1、 中考数学 6.3 解直角三角形 考点一 锐角三角函数 1.(2019天津,2,3分)2sin 60的值等于( ) A.1 B. C. D.2 23 答案答案 C 根据特殊角的三角函数值,可得sin 60=,则2sin 60=2=,故选C. 3 2 3 2 3 2.(2019吉林长春,6,3分)如图,一把梯子靠在垂直于水平地面的墙上,梯子AB的长是3米.若梯子与地面的 夹角为,则梯子顶端到地面的距离BC为( ) A.3sin 米 B.3cos 米 C.米 D.米 3 sin 3 cos 答案答案 A 因为sin =, 所以BC=ABsin =3sin (米). BC AB 考点二 解直角三角形
2、 1.(2020四川南充,8,4分)如图,点A,B,C在正方形网格的格点上,则sinBAC=( ) A. B. C. D. 2 6 26 26 26 13 13 13 答案答案 B 如图,作BDAC于D, 设正方形网格中每个小正方形的边长为1, AB=, 又BD=, sinBAC=. 故选B. 22 3213 22 11 2 2 2 BD AB 2 2 13 26 26 2.(2020安徽,8,4分)如图,RtABC中,C=90,点D在AC上,DBC=A.若AC=4,cos A=,则BD的长度为 ( ) A. B. C. D.4 4 5 9 4 12 5 15 4 答案答案 C 在RtABC中
3、,C=90,AC=4,cos A=,AB=5,BC=3,DBC=A, cosDBC=,BD=,故选C. AC AB 4 5 22 -AB AC BC BD 4 5 15 4 思路分析思路分析 先利用cos A的值和勾股定理求出BC的长,再利用cosDBC=cos A=求出BD的长. 4 5 3.(2019陕西,6,3分)如图,在ABC中,B=30,C=45,AD平分BAC,交BC于点D,DEAB,垂足为E.若 DE=1,则BC的长为( ) A.2+ B.+ C.2+ D.3 2233 答案答案 A 过点D作DFAC,垂足为F.AD平分BAC,DEAB,DE=DF=1.B=30,BD=2DE=2
4、. C=45,DC=DF=,BC=BD+CD=2+,故选A. 222 4.(2019浙江杭州,14,4分)在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cos C= . 答案答案 或 3 2 2 5 5 解析解析 当AC为斜边,AB为直角边时,如图. 2AB=AC,BC=AB, cos C=. 当AB,AC均为直角边时,如图. 2AB=AC,BC=AB, 22 -AC AB3 BC AC 3 2 AB AB 3 2 22 ABAC5 cos C=. 综上所述,cos C=或. AC BC 2 5 AB AB 2 5 5 3 2 2 5 5 5.(2019新疆,14,5分)如图,在ABC中,AB=AC
5、=4,将ABC绕点A顺时针旋转30,得到ACD,延长AD交 BC的延长线于点E,则DE的长为 . 答案答案 2-2 3 解析解析 由旋转得,CAD=CAB=30,AD=AC=4, BCA=ACD=ADC=75. ECD=180-275=30. E=75-30=45. 过点C作CHAE于H点, 在RtACH中,CH=AC=2,AH=2. 1 2 3 HD=AD-AH=4-2. 在RtCHE中,E=45,EH=CH=2. DE=EH-HD=2-(4-2)=2-2. 3 33 思路分析思路分析 根据旋转的性质可知CAD=CAB=30,AD=AC=4.从而得到DCE=30,E=45.过点C作 CHAE
6、于H点,在RtACH中,求出CH和AH的长,在RtCHE中可求EH的长,利用DE=EH-(AD-AH)即可 求解. 考点三 锐角三角函数的应用 1.(2020重庆A卷,9,4分)如图,在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60 m的C点处有一个山坡,山坡CD 的坡度(或坡比)i=10.75,山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD=45 m,在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的 仰角为28,居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内,则居民楼AB的高度约为(参考数据:sin 280.47, cos 280.88,tan 280.53)( ) A.76.9 m B.82.1 m C.94.8 m D.112.6
7、m 答案答案 B 过点D作DEBC,交BC的延长线于E,作DFAB,交AB于F,设DE=x m,因为山坡CD的坡比为 10.75,所以x2+(0.75x)2=452,解得x=36,则CE=0.7536=27 m,BF=DE=36 m,所以DF=BE=60+27=87 m,在 RtADF中,AF=DF tanADF=87tan 28870.53=46.11 m,故AB=36+46.11=82.1182.1 m,故选B. 2.(2019辽宁大连,15,3分)如图,建筑物BC上有一旗杆AB,从与BC相距10 m的D处观测旗杆顶部A的仰角 为53,观测旗杆底部B的仰角为45,则旗杆AB的高度约为 m.
