1、 中考数学 （江苏专用） 6.2 图形的相似 考点1 相似的基本概念 A组 20162020年江苏中考题组 1.(2019淮安,15,3分)如图,l1l2l3,直线a、b与l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若AB=3, DE=2,BC=6,则EF= . 答案答案 4 解析解析 l1l2l3, =,即=, EF=4. AB BC DE EF 3 6 2 EF 2.(2019扬州,18,3分)如图,在ABC中,AB=5,AC=4,若进行以下操作,在边BC上从左到右依次取点D1、D2、 D3、D4、,过点D1作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E1、F1;过点D2作AB、AC
2、的平行线分别交AC、 AB于点E2、F2;过点D3作AB、AC的平行线分别交AC、AB于点E3、F3;,则4(D1E1+D2E2+D2 019E2 019)+ 5(D1F1+D2F2+D2 019F2 019)= . 答案答案 40 380 解析解析 D1F1AC,D1E1AB, 四边形AF1D1E1为平行四边形, AF1=D1E1.D1F1AC, =,即=, AB=5,AC=4, 4D1E1+5D1F1=20, 同理4D2E2+5D2F2=20, 4D2 019E2 019+5D2 019F2 019=20, 4(D1E1+D2E2+D2 019E2 019)+5(D1F1+D2F2+D2
3、019F2 019)=202 019=40 380. 11 D F AC 1 BF AB 11 D F AC 11 -AB D E AB 解题关键解题关键 本题考查平行线分线段成比例定理.能够根据平行线分线段成比例定理和等量代换得到 4D1E1+5D1F1=20是解决问题的关键. 考点2 相似三角形的性质与判定 1.(2017连云港,4,3分)如图,已知ABCDEF,ABDE=12,则下列等式一定成立的是( ) A.= B.= C.= D.= BC DF 1 2 A D 的度数 的度数 1 2 ABC DEF 的面积 的面积 1 2 ABC DEF 的周长 的周长 1 2 答案答案 D ABC
4、DEF, =,A不一定成立; =1,B不成立; =,C不成立; =,D成立,故选D. BC EF 1 2 A D 的度数 的度数 ABC DEF 的面积 的面积 1 4 ABC DEF 的周长 的周长 1 2 2.(2019连云港,6,3分)在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中,根据“马走日”的规则, “马”应落在下列哪个位置处,能使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅” “相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似( ) A.处 B.处 C.处 D.处 答案答案 B “帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为2、2、4, “车”与“炮”之间的距离为1,
5、 “炮”与之间的距离为,“车”与之间的距离为2, =, “马”应该落在的位置处. 故选B. 52 52 5 2 5 2 2 4 2 1 2 3.(2019苏州,10,3分)如图,在ABC中,点D为BC边上的一点,且AD=AB=2,ADAB.过点D作DEAD,DE 交AC于点E.若DE=1,则ABC的面积为( ) A.4 B.4 C.2 D.8 2 5 答案答案 B ABAD,DEAD, BAD=ADE=90.又AB=AD=2, ABD为等腰直角三角形,则BD=2, 易知BD边上的高为. BAD=ADE=90,ABDE, CDECBA. =,即=. 解得DC=2.BC=4, SABC=BC=4=
