1、 中考数学 （湖南专用） 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系 A组 20162020年湖南中考题组 考点一 圆的有关概念与性质 1.(2020湖南张家界,5,3分)如图,四边形ABCD为O的内接四边形,已知BCD为120,则BOD的度数为 ( ) A.100 B.110 C.120 D.130 答案答案 C 四边形ABCD是O的内接四边形, A=180-BCD=60, 由圆周角定理得,BOD=2A=120, 故选C. 2.(2017湖南衡阳,4,3分)如图,点A、B、C都在O上,且点C在弦AB所对的优弧上,如果AOB=64,那么 ACB的度数是( ) A.26 B.30 C.32
2、 D.64 答案 C 弧AB所对的圆周角是ACB,所对的圆心角是AOB, ACB=AOB=32. 故选C. 1 2 思路分析思路分析 利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解决问题. 3.(2019湖南株洲,16,3分)如图所示,AB为O的直径,点C在O上,且OCAB,过点C的弦CD与线段OB相 交于点E,满足AEC=65,连接AD,则BAD= 度. 答案答案 20 解析解析 连接OD,如图. OCAB, COE=90, AEC=65, OCE=90-65=25, OC=OD,ODC=OCE=25, DOC=180-25-25=130, BOD=DOC-COE=40, BAD=BOD=
3、20. 故答案为20. 1 2 考点二 与圆有关的位置关系 1.(2020湖南湘西,8,3分)如图,PA、PB为O的切线,切点分别为A、B,弦AB与PO交于点C,PO的延长线交 O于点D.下列结论不一定成立的是( ) A.BPA为等腰三角形 B.AB与PD相互垂直平分 C.点A、B都在以PO为直径的圆上 D.PC为BPA的边AB上的中线 答案答案 B 连接OB,OA,取M为OP中点,连接MA,MB, B,A为切点, OBP=OAP=90, OP=OP,OA=OB, RtOPBRtOPA, BP=AP,OPB=OPA,BOC=AOC, BPA为等腰三角形,故A结论成立; OBP与OAP为直角三角
4、形,OP为斜边, PM=OM=BM=AM, 点A、B都在以PO为直径的圆上,故C结论成立; BOC=AOC,OB=OA, PCAB, BPA为等腰三角形, PC为AB边上的中线,故D结论成立; 无法证明AB与PD相互垂直平分,故选B. 2.(2018湖南湘潭,13,3分)如图,AB是O的切线,点B为切点,若A=30,则AOB= . 答案答案 60 解析解析 AB是O的切线, OBA=90, AOB=90-A=60, 故答案为60. 思路分析思路分析 根据切线的性质得到OBA=90,根据直角三角形的性质计算即可. 解题关键解题关键 本题考查的是切线的性质,掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的
5、关键. 3.(2018湖南岳阳,16,4分)如图,以AB为直径的O与CE相切于点C,CE交AB的延长线于点E,直径AB=18, A=30,弦CDAB,垂足为点F,连接AC,OC,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) =;扇形OBC的面积为;OCFOEC;若点P为线段OA上一动点,则AP OP有最大 值20.25. BC BD 27 4 答案答案 解析解析 弦CDAB, =,所以正确; A=30,BOC=2A=60, 扇形OBC的面积=,所以错误; O与CE相切于点C, OCCE, OCE=90, COF=EOC,OFC=OCE, OCFOEC,所以正确; 若点P为线段OA上一点,则
6、AP OP=(9-OP) OP=-+, 当OP=时,AP OP的最大值为,所以正确. BC BD 2 609 360 27 2 2 9 - 2 OP 81 4 9 2 81 4 故答案为. 思路分析思路分析 利用垂径定理对进行判断;利用圆周角定理得到BOC=2A=60,再利用扇形的面积公 式可计算出扇形OBC的面积,可对进行判断;利用切线的性质得到OCCE,然后根据相似三角形的判 定方法对进行判断;由AP OP=-+,利用二次函数的性质对进行判断. 2 9 - 2 OP 81 4 4.(2020湖南衡阳,24,8分)如图,在ABC中,C=90,AD平分BAC交BC于点D,过点A和点D的圆,圆心