8、(结果取整数.参考数据:sin 530. 80,cos 530.60,tan 531.33) 答案答案 3 解析解析 BDC=45,BCD=90, DBC=180-BCD-BDC =180-90-45 =45, BDC=DBC, BC=DC=10 m. 在RtADC中, tanADC=, tan 53=, AC=10tan 53101.33=13.3 m. AB=AC-BC=13.3-10=3.33 m. 故答案为3. AC CD 10 AC 思路分析思路分析 因为BDC=45,BCD=90,所以可得BC=DC=10 m,解直角三角形可求出AC13.3 m,进一 步可求出AB的长度. 3.(2
9、020广西北部湾经济区,23,8分)如图,一艘渔船位于小岛B的北偏东30方向,距离小岛40 n mile的点A 处,它沿着点A的南偏东15的方向航行. (1)渔船航行多远距离小岛B最近(结果保留根号)? (2)渔船到达距离小岛B最近点后,按原航向继续航行20 n mile到点C处时突然发生事故,渔船马上向 小岛B上的救援队求救,问救援队从B处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航程最短,最短航程是多少 (结果保留根号)? 6 解析解析 (1)过B点作AC的垂线BD,交AC于点D, 由垂线段最短,知AC上的D点距离B点最近,AD即为所求, 由题意可知BAF=30,CAF=15, BAD=45,AD=
10、BD=ABsin 45=40=20 n mile, 渔船航行20 n mile时,距离小岛B最近. (2)在RtBDC中,tan C=, C=30,DBC=60, 2 2 2 2 BD DC 20 2 20 6 3 3 BC=40 n mile, ABD=45,ABE=90-30=60, DBE=15, EBC=DBC-DBE=45. 答:从B处沿南偏东45的方向航行到达事故地点航程最短,最短航程为40 n mile. sin30? BD 2 2 思路分析思路分析 (1)过B点作AC的垂线BD交AC于点D,则AD为所求,根据已知条件得到BAD=45即可解答; (2)根据特殊角的三角函数值得到C
11、=30,DBC=60,从而求出BC的长度,再求出DBE的大小,即可得 到EBC的大小. 4.(2020海南,20,10分)为了促进海口主城区与江东新区联动发展,文明东越江通道将于今年年底竣工通 车.某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度.如图,隧道AB在水平直线上,且无人 机和隧道在同一个铅垂面内,无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行,到达点P处测得点A的俯角为3 0,继续飞行1 500米到达点Q处,测得点B的俯角为45. (1)填空:A= 度,B= 度; (2)求隧道AB的长度(结果精确到1米). (参考数据:1.414,1.732) 23 解析解析 (1)30;45.(
12、4分) (2)过点P作PMAB于点M,过点Q作QNAB于点N, 则PM=QN=450米,MN=PQ=1 500米, 在RtAPM中,tan A=, AM=450(米),(6分) PM AM tan PM Atan30? PM 450 3 3 3 在RtQNB中,tan B=, NB=450(米),(8分) AB=AM+MN+NB=450+1 500+4502 729(米).(9分) 答:隧道AB的长度约为2 729米.(10分) QN NB tan QN Btan45? QN450 1 3 思路分析思路分析 (1)根据平行线的性质即可得解;(2)分别作PMAB,QNAB,构造直角三角形,然后利
13、用锐角 三角函数求出AM和NB的长,而NM=PQ,问题即可解决. 5.(2020江西,20,8分)如图1是一种手机平板支架,由托板、支撑板和底座构成,手机放置在托板上,图2是 其侧面结构示意图.量得托板长AB=120 mm,支撑板长CD=80 mm,底座长DE=90 mm.托板AB固定在支撑 板顶端点C处,且CB=40 mm,托板AB可绕点C转动,支撑板CD可绕点D转动.(结果保留小数点后一位) (1)若DCB=80,CDE=60,求点A到直线DE的距离; (2)为了观看舒适,在(1)的情况下,把AB绕点C逆时针旋转10后,再将CD绕点D顺时针旋转,使点B落在直 线DE上即可,求CD旋转的角度