6、4. 故选B. 2 2 DC BC DE BA 1 2 DC BDDC 1 2 22 1 2 2 1 2 22 4.(2018扬州,8,3分)如图,点A在线段BD上,在BD的同侧作等腰RtABC和等腰RtADE,CD与BE、AE分 别交于点P、M.对于下列结论: BAECAD;MP MD=MA ME;2CB2=CP CM.其中正确的是( ) A. B. C. D. 答案答案 A 由已知易得AC=AB,AD=AE, =, BAC=EAD=45,BAE=CAD, BAECAD,正确; BAECAD,BEA=CDA, PME=AMD,PMEAMD, =,MP MD=MA ME, 正确; 易证P、E、
7、D、A四点共圆, APD=AED=90, CAE=180-BAC-EAD=90, CAM=APD, 又ACM=PCA,CAPCMA, 22 AC AB AD AE 2 MP MA ME MD AC2=CP CM, AC=AB,AB=BC, 2CB2=CP CM, 正确.故选A. 2 疑难突破疑难突破 本题考查了相似三角形的性质和判断.在乘积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法 寻找相似三角形并进行证明,采用逐项分析法,判断选项的正确性. 5.(2020无锡,10,3分)如图,等边ABC的边长为3,点D在边AC上,AD=,线段PQ在边BA上运动,PQ=,有 下列结论: CP与QD可能相等;AQ
8、D与BCP可能相似;四边形PCDQ面积的最大值为;四边形 PCDQ周长的最小值为3+. 其中,正确结论的序号为( ) A. B. C. D. 1 2 1 2 31 3 16 37 2 答案答案 D 线段PQ在边BA上运动,PQ=AD=, 由三角形三边关系得QDAQ+AD=AQ+PQ=AP,易知APCP, QDAPCP, CP与QD不可能相等,则错误; 设AQ=x, PQ=,AB=3, 0AQ3-=,即0 x, 假设AQD与BCP相似, A=B=60, =,即=, 1 2 1 2 1 2 5 2 5 2 AD BP AQ BC 1 2 1 3- 2 x 3 x 从而得到2x2-5x+3=0,解得
9、x=1或x=(经检验,均是原方程的根), 又0 x, x=1或x=均符合题意, 即AQD与BCP可能相似,则正确; 如图,过P作PEBC于E,过D作DFAB于F, 设AQ=x, 3 2 5 2 3 2 由PQ=,AB=3,得0AQ3-=,即0 x, PB=3-x, B=60,PE=, AD=,A=60,DF=, 则SPBC=BC PE=3=, SDAQ=AQ DF= x=x, 四边形PCDQ的面积为SABC-SPBC-SDAQ=3-x=+x, 又0 x, 1 2 1 2 5 2 5 2 1 2 3 2 1 3- 2 x 1 2 1 2 3 2 3 4 1 2 1 2 3 2 1 3- 2 x
10、3 3 4 5 - 2 x 1 2 1 2 3 4 3 8 1 2 3 3 2 3 3 4 5 - 2 x 3 8 3 3 8 5 3 8 5 2 当x=时,四边形PCDQ的面积最大,最大值为+=,即四边形PCDQ面积的最大值为 ,则正确; 四边形PCDQ的周长为PC+CD+DQ+PQ=3+PC+DQ,要求四边形PCDQ的周长的最小值,即求PC+DQ 的最小值. 如图,作点D关于直线AB的对称点D1,作D1D2AB,且D1D2=(D2在D1下方),连接D2C交AB于点P,在AB上 截取PQ=(Q在P上方),连接D1Q,DQ,AD2, 5 2 3 3 8 5 3 8 5 2 31 3 16 31
11、 3 16 1 2 1 2 D1Q=DQ=D2P,AD1=D1D2=AD=,且AD1D2=120, D1AD2=30,D2AD=90,AD2=, 根据勾股定理可得,CD2=, 四边形PCDQ的周长的最小值为CP+DQ+CD+PQ=CD2+CD+PQ=+=3+,则错误.所 以可得正确,故选D. 1 2 3 2 22 2 ACAD 2 2 3 3 2 39 2 39 2 1 3- 2 1 2 39 2 方法总结方法总结 本题考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、勾股定理、轴对称等知识点.通 过用二次函数求最值、作对称点求最短距离等方法,结合数形结合的思想方法即可求解. 6.(2020盐城,
