1、 中考数学 （山东专用） 第五章 囿 5.3 与囿有关的计算 A组 20162020年山东中考题组 考点一 弧长、扇形面积的计算 1.(2019泰安,11,4分)如图,将O沿弦AB折叠,恰好经过圆心O,若O的半径为3,则的长为( ) A. B. C.2 D.3 AB AB 1 2 答案答案 C 连接OA、OB,作OCAB于C, 由题意得,OC=OA, OAC=30, OA=OB, OBA=OAC=30, AOB=120, 的长=2, 故选C. 1 2 AB 1203 180 思路分析思路分析 连接OA、OB,作OCAB于C,由折叠得OC=OA,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理 求出AOB
2、,再根据弧长公式计算即可. 1 2 方法总结方法总结 求弧长一般需要两个条件,一个是圆心角的度数,一个是圆的半径.常用连接半径的方法,构造等 腰三角形,或加上弦心距,构造直角三角形求解. 2.(2018威海,12,3分)如图,正方形ABCD中,AB=12,点E为BC中点,以CD为直径作半圆CFD,点F为半圆的中 点,连接AF,EF,则图中阴影部分的面积是( ) A.18+36 B.24+18 C.18+18 D.12+18 答案答案 C 如图,取CD的中点M,连接AM、EM、DF、CF、MF. 设半圆的半径为r,则r=6, S半圆CFD=r2=62=18,SCDF=126=36. 点F是半圆的
3、中点,M是CD的中点,MFCD, ADMF, 1 2 1 2 1 2 又ADF、ADM的底相同,高相等, SADF=SADM=126=36. 同理,SCEF=66=18, S阴影部分=SADF+SCEF+S半圆CFD-SCDF=18+18. 1 2 1 2 一题多解一题多解 作FHBC于H,连接AE,如图, 点E为BC的中点,点F为半圆的中点, BE=CE=CH=FH=6, AE=6, 易得RtABERtEHF, AEB=EFH, 而EFH+FEH=90, AEB+FEH=90, AEF=90, 图中阴影部分的面积=S正方形ABCD+S半圆-SABE-SAEF 22 6125 =1212+62
4、-126- 66 =18+18. 故选C. 1 2 1 2 1 2 55 3.(2020德州,10,4分)如图,圆内接正六边形的边长为4,以其各边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为 ( ) A.24-4 B.12+4 C.24+8 D.24+4 33 33 答案答案 A 设正六边形的中心为O,连接OA,OB. 由题意得AOB=60,OA=OB=AB=4, S弓形AmB=S扇形OAB-SAOB=-42=-4, S阴影=6(S半圆-S弓形AmB)=622-+4=24-4.故选A. 2 60 4 360 3 4 8 3 3 1 2 8 3 33 4.(2020菏泽,13,3分)如图,在菱形OABC
5、中,OB是对角线,OA=OB=2,O与边AB相切于点D,则图中阴影部分 的面积为 . 答案答案 2- 3 解析解析 连接OD, 四边形OABC为菱形, OA=AB, OA=OB,OA=OB=AB, OAB为等边三角形, A=AOB=OBA=60, AB是O的切线, ODAB, OD=OA sin 60=, ABOC, 3 BOC=OBA=60, 图中阴影部分的面积=2-=2-. 3 2 120( 3) 360 3 思路分析思路分析 连接OD,根据OA=OB及菱形的性质得到OAB为等边三角形,根据切线的性质得到ODAB, 求出OD的长,根据菱形面积公式和扇形面积公式计算即可. 5.(2020泰安
6、,16,4分)如图,点O是半圆圆心,BE是半圆的直径,点A,D在半圆上,且ADBO,ABO=60,AB=8, 过点D作DCBE于点C,则阴影部分的面积是 . 答案答案 -8 64 3 3 解析解析 连接OA,易知AOB是等边三角形, O的半径为8, ADOB,DAO=AOB=60, OA=OD,AOD是等边三角形,AOD=60, AOB=AOD=60,DOE=60,AOE=120, DCBE于点C, CD=OD=4,OC=OD=4,BC=8+4=12, S阴影=SAOB+S扇形OAE-SBCD =84+-124=-8. 3 2 3 1 2 1 2 3 2 1208 360 1 2 3 64 3
