾股 定理进行解答. 6.(2020云南,23,12分)抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,点A的坐标为(-1,0),点C的坐标 为(0,-3).点P为抛物线y=x2+bx+c上的一个动点.过点P作PDx轴于点D,交直线BC于点E. (1)求b、c的值; (2)设点F在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上,当ACF的周长最小时,直接写出点F的坐标; (3)在第一象限,是否存在点P,使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍?若存在,求出点P所有的 坐标;若不
20、存在,请说明理由. 解析解析 (1)将A(-1,0),C(0,-3)分别代入y=x2+bx+c, 得(1分) 解得 b=-2,c=-3.(3分) (2)点F的坐标为(1,-2).(7分) 提示:设抛物线的对称轴与x轴交于点G,因为AC的长为定值,所以当AF+CF的长最小时,ACF的周长最小, 由(1)易得G(1,0),B(3,0),点A关于直线FG的对称点为点B,当点B、C、F在一条直线上时,AF+CF的长最小. OCGF,BGFBOC,=,GF=2,F(1,-2). (3)存在满足要求的点P,且点P的坐标为(5,12). 1-0, -3, bc c -2, -3. b c GF OC BG
21、BO 由(1)知b=-2,c=-3,y=x2-2x-3. 令y=0,得0=x2-2x-3, 解得x1=-1,x2=3, A(-1,0),B(3,0). 设直线BC的解析式为y=kx+m(k0), 把B(3,0),C(0,-3)代入y=kx+m, 得解得 直线BC的解析式为y=x-3. 03, -30, km km 1, -3. k m 设P(n,n2-2n-3),根据题意得n3,E(n,n-3),D(n,0),PE=n2-3n,DE=n-3.(9分) 点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍, 以BE为底的BEP的面积是以BE为底的BED面积的5倍, 即SBEP=5SBED. SBEP
22、=PE BD,SBED=DE BD, 1 2 1 2 PE BD=5DE BD, PE=5DE.(11分) n2-3n=5(n-3),即(n-3)(n-5)=0,解得n=3或n=5. n3,n=5,y=52-25-3=12, 点P的坐标为(5,12).(12分) 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)用待定系数法可求出b、c的值;(2)运用轴对称及三角形相似可求得点F的坐标;(3)求出直线 BC的解析式,设出点P,点E的坐标,再分别表示线段PE,DE的长,将题中的距离关系转化为三角形的面积关 系,可得SBEP=5SBED,进而得出PE=5DE,解方程求出点P的坐标. 7.(2020湖南常德,
23、25,10分)如图,已知抛物线y=ax2过点A. (1)求抛物线的解析式; (2)已知直线l过点A,M且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA MB; (3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有 符合条件的P点坐标. 9 -3, 4 3 ,0 2 解析解析 (1)把点A代入y=ax2, 得=9a, a=, 抛物线的解析式为y=x2.(3分) (2)证明:设直线l的解析式为y=kx+b(k0), 则解得 直线l的解析式为y=-x+, 9 -3, 4 9 4 1 4 1 4 9 -3, 4 3 0, 2 kb kb
24、 1 -, 2 3 , 4 k b 1 2 3 4 令x=0,得y=,C, 由解得或 B. 如图,过点A作AA1x轴于A1,过点B作BB1x轴于B1,则BB1OCAA1, 3 4 3 0, 4 2 1 , 4 13 - 24 yx yx 1, 1 4 x y -3, 9 , 4 x y 1 1, 4 =,=, =,即MC2=MA MB.(7分) (3)OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形, BM MC 1 MB MO 3 -1 2 3 2 1 3 MC MA 1 MO MA 3 2 3 -(-3) 2 1 3 BM MC MC MA PDOC,PD=OC, 如图,设P, D. =, 2 1 , 4 tt 13 ,- 24 tt 2 113 - - 424 tt 3 4 整理得t2+2t-6=0或t2+2t=0, 解得t=-1-或-1+或-2或0(舍去), P或或(-2,1).(10分) 77 7 -1- 7,2 2 7 -17,2- 2 思路分析思路分析 (1)利用待定系数法即可求出解析式. (2)构建方程组确定点B的坐标,再利用平行线分线段成比例定理分别求得和的值,进而得到= ,即可证明. (3)根据题意设P,D,根据PD=OC构建方程,求出t即可解决. BM MC MC MA BM MC MC MA 2 1 , 4 tt 13 ,- 24 tt