12、15,3分)如图,BCDE,且BC0),则DE=10-a, 故=,解得a1=2,a2=8(经检验,a1=2,a2=8均为原方程的解), BC0),则FN=3-x. 在RtPNF中,+(3-x)2=x2, 解得x=,即MN=. 3 2 2 3 2 15 8 15 8 综上所述,MN的长为6或. 15 8 解题关键解题关键 本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知 识.熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质,证明三角形相似是解题的关键. 11.(2016苏州,18,3分)如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B的坐标分别为(8,0)、(0,2),C是AB的中 点,过
13、点C作y轴的垂线,垂足为D,动点P从点D出发,沿DC向点C匀速运动,过点P作x轴的垂线,垂足为E,连 接BP、EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时,点P的坐标为 . 3 答案答案 (1,) 3 解析解析 延长BP交CE于点F, 当BFEC时,BFC=90,由题意知CDAO, C是AB的中点,D是BO的中点, CD=AO=4, 易知四边形DOEP为矩形, PE=DO=BD=BO=, 设DP=x,则CP=4-x, BPD=FPC,DBP=PCE, 又BDP=CPE=90,BDPCPE, =,=, 即()2=x(4-x),x1=1,x2=3, 当直线BP与直线EC第一次垂直时,x=1,即点
14、P的坐标为(1,). 1 2 1 2 3 BD CP DP PE 3 4-x3 x 3 3 解题关键解题关键 解决问题的关键是掌握平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定与性质.解题时注 意有两个角对应相等的两个三角形相似. 12.(2020苏州,24,8分)如图,在矩形ABCD中,E是BC的中点,DFAE,垂足为F. (1)求证:ABEDFA; (2)若AB=6,BC=4,求DF的长. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形, B=90,ADBC. AEB=DAF, DFAE,DFA=90. B=DFA,ABEDFA. (2)ABEDFA,=. BC=4,E是BC的中点,BE=BC=4
15、=2. 在RtABE中,AE=2. 又AD=BC=4,=, DF=. AB DF AE AD 1 2 1 2 22 ABBE 22 6210 6 DF 2 10 4 6 10 5 解题关键解题关键 本题考查了矩形的性质,相似三角形的判定和性质,掌握相似三角形的判定方法和性质是解 题的关键. 13.(2020南京,26,9分)如图,在ABC和ABC中,D、D分别是AB、AB上一点,=. (1)当=时,求证ABCABC. 证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格. AD AB AD AB CD CD AC AC AB AB (2)当=时,判断ABC与ABC是否相似,并说明理由. CD CD
16、 AC AC BC BC 解析解析 (1)=;A=A. (2)相似.理由如下:如图,过点D、D分别作DEBC、DEBC,DE交AC于点E,DE交AC于点E. DEBC,ADEABC, CD CD AC AC AD AD =. 同理=. 又=,=.=. 同理=.=,即=. =, 又=, =, DCEDCE. CED=CED. AD AB DE BC AE AC AD AB DE BC AE AC AD AB AD AB DE BC DE BC DE DE BC BC AE AC AE AC -AC AE AC - AC AE AC EC AC EC AC EC EC AC AC CD CD AC