7、O 在线段AB上,O交AB于点E,交AC于点F. (1)判断BC与O的位置关系,并说明理由; (2)若AD=8,AE=10,求BD的长. 解析解析 (1)BC与O相切.理由如下: 如图,连接OD, AD平分BAC,OAD=CAD,OA=OD, ODA=OAD,ODA=CAD,ODAC, C=90,ODB=C=90, D在O上, BC与O相切. (2)连接DE, AE为O的直径,ADE=90, AD=8,AE=10,DE=6, ODB=ADE=90,BDE+ODE=ADO+ODE=90,BDE=ADO, OD=OA,ADO=DAO,BDE=DAO, B=B,BDEBAD,=, 22 -AE AD
8、 BD BA DE AD BE BD =, 解得BD=.BD的长为. 10 BD BE 6 8 BE BD 68, 8660, BDBE BDBE 120 7 120 7 思路分析思路分析 (1)连接OD,由角平分线的定义及等腰三角形的性质得ODA=CAD,从而得到ODAC,结 合C=90可得答案; (2)连接DE,先利用勾股定理求解DE的长,再证明BDEBAD,利用相似三角形的性质列方程组求解 即可得到答案. 5.(2020湖南湘潭,22,8分)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交BC于点D,过点D作DEAC,垂足 为点E. (1)求证:ABDACD; (2)判断直线DE与O的位
9、置关系,并说明理由. 解析解析 (1)证明:AB为O的直径,ADBC. 在RtABD和RtACD中, ABDACD(HL). (2)直线DE与O相切,理由如下: 连接OD,如图所示, 由ABDACD知BD=DC, 又OA=OB,OD为ABC的中位线, ODAC, , , ABAC ADAD DEAC,ODDE, OD为O的半径,DE与O相切. 思路分析思路分析 (1)由AB为O的直径得ADBC,结合AB=AC,用“HL”证明ABDACD; (2)由ABDACD得BD=DC,结合AO=BO得OD为ABC的中位线,由DEAC得ODDE,可得直线 DE为O的切线. 6.(2017湖南怀化,23,8分
10、)如图,已知BC是O的直径,点D为BC延长线上的一点,点A为圆上一点,且AB= AD,AC=CD. (1)求证:ACDBAD; (2)求证:AD是O的切线. 证明证明 (1)AB=AD, B=D, AC=CD, CAD=D, CAD=B, 又D=D, ACDBAD. (2)连接OA, OA=OB, B=OAB,由(1)知B=CAD, OAB=CAD, BC是O的直径, BAC=90, OAB+OAC=CAD+OAC=OAD=90, OAAD, AD是O的切线. 7.(2020湖南常德,24,8分)如图,已知AB是O的直径,C是O上的一点,D是AB上的一点,DEAB于D,DE 交BC于F,且EF
11、=EC. (1)求证:EC是O的切线; (2)若BD=4,BC=8,圆的半径OB=5,求切线EC的长. 解析解析 (1)证明:连接OC,OC=OB,1=2. EF=EC,3=4.(1分) 又5=4,5=3.(2分) DEAB,2+5=90.(3分) 1+3=90,即ECOC. EC是O的切线.(4分) (2)AB是O的直径, ACB=90, OB=5, AB=10, AC=6, cosABC=, =,BF=5,CF=BC-BF=3, 2+A=90,2+5=90, 5=A,A=5=4=3, OA=OC,6=A=5=4=3, OACECF,=, EC=.(8分) 22 -AB BC100-64 B
12、D BF BC AB 8 10 4 BF EC OA CF AC OA CF AC 5 3 6 5 2 思路分析思路分析 (1)连接OC,由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得OCB+ECF=90,可证EC是 O的切线;(2)由勾股定理求得AC=6,由锐角三角函数可求BF=5,进而可求CF=3,通过证明OAC ECF,可得=,可求出EC的长. EC OA CF AC B组 20162020年全国中考题组 考点一 圆的有关概念与性质 1.(2019甘肃兰州,6,4分)如图,四边形ABCD内接于O,若A=40,则C=( ) A.110 B.120 C.135 D.140 答案答案 D 由圆的内接