7、 3 6.(2019泰安,15,4分)如图,AOB=90,B=30,以点O为圆心,OA为半径作弧交AB于点A、点C,交OB于 点D,若OA=3,则阴影部分的面积为 . 答案答案 3 4 解析解析 连接OC,作CHOB于H, AOB=90,B=30, OAB=60,AB=2OA=6, 由勾股定理得,OB=3, OA=OC,OAB=60, AOC为等边三角形, AOC=60,COB=30, CO=CB,CH=OC=, 阴影部分的面积=-33+3-=. 22 -AB OA3 1 2 3 2 2 603 360 1 2 3 2 1 2 3 3 2 2 303 360 3 4 7.(2019淄博,22,
8、8分)如图,在RtABC中,B=90,BAC的平分线AD交BC于点D,点E在AC上,以AE为直径 的O经过点D. (1)求证:BC是O的切线; CD2=CE CA; (2)若点F是劣弧AD的中点,且CE=3,试求阴影部分的面积. 解析解析 (1)证明:连接OD, AD是BAC的平分线,DAB=DAO, OD=OA,DAO=ODA, 则DAB=ODA, DOAB,又B=90, ODB=90, BC是O的切线. 连接DE, BC是O的切线,CDO=90, CDE+EDO=90, AE是O的直径,EDA=90, ADO+EDO=90, CDE=ADO, 又OD=OA,ODA=OAD, CDE=OAD
9、, 又C=C,CDECAD, =,CD2=CE CA. CD CA CE CD (2)连接DF、OF,设O的半径为R,OF与AD交于点M, 点F是劣弧AD的中点,OF是DA的垂直平分线, DF=AF,FDA=FAD, DOAB,ODA=DAF, ADO=DAO=FDA=FAD, AF=DF=OA=OD=OF,DFAC, OFD、OFA是等边三角形,SDOM=SFAM, 故S阴影=S扇形DFO, 易知C=30, OD=OC=(OE+EC),OE=OD, CE=OE=R=3, S阴影=S扇形DFO=32=. 1 2 1 2 60 360 3 2 考点二 囿柱与囿锥的侧面展开图 1.(2020聊城,
10、10,3分)如图,有一块半径为1 m,圆心角为90的扇形铁皮,要把它做成一个圆锥形容器(接缝忽 略不计),那么这个圆锥形容器的高为( ) A. m B. m C. m D. m 1 4 3 4 15 4 3 2 答案答案 C 设圆锥形容器的底面半径为r m,则2r=, 解得r=,圆锥形容器的高为= m. 90 1 180 1 4 2 2 1 1 - 4 15 4 2.(2017东营,8,3分)若圆锥的侧面积等于其底面积的3倍,则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为 ( ) A.60 B.90 C.120 D.180 答案答案 C 设圆锥的底面圆的半径为r,母线长为l,侧面展开图所对应扇形的
11、圆心角为n. 根据题意得rl=3r2,则l=3r,则有2r=, 解得n=120. 180 n l 思路分析思路分析 利用圆锥侧面积和底面积之间的关系,得到母线长l与底面圆的半径r之间的关系,再用两种不 同的方式表示圆锥侧面展开图(扇形)的面积,即可求得扇形圆心角的度数. 3.(2020德州,14,4分)若一个圆锥的底面半径是2 cm,母线长是6 cm,则该圆锥侧面展开图的圆心角是 度. 答案答案 120 解析解析 圆锥侧面展开图的弧长是22=4(cm), 设圆心角的度数是n度,则=4, 解得n=120.即该圆锥侧面展开图的圆心角是120度. 6 180 n 4.(2019聊城,14,3分)如图
12、是一个圆锥的主视图,根据图中标出的数据(单位:cm),计算这个圆锥侧面展开图 圆心角的度数为 . 答案答案 120 解析解析 由题意知圆锥的底面半径为1, 圆锥的底面周长为2, 圆锥的高是2, 圆锥的母线长为3, 设这个圆锥侧面展开图圆心角的度数为n, 则=2, 解得n=120. 即圆锥的侧面展开图的圆心角为120. 2 3 180 n 5.(2016聊城,15,3分)如图,已知圆锥的高为,高所在直线与母线的夹角为30,圆锥的侧面积为 . 3 答案答案 2 解析解析 设圆锥的底面半径为x,则由圆锥的高所在直线与母线的夹角为30得母线长为2x, 由勾股定理得x2+()2=(2x)2,解得x=1(
