1、 中考数学 （湖南专用） 第八章 综合专题 8.1 观察归纳型 1.(2019湖南常德,8,3分)观察下列等式:70=1,71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807,根据其中的规律 可得70+71+72+72 019的结果的个位数字是( ) A.0 B.1 C.7 D.8 答案答案 A 70=1,71=7,72=49,73=343,74=2 401,75=16 807, 个位数4个数一循环, (2 019+1)4=505,1+7+9+3=20, 70+71+72+72 019的结果的个位数字是0.故选A. 思路分析思路分析 首先得出尾数变化规律,进而得出70+71
2、+72+72 019的结果的个位数字. 2.(2019云南,12,4分)按一定规律排列的单项式:x3,-x5,x7,-x9,x11,第n个单项式是( ) A.(-1)n-1x2n-1 B.(-1)nx2n-1 C.(-1)n-1x2n+1 D.(-1)nx2n+1 答案答案 C x3=(-1)1-1x21+1, -x5=(-1)2-1x22+1, x7=(-1)3-1x23+1, -x9=(-1)4-1x24+1, x11=(-1)5-1x25+1, 第n个单项式为(-1)n-1x2n+1.故选C. 3.(2017湖北武汉,8,3分)按照一定规律排列的n个数:-2,4,-8,16,-32,64
3、,.若最后三个数的和为768,则n为 ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 答案答案 B 根据规律可知,第n个数为(-1)n2n,则最后三个数为(-1)n-22n-2,(-1)n-12n-1,(-1)n2n, 当n为奇数时,(-1)n-22n-2+(-1)n-12n-1+(-1)n2n=768, 即-2n-2+2n-1-2n=768, -2n-2(1-2+4)=768,-2n-2=256,此方程无解; 当n为偶数时,(-1)n-22n-2+(-1)n-12n-1+(-1)n2n=768, 即2n-2-2n-1+2n=768, 2n-2(1-2+4)=768,2n-2=28,n-2=8,
4、n=10. 思路分析思路分析 先由规律得出第n个数为(-1)n2n,然后写出最后三个数,根据最后三个数的和为768列方程求 解,注意n要分奇数和偶数两种情况讨论. 4.(2016湖南永州,12,4分)我们根据指数运算,得出了一种新的运算,下表是两种运算对应关系的一组实 例: 指数运 算 21=2 22=4 23=8 31=3 32=9 33=27 新运算 log22=1 log24=2 log28=3 log33=1 log39=2 log327=3 根据上表规律,某同学写出了三个式子:log216=4,log525=5,log2=-1.其中正确的是( ) A. B. C. D. 1 2 答案
5、答案 B 经过分析,可以得到新运算中的规律,如果ab=N,那么logaN=b.因为24=16,5525,2-1=,所以log216 =4,log5255,log2=-1,即正确. 1 2 1 2 思路分析思路分析 根据指数运算和新的运算法则得出规律,根据规律运算可得结论. 解题关键解题关键 根据指数运算与新运算归纳总结出运算中数字变化特点的规律:指数运算ab=N,新运算logaN =b. 5.(2016湖南邵阳,10,3分)如图所示,下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律,根据此规律,最后 一个三角形中y与n之间的关系是( ) A.y=2n+1 B.y=2n+n C.y=2n+1+n D.
6、y=2n+n+1 答案答案 B 根据3=1+21,6=2+22,11=3+23,总结规律为y=n+2n,故选B. 6.(2020湖南常德,8,3分)如图,将一枚跳棋放在七边形ABCDEFG的顶点A处,按顺时针方向移动这枚跳棋 2 020次.移动规则:第k次移动k个顶点(如第一次移动1个顶点,跳棋停留在B处,第二次移动2个顶点,跳棋 停留在D处),按这样的规则,在这2 020次移动中,跳棋不可能停留的顶点是( ) A.C、E B.E、F C.G、C、E D.E、C、F 答案答案 D 不妨设点A为第0个顶点,点B,C,D,E,F,G分别是第1个,第2个,第3个,第4个,第5个,第6个顶点, 因为跳
7、棋移动了k次后走过的总顶点数是1+2+3+k=k(k+1),停在第个顶点处,这时p是 整数,且使0k(k+1)-7p6, 分别取k=1,2,3,4,5,6,7, k(k+1)-7p=1,3,6,3,1,0,0,1,3,6,3,1,0,0,1, 显然第2,4,5个顶点没有停留,即跳棋不可能停留的顶点是C,E和F. 故选D. 1 2 1 (1)-7 2 k kp 1 2 1 2 7.(2019湖南益阳,18,4分)观察下列等式: 3-2=(-1)2, 5-2=(-)2, 7-2=(-)2, 请你根据以上规律,写出第6个等式: . 22 632 1243 答案答案 13-2=(-)2 4276 解析