13、四边形的性质可得A+C=180,C=180-40=140,故选D. 2.(2020福建,9,4分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=CD,A为的中点,BDC=60,则ADB等于 ( ) A.40 B.50 C.60 D.70 BD 答案答案 A 连接OA,OB,OC, AB=CD,A为的中点, =. BDC=60,BOC=260=120, AOB=(360-120)3=80. ADB=40. BD AB CD AD 方法指导方法指导 圆中,弧所对的圆心角度数与弧的度数相同,弧所对的圆周角度数是弧的度数的一半. 3.(2019陕西,9,3分)如图,AB是O的直径,EF、EB是O的弦,且EF=E
14、B,EF与AB交于点C,连接OF.若 AOF=40,则F的度数是( ) A.20 B.35 C.40 D.55 答案答案 B 连接OE.EF=EB,EOF=EOB. AOF=40,BOF=180-AOF=140, EOF=EOB=(360-140)=110. OE=OF,F=OEF=(180-EOF)=35,故选B. 1 2 1 2 4.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD= 6,则AC= . 答案答案 2 3 解析解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ADB=90, 因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以BAD=30
15、, 因为=cos 30,所以AB=4. 在RtABC中,AC=AB cos 60=4=2. AD AB 6 3 2 3 3 1 2 3 5.(2020四川成都,13,4分)如图,A,B,C是O上的三个点,AOB=50,B=55,则A的度数为 . 答案答案 30 解析解析 如图所示,设AC与OB交于点D. AOB与ACB所对的弧为同弧, ACB=AOB=50=25, 又B=55, CDB=180-ACB-B=100, ODA=CDB=100, A=180-AOD-ODA=30. 1 2 1 2 考点二 与圆有关的位置关系 1.(2019重庆A卷,4,4分)如图,AB是O的直径,AC是O的切线,A
16、为切点,BC与O交于点D,连接OD.若 C=50,则AOD的度数为( ) A.40 B.50 C.80 D.100 答案答案 C AC是O的切线,AB是O的直径,ABAC,CAB=90. C=50,B=180-90-50=40. AOD=2B=240=80,故选C. 2.(2020江苏南京,6,2分)如图,在平面直角坐标系中,点P在第一象限,P与x轴、y轴都相切,且经过矩形 AOBC的顶点C,与BC相交于点D.若P的半径为5,点A的坐标是(0,8),则点D的坐标是( ) A.(9,2) B.(9,3) C.(10,2) D.(10,3) 答案答案 A 设P与x轴、y轴的切点分别是点F、E,连接
17、PE、PF、PD,延长EP交CD于点G, 则PEOA,PFOB, 四边形AOBC是矩形, 四边形OBGE、ACGE、PEOF均是矩形, PE=PF, 矩形PEOF是正方形, A(0,8),PE=PF=PD=OE=5, CG=3, PGBC, DG=3,CD=2CG=6, BD=CB-CD=AO-CD=2, 在RtPGD中,PGD=90,PD=5,GD=3, PG=4,OB=5+4=9, 故D(9,2). 思路分析思路分析 运用垂径定理求出GD的长度,再根据勾股定理求得PG的长度即可解决本题. 3.(2020江苏苏州,14,3分)如图,已知AB是O的直径,AC是O的切线,连接OC交O于点D,连接