17、 AC BC BC CD CD DE DE EC EC DEBC,CED+ACB=180. 同理CED+ACB=180,ACB=ACB. 又=,ABCABC. AC AC BC BC 评析评析 本题考查相似三角形的性质和判定,添加平行线,构造相似三角形即可解决本题,是一道中档题. 14.(2017宿迁,24,8分)如图,在ABC中,AB=AC,点E在边BC上移动(点E不与点B,C重合),满足DEF=B, 且点D、F分别在边AB、AC上. (1)求证:BDECEF; (2)当点E移动到BC的中点时,求证:FE平分DFC. 证明证明 (1)AB=AC,B=C. BDE=180-B-DEB,CEF=
18、180-DEF-DEB,DEF=B, BDE=CEF, BDECEF. (2)BDECEF,=. 点E是BC的中点, BE=CE,=, DEF=B=C, DEFECF, DFE=CFE, FE平分DFC. BE CF DE EF CE CF DE EF 15.(2020徐州,27,10分)我们知道:如图,点B把线段AC分成两部分,如果=,那么称点B为线段AC 的黄金分割点.它们的比值为. (1)在图中,若AC=20 cm,则AB的长为 cm; (2)如图,用边长为20 cm的正方形纸片进行如下操作:对折正方形ABCD得折痕EF,连接CE,将CB折叠 到CE上,点B对应点H,得折痕CG.试说明:
19、G是AB的黄金分割点; BC AB AB AC 5-1 2 (3)如图,小明进一步探究:在边长为a的正方形ABCD的边AD上任取点E(AEDE),连接BE,作CFBE, 交AB于点F,延长EF、CB交于点P.他发现当PB与BC满足某种关系时,E、F恰好分别是AD、AB的黄金分 割点.请猜想小明的发现,并说明理由. 解析解析 (1)AB=20=(10-10)cm. 故答案为(10-10). (2)如图,连接GE,设BG=x cm,则GA=(20-x)cm. 四边形ABCD是正方形, A=B=D=90, 由折叠的性质得CH=BC=20 cm,GH=BG=x cm,GHC=B=90,AE=ED=10
20、 cm, 在RtCDE中,CE=10 cm, EH=(10-20)cm. 在RtGHE中,GE2=GH2+EH2=x2+(10-20)2, 在RtGAE中,GE2=AG2+AE2=(20-x)2+100, x2+(10-20)2=(20-x)2+100, 解得x=10-10. 5-1 2 5 5 22 EDCD5 5 5 5 5 =, G是AB的黄金分割点. (3)当PB=BC时,E、F恰好分别是AD、AB的黄金分割点. 理由:CFBE, BCF+CBE=90,又CBE+ABE=90, ABE=BCF, A=ABC=90,AB=BC, BAECBF(ASA),AE=BF. 设AE=BF=x(x
21、0),则AF=a-x, ADBC,即AEPB,AEFBPF, BG AB 10 5-10 20 5-1 2 =,即=, x2+ax-a2=0, 解得x=或x=(舍去), 即BF=AE=, =, E、F分别是AD、AB的黄金分割点. AE BP AF BF x a -a x x 5 - 2 a a- 5 - 2 a a 5 - 2 a a AE AD BF AB 5-1 2 考点1 相似的基本概念 B组 20162020年全国中考题组 1.(2020四川成都,9,3分)如图,直线l1l2l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为( ) A.2 B.3
22、C.4 D. 10 3 答案答案 D l1l2l3, 由平行线分线段成比例可得=, AB=5,BC=6,EF=4, =,DE=4=,故选D. DE EF AB BC 4 DE5 6 5 6 10 3 2.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一 点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是( ) A.= B.= C.= D.= AD AB AE EC AG GF AE BD BD AD CE AE AG AF AC EC 答案答案 C 根据平行线分线段成比例定理可知=,=,=,=,所以选项A、B、 D错误,选项C正确.