14、. (参考数据:sin 400.643,cos 400.766,tan 400.839,sin 26.60.448,cos 26.60.894,tan 26.60.5 00,1.732) 3 解析解析 (1)如图1,过点C作CHDE于点H. CD=80,CDE=60, sin 60=, CH=40401.732=69.28. 图1 作AMDE交ED的延长线于点M,CNAM于点N,则四边形NMHC是矩形. MN=CH=40,NCMH, NCD=CDE=60. DCB=80, CH CD80 CH3 2 3 3 ACN=180-80-60=40. sinACN=,AC=80, AN=80sin 4
15、0800.643=51.44. AM=AN+NM=51.44+69.28120.7. 答:点A到直线DE的距离为120.7 mm. (2)解法一: AB绕着点C逆时针旋转10, DCB=90.如图2. 图2 连接BD. AN AC DC=80,CB=40, tanCDB=0.5. CDB26.6. BDE60-26.6=33.4. 答:CD旋转的度数约为33.4. 解法二: 当点B落在DE上时,如图3. 图3 在RtBCD中,BC=40,CD=80, CB CD 40 80 (DCB=90,同解法一) tanBDC=0.5. BDC26.6. CDC=BDC-BDC60-26.6=33.4.
16、答:CD旋转的度数约为33.4. BC CD 40 80 思路分析思路分析 (1)分别作CHDE,AMED,CNAM,构造RtCDH、RtCAN,然后利用sinCDH=sin 60 =和sinACN=sin 40=求出CH和AN,而NM=CH,问题解决;(2)两种解法:根据AB绕点C逆时针 旋转10可判断DCB=90,连接BD构造直角三角形DCB,利用tanCDB求出CDB,再利用BDE= CDE-CDB求出BDE,问题解决;当点B落在DE上时,在RtBCD中利用tanBDC求出BDC,再根 据CDC=BDC-BDC即可求出CD旋转的度数. CH CD AN AC 6.(2019甘肃兰州,25
17、,7分)某数学课题研究小组针对兰州市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行 了探究,过程如下: 问题提出: 图1是某住户窗户上方安装的遮阳篷,要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光,又能最大 限度地使冬天温暖的阳光射入室内. 方案设计: 如图2,该数学课题研究小组通过调查研究设计了垂直于墙面AC的遮阳篷CD. 数据收集: 通过查阅相关资料和实际测量:兰州市一年中,夏至这一天的正午时刻,太阳光线DA与遮阳篷CD的夹角 ADC最大(ADC=77.44);冬至这一天的正午时刻,太阳光线DB与遮阳篷CD的夹角BDC最小( BDC=30.56);窗户的高度AB=2 m. 问题解决: 根据上述方
18、案及数据,求遮阳篷CD的长. (结果精确到0.1 m,参考数据:sin 30.560.51,cos 30.560.86,tan 30.560.59,sin 77.440.98,cos 77.4 40.22,tan 77.444.49) 解析解析 在RtBCD中,BCD=90,BDC=30.56, tanBDC=,BC=tanBDC CD. 在RtACD中,ACD=90,ADC=77.44, tanADC=,AC=tanADC CD. AC-BC=AB,tanADC CD-tanBDC CD=2,代入数值可得(4.49-0.59)CD=2,CD0.5. 答:遮阳篷CD的长约为0.5 m. BC
19、CD AC CD 思路分析思路分析 首先在RtBCD和RtACD中利用正切分别表示出BC和AC,再由题图可知AC-BC=AB,代入 数据即可求出CD的长. 7.(2019贵州贵阳,21,8分)如图所示是我国古代城市用以滞洪或分洪系统的局部截面原理图,图中OP为下 水管道口直径,OB为可绕转轴O自由转动的阀门.平时阀门被管道中排出的水冲开,可排出城市污水;当 河水上涨时,阀门会因河水压迫而关闭,以防河水倒灌入城中.若阀门的直径OB=OP=100 cm,OA为检修 时阀门开启的位置,且OA=OB. (1)直接写出阀门被下水道的水冲开与被河水关闭过程中POB的取值范围; (2)为了观测水位,当下水道