18、BD.若 C=40,则B的度数是 . 答案答案 25 解析解析 AC是O的切线, OAC=90, C=40, AOD=50, B=AOD=25. 1 2 4.(2017上海,17,4分)如图,已知RtABC中,C=90,AC=3,BC=4.分别以点A、B为圆心画圆,如果点C在 A内,点B在A外,且B与A内切,那么B的半径长r的取值范围是 . 答案答案 8r10 解析解析 C=90,AC=3,BC=4,AB=5. A与B内切,且点B在A外, r-rA=AB,r=5+rA. 3rA5,8r0).在ABC中,D,E分别是AB,AC的中点. 若t=,求ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围;
19、若在ABC中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心P在ABC的内部或边上,直接写出t的取值 范围. 1 2 DE DE DE 解析解析 (1)ABC的最长的中内弧,如图. 的长为. (2)当t=时,点C(2,0). 取BC的中点F(1,0),则四边形DEFB为正方形. DE DE 1 2 (除端点外)在线段DE的上方, 当所在圆P1与AC相切时,圆心P1是正方形DEFB的中心. 点P1. 结合图形,可得点P的纵坐标yP. (除端点外)在线段DE的下方, DE DE 1 1 , 2 2 1 2 DE 当所在圆P2与AB相切时,圆心P2是线段DE的中点. 点P2. 结合图形,可得点P的纵坐标yP1. 综
20、上所述,圆心P的纵坐标yP的取值范围是yP或yP1. t的取值范围是0t. 提示:如图1,当(除端点外)在线段DE上方,即P与AC相切时,PEAC,易证EFCPFE,= ,可求得t=,结合图象可知0t;如图2,当(除端点外)在线段DE下方,即P与BC相切时,易 证PFCABC,=,可求得PF=1.5,设PF与DE交于点G,PG=0.5,进而在RtPDG中可求t= ,结合图象可知0t.综上,t的取值范围是08,舍去, x=6-,EC=12-2, OE=8-(12-2)=2-4. EF CE 1 2 FC EF 3 3 22 -DC BD3 33 BE OC 5 4 5 4 33 13 13 13
21、13 1313 疑难突破疑难突破 本题第(1)问比较常规,第(2)问需要利用相似三角形解题,第(3)问需要转化到一个直角三角形 中利用勾股定理解题,还要对两个解进行处理,思路复杂,而且计算量较大,属于较难的题目. 12.(2017四川达州,23,8分)如图,ABC内接于O,CD平分ACB交O于D,过点D作PQAB分别交 CA、CB的延长线于P、Q,连接BD. (1)求证:PQ是O的切线; (2)求证:BD2=AC BQ; (3)若AC、BQ的长是关于x的方程x+=m的两实根,且tanPCD=,求O的半径. 4 x 1 3 解析解析 (1)证明:PQAB, ABD=BDQ=ACD, CD平分AC
22、B,ACD=BCD, BDQ=BCD, 如图1,连接OB,OD,OD交AB于E, 图1 则OBD=ODB,O=2DCB=2BDQ, 在OBD中,OBD+ODB+O=180, 2ODB+2BDQ=180, ODB+BDQ=90,即ODQ=90, 又OD为O的半径, PQ是O的切线. (2)证明:如图2,连接AD, 图2 由(1)知PQ是O的切线,BDQ=DCB=ACD=DBA=BAD,AD=BD, DBQ=BCD+CDB,CAD=DAB+CAB,CDB=CAB, DBQ=CAD, 又BDQ=ACD, BDQACD,=, BD2=AC BQ. (3)方程x+=m可化为x2-mx+4=0, AC、B
23、Q的长是关于x的方程x+=m的两实根, AC BQ=4,由(2)知BD2=AC BQ, BD2=4,BD=2, 由(1)知PQ是O的切线, ODPQ, PQAB,ODAB, tanPCD=,PCD=ABD, tanABD=,BE=3DE, AD BQ AC BD 4 x 4 x 1 3 1 3 DE2+(3DE)2=BD2=4, DE=,BE=, 设OB=OD=R,OE=R-, OB2=OE2+BE2,R2=+, 解得R=,O的半径为. 10 5 3 10 5 10 5 2 10 - 5 R 2 3 10 5 1010 思路分析思路分析 (1)根据平行线的性质和圆周角定理得到ABD=BDQ=A
