1、 中考数学 （江苏专用） 4.3 等腰三角形与直角三角形 考点1 等腰三角形 A组 20162020年江苏中考题组 1.(2018宿迁,6,3分)若实数m、n满足等式|m-2|+=0,且m、n恰好是等腰ABC的两条边的边长,则 ABC的周长是( ) A.12 B.10 C.8 D.6 -4n 答案答案 B |m-2|+=0, m-2=0,n-4=0, 解得m=2,n=4, 当腰长为2时,三边长为2,2,4,不符合三角形三边关系; 当腰长为4时,三边长为2,4,4,符合三角形三边关系,此时周长为2+4+4=10.故选B. -4n 2.(2018淮安,13,3分)若一个等腰三角形的顶角等于50,则
2、它的底角等于 . 答案答案 65 解析解析 等腰三角形的顶角等于50,等腰三角形的底角相等,底角等于(180-50)=65. 1 2 3.(2019镇江,8,2分)如图,直线ab,ABC的顶点C在直线b上,边AB与直线b相交于点D.若BCD是等边 三角形,A=20,则1= . 答案答案 40 解析解析 BCD是等边三角形,BDC=60, 又BDC=A+ACD, ACD=40, ab,1=ACD=40. 4.(2016镇江,12,2分)有一张等腰三角形纸片,AB=AC=5,BC=3,小明将它沿虚线PQ剪开,得到AQP和四 边形BCPQ两张纸片(如图所示),且满足BQP=B,则下列五个数据,3,2
3、,中可以作为长 的有 个. 15 4 16 5 5 3 AQ 线段 答案答案 3 解析解析 如图,当PQ过点C时, 设BQ=x(x0). BQC=B=BCA,B=B, BQCBCA. 则=,即=,x=, 则AQ=5-=.0AQ0),GA=y米,已知y与x之间的函数关系如图所示. (1)求图中线段MN所在直线的函数表达式; (2)试问小明从起点A出发直至最后回到点A处,所走过的路径(EFG)可否是一个等腰三角形?如果可以, 求出相应x的值;如果不可以,说明理由. 解析解析 (1)设线段MN所在直线的函数表达式为y=kx+b(k0), M,N两点的坐标分别为(30,230),(100,300),
4、解这个方程组,得 线段MN所在直线的函数表达式为y=x+200. (2)可以. 第一种情况:考虑FE=FG是否成立. 连接EC, AE=x,AD=100,GA=x+200,ED=GD=x+100. 又CDEG,CE=CG,CGE=CEG, FEGCGE, FEFG. 30230, 100300. kb kb 1, 200. k b 第二种情况:考虑FG=EG是否成立. 四边形ABCD是正方形,BCEG,FBCFEG, 假设FG=EG成立,则FC=BC亦成立, FC=BC=100. AE=x,GA=x+200,FG=AE+AG=2x+200, CG=FG-FC=2x+200-100=2x+100
5、, 在RtCDG中,CD=100,GD=x+100,CG=2x+100, 且CD2+GD2=CG2, 1002+(x+100)2=(2x+100)2, 解这个方程,得x1=-100,x2=, x0,x=.则当x=时,FG=EG, 此时EFG为等腰三角形. 第三种情况:考虑EF=EG是否成立. 与同理,假设EF=EG成立,则FB=BC亦成立, 且BE=EF-FB=2x+200-100=2x+100, 在RtABE中,AE=x,AB=100,BE=2x+100, 且AB2+AE2=BE2,1002+x2=(2x+100)2, 100 3 100 3 100 3 解这个方程,得x1=0,x2=-(均
6、不合题意,舍去),故EFEG. 综上所述,当x=时,EFG是一个等腰三角形. 400 3 100 3 解题关键解题关键 本题考查了待定系数法求一次函数解析式、等腰三角形的性质、正方形的性质、勾股定理 等知识.应用数形结合、分类讨论思想,根据勾股定理列出方程是解决问题的关键. 1.(2018扬州,7,3分)在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CE平分ACD交AB于E,则下列结论一定成 立的是( ) A.BC=EC B.EC=BE C.BC=BE D.AE=EC 考点2 直角三角形 答案答案 C ACB=90,CDAB, ACD+BCD=90,ACD+A=90, BCD=A. CE平分AC