13、负值舍去), 即圆锥的底面半径为1,母线长为2, 圆锥的侧面积=2. 3 考点三 正多边形和囿 (2017滨州,5,3分)若正方形的外接圆半径为2,则其内切圆半径为( ) A. B.2 C. D.1 22 2 2 答案答案 A 如图,由正方形的外接圆半径为2可得OB=2,由切线性质可得OCB=90,又易知OBC=45, 所以OC=OBsin 45=,即其内切圆半径为. 22 B组 20162020年全国中考题组 考点一 弧长、扇形的面积 1.(2020宁夏,6,3分)如图,等腰直角三角形ABC中,C=90,AC=,以点C为圆心画弧与斜边AB相切于点D, 交AC于点E,交BC于点F,则图中阴影部
14、分的面积是( ) A.1- B. C.2- D.1+ 2 4 -1 4 4 4 答案答案 A 连接CD,则CDAB.ACB是等腰直角三角形,CD=ACsin 45=1,图中阴影部分的面积为 SACB-S扇形ECF=-=1-,故选A. 1 2 22 2 90 1 360 4 2.(2018湖北黄石,8,3分)如图,AB是O的直径,点D为O上一点,且ABD=30,BO=4,则的长为( ) A. B. C.2 D. BD 2 3 4 3 8 3 答案答案 D 连接OD,则AOD=2B=60, BOD=120. 的长=4=. BD 120 180 8 3 3.(2020内蒙古呼和浩特,11,3分)如图
15、,ABC中,D为BC的中点,以D为圆心,BD长为半径画一弧,交AC于点E, 若A=60,ABC=100,BC=4,则扇形BDE的面积为 . 答案答案 4 9 解析解析 在ABC中,A=60,ABC=100, C=180-60-100=20, D为BC的中点, BD=DE=CD. BDE=2C=40,BD=BC=2, S扇形BDE=. 1 2 2 40 2 360 4 9 4.(2020福建,13,4分)一个扇形的圆心角是90,半径为4,则这个扇形的面积为 .(结果保留) 答案答案 4 解析解析 由扇形的面积公式得S=4. 2 360 n R 2 90 4 360 5.(2020吉林,14,3分
16、)如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD,我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做 “筝形”.筝形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆心,BO长为半径画弧,分别交AB,BC于点E,F.若 ABD=ACD=30,AD=1,则的长为 (结果保留). EF 答案答案 2 解析解析 AB=CB,AD=CD,BD=BD,CAD=ACD,ABDCBD,ABD=CBD,ACBD. ABD=ACD=30,AD=1, OD=AD=,OA=OD=, OB=OA=. ABD=30,EBF=60, 的长=. 1 2 1 2 3 3 2 3 3 2 EF 3 60 2 180 2 解题关键解题关键
17、本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质和弧长计算公式,熟练掌握等腰三角形的性质和 弧长公式是解题的关键. 6.(2019江苏泰州,15,3分)如图,分别以正三角形的3个顶点为圆心,边长为半径画弧,三段弧围成的图形称为 莱洛三角形.若正三角形边长为6 cm,则该莱洛三角形的周长为 cm. 答案答案 6 解析解析 该莱洛三角形的周长为3=6(cm). 606 180 7.(2019江苏扬州,17,3分)如图,将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45至四边形ABCD的位置,若AB= 16 cm,则图中阴影部分的面积为 . 答案答案 32 cm2 解析解析 由旋转的性质得BAB=45,四边形ABCD四边
18、形ABCD,则阴影部分的面积=四边形ABCD的面 积+扇形ABB的面积-四边形ABCD的面积=扇形ABB的面积=32 cm2. 2 45 16 360 8.(2019重庆A卷,16,4分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,ABC=60,AB=2.分别以点A、点C 为圆心,以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留) 答案答案 2- 3 2 3 解析解析 四边形ABCD为菱形, ACBD,BD平分ABC,OA=OC,OB=OD,ADBC. ABO=ABC=60=30. 在RtAOB中,OA=AB=2=1,OB=, OC=OA=1,AC=2OA=2