23、故选C. AD AB AE AC AG GF AE EC BD AD CE AE AG AF AE AC 3.(2018四川成都,13,4分)已知=,且a+b-2c=6,则a的值为 . 6 a 5 b 4 c 答案答案 12 解析解析 设=k(k0), 则a=6k,b=5k,c=4k, a+b-2c=6,6k+5k-8k=6. 解得k=2.a=6k=12. 6 a 5 b 4 c 考点2 相似三角形的性质与判定 1.(2020云南,11,4分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则DEO与 BCD的面积的比等于( ) A. B. C. D. 1 2 1 4 1
24、 6 1 8 答案答案 B 在ABCD中,BO=DO,E是CD的中点,OEBC,OE=BC,DOEDBC,= =.故选B. 1 2 DEO BCD S S 2 OE BC 1 4 2.(2019重庆A卷,3,4分)如图,ABOCDO,若BO=6,DO=3,CD=2,则AB的长是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案答案 C ABOCDO,=. OB=6,OD=3,CD=2,=,AB=4,故选C. AB CD OB OD 2 AB6 3 3.(2019浙江杭州,6,3分)如图,在ABC中,点D,E分别在AB和AC边上,DEBC,M为BC边上一点(不与点B, C重合),连接AM交DE于点N,
25、则( ) A.= B.= C.= D.= AD AN AN AE BD MN MN CE DN BM NE MC DN MC NE BM 答案答案 C DEBC,ADNABM,ANEAMC,=,=,=,故选C. AN AM DN BM AN AM NE MC DN BM NE MC 4.(2019安徽,7,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=12.点D在边BC上,点E在线段AD上,EF AC于点F,EGEF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为( ) A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 答案答案 B 解法一:如图,作DNCA交AB于点N, ACB=90,EFEG,E
26、FAC,EGDN,EFBC. =. EF=EG,DN=DC. DNCA,=,=, 解得DC=4,故选B. 解法二:过点G作GMAC,垂足为M,交AD于点N. 易知四边形EFMG为正方形,设EG为x,则GM为x. EG DN AE AD EF CD DN AC BD BC6 DC12- 12 DC tanBAC=2,AM=x, EGAC, EGNAMN, =2. GN=x,MN=x, 易证AMNACD, =, CD=4. BC AC 12 6 1 2 GN MN EG AM 1 2 x x 2 3 1 3 CD AC MN AM 1 3 1 2 x x 2 3 解题关键解题关键 作平行线,利用对
27、应线段成比例或相似比建立等式是解答本题的关键. 5.(2017北京,13,3分)如图,在ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若SCMN=1,则S四边形ABNM= . 答案答案 3 解析解析 M,N分别为AC,BC的中点, MNAB,且MN=AB, CMNCAB,且相似比为12, SCMN=1,SCAB=4, S四边形ABNM=SCAB-SCMN=4-1=3. 1 2 6.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,=,则= . OE OA 3 5 FG BC 答案答案 3 5 解析解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似, OEFOAB,OFG
28、OBC, =,=. OF OB OE OA 3 5 FG BC OF OB 3 5 7.(2018湖北武汉,23,10分)在ABC中,ABC=90. (1)如图1,分别过A、C两点作经过点B的直线的垂线,垂足分别为M、N,求证:ABMBCN; (2)如图2,P是边BC上一点,BAP=C,tanPAC=,求tan C的值; (3)如图3,D是边CA延长线上一点,AE=AB,DEB=90,sinBAC=,=,直接写出tanCEB的值. 2 5 5 3 5 AD AC 2 5 解析解析 (1)证明:M=N=ABC=90, MAB+MBA=NBC+MBA=90, MAB=NBC, ABMBCN. (2