7、D,ACE=DCE. 又BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE, BEC=BCE,BC=BE.故选C. 思路分析思路分析 根据同角的余角相等可得出BCD=A,根据角平分线的定义可得出ACE=DCE,再结 合BEC=A+ACE、BCE=BCD+DCE即可得出BEC=BCE,利用等角对等边即可得出BC= BE,此题得解. 方法总结方法总结 本题考查了三角形外角的性质、余角、角平分线的定义以及等腰三角形的判定,通过计算 得到BEC=BCE是解题的关键. 2.(2020淮安,13,3分)已知直角三角形斜边长为16,则这个直角三角形斜边上的中线长为 . 答案答案 8 解析解析 根据直角三角形斜边上的
8、中线等于斜边的一半的性质得,斜边上的中线长为16=8. 1 2 3.(2020扬州,14,3分)九章算术是中国传统数学的重要著作之一,奠定了中国传统数学的基本框架.如 图所示是其中记载的一道“折竹”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?”题意是: 一根竹子原高1丈(1丈=10尺),中部有一处折断,竹梢触地面处离竹根3尺,试问折断处离地面多高?答:折 断处离地面 尺高. 答案答案 91 20 解析解析 设竹子折断处离地面x尺,则斜边长为(10-x)尺, 根据勾股定理得x2+32=(10-x)2, 解得x=.故答案为. 91 20 91 20 4.(2019南京,12,2分)无盖
9、圆柱形杯子的展开图如图所示.将一根长为20 cm的细木筷斜放在该杯子内,木 筷露在杯子外面的部分至少有 cm. 答案答案 5 解析解析 由题意可得,杯子内的木筷长度最多有=15 cm,则木筷露在杯子外面的部分至少有20-15 =5 cm. 22 129 5.(2019苏州,18,3分)如图,一块含有45角的直角三角板,外框的一条直角边长为8 cm,三角板的外框线和 与其平行的内框线之间的距离均为 cm,则图中阴影部分的面积为 cm2(结果保留根号). 2 答案答案 (10+12) 2 解析解析 如图,过点A作AGEF,交MN于D,过点C作CHAE于点H. 由题意,知CH=,则AC=2. 由三角
10、形AEF为等腰直角三角形可得EF=8,则AG=4, CD=4-(2+)=3-2,MN=6-4, S阴影=88-(3-2)(6-4)=(10+12)cm2. 2 22 2222 1 2 1 2 222 6.(2017徐州,18,3分)如图,已知OB=1,以OB为直角边作等腰直角三角形A1BO,再以OA1为直角边作等腰直 角三角形A2A1O,如此下去,则线段OAn的长度为 . 答案答案 ()n 2 解析解析 OBA1为等腰直角三角形,OB=1, A1B=OB=1,OA1=OB=; OA1A2为等腰直角三角形, A1A2=OA1=,OA2=OA1=2; OA2A3为等腰直角三角形, A2A3=OA2
11、=2,OA3=OA2=2; OA3A4为等腰直角三角形, A3A4=OA3=2,OA4=OA3=4; OA4A5为等腰直角三角形, A4A5=OA4=4,OA5=OA4=4; OA5A6为等腰直角三角形, A5A6=OA5=4,OA6=OA5=8. 线段OAn的长度为()n. 22 22 22 22 22 22 2 7.(2018无锡,18,3分)如图,已知XOY=60,点A在边OX上,OA=2.过点A作ACOY于点C,以AC为一边在 XOY内作等边三角形ABC,点P是ABC围成的区域(包括各边)内的一点,过点P作PDOY交OX于 点D,作PEOX交OY于点E.设OD=a,OE=b,则a+2b
12、的取值范围是 . 答案答案 2a+2b5 解析解析 过P作PHOY于点H, PDOY,PEOX, 四边形EODP是平行四边形,HEP=XOY=60, EP=OD=a,EPH=30,EH=EP=a, a+2b=2=2(EH+EO)=2OH, 当P在AC边上时,H与C重合,此时OH的值最小,最小值=OC=OA=1,故a+2b的最小值是2; 1 2 1 2 1 2 ab 1 2 当P在点B处时,OH的值最大,最大值是1+=,故(a+2b)的最大值是5, 2a+2b5. 3 2 5 2 思路分析思路分析 作辅助线,构建含30度角的直角三角形,先证明四边形EODP是平行四边形,得EP=OD=a,在Rt
13、HEP中,EPH=30,可得EH的长,从而可得a+2b=2OH,确认OH取最大和最小值时点H的位置,可得结 论. 解后反思解后反思 本题考查了等边三角形的性质、构造法、平行四边形的判定和性质,掌握求a+2b的最值就 是确定OH的范围,即可解决问题. 8.(2018盐城,16,3分)如图,在直角ABC中,C=90,AC=6,BC=8,P、Q分别为边BC、AB上的两个动点,若 要使APQ是等腰三角形且BPQ是直角三角形,则AQ= . 答案答案 或 15 4 30 7 解析解析 如图1,当AQ=PQ,QPB=90时,设AQ=PQ=x, C=90,AC=6,BC=8,AB=10, PQAC,BPQBC