19、,BD=2OB=2. S菱形ABCD=AC BD=22=2. ADBC, BAD=180-ABC=120, S阴影=S菱形ABCD-212=2-. 1 2 1 2 1 2 1 2 22 -AB OA 22 2 -13 3 1 2 1 2 33 120 360 3 2 3 9.(2019江苏扬州,25,10分)如图,AB是O的弦,过点O作OCOA,OC交AB于P,CP=BC. (1)求证:BC是O的切线; (2)已知BAO=25,点Q是上的一点. 求AQB的度数; 若OA=18,求的长. AmB AmB 解析解析 (1)证明:连接OB, OA=OB, OAB=OBA, PC=CB, CPB=PB
20、C, APO=CPB, APO=CBP, OCOA, AOP=90, OAP+APO=90, CBP+ABO=90, CBO=90, BC是O的切线. (2)BAO=25, ABO=25,APO=65, POB=APO-ABO=40, AQB=(AOP+POB)=130=65. OA=18,AQB=65, 的长=23. 1 2 1 2 AmB (360-130) 18 180 解题关键解题关键 本题考查了切线的判定和性质,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,弧长的计算,圆周角定 理,熟练掌握切线的判定和性质定理是解题的关键. 考点二 囿柱与囿锥的侧面展开图 1.(2020湖南常德,6,3分)一
21、个圆锥的底面半径r=10,高h=20,则这个圆锥的侧面积是( ) A.100 B.200 C.100 D.200 33 55 答案答案 C 这个圆锥的母线长=10, 则这个圆锥的侧面积=21010=100. 故选C. 22 10205 1 2 55 思路分析思路分析 先利用勾股定理计算出圆锥的母线长,然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积. 2.(2020云南,13,4分)如图,正方形ABCD的边长为4,以点A为圆心,AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部 分,点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的底面圆的半径是( ) A. B.1 C. D. 2 2
22、 2 1 2 答案答案 D 在正方形ABCD中,AD=4,DAE=45,S扇形DAE=2.设以扇形DAE为侧面展开图的圆锥 底面圆的半径为r,则4r=2,r=.故选D. 2 454 360 1 2 3.(2019贵州遵义,7,4分)圆锥的底面半径是5 cm,侧面展开图的圆心角是180,圆锥的高是( ) A.5 cm B.10 cm C.6 cm D.5 cm 3 答案答案 A 设圆锥的母线长为R cm,根据题意得25=,解得R=10,即圆锥的母线长为10 cm, 圆锥的高为=5 cm. 180 180 R 22 10 -53 4.(2019湖南邵阳,22,8分)如图,在等腰ABC中,BAC=1
23、20,AD是BAC的角平分线,且AD=6,以点A为圆 心,AD长为半径画弧EF,交AB于点E,交AC于点F. (1)求由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形(图中阴影部分)的面积; (2)将阴影部分剪掉,余下扇形AEF,将扇形AEF围成一个圆锥的侧面,AE与AF正好重合,圆锥侧面无重叠,求 这个圆锥的高h. 解析解析 (1)在等腰ABC中,BAC=120, B=30, AD是BAC的平分线, ADBC,BD=CD, BD=AD=6, BC=2BD=12,由弧EF及线段FC、CB、BE围成图形(图中阴影部分)的面积S=SABC-S扇形EAF=612- =36-12. (2)设圆锥的底面半径为r,