20、的水冲开阀门到达OB位置时,在点A处测得俯角CAB=67.5,若此时点B恰 好与下水道的水平面齐平,求此时下水道内水的深度.(结果保留小数点后一位) (1.41,sin 67.50.92,cos 67.50.38,tan 67.52.41,sin 22.50.38,cos 22.50.92,tan 22.50.4 1) 2 解析解析 (1)阀门OB被下水道的水冲开与被河水关闭过程中,0POB90. (2)OAAC,CAB=67.5, BAO=22.5. OA=OB,BAO=ABO=22.5,BOP=45. 过点B作BDOP于点D. 在RtBOD中,OB=OP=100 cm, OD=50 cm,
21、 PD=100-5029.5 cm. 即此时下水道内水的深度约为29.5 cm. 2 2 方法指导方法指导 求角的三角函数值或者线段的长时,我们经常通过观察图形将所求的角或者线段转化到直 角三角形中(如果没有直角三角形,就设法构造直角三角形),再利用特殊角的锐角三角函数求出它们的 解. 8.(2019陕西,20,7分)小明想利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午,他和学习小 组的同学们带着测量工具来到这棵古树前,由于有围栏保护,他们无法到达古树的底部B,如图所示.于是, 他们先在古树周围的空地上选择了一点D,并在点D处安装了测倾器DC,测得古树的顶端A的仰角为45; 再在BD
22、的延长线上确定一点G,使DG=5 m,并在点G处的地面上水平放置了一个小平面镜,小明沿BG方 向移动,当移动到点F时,他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像,此时,测得FG=2 m,小明眼睛与 地面的距离EF=1.6 m,测倾器的高CD=0.5 m.已知点F、G、D、B在同一水平直线上,且EF、CD、AB均 垂直于FB,求这棵古树的高AB.(小平面镜的大小忽略不计) 解析解析 过点C作CHAB于点H,则CH=BD,BH=CD=0.5.(1分) 在RtACH中,ACH=45, AH=CH=BD. AB=AH+BH=BD+0.5.(2分) EFFB,ABFB,EFG=ABG=90. 由题意,易
23、知EGF=AGB, EFGABG.(4分) =,即=.(5分) 解之,得BD=17.5.(6分) AB=17.5+0.5=18. 这棵古树的高AB为18 m.(7分) EF AB FG BG 1.6 0.5BD 2 5BD 思路分析思路分析 首先在RtACH中利用45角得出AH=BD,并用含BD的式子表示AB,然后证明EFG ABG,利用相似三角形的性质得出含BD的比例式,进而求出BD的长,最后求出古树的高度AB. 解题关键解题关键 解此题的关键是把实际问题转化为数学问题,根据实际情况建立数学模型,正确画出图形找 准三角形. 9.(2018四川成都,18,8分)由我国完全自主设计、自主建造的首
24、艘国产航母于2018年5月成功完成第一次 海上试验任务.如图,航母由西向东航行,到达A处时,测得小岛C位于它的北偏东70方向,且与航母相距80 海里,再航行一段时间后到达B处,测得小岛C位于它的北偏东37方向.如果航母继续航行至小岛C的正 南方向的D处,求还需航行的距离BD的长. (参考数据:sin 700.94,cos 700.34,tan 702.75,sin 370.60,cos 370.80,tan 370.75) 解析解析 由题可知ACD=70,BCD=37,AC=80. 在RtACD中,cosACD=, 0.34,CD27.2, 在RtBCD中,tanBCD=, 0.75,BD20
25、.4. 答:还需要航行的距离BD的长为20.4海里. CD AC 80 CD BD CD 27.2 BD 考点一 锐角三角函数 教师专用题组 1.(2018天津,2,3分)cos 30的值等于( ) A. B. C.1 D. 2 2 3 2 3 答案答案 B 根据特殊角的三角函数值可知,cos 30=,故选B. 3 2 2.(2019广东广州,3,3分)如图,有一斜坡AB,坡顶B离地面的高度BC为30 m,斜坡的倾斜角是BAC,若tan BAC=,则此斜坡的水平距离AC为( ) A.75 m B.50 m C.30 m D.12 m 2 5 答案答案 A C=90,tanBAC=,BC=30