29、)过点P作PMAP交AC于点M,过点M作MNPC交BC于点N,则PMNAPB. =tanPAC=,设PN=2t,则AB=t. BAP+APB=MPC+APB=90,BAP=C, MPC=C,CN=PN=2t. 易得ABPCBA, AB2=BP BC,(t)2=BP (BP+4t), BP=t,BC=5t, tan C=. PN AB PM AP 2 5 5 5 5 5 5 (3)在RtABC中,sinBAC=, tanBAC=. 过点A作AGBE于点G,过点C作CHBE交EB的延长线于点H, DEB=90,CHAGDE, =, 同(1)的方法得,ABGBCH, BC AC 3 5 BC AB
30、3 4 GH EG AC AD 5 2 =, 设BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n, GH=BG+BH=4m+3n, AB=AE,AGBE,EG=BG=4m, =,n=2m, EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m, 在RtCEH中,tanCEB=. BG CH AG BH AB BC 4 3 GH EG 43 4 mn m 5 2 CH EH 3 14 思路分析思路分析 (1)利用同角的余角相等判断出MAB=NBC,即可得出结论; (2)作PMAP,MNPC,先判断出PMNAPB,得出=,设PN=2t,则AB=t,再判断出 ABPCBA,根据相似三角形
31、的性质可求得BP=t,则BC=5t,即可得出结论; (3)作AGBE,CHBE,先判断出=,同(1)的方法得,ABGBCH,所以=,设 BG=4m,CH=3m,AG=4n,BH=3n,进一步得出关于m,n的等式,解得n=2m,最后得出结论. PN AB PM AP 2 5 5 5 GH EG AC AD 5 2 BG CH AG BH AB BC 4 3 方法指导方法指导 几何问题中的类比探究关键在于找到解决每一问的通法,本题涉及相似三角形,要寻找的比 例关系或添加的辅助线均类似.同时要注意挖掘题干中不变的几何特征,根据特征寻找方法. 1.(2019甘肃兰州,8,4分)已知ABCABC,AB=
32、8,AB=6,则=( ) A.2 B. C.3 D. BC BC 4 3 16 9 C组 教师专用题组 考点 相似三角形的性质与判定 答案答案 B 由相似三角形的性质可得=,故选B. BC BC AB AB 8 6 4 3 2.(2016黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,BE与CD相交于点 F,则下列结论一定正确的是( ) A.= B.= C.= D.= AD AB AE AC DF FC AE EC AD DB DE BC DF BF EF FC 答案答案 A DEBC,ADEABC, =,故选A. AD AB AE AC DE BC 3.(
33、2016河北,15,2分)如图,ABC中,A=78,AB=4,AC=6.将ABC沿图示中的虚线剪下,剪下的阴影三角 形与原三角形的是( ) 不相似 答案答案 C 选项A与B中剪下的阴影三角形分别与原三角形有两组角对应相等,可得阴影三角形与原三 角形相似;选项D中剪下的阴影三角形与原三角形有两边之比相等,且两边的夹角相等,所以两个三角形 也是相似的,故选C. 4.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中线,AD=2,CE =5,则CD=( ) A.2 B.3 C.4 D.2 3 答案答案 C 在RtABC中,因为CE为AB边上的中线
34、,所以AB=2CE=25=10,又AD=2,所以BD=8,易证 ACDCBD,则CD2=AD DB=28=16,所以CD=4,故选C. 5.(2018云南,5,3分)如图,已知ABCD,若=,则= . AB CD 1 4 OA OC 答案答案 1 4 解析解析 ABCD, A=C,B=D, AOBCOD. =. OA OC AB CD 1 4 6.(2019吉林,13,3分)在某一时刻,测得一根高为1.8 m的竹竿的影长为3 m,同时同地测得一栋楼的影长为 90 m,则这栋楼的高度为 m. 答案答案 54 解析解析 因为时刻相同,所以光线是平行的.设这栋楼的高度为x m,则=,解得x=54.