8、解析 观察,由规律可得第6个等式为13-2=(-)2. 故答案为13-2=(-)2. 4276 4276 思路分析思路分析 第n个等式左边的第1个数为2n+1,根号下的数为n(n+1),利用完全平方公式得到第n个等式右 边的式子为(-)2(n1,且n为整数). 1nn 8.(2020湖南张家界,14,3分)观察下面的变化规律: =1-,=-,=-,=-, 根据上面的规律计算: += . 2 1 3 1 3 2 3 5 1 3 1 5 2 5 7 1 5 1 7 2 79 1 7 1 9 2 1 3 2 3 5 2 5 7 2 2 0192 021 答案答案 2 020 2 021 解析解析 由
9、题干信息可抽象出一般规律:=-(a,b均为奇数,且b=a+2). +=1-+-+-+-=1+ -=1-=. 2 a b 1 a 1 b 2 1 3 2 3 5 2 5 7 2 2 0192 021 1 3 1 3 1 5 1 5 1 7 1 2 019 1 2 021 1 1 - 3 3 1 1 - 5 5 11 - 2 019 2 019 1 2 021 1 2 021 2 020 2 021 9.(2018湖南娄底,18,3分)设a1,a2,a3,是一列正整数,其中a1表示第一个数,a2表示第二个数,依此类推,an表 示第n个数(n是正整数).已知a1=1,4an=(an+1-1)2-(a
10、n-1)2,则a2 018= . 答案答案 4 035 解析解析 4an=(an+1-1)2-(an-1)2, (an+1-1)2=(an-1)2+4an=(an+1)2, a1,a2,a3,是一列正整数, an+1-1=an+1, an+1=an+2, a1=1, a2=3,a3=5,a4=7,a5=9, an=2n-1, a2 018=4 035. 思路分析思路分析 由4an=(an+1-1)2-(an-1)2,可得(an+1-1)2=(an-1)2+4an=(an+1)2,根据a1,a2,a3,是一列正整数,得出an+1= an+2,根据a1=1,分别求出a2=3,a3=5,a4=7,a
11、5=9,进而发现规律an=2n-1,即可求出a2 018=4 035. 解题关键解题关键 通过计算、分析、归纳发现其中的规律,并应用发现的规律解决问题.解决本题的关键在于 得出式子an+1=an+2. 10.(2016湖南衡阳,18,3分)如图所示,1条直线将平面分成2个部分,2条直线最多可将平面分成4个部分,3 条直线最多可将平面分成7个部分,4条直线最多可将平面分成11个部分. 现有n条直线最多可将平面分成56个部分,则n的值为 . 答案答案 10 解析解析 1条直线可将平面分成2个部分,2=1+1;2条直线最多可将平面分成4个部分,4=1+1+2;3条直线最多 可将平面分成7个部分,7=
12、1+1+2+3;4条直线最多可将平面分成11个部分,11=1+1+2+3+4;n条直线最 多可将平面分成1+1+2+3+4+n=1+=个部分. 根据题意,得=56, 解得n1=10,n2=-11. 其中n2=-11不合题意,舍去. 故n的值为10. (1) 2 n n 2 2 2 nn 2 2 2 nn 11.(2016湖南岳阳,16,4分)如图,在平面直角坐标系中,每个最小方格的边长均为1个单位长,P1,P2,P3,均 在格点上,其顺序按图中“”方向排列,如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,-1),P5(-1,-1),P6(-1,2),根据这 个规律,点P2 016
13、的坐标为 . 答案答案 (504,-504) 解析解析 根据各个点的位置关系,可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上,被4除余1的点在第 三象限的角平分线上,被4除余2的点在第二象限的角平分线上,被4除余3的点在第一象限的角平分线上, 2 0164=504,点P2 016在第四象限的角平分线上. 点P4(1,-1),点P8(2,-2),点P12(3,-3), 点P2 016的横坐标为2 0164=504,纵坐标为-504, 点P2 016的坐标为(504,-504). 思路分析思路分析 根据各个点的位置关系,可得出下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上,被4除余1的点 在第三象限的角
14、平分线上,被4除余2的点在第二象限的角平分线上,被4除余3的点在第一象限的角平分 线上,点P2 016在第四象限的角平分线上,且横、纵坐标的绝对值=2 0164=504,再根据第四象限内点的 横、纵坐标符号得出答案即可. 解题关键解题关键 找出数字随点的位置的变化规律,先观察点所在的象限的变化规律,从而确定点所在象限,再 观察数字变化特点,归纳数字变化规律,确定点的坐标. 12.(2020湖南衡阳,18,3分)如图,在平面直角坐标系中,点P1的坐标为,将线段OP1绕点O按顺时针 方向旋转45,再将其长度伸长为OP1的2倍,得到线段OP2;又将线段OP2绕点O按顺时针方向旋转45,长度 伸长为OP2的2倍,得到线段OP3;如此下去,得到线段OP4,OP5,OPn(n为正整数),则点P2 020的坐标是 . 22 , 22 答案答案 (0,-22 019) 解析解析 点P1的坐标为,将线段OP1绕点O按顺时针方向旋转45,再将其长度伸长为OP1的2倍, 得到线段OP2, OP1=1,OP2=2,同理,OP3=4, 如此下去,得到线段OP4=23,OP5=24, OPn=2n-1(n为正整数), 由题意可得,线段每旋转8次旋转一周, 2 0208=2524, 点P2 020的坐标与点P4的坐标都在y轴负半轴上, 点P2 020的坐标是(0,-22 019). 22 , 22