26、m,tanBAC=.AC=75 m.故选A. 2 5 BC AC 30 AC 2 5 考点二 解直角三角形 1.(2020内蒙古包头,8,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,D是AB的中点,BECD,交CD的延长线于点E. 若AC=2,BC=2,则BE的长为( ) A. B. C. D. 2 2 6 3 6 2 32 答案答案 A 在RtABC中,AB=2, sinABC=, D是AB的中点,CD=BD,DCB=ABC, 在RtBCE中,sinECB=,=, 解得BE=. 22 ACBC 22 2(2 2) 3 AC AB 2 2 3 3 3 BE BC2 2 BE 2 2 BE3 3
27、2 6 3 2.(2019湖北黄冈,16,3分)如图,AC,BD在AB的同侧,AC=2,BD=8,AB=8.点M为AB的中点.若CMD=120, 则CD的最大值为 . 答案答案 14 解析解析 如图,设点A关于CM的对称点为A,点B关于DM的对称点为B,当A,B都在CD上时,CD有最大值.连 接MA,MB,则MACMAC,MBDMBD,CA=CA=2,BD=BD=8,AMC=AMC,BMD=B MD,M为AB的中点,MA=MA=MB=MB=4,CMD=120,AMC+BMD=60,AMC+B MD=60,AMB=60,AB=4,CD的最大值=CA+AB+BD=14. 难点突破难点突破 考虑到点
28、A与点B是定点,点C与点D是动点,所以想到轴对称,当点A关于CM的对称点A与点B 关于DM的对称点B都在CD上时,CD有最大值,从而找到本题的突破口. 3.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 . 34 答案答案 1或9 解析解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB=,AD=3, BD=5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD=4.BC=BD+CD=9. 图 图 BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5,CD=4,BC=1. 综上,BC的长为1或9. 34 22
29、-AB AD 22 -AC AD 4.(2018内蒙古包头,22,8分)如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABC=90,AB=AD,连接BD,点E在AB上,且 BDE=15,DE=4,DC=2. (1)求BE的长; (2)求四边形DEBC的面积. (注意:本题中的计算过程和结果均保留根号) 321 解析解析 (1)在四边形ABCD中, ADBC,ABC=90,BAD=90. AB=AD,ABD=ADB=45. BDE=15,ADE=30. 在RtADE中,DE=4, AE=sin 304=2,AD=cos 304=6. AB=AD=6,BE=6-2.(5分) (2)过点D作DFBC于点F,
30、3 33 3 3 BFD=90. BAD=ABC=90, 四边形ABFD是矩形, BF=AD=6,DF=AB=6. 在RtDFC中, DC=2, FC=4,BC=6+4. 21 33 S四边形DEBC=SDEB+SBDC=36+6.(8分) 3 考点三 锐角三角函数的应用 1.(2019浙江温州,8,4分)某简易房示意图如图所示,它是一个轴对称图形,则坡屋顶上弦杆AB的长为( ) A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9 5sin 9 5cos 5 9sin 5 9cos 答案答案 B 由题意可得BC=3+0.32=3.6 m,作ADBC交BC于D. 该图形为轴对称图形,AB=AC,在RtA