24、根据题意得2r=,解得r=2, 33 3 1 2 3 2 1206 360 3 1206 180 则圆锥的高h=4. 22 6 -22 考点三 正多边形和囿 1.(2019贵州贵阳,6,3分)如图,正六边形ABCDEF内接于O,连接BD,则CBD的度数是( ) A.30 B.45 C.60 D.90 答案答案 A 在正六边形ABCDEF中,BCD=120,BC=CD,CBD=(180-120)=30,故 选A. 1 2 思路分析思路分析 根据正六边形的内角和求得BCD的度数,然后根据等腰三角形的性质即可得到结果. 2.(2019江苏扬州,15,3分)如图,AC是O的内接正六边形的一边,点B在上
25、,且BC是O的内接正十边形 的一边,若AB是O的内接正n边形的一边,则n= . AC 答案答案 15 解析解析 圆内接正多边形的中心为圆心.连接BO,AC是O的内接正六边形的一边,AOC=3606=60, BC是O的内接正十边形的一边,BOC=36010=36,AOB=AOC-BOC=60-36=24,n= 36024=15. 3.(2018内蒙古呼和浩特,12,3分)同一个圆的内接正方形和正三角形的边心距的比为 . 答案答案 1 2 解析解析 设圆的半径为r,则内接正方形的边心距为r,内接正三角形的边心距为r,故rr=1. 2 2 1 2 2 2 1 2 2 C组 教师专用题组 考点一 弧长
26、、扇形面积的计算 1.(2018辽宁沈阳,10,2分)如图,正方形ABCD内接于O,AB=2,则的长是( ) A. B. C.2 D. 2 AB 3 2 1 2 答案答案 A 连接AC、BD交于点O, 四边形ABCD是正方形, BAD=ABC=BCD=CDA=90, AC、BD是O的直径,点O与点O重合, AOB=90,AO=BO,AB=2,AO=2, 的长为=. 2 AB 90 2 180 思路分析思路分析 由正方形的性质可得,AOB=90,又AO=BO,由勾股定理可得圆的半径,将所得到的结果代入 弧长公式即可. 2.(2018四川成都,9,3分)如图,在ABCD中,B=60,C的半径为3,
27、则图中阴影部分的面积是( ) A. B.2 C.3 D.6 答案答案 C 在ABCD中,B=60,C=120. C的半径为3, S阴影=3.故选C. 2 1203 360 3.(2020山西,8,3分)中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图中的摆盘,其形状是 扇形的一部分,图是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC=BD=12 cm,C,D两点之间的距离 为4 cm,圆心角为60,则图中摆盘的面积是( ) A.80 cm2 B.40 cm2 C.24 cm2 D.2 cm2 答案答案 B 连接AB,CD,OA=OB,AC=BD,OC=OD,CDAB,又O=60,O
28、CD是等边三角形, OC=CD=4 cm,OA=16 cm,S阴影=S扇形AOB-S扇形COD=-=40 cm2,故选B. 2 60 16 360 2 604 360 解题关键解题关键 判断OCD是等边三角形是解答本题的关键. 4.(2019贵州贵阳,14,4分)如图,用等分圆的方法,在半径为OA的圆中,画出了如图所示的四叶幸运草,若OA= 2,则四叶幸运草的周长是 . 答案答案 4 2 解析解析 由题意得,四个半圆所在的圆的直径为OA=2,四叶幸运草的周长为4个半圆的弧长=2个圆的 周长,四叶幸运草的周长=22=4. 22 22 5.(2019湖南湘潭,16,3分)九章算术是我国古代数学成就
29、的杰出代表作,其中方田章计算弧田面积 所用的经验公式是:弧田面积=(弦矢+矢2),弧田是由圆弧和其所对的弦围成(如图中的阴影部分),公式中 “弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差,运用垂径定理(当半径OC弦AB时, OC平分AB)可以求解.现已知弦AB=8米,半径=5米的弧田,按照上述公式计算出弧田的面积为 平 方米. 1 2 答案答案 10 解析解析 由垂径定理可得AD=BD=4米,在直角三角形OAD中,由勾股定理可求出OD=3米,则CD=2米,由题意 可知弦为8,矢为2,直接代入到经验公式中计算可得弧田的面积=(82+22)=10(平方米). 1 2 6.(2018湖北