14、A, =,=,x=,AQ=. 图1 如图2,当AQ=PQ,PQB=90时,设AQ=PQ=y. BQ BA PQ AC 10- 10 x 6 x15 4 15 4 图2 易知BQPBCA, =,=,y=. 综上所述,满足条件的AQ的值为或. PQ AC BQ BC6 y10- 8 y30 7 15 4 30 7 思路分析思路分析 分两种情形分别求解:AQ=PQ,QPB=90,AQ=PQ,PQB=90. 解题关键解题关键 本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是 学会用分类讨论的思想思考问题,学会利用参数构建方程解决问题. 9.(2017南京,22,8分)“直
15、角”在初中几何学习中无处不在. 如图,已知AOB.请仿照小丽的方式,再用两种不同的方法判断AOB是不是直角(仅限用直尺和圆规). 小丽的方法 如图,在OA、OB上分别取点C、D,以C为圆心,CD长为半径画弧,交OB的反向延长线于点E,连接CE. 若OE=OD,则AOB=90. 解析解析 本题答案不唯一,下列解法供参考. 解法一:如图,在OA、OB上分别截取OC=4,OD=3. 若CD=5,则AOB=90. 图 解法二:如图,在OA、OB上分别取点C、D,以CD为直径画圆.若点O在圆上,则AOB=90. 图 思路分析思路分析 根据勾股定理的逆定理或直径所对的圆周角是直角画图判断即可. 考点1 等
16、腰三角形 B组 20162020年全国中考题组 1.(2020四川南充,6,4分)如图,在等腰ABC中,BD为ABC的平分线,A=36,AB=AC=a,BC=b,则CD= ( ) A. B. C.a-b D.b-a 2 ab- 2 a b 答案答案 C AB=AC,A=36, ABC=C=72, BD为ABC的平分线, ABD=DBC=ABC=36, BDC=72=C,ABD=A, BD=BC,BD=AD, AD=BC=b, CD=AC-AD=a-b. 故选C. 1 2 2.(2020河南,10,3分)如图,在ABC中,AB=BC=,BAC=30,分别以点A,C为圆心,AC的长为半径作弧, 两
17、弧交于点D,连接DA,DC,则四边形ABCD的面积为( ) A.6 B.9 C.6 D.3 3 33 答案答案 D 根据作图可知ACD为等边三角形.在ABC中,作BEAC于点E,在RtAEB中,AE=AB cos 30 =,BE=AB=,AB=BC,AC=2AE=3,S四边形ABCD=SACD+SABC=AC2+AC BE=3.故选D. 3 2 1 2 3 2 3 4 1 2 3 思路分析思路分析 根据作图知ACD为等边三角形,依据ABC中的条件求得AC的长及AC边上的高,进而求 得四边形ABCD的面积. 3.(2018福建,5,4分)如图,等边三角形ABC中,ADBC,垂足为D,点E在线段A
18、D上,EBC=45,则ACE等 于( ) A.15 B.30 C.45 D.60 答案答案 A 由等边三角形ABC中,ADBC,垂足为点D,可得ACB=60,且点D是BC的中点,所以AD垂直 平分BC,所以EC=EB,根据等边对等角,得到ECB=EBC=45,故ACE=ACB-ECB=60-45=15. 4.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的 中点,连接DG,则DG的长为 . 答案答案 19 2 解析解析 连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC=AC=2.DEB=C=60
19、. EFAC,EFC=90.FEC=30,EF=. DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG=. 1 2 3 3 2 在RtDEG中,DG=. 22 DEEG 2 2 3 2 2 19 2 思路分析思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是直角三角 形,再根据勾股定理即可求解DG的长. 疑难突破疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质求线段DG的长,DG与 图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长. 5.(2020广东,20,6分)如图,在ABC中,点D,