31、BD中,BD=BC=1.8 m,AB=(m).故选B. 1 2cos BD 1.8 cos 9 5cos 2.(2019重庆A卷,10,4分)为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想,某森林保护区开展了寻找古树 活动.如图,在一个坡度(或坡比)i=12.4的山坡AB上发现有一棵古树CD.测得古树底端C到山脚点A的距 离AC=26米,在距山脚点A水平距离6米的点E处,测得古树顶端D的仰角AED=48(古树CD与山坡AB的 剖面、点E在同一平面上,古树CD与直线AE垂直),则古树CD的高度约为( ) (参考数据:sin 480.74,cos 480.67,tan 481.11) A.17.0米 B
32、.21.9米 C.23.3米 D.33.3米 答案答案 C 延长DC交直线EA于点F. i=, 设CF=5x米,AF=12x米,且x0. 在RtACF中,AC=13x=26, x=2,CF=10米,AF=24米. AE=6米,EF=EA+AF=6+24=30米. 在RtEDF中,tanAED=tan 48=, DF=EF tan 48301.11=33.3米, CD=DF-CF=33.3-10=23.3米,故选C. CF AF 1 2.4 5 12 22 CFAF DF EF 3.(2019广东,15,4分)如图,某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD=15 米,在实验楼顶部B点测得教 学楼
33、顶部A点的仰角是30,底部C点的俯角是45,则教学楼AC的高度是 米(结果保留根号). 3 答案答案 (15+15) 3 解析解析 过B作BEAC交AC于E,由题意可知ACCD,BDCD,所以ECD=CDB=BEC=90,又因为 EBC=45,所以BE=EC,故四边形BECD为正方形,所以BE=CE=CD=15 米,在RtAEB中,AEB=90, ABE=30,所以AE=BE tanABE=15=15米,所以AC=AE+EC=(15+15)米. 3 3 3 3 3 4.(2020内蒙古包头,22,8分)如图,一个人骑自行车由A地到C地途经B地.当他由A地出发时,发现他的北偏 东45方向有一电视
34、塔P,他由A地向正北方向骑行了3 km到达B地,发现电视塔P在他北偏东75方向, 然后他由B地向北偏东15方向骑行了6 km到达C地. (1)求A地与电视塔P的距离; (2)求C地与电视塔P的距离. 2 解析解析 (1)过点B作BDAP于点D,ADB=90. BAP=45,ABD=45. 在RtADB中,sin A=,AB=3, AD=BD=3=3. NBP=75,APB=NBP-A=30. 在RtBDP中,tanDPB=,DP=3. BD AB 2 2 2 2 BD DP 3 3 3 AP=AD+PD=3+3km. A地与电视塔P的距离为(3+3)km.(5分) (2)在RtBDP中,BPD
35、=30,BD=3,BP=6. BC=6,BP=BC. CBP=NBP-NBC=60, BCP为等边三角形, CP=BC=6.C地与电视塔P的距离为6 km.(8分) 3 3 思路分析思路分析 (1)已知AB的长及BAP,NBC,NBP的度数,求AP的长,关键在于将AB及已知角构造到直 角三角形中,过B作BDAP于点D,在RtABD中,利用三角函数求得AD,BD的长,然后在RtBDP中,利用 三角函数求得DP的长,从而求得AP的长;(2)在RtBDP中,利用三角函数求得BP的长,得BCP为等腰三 角形,又求得CBP=60,证得BCP为等边三角形,得CP的长. 5.(2020吉林,20,7分)如图
36、,某班数学小组测量塔的高度,在与塔底部B相距35 m的C处,用高1.5 m的测角仪 CD测得该塔顶端A的仰角EDA为36.求塔AB的高度(结果精确到1 m).(参考数据:sin 360.59,cos 36 0.81,tan 360.73) 解析解析 根据题意,得EDA=36,BE=CD=1.5 m,DE=CB=35 m. 在RtADE中,AED=90, tanEDA=,(2分) 0.73.(4分) AE=25.55(m).(5分) AB=AE+BE=25.55+1.527(m).(7分) 答:塔AB的高度约为27 m. AE DE 35 AE 6.(2020四川成都,18,8分)成都“339”