35、1.8 390 x 7.(2020广东广州,15,3分)如图,正方形ABCD中,ABC绕点A逆时针旋转到ABC,AB,AC分别交对角线 BD于点E,F,若AE=4,则EF ED的值为 . 答案答案 16 解析解析 四边形ABCD为正方形, BAC=ADB=45. ABC由ABC旋转所得, BAC=BAC=45. EAF=ADE=45. 又AEF=DEA, AEFDEA, =, EF DE=EA2, AE=4, EF ED=EA2=16. EF EA AE DE 思路分析思路分析 由题不能直接求出EF,ED的长度,可由已知条件证出AEFDEA,可得=,即EA2= EF DE,将EA=4代入,便可
36、求出EF DE的值. EF EA AE DE 一题多解一题多解 特殊值法.本题只有一个确定数值AE=4,设正方形对角线交点为O,不妨设旋转角为45,则此 时E点和O点重合,F点和D点重合,即EF ED=OD2,AE=AO=DO=4,所以EF ED=16. 8.(2020无锡,18,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AB=4,点D,E分别在边AB,AC上,且DB=2AD,AE=3EC, 连接BE,CD,相交于点O,则ABO面积的最大值为 . 答案答案 8 3 解析解析 如图1,作DGAC,交BE于点G, BDGBAE,ODGOCE, =, =,=2, ODGOCE,=2,OD=CD, A
37、B=4,SABO=SABC, 若ABO面积最大,则ABC面积最大. DG AE BD AB 2 3 CE AE 1 3 DG CE 2 1 DG CE OD OC 2 3 2 3 图1 如图2,当ABC为等腰直角三角形时,ABC面积最大,为42=4, ABO面积的最大值为4=. 1 2 2 3 8 3 图2 解题反思解题反思 本题考查了相似三角形的判定与性质,运用相似确定OD与CD的关系,把求ABO面积的最 大值转化为求ABC面积的最大值是解题的关键. A组 20182020年模拟基础题组 时间:10分钟 分值:15分 一、选择题(每小题3分,共6分) 1.(2020南京联合体一模,4)已知A
38、BCDEF,ABC与DEF的面积之比为14,若BC=1,则EF的长 是( ) A. B.2 C.4 D.16 2 答案答案 B ABCDEF, ABC与DEF的面积之比为14, 则相似比为12,即BCEF=12, 故当BC=1时,EF=2. 故选B. 2.(2019淮安淮阴一模,6)如图,点D、E分别在AB、AC上,DEBC.若AD=2,AB=6,DE=1.2,则BC的长为 ( ) A.2.8 B.3 C.3.6 D.4 答案答案 C DEBC,ADEABC, =, 即=,BC=3.6. 故选C. AD AB DE BC 2 6 1.2 BC 二、填空题(每小题3分,共9分) 3.(2020南
39、通海安,12)在比例尺为1500 000的地图上,量得A、B两地的距离为3 cm,则A、B两地的实际 距离为 km. 答案答案 15 解析解析 比例尺为1500 000,量得A、B两地的图上距离是3 cm,A、B两地的实际距离为3500 000= 1 500 000 cm=15 km. 4.(2018宿迁宿豫一模,12)已知ABCDEF,且SABC=4,SDEF=9,则= . AB DE 答案答案 2 3 解析解析 ABCDEF,SABC=4,SDEF=9, =,=. ABC DEF S S 2 AB DE 4 9 AB DE 2 3 5.(2018淮安一模,13)为了测量校园水平地面上一棵不
40、可攀的树的高度,学校数学兴趣小组进行了如下探 索:根据光的反射定律,利用一面镜子和一根皮尺,设计如图所示的测量方案:把一面很小的镜子放在离 树底(B)8.4米的点E处,然后沿着直线BE后退到点D,这时恰好在镜子里看到树梢顶点A,再用皮尺量得DE =2.4米,观察者目高CD=1.6米,则树(AB)的高度为 米. 答案答案 5.6 解析解析 根据题意,得CDE=ABE=90,CED=AEB,则ABECDE,所以=,即=,解 得AB=5.6. 故树(AB)的高度为5.6米. BE DE AB CD 8.4 2.41.6 AB 一、选择题(每小题3分,共6分) B组 20182020年模拟提升题组 时
41、间:25分钟 分值:40分 1.(2020苏州常熟一模,10)如图,ABC中,ACB=90,AC=BC,点D在AB的延长线上,且BD=AB,连接DC并 延长,作AECD于E,若AE=4,则BCD的面积为( ) A.8 B.10 C.8 D.16 2 答案答案 B 过点B作BFDE于点F, AECD,AED=BFD=90, BFAE, DBFDAE, BD=AB, =, AE=4, BF AE DF DE DB AD 1 2 BF=2,DF=DE. 易证RtBFCRtCEA, 则CE=BF=2,CF=AE=4, EF=6,DF=6,DC=10, SBCD=DC BF=102=10. 1 2 1