24、CD,连接OB,OD,OD交AB于E, 根据等边对等角得到OBD=ODB,进而得到O=2DCB=2BDQ,根据三角形的内角和得到2ODB +2BDQ=180,于是得到ODB+BDQ=90,根据切线的判定定理即可得到结论; (2)连接AD,根据等角对等边得到AD=BD,根据相似三角形的性质即可得到结论; (3)根据题意得到AC BQ=4,得到BD=2,由(1)知PQ是O的切线,由切线的性质得到ODPQ,根据平行线 的性质得到ODAB,根据三角函数的定义得到BE=3DE,根据勾股定理得到DE=,设OB=OD=R,再根 据勾股定理即可得到结果. 10 5 解题关键解题关键 本题考查了相似三角形的判定
25、和性质,一元二次方程中根与系数的关系,圆周角定理,平行线 的性质,勾股定理,角平分线的定义,正确地作出辅助线是解决此题的关键. A组 20182020年模拟基础题组 时间:35分钟 分值:40分 一、选择题（每小题3分，共9分） 1.(2019湖南怀化二模,6)AB是O的直径,点C在圆上,ABC=65,则OCA的度数是( ) A.25 B.35 C.15 D.20 答案答案 A 在O中,直径AB所对的圆周角ACB=90, A=90-ABC=25. 又AO=OC,OCA=A=25,故选A. 2.(2020湖南师大附中高新实验中学3月模拟,9)如图,O中,弦AB、CD相交于点P,A=42,APD=
26、77, 则B的大小是( ) A.43 B.35 C.34 D.44 答案答案 B D=A=42, B=APD-D=35, 故选B. 3.(2020湖南永州二模,7)如图,AB是O的直径,弦CDAB于点E,OC=5 cm,CD=8 cm,则AE=( ) A.8 cm B.5 cm C.3 cm D.2 cm 答案答案 A 弦CDAB于点E,CD=8 cm, CE=CD=4 cm. 在RtOCE中,OC=5 cm,CE=4 cm, OE=3 cm, AE=AO+OE=5+3=8 cm. 故选A. 1 2 22 -OC CE 思路分析思路分析 根据垂径定理可得CE的长度,在RtOCE中,利用勾股定理
27、可得OE的长度,再利用AE=AO+ OE即可得出AE的长度. 解题关键解题关键 本题考查了垂径定理,利用垂径定理结合勾股定理求出OE的长度是解题的关键. 二、填空题（每小题3分，共9分） 4.(2020湖南郴州桂阳5月模拟,12)AB是O的直径,PA切O于点A,PO交O于点C,连接BC,若P=40, 则B等于 . 答案答案 25 解析解析 PA切O于点A, PAB=90, P=40, POA=90-40=50, OC=OB, B=BCO=25. 解题关键解题关键 本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质以及三角形外角的性质,属于常考题型.熟练掌 握圆的切线垂直于过切点的半径是解题关键. 5.(2
28、019湖南长沙一中集团联考,16)如图,AB是O的直径,BD,CD分别是过O上点B,C的切线,且BDC =110.连接AC,则A的度数是 . 答案答案 35 解析解析 连接BC.因为BD、CD是O的切线,所以BD=CD,ABBD. 所以ABD=90,DBC=(180-BDC)=35, 因为ACB=90,所以A+ABC=90,又ABC+DBC=90, 所以A=DBC,所以A=35. 1 2 6.(2020湖南长沙教科院三模,17)如图,O是ABC的外接圆,ACO=45,则B的度数为 . 答案答案 45 解析解析 连接OA,如图, ACO=45,OA=OC, CAO=ACO=45, AOC=90,
29、 B=45. 思路分析思路分析 先根据OA=OC,ACO=45得出CAO=45,故可得AOC的度数,再由圆周角定理即可得 出结果. 解题关键解题关键 本题考查圆周角定理,熟知在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所 对的圆心角的一半是解答本题的关键. 三、解答题（共22分） 7.(2019湖南长沙模拟,24)如图,D为O上一点,点C在直径BA的延长线上,且CDA=CBD. (1)求证:CD2=CA CB; (2)求证:CD是O的切线; (3)过点B作O的切线交CD的延长线于点E,若BC=12,tanCDA=,求BE的长. 2 3 解析解析 (1)证明:CDA=CBD,C=C,