37、电视塔作为成都市地标性建筑之一,现已成为外地游客到成都旅 游打卡的网红地.如图,为测量电视塔观景台A处的高度,某数学兴趣小组在电视塔附近一建筑物楼顶D 处测得塔A处的仰角为45,塔底部B处的俯角为22.已知建筑物的高CD约为61米,请计算观景台的高AB 的值.(结果精确到1米;参考数据:sin 220.37,cos 220.93,tan 220.40) 解析解析 如图所示,过D作DFAB于F, 则四边形CDFB是矩形, CD=BF=61米, 在RtADF中,AFD=90,ADF=45,AF=DF, 在RtDFB中,tan 22=,DF=152.5米, AB=AF+BF=152.5+61=213
38、.5米214米. 答:观景台的高AB约为214米. BF DFtan22? BF61 0.40 7.(2020辽宁营口,22,12分)如图,海中有一个小岛A,它周围10海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由东向西航行, 在B点测得小岛A在北偏西60方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏西30方向上,如果渔 船不改变方向继续向西航行,有没有触礁的危险?并说明理由.(参考数据:1.73) 3 解析解析 没有触礁的危险.(1分) 理由:过点A作ANBC交BC延长线于点N.(2分) 由题意得ABE=60,ACD=30. ACN=60,ABN=30. ANBC,ANC=90.(4分) 设AN=x海里,
39、 在RtACN中,tanACN=, CN=x.(6分) 在RtABN中,tanABN=, BN=x.(8分) BC=BN-CN=x-x=x. BC=12,x=12,(9分) x=6,(10分) AN=661.73=10.38(海里).(11分) AN CN tan AN ACNtan60? AN3 3 AN BN tan AN ABNtan30? AN 3 3 3 3 2 3 3 2 3 3 3 3 10.3810,没有触礁的危险.(12分) 8.(2020陕西,20,7分)如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大 厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处,测得商业
40、大厦顶部N的仰角1的度数,由于楼下植物的遮挡,不能 在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台C处测得商业大厦底部M的 俯角2的度数,竟然发现1与2恰好相等.已知A,B,C三点共线,CAAM,NMAM,AB=31 m,BC=18 m, 试求商业大厦的高MN. 解析解析 如图,过点C作CEMN,垂足为E,过点B作BFMN,垂足为F, CEF=BFE=90. CAAM,NMAM, 四边形AMEC和四边形AMFB均为矩形. CE=BF,ME=AC.(3分) 又知1=2,BFNCEM.(5分) NF=ME=31+18=49. 由矩形性质,易得EF=CB=18, MN=NF+
41、EM-EF=49+49-18=80(m). 商业大厦的高MN为80 m.(7分) 9.(2020新疆,20,9分)如图,为测量建筑物CD的高度,在A点测得建筑物顶部D点的仰角为22,再向建筑物 CD前进30米到达B点,测得建筑物顶部D点的仰角为58(A,B,C三点在一条直线上),求建筑物CD的高度. (结果保留整数.参考数据:sin 220.37,cos 220.93,tan 220.40,sin 580.85,cos 580.53,tan 58 1.60) 解析解析 设建筑物CD的高度为x m, 在RtBCD和RtADC中, tan 58=,tan 22=, BC=,AC=. 则-=30,即
42、-=30, 解得x=16. 答:建筑物CD的高度为16 m. CD BC CD AC tan58? CD tan58? x tan22? CD tan22? x tan22? x tan58? x 0.4 x 1.6 x 10.(2020云南昆明,21,9分)【材料阅读】 2020年5月27日,2020珠峰高程测量登山队成功登顶珠穆朗玛 峰,将用中国科技“定义”世界新高度.其基本原理之一是三角高程测量法,在山顶上立一个觇标,找到2 个以上测量点,分段测量山的高度,再进行累加.因为地球面并不是水平的,光线在空气中会发生折射,所 以当两个测量点的水平距离大于300 m时,还要考虑球气差,球气差计算