30、恩施,15,3分)在RtABC中,AB=1,A=60,ABC=90,如图,将RtABC沿直线l无滑动地滚动 至RtDEF,则点B所经过的路径与直线l所围成的封闭图形的面积为 .(结果不取近似值) 答案答案 + 19 12 3 2 解析解析 在RtABC中,AB=1,A =60,BC=,BCB=150,BAE=120,故第一次滚动的半径为,根 据扇形面积公式得S=,第二次滚动的半径为1,扇形的面积=.又ABC的面积为1 =,所以围成的封闭图形的面积为+=+. 33 2 360 n R5 4 120 360 3 1 2 3 3 2 5 4 3 3 2 19 12 3 2 7.(2020青岛,14,
31、3分)如图,在ABC中,O为BC边上的一点,以O为圆心的半圆分别与AB,AC相切于点M,N.已 知BAC=120,AB+AC=16,的长为,则图中阴影部分的面积为 . MN 答案答案 24-3-3 3 解析解析 如图,连接OM,ON,OA,设BC与半圆O交于点D,E. 以O为圆心的半圆分别与AB,AC相切于点M,N, OMAB,ONAC,MAO=NAO=BAC=120=60,AN=AM,MON=180-120=60, BOM+CON=180-MON=120. 1 2 1 2 的长为,=,OM=ON=3. 在RtAOM中,AM=,AN=AM=. S阴影=SABC-S四边形AMON-S扇形DOM-
32、S扇形NOE =SABO+SACO-2SAOM-(S扇形DOM+S扇形NOE) =AB OM+AC ON-2AM OM- =(AB+AC) OM-AM OM- =163-3- =24-3-3. MN 60 180 OM 3 OM 33 1 2 1 2 1 2 2 120 360 OM 1 2 2 3 OM 1 2 3 2 3 3 3 方法规律方法规律 求不规则图形的面积,一般是转化为规则图形的面积的和或差. 8.(2018临沂,23,9分)如图,ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与O相切于点D, OB与O相交 于点E. (1)求证:AC是O的切线; (2)若BD=,BE=1,求阴影
33、部分的面积. 3 解析解析 (1)证明:如图,过点O作OFAC,垂足为点F,连接OD,OA. ABC是等腰三角形,点O是底边BC的中点, AO是ABC的高线,也是BAC的平分线, AB是O的切线, ODAB, 又OFAC, OF=OD,即OF是O的半径, AC是O的切线. (2)在RtBOD中,BE=1,BD=,设OD=OE=x,则OB=x+1,由勾股定理,得(x+1)2=x2+()2,解得x=1,OB=2, OD=OF=1. sinBOD=,BOD=60, AOD=AOF=90-BOD=30, AD=AF=OD tanAOD=, S阴影=S四边形ADOF-S扇形ODF=AD OD2-12=-
34、=. 33 BD OB 3 2 3 3 1 2 60 360 3 3 6 2 3- 6 思路分析思路分析 (1)过点O作OFAC于点F,证明OF=OD,即证明OF是O的半径,又OFAC,所以证得AC是 O的切线.(2)根据BD和BE的长,由勾股定理算出O的半径的长,结合三角函数算出BOD和AOD的度 数,然后根据四边形和扇形的面积公式求解. 9.(2020江西,21,9分)已知MPN的两边分别与O相切于点A,B,O的半径为r. (1)如图1,点C在点A,B之间的优弧上,MPN=80,求ACB的度数; (2)如图2,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,APB的度数应为多少?请
35、说明理由; (3)若PC交O于点D,求第(2)问中对应的阴影部分的周长(用含r的式子表示). 解析解析 (1)如图1,连接OA,OB. PA,PB为O的切线, PAO=PBO=90. AOB+APB=180. APB=80, AOB=100. ACB=50. 图1 (2)如图2,当APB=60时,四边形APBC为菱形. 连接OA,OB. 图2 由(1)可知AOB+APB=180. APB=60, AOB=120. ACB=60=APB. 当PC经过圆心时,PC最大. PA,PB为O的切线, 四边形APBC为轴对称图形. PA=PB,CA=CB,PC平分APB和ACB. APB=ACB=60,