30、 ADCDBC, =,即CD2=CA CB. (2)证明:如图,连接OD. AB是O的直径, ADB=90, 1+3=90. OA=OD, 2=3, 1+2=90. 又CDA=CBD,即4=1, 4+2=90,即CDO=90,ODCD. OD是O的半径, CD是O的切线. AC DC DC BC (3)如图,连接OE. EB、CD均为O的切线, ED=EB,OEDB, ABD+DBE=90,OEB+DBE=90, ABD=OEB, CDA=OEB. tanCDA=,tanOEB=, ODC=EBC=90,C=C, RtCDORtCBE, =, BC=12,CD=8, 在RtCBE中,设BE=x
31、, (x+8)2=x2+122,解得x=5. BE的长为5. 2 3 OB BE 2 3 CD CB OD BE OB BE 2 3 8.(2020湖南常德一模,24)如图,点O在APB的平分线上,O与PA相切于点C. (1)求证:直线PB与O相切; (2)PO的延长线与O交于点E,连接CE.若O的半径为3,PC=4.求弦CE的长. 解析解析 (1)证明:连接OC,作ODPB于D点. O与PA相切于点C,OCPA. 点O在APB的平分线上,OCPA,ODPB, OD=OC. 直线PB与O相切. (2)设PO与O的另一个交点为F,连接CF. OC=3,PC=4,PO=5,PE=8. 易证PCF=
32、E. 又CPF=EPC,PCFPEC, =. EF是直径,ECF=90. 设CF=x(x0),则EC=2x. 在RtECF中,x2+(2x)2=62,解得x=(负舍). 则EC=2x=. CF EC PC PE 4 8 1 2 6 5 5 12 5 5 思路分析思路分析 (1)连接OC,作ODPB于D点.证明OD=OC即可.根据角平分线的性质易证; (2)设PO与O的另一个交点为F,连接CF.根据勾股定理得PO=5,则PE=8.证明PCFPEC,得= =.利用勾股定理求CE的长. CF EC PC PE 1 2 B组 20182020年模拟提升题组 时间:60分钟 分值:60分 一、选择题（每
33、小题3分，共6分） 1.(2018湖南常德模拟,10)如图,在平面直角坐标系中,C(0,4),A(3,0),A的半径为2,P为A上任意一点,E 是PC的中点,则OE的最小值是( ) A.1 B. C.2 D. 3 2 2 答案答案 B 连接AC,取AC的中点H,连接EH,OH. CE=EP,CH=AH,EH=PA=1, 点E的运动轨迹是以H为圆心,1为半径的圆, C(0,4),A(3,0),H(1.5,2), OH=2.5, OE的最小值=OH-EH=2.5-1=1.5,故选B. 1 2 22 21.5 2.(2019湖南株洲模拟,9)如图,AB,AC与O相切于点B,C,A=50,点P是O上异
34、于B,C的一个动点,则 BPC的度数是( ) A.130 B.50或130 C.65 D.65或115 答案答案 D 连接OC,OB,BP1,BP2,CP1,CP2. 当BPC为锐角,即为BP1C时, AB,AC与O相切于点B,C, OCAC,OBAB, A=50, 在四边形ABOC中,COB=130, BP1C=BOC=65. 当BPC为钝角,即为BP2C时, 1 2 四边形BP1CP2为O的内接四边形,且BP1C=65, BP2C=115. 综上,BPC的度数为65或115, 故选D. 二、填空题（每小题3分，共12分） 3.(2020湖南永州二模,18)如图,已知A、B两点的坐标分别为(
35、-2,0)、(0,1),C的圆心坐标为(0,-1),半径为 1.若D是C上的一个动点,射线AD与y轴交于点E,则ABE面积的最大值是 . 答案答案 11 3 解析解析 当射线AD与C相切时,ABE的面积最大. 连接AC,CD, AOC=ADC=90,AC=AC,OC=CD, RtAOCRtADC(HL), AD=AO=2. CDE=AOE=90,CED=AEO, CDEAOE, =. 设CE=x(x1),则OE=x+1, AE=, =, 解得x1=-1(舍去),x2=, BE=OB+OC+CE=1+1+=, SABE=BE AO=2=. CD AO CE AE 22 AOOE 22 2(1)x