43、公式为f=(其中d为两点间 的水平距离,R为地球的半径,R取6 400 000 m),即:山的海拔高度=测量点测得山的高度+测量点的海拔高 度+球气差. 【问题解决】 某校科技小组的同学参加了一项野外测量某座山的海拔高度活动.如图,点A,B的水平距 离d=800 m,测量仪AC=1.5 m,觇标DE=2 m,点E,D,B在垂直于地面的一条直线上,在测量点A处用测量仪 测得山顶觇标顶端E的仰角为37,测量点A处的海拔高度为1 800 m. (1)数据6 400 000用科学记数法表示为 ; (2)请你计算该山的海拔高度.(要计算球气差,结果精确到0.01 m) (参考数据:sin 370.60,
44、cos 370.80,tan 370.75) 2 0.43d R 解析解析 (1)6.4106.(2分) (2)过点C作CMEB,垂足为M, 由题意得ECM=37,四边形ABMC为矩形, 则CM=AB=800 m,BM=AC=1.5 m,(4分) 在RtCME中,CME=90, tanECM=,(5分) EM=CMtanECM=800tan 378000.75=600 m,(6分) d=800 m,R=6 400 000 m, f=0.043 m, 该山的海拔高度为(600+1.5-2)+1 800+0.0432 399.54(m).(8分) 答:该山的海拔高度约为2 399.54 m.(9分
45、) EM CM 2 0.43d R 2 0.43 800 6 400 000 11.(2020天津,22,10分)如图,A,B两点被池塘隔开,在AB外选一点C,连接AC,BC.测得BC=221 m,ACB=45 ,ABC=58.根据测得的数据,求AB的长(结果取整数). 参考数据:sin 580.85,cos 580.53,tan 581.60. 解析解析 如图,过点A作AHCB,垂足为H. 根据题意,ACB=45,ABC=58,BC=221. 在RtCAH中,tanACH=, CH=AH. 在RtBAH中,tanABH=,sinABH=, BH=,AB=. AH CH tan45? AH A
46、H BH AH AB tan58? AH sin58? AH 又CB=CH+BH, 221=AH+,可得AH=. AB=160. 答:AB的长约为160 m. tan58? AH221 tan58? 1tan58? 221 tan58? (1tan58?) sin58? 221 1.60 (1 1.60)0.85 思路分析思路分析 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形,本题已知 B、C的度数和BC的长,因此,过A点作BC的垂线AH构造直角三角形,用AH分别表示出BH、CH和AB, 进而求得AB的长. 12.(2019江西,20,8分)图1是一台实物投影仪,图2是
47、它的示意图,折线BAO表示固定支架,AO垂直水平 桌面OE于点O,点B为旋转点,BC可转动,当BC绕点B顺时针旋转时,投影探头CD始终垂直于水平桌面OE, 经测量:AO=6.8 cm,CD=8 cm,AB=30 cm,BC=35 cm.(结果精确到0.1) (1)如图2,ABC=70,BCOE. 填空:BAO= ; 求投影探头的端点D到桌面OE的距离; (2)如图3,将(1)中的BC向下旋转,当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,求ABC的大小. (参考数据:sin 700.94,cos 200.94,sin 36.80.60,cos 53.20.60) 解析解析 (1)160. 如
48、图1,延长OA交BC于点F. 图1 AOOE,AOE=90. BCOE,AOE=BFO=90, 在RtABF中,AB=30 cm, sinB=, AF=AB sinB=30 sin 70300.94=28.20(cm). AF-CD+AO=28.20-8+6.8=27.0(cm). AF AB 答:投影探头的端点D到桌面OE的距离为27.0 cm. (2)如图2,过点B作DC的垂线,交DC的延长线于点H. 图2 在RtBCH中,HC=28.2+6.8-6-8=21(cm). sinHBC=,sinHBC=0.6. sin 36.80.60,HBC36.8, ABC=70-36.8=33.2. 答:当投影探头的端点D到桌面OE的距离为6 cm时,ABC为33.2. HC BC 21 35