36、APO=BPO=ACP=BCP=30. PA=PB=CA=CB. 四边形APBC为菱形. (3)O的半径为r, OA=r,OP=2r. AP=r,PD=r. AOP=60, l=r. C阴=PA+PD+l=r. 3 AD 60 180 r 3 AD 31 3 考点二 囿柱与囿锥的侧面展开图 1.(2018湖北仙桃,7,3分)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍,则该圆锥侧面展开图的圆心角的度数是( ) A.120 B.180 C.240 D.300 答案答案 B 设母线长为R,底面半径为r,则底面周长=2r,底面积=r2,侧面积=rR, 侧面积是底面积的2倍, 2r2=rR,R=2r, 设圆心角为n
37、,则=2r=R, n=180.故选B. 180 n R 2.(2017贵州遵义,8,3分)已知圆锥的底面面积为9 cm2,母线长为6 cm,则圆锥的侧面积是( ) A.18 cm2 B.27 cm2 C.18 cm2 D.27 cm2 答案答案 A 设圆锥底面圆的半径为r cm, 根据题意,得r2=9, r=3 cm, 圆锥底面圆的周长为2r=6 cm, 圆锥的侧面积为66=18(cm2). 1 2 3.(2017云南,13,4分)正如我们小学学过的圆锥体积公式V=r2h(表示圆周率,r表示圆锥的底面半径,h表 示圆锥的高)一样,许多几何量的计算都要用到.祖冲之是世界上第一个把计算到小数点后第
38、7位的中国 古代科学家,创造了当时世界上的最高水平,差不多过了1 000年,才有人把计算得更精确.在辉煌成就的背 后,我们来看看祖冲之付出了多少.现在的研究表明,仅仅就计算来讲,他至少要对9位数字反复进行130次以 上的各种运算,包括开方在内.即使今天我们用纸笔来算,也绝对不是一件轻松的事情,何况那时候没有现在 的纸笔,数学计算不是用现在的阿拉伯数字,而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的,这需要怎样的细心和毅 力啊!他这种严谨治学的态度,不怕复杂计算的毅力,值得我们学习. 下面我们就来通过计算解决问题:已知圆锥的侧面展开图是个半圆,若该圆锥的体积等于9,则这个圆 锥的高等于( ) A.5 B.5
39、 C.3 D.3 1 3 3 3333 答案答案 D 设圆锥的母线长为R,底面半径为r,高为h,圆锥的侧面展开图是个半圆,=2r,R=2r, 由勾股定理可得h=r,圆锥的体积等于9,r2h=9,解得r=3,h=3,故选D. 180 180 R 33 1 3 33 4.(2020新疆,14,5分)如图,O的半径是2,扇形BAC的圆心角为60,若将扇形BAC剪下围成一个圆锥,则此圆 锥的底面圆的半径为 . 答案答案 3 3 解析解析 连接OA,作ODAC于点D. 在直角OAD中, OA=2,OAD=BAC=30, 则AD=OA cos 30=, 则AC=2AD=2, 则扇形的弧长是=. 设此圆锥的
40、底面圆的半径是r, 则2r=, 解得r=. 1 2 3 3 602 3 180 2 3 3 2 3 3 3 3 故此圆锥的底面圆的半径为. 3 3 5.(2019广西贺州,16,3分)已知圆锥的底面半径是1,高是,则该圆锥的侧面展开图的圆心角是 度. 15 答案答案 90 解析解析 设圆锥的侧面展开图的圆心角为n,如图所示,由h2+r2=得l母=4. 由=r l母得n=90, 该圆锥的侧面展开图的圆心角为90. 2 l母1 15 2 360 nl 母 360r l母 360 1 4 6.(2019黑龙江齐齐哈尔,13,3分)将圆心角为216,半径为5 cm的扇形围成一个圆锥的侧面,那么围成的这
41、个 圆锥的高为 cm. 答案答案 4 解析解析 设圆锥底面圆的半径为r cm,由2r=,解得r=3, 圆锥的高为=4(cm). 2165 180 22 5 -3 7.(2018聊城,15,3分)用一块圆心角为216的扇形铁皮做一个高为40 cm的圆锥形工件(接缝忽略不计),那么 这个扇形铁皮的半径是 cm. 答案答案 50 解析解析 设扇形铁皮的半径为R cm,圆锥工件的底面半径为r cm,根据题意得解方程组,得 所以这个扇形铁皮的半径是50 cm. 222 216 2 , 180 40, Rr Rr 50, 30, R r 解题关键解题关键 解决有关圆锥的计算问题时,要抓住两个对应关系:(1