42、2 1 2 解题关键解题关键 作辅助线BFDE,构造相似及“K”字型全等三角形等,即可求得BCD的底DC及高BF,从 而求得BCD的面积. 2.(2019南京玄武一模)如图,四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形,连接CF,DG,则=( ) A. B. C. D. DG CF 2 3 2 2 3 3 3 2 答案答案 B 连接AC和AF, 四边形 ABCD和四边形 AEFG均为正方形, =, DAG=45-GAC,CAF=45-GAC, DAG=CAF. DAGCAF, =. 故选B. AD AC AG AF 2 2 DG CF AD AC 2 2 解题关键解题关键 本题主要考查了正方形的性
43、质、相似三角形的判定和性质,解题的关键是构造相似三角形. 3.(2020南通海安一模,13)如图,在平面直角坐标系xOy中,有两点A(2,4),B(4,0),以原点O为位似中心,把 OAB缩小得到OAB,若B的坐标为(2,0),则点A的坐标为 . 二、填空题(共3分) 答案答案 (1,2) 解析解析 点B的坐标为(4,0),以原点O为位似中心,把OAB缩小得到OAB,B的坐标为(2,0), 以原点O为位似中心,把OAB的边长缩小得到OAB, 点A的坐标为(2,4), 点A的坐标为,即(1,2). 1 2 11 2,4 22 思路分析思路分析 本题考查平面直角坐标系中三角形的位似变换,找到位似中
44、心,确定位似比,即可求出对应点 的坐标. 三、解答题(共31分) 4.(2020苏州常熟一模,27)如图,ABC中,ACB=90,点D从点A出发沿AC方向匀速运动,速度为1 cm/s.点E是AC上位于点D右侧的动点,点M是AB上的动点,在运动过程中始终保持MD=ME,DE=2 cm,过M 作MNAC交BC于N,当点E与点C重合时点D停止运动.设MDE的面积为S(cm2),点D的运动时间为t(s),S 与t的函数关系如图所示. (1)AC= cm,BC= cm; (2)设四边形MDEN的面积为y,求y的最大值; (3)是否存在t的值,使得以M,E,N为顶点的三角形与MDE相似?如果存在,求t的值
45、;如果不存在,说明理由. 解析解析 (1)6;12.(2分) (2)作MHDE于点H, MD=ME,DE=2,DH=DE=1,AH=t+1, tan A=2,MH=2t+2,(3分) MNAC,ACB=90,MNC=90, 又MHDE, MNC=C=MHC=90, 四边形MHCN是矩形, 1 2 MH AH BC AC MN=HC=AC-AH=6-(t+1)=5-t,(4分) y=SMDE+SMNE=2 (2t+2)+(5-t)(2t+2)=-t2+6t+7=-(t-3)2+16, 根据题意得,0t4, t=3时,y有最大值16.(6分) (3)假设存在t的值,使得以M,E,N为顶点的三角形与
46、MDE相似. MNAC,MED=EMN, 当MNE=EDM时,ENMMDE,=1,MN=ED,即5-t=2,t=3.(8分) 当MEN=EDM时,NEMMDE, 此时NE=NM=5-t, ACB=90,EC2+NC2=EN2, (4-t)2+(2t+2)2=(5-t)2, t1=,t2=(舍去). 1 2 1 2 MN ED EM ME -53 5 4 -5-3 5 4 t=3或时,以M,E,N为顶点的三角形与MDE相似.(10分) -53 5 4 解题关键解题关键 本题考查锐角三角函数、矩形的判定、用二次函数求面积最大值、相似三角形的判定及性 质等知识点.易错的是相似的多解问题,由于两个三角形有公共点M,故根据对应点本题相似有两种情况, 即t值有两个. 5.(2019盐城滨海一模)已知:如图,ABCADE,BAC=DAE=90,AB=3,AC=4,点D在线段BC上运 动. (1)如图,求证:ABDACE; (2)如图,当ADBC时,判断四边形ADCE的形状,并说明理由; (3)当点D从点B运动到点C时,设P为线段DE的中点,求在点D的运动过程中,点P经过的路径长(直接写出 结论). 解析解析 (1)证明:ABCADE, =,=, BAC=DAE=90, BAD+DAC=DAC+CAE, BAD=CAE, ABDACE. (2)四边形ADCE为矩