36、 2 25xx 1 2 2 25 x xx 5 3 5 3 11 3 1 2 1 2 11 3 11 3 思路分析思路分析 当射线AD与C相切时,ABE的面积最大.可证明CDEAOE,设CE=x(x1),由勾股定 理表示出AE,根据相似三角形的性质可求得x,然后求得ABE的面积. 解题关键解题关键 本题是一个动点问题,考查了切线的性质和三角形面积的计算,解题的关键是确定当射线AD 与C相切时,ABE的面积最大. 4.(2018湖南邵阳模拟,17)如图,在ABC中,BOC=140,I是内心,O是外心,则BIC= . 答案答案 125 解析解析 BOC=140,O为外心, A=BOC=70, I为
37、内心, IBC=ABC,ICB=ACB, IBC+ICB =(ABC+ACB) =(180-A) =(180-70) =55, BIC=180-(IBC+ICB)=180-55=125, 故答案为125. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 5.(2020湖南岳阳4月模拟,16)如图1,平行四边形ABCD中,ABAC,AB=6,AD=10,点P在边AD上运动,以P 为圆心,PA为半径的P与对角线AC交于A,E两点.不难发现,随着AP的变化,P与平行四边形ABCD的 边的公共点的个数也在变化.如图2,当P与边CD相切时,P与平行四边形ABCD的边有三个公共点.若 公共点的个数为4,则
38、相对应的AP的取值范围为 . 答案答案 AP或AP=5 40 9 24 5 解析解析 平行四边形ABCD中,AD=10, BC=AD=10, ABAC, 在RtABC中,由勾股定理得AC=8. 当P与CD相切时,设切点为F,连接PF,如图, 图 设AP=x,则DP=10-x,PF=x, P与边CD相切于点F, 22 -BC AB 22 10 -6 PFCD, 四边形ABCD是平行四边形, ABCD, ABAC, ACCD, ACPF, DPFDAC, =, =, x=, 即AP=; PF AC PD AD 8 x10- 10 x 40 9 40 9 当P与BC相切时,设切点为G,连接PG,如图
39、, 图 SABCD=ABAC2=10PG, PG=. (i)当P与边AD、CD分别有两个公共点时,AP,即此时P与平行四边形ABCD的边的公共点的 个数为4; 1 2 24 5 40 9 24 5 (ii)当P过点A、C、D三点时,如图,P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数为4,此时AP=5. 图 综上所述,AP的取值范围是AP或AP=5. 40 9 24 5 6.(2020湖南永州检测,17)如图,已知四边形ABCD是菱形,BCx轴,点B的坐标是(1,),坐标原点O是AB 的中点.动圆P的半径是,圆心在x轴上移动,若P在运动过程中只与菱形ABCD的一边相切,则点P的 横坐标m 的取值范围
40、是 . 3 3 答案答案 -6或-5m-3或-1m1或2 解析解析 作BHx轴于H,ARx轴于R,CMx轴于M,DTx轴于T. 四边形ABCD是菱形,BCx轴, ADx轴, 点B的坐标是(1,), BH=,OH=1, tanBOH=, BOH=60. 设CD与x轴交于E, 3 3 3 动圆P的半径是,圆心P(m,0)在x轴上, 当点P在线段MR上时,P一定同时与BC,AD相切, 当P只与菱形ABCD的边BC或边AD相切时,点P在线段TM或RH上(不包括点M及点R), 此时-5m-3或-1m1; 当P与AB相切,且点P在AB的右侧时, 点P到AB的距离为,BOP=60, OP=2,此时m=2;
41、当P与CD相切,且点P在CD的左侧时, 点P到CD的距离为,DEP=CEO=60, EP=2, OP=2+4=6,此时m=-6. 综上所述,满足条件的m的取值范围为-5m-3或-10),则DE=EF=2x,AB=3x,半径OD=x. OF=1,OE=1+2x. 在RtODE中,由勾股定理可得+(2x)2=(1+2x)2, x=-(舍去)或x=2,圆O的半径为3. DE AE BE DE BD AD BD AD 1 2 DE AE BE DE 1 2 3 2 2 3 2 x 2 9 解题关键解题关键 本题是有关圆的综合题,主要考查了切线的判定,等腰三角形的性质,锐角三角函数,相似三角 形的判定和