42、)圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形所 在圆的半径;(2)圆锥的底面周长等于其侧面展开图扇形的弧长. 考点三 正多边形和囿 1.(2017四川达州,7,3分)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则 该三角形的面积是 ( ) A. B. C. D. 2 2 3 2 23 答案答案 A 如图1, 图1 OC=2,OD=2sin 30=1; 如图2, 图2 OB=2, OE=2sin 45=; 如图3, 图3 OA=2, OD=2cos 30=. 2 3 则该三角形的三边分别为1, 12+()2=()2, 该三角形是直角三角形, 该三角形的面积是1=. 23 23 1
43、 2 2 2 2 2.(2019湖北孝感,15,3分)刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他在九章算术中提出了“割圆术”,利用 圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图,若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计 O的面积S,设O的半径为1,则S-S1= . 答案答案 -3 解析解析 O的半径为1, O的面积S=. 过A作ACOB,如图, AOB=30, AC=OA=, 圆的内接正十二边形的面积S1=121=3, S-S1=-3. 360? 12 1 2 1 2 1 2 1 2 A组 20182020年模拟基础题组 时间:30分钟 分值:35分 一、选择题(每小题3分,共9分) 1.(2
44、020济宁嘉祥一模,8)圆锥的侧面积为8,母线长为4,则它的底面圆的半径为( ) A.2 B.1 C.3 D.4 答案答案 A 设圆锥的底面圆的半径为r, 由8=2r4,解得r=2,即圆锥的底面圆的半径为2. 1 2 2.(2020临沂费县一模,13)如图,AB是O的直径,直线DE与O相切于点C,过A,B分别作ADDE,BEDE, 垂足为点D,E,连接AC,BC,若AD=,CE=3,则的长为( ) A. B. C. D. 3AC 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 答案答案 D 连接OC,AB是O的直径, ACB=90,ACD+BCE=90, ADDE,BEDE, ADC=BEC=90,
45、DAC+ACD=90, DAC=BCE,ADCCEB, =,即=, tanABC=,ABC=30, AB=2AC,AOC=60, AC BC AD CE AC BC 3 3 AC BC 3 3 AOC是等边三角形, 直线DE与O相切于点C, OCD=90,ACD=30, AC=2AD=2, 的长为=.故选D. 3 AC 60 2 3 180 2 3 3 3.(2018泰安中考样题,10)工人师傅用一张半径为24 cm,圆心角为150的扇形铁皮做成一个圆锥的侧面,则 这个圆锥的高为( ) A. cm B.2 cm C.4 cm D. cm 119119 6 1 2 119 答案答案 B 由题意可
46、得圆锥的母线长为24 cm,设圆锥底面圆的半径为r cm,则2r=,解得r=10. 故这个圆锥的高为=2(cm). 15024 180 22 24 -10119 思路分析思路分析 利用圆锥的性质求出圆锥底面圆的半径,进而利用勾股定理得出圆锥的高. 二、填空题(每小题3分,共15分) 4.(2020德州德城期末,13)如图,沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平,得到一个扇形,若圆锥的底面圆的半径r =2,扇形的圆心角=120,则该圆锥母线l的长为 . 答案答案 6 解析解析 根据题意得22=,解得l=6,即该圆锥母线l的长为6. 120 180 l 方法规律方法规律 圆锥的侧面展开图为扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母 线长. 5.(2020济宁嘉祥一模,14)圆心角为120,半径为6 cm的扇形的弧长是 cm. 答案答案 4 解析解析 由题意得,n=120,R=6 cm, 故弧长l=4 c