20、E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,ABE=ACD,BE与CD相 交于点F.求证:ABC是等腰三角形. 证明证明 BD=CE,ABE=ACD,DFB=EFC, DFBEFC.(3分) FB=FC. FBC=FCB. FBC+ABE=FCB+ACD, 即ABC=ACB. ABC是等腰三角形.(6分) 思路分析思路分析 首先证明DFBEFC,得到FB=FC,进而证得FBC=FCB,推理得到ABC=ACB,根 据等腰三角形的判定得证. 解题关键解题关键 解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定. 6.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分A
21、BC交AC于点D. 求证:AD=BC. 证明证明 AB=AC,A=36, ABC=C=72. BD平分ABC, ABD=36,ABD=A, AD=BD. BDC=A+ABD=72, BDC=C, BD=BC,AD=BC. 7.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相 等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由. 解析解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰, AB=AC, BD,CE是中线, AD=AC
22、,AE=AB,AD=AE, 又A=A,ABDACE,BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可 证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等可知四边形DEMN 为正方形. 1 2 1 2 考点2 直角三角形 1.(2020宁夏,16,3分)2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾 股圆方图,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1),且大正方形 的面积是15,小正方形的面积是3,直角三角形
23、的较短直角边长为a,较长直角边长为b.如果将四个全等的 直角三角形按图2的形式摆放,那么图2中的大正方形的面积为 . 答案答案 27 解析解析 由题图1可得直角三角形的面积为=3,大正方形的边长为,题图2中的大正方形的面积 为34+()2=27. 15-3 4 15 15 思路分析思路分析 先根据题图1求出直角三角形的面积和大正方形的边长,然后求出题图2中的大正方形的面 积. 2.(2018福建,15,4分)把两个同样大小的含45角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐 角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD= . 2 答案答案
24、-1 3 解析解析 由题意知ABC,ADE均为等腰直角三角形,且AB=AC=AE=ED=,由勾股定理得BC=AD=2.过 A作AFBC于F,则FC=AF=1,在RtAFD中,由勾股定理得FD=,故CD=FD-FC=-1. 2 33 3.(2020安徽,23,14分)如图1,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,AE=AD.EC与BD相交于点G, 与AD相交于点F,AF=AB. (1)求证:BDEC; (2)若AB=1,求AE的长; (3)如图2,连接AG,求证:EG-DG=AG. 2 解析解析 (1)证明:因为四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长线上,所以EAF=DAB=90. 又
25、AE=AD,AF=AB,所以AEFADB,所以AEF=ADB. 所以GEB+GBE=ADB+ABD=90,即EGB=90, 故BDEC.(5分) (2)由矩形性质知AECD,所以AEF=DCE,EAF=CDF, 所以AEFDCF,所以=,即AE DF=AF DC. 设AE=AD=a(a0),则有a (a-1)=1,化简得a2-a-1=0. 解得a=或(舍),所以AE的长为.(10分) (3)证法一:如图1,在线段EG上取点P,使得EP=DG. 在AEP与ADG中,AE=AD,AEP=ADG,EP=DG, 所以AEPADG,所以AP=AG,EAP=DAG. 所以PAG=PAD+DAG=PAD+E