42、性质,勾股定理,第(2)问判断出EBDEDA是解答本题的关键. 8.(2020湖南长沙教科院三模,23)如图所示,O的半径为5,点A是O上一点,直线l过点A,P是O上的一 个动点(不与点A重合),过点P作PBl于点B,交O于点E,直径PD的延长线交直线l于点F,点A是的中 点. (1)求证:直线l是O的切线; (2)若PA=8,求PB的长. DE 解析解析 (1)证明:连接DE,OA. PD是O的直径, DEP=90, PBFB, FBP=90, DEP=FBP, DEBF. 点A是的中点, =, OADE, OABF, 直线l是O的切线. DE AD AE (2)连接AD. =,APD=AP
43、B, PD是O的直径,PAD=90, PAD=PBA=90,PDAPAB, =,=,PB=. AD AE PD PA PA PB 10 8 8 PB 32 5 思路分析思路分析 (1)连接DE,OA,证明OABF即可; (2)连接AD,证明PDAPAB,可得=,进而可得PB的长. PD PA PA PB 解题关键解题关键 本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、切线的判定等知识,解题的关键是学会添 加常用辅助线,构造相似三角形,属于中考常考题型. 9.(2020湖南常德汉寿一模,23)如图,直线l与O相离,OAl于点A,与O相交于点P,OA=5.C是直线l上一 点,连接CP并延长,交O于另一
44、点B,且AB=AC. (1)求证:AB是O的切线; (2)若O的半径为3,求线段BP的长. 解析解析 (1)证明:连接OB,则OP=OB, OBP=OPB=CPA, AB=AC,ACB=ABC, OAl,即OAC=90,ACB+CPA=90, ABP+OBP=90, ABO=90,即OBAB, AB是O的切线. (2)由(1)知ABO=90, OA=5,OB=OP=3, AB=4. 过O作ODPB于D,则PD=DB, OPD=CPA,ODP=CAP=90, ODPCAP,=, 又AC=AB=4,AP=OA-OP=2, PC=2, PD=,BP=2PD=. 22 -AO BO PD PA OP
45、CP 22 ACAP5 OP PA CP 3 5 5 6 5 5 思路分析思路分析 (1)连接OB,由AB=AC得ABC=ACB,由OP=OB得OBP=OPB=CPA,由OAl得OAC =90,则ACB+CPA=90,所以OBP+ABC=90,即ABO=90,于是根据切线的判定定理得到直线 AB是O的切线; (2)利用勾股定理求得AB=4,PC=2,过O作ODPB于D,则PD=DB,通过证明ODPCAP,得到= ,求得PD的长,进而求得PB的长. 5 PD PA OP CP 评析评析 本题考查了切线的判定,勾股定理的应用,相似三角形的判定和性质. 10.(2019湖南娄底模拟,25)如图,已知
46、AB为O的直径,AB=8,点C和点D是O上关于直线AB对称的两个 点,连接OC、AC,且BOC90,直线BC和直线AD相交于点E,过点C作直线CG与AB的延长线相交于 点F,与直线AD相交于点G,且GAF=GCE. (1)求证:直线CG为O的切线; (2)若点H为线段OB上一点,连接CH,满足CB=CH. 证明:CBHOBC; 求OH+HC的最大值. 解析解析 (1)证明:由题意可知CAB=GAF, AB是O的直径, ACB=90,OCA+OCB=90, OA=OC, CAB=OCA, GAF=GCE, GCE=OCA, GCE+OCB=OCA+OCB=90,即OCCG, OC是O的半径, 直
47、线CG是O的切线. (2)证明:CB=CH, CBH=CHB, OB=OC, CBH=OCB, CHB=OCB, CBHOBC. 由CBHOBC可知=, AB=8,OB=4, BC2=HB OB=4HB, HB=, OH=OB-HB=4-, CB=CH, OH+HC=4-+BC, 当BOC=90时,BC=4, BOC90, BC OB HB BC 2 4 BC 2 4 BC 2 4 BC 2 0BC4. 令BC=x, OH+HC=-(x-2)2+5, 当x=2时,OH+HC取得最大值,最大值为5. 故OH+HC的最大值为5. 2 1 4 解后反思解后反思 本题是圆的综合问题,涉及利用二次函数的性质求最值,相似三角形的判定与性质,切线的判 定等知识,综合程度较高,需要学生灵活运用所学知识.