26、AP=DAE=90, 所以PAG为等腰直角三角形. AE DC AF DF 15 2 1- 5 2 15 2 于是EG-DG=EG-EP=PG=AG.(14分) 证法二:如图2,过点A作AG的垂线,与DB的延长线交于点Q. 在AEG与ADQ中, AE=AD,AEG=ADQ,EAG=90+DAG=DAQ, 2 所以AEGADQ,所以EG=DQ,AG=AQ, 所以AGQ为等腰直角三角形. 于是EG-DG=DQ-DG=QG=AG.(14分) 2 思路分析思路分析 (1)先利用SAS证明AEFADB,再利用互余性质得出EGB=90,问题解决;(2)先根据矩 形性质可证AEFDCF,得到AE DF=AF
27、 DC,再设AE=AD=a(a0),则DF=a-1,解方程即可;(3)两种证 法:在线段EG上截取线段EP=DG,然后证明AEPADG(SAS),得到AP=AG,EAP=DAG,再证 PAG=90,利用等腰直角三角形的性质得出结论;作AQAG交DB的延长线于点Q,然后利用(1)的结论 及已知证明AEGADQ,得到EG=DQ,AG=AQ,再由等腰直角三角形的性质得出结论. 难点突破难点突破 解决第(3)问的突破口是构造AEPADG(或AEGADQ),将问题转化为求证PG= AG(或QG=AG),体现了转化与化归的思想. 22 4.(2018安徽,23,14分)如图1,RtABC中,ACB=90.
28、点D为边AC上一点,DEAB于点E.点M为BD的中点, CM的延长线交AB于点F. (1)求证:CM=EM; (2)若BAC=50,求EMF的大小; (3)如图2,若DAECEM,点N为CM的中点.求证:ANEM. 图1 图2 解析解析 (1)证明:由已知,在RtBCD中,BCD=90,M为斜边BD的中点, CM=BD. 又DEAB,同理,EM=BD, CM=EM.(4分) (2)由已知得,CBA=90-50=40. 又由(1)知CM=BM=EM, CME=CMD+DME=2(CBM+EBM)=2CBA=240=80, EMF=180-CME=100.(9分) (3)证明:DAECEM, CM
29、E=DEA=90,DE=CM,AE=EM. 又CM=DM=EM,DM=DE=EM, DEM是等边三角形, MEF=DEF-DEM=30. 1 2 1 2 证法一:在RtEMF中,EMF=90,MEF=30, =, 又NM=CM=EM=AE, FN=FM+NM=EF+AE=(AE+EF)=AF. =. 又AFN=EFM,AFNEFM, NAF=MEF, ANEM.(14分) 证法二:连接AM,则EAM=EMA=MEF=15, MF EF 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 MF EF FN AF 1 2 1 2 AMC=EMC-EMA=75, 又CMD=EMC-EMD
30、=30,且MC=MD, ACM=(180-30)=75. 由可知AC=AM,又N为CM的中点, ANCM,又EMCF,ANEM.(14分) 1 2 思路分析思路分析 (1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证;(2)由直角三角形中两锐角互余求出 CBA,由等腰三角形的性质可得MEB=MBE,MCB=MBC,从而可得CME=DME+CMD=2 (CBM+EBM),最后由补角性质求出EMF;(3)由DAECEM可推出DEM为等边三角形,从而 可得MEF=30,下面证ANEM,有两个思路:一是根据直角三角形30角所对直角边等于斜边的一半可 得=,又点N是CM的中点,可推出=,从而可证AFNE
31、FM,进一步即可证明ANEM;二是 连接AM,计算可得AMC=ACM,而N是CM的中点,从而ANCM,进一步即可证明ANEM. MF EF 1 2 NF AF 1 2 考点1 等腰三角形 C组 教师专用题组 1.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2- 12x+m+2=0的两根,则m的值是( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36 答案答案 A 由根与系数的关系可得当a=4时,b=8;当b=4时,a=8.这两种情况都不能构成三角形, a=b=6,m=34,故选A. 12, 2, ab abm 易错警示易错警示
32、 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形. 2.(2019甘肃兰州,14,4分)在ABC中,AB=AC,A=40,则B= . 答案答案 70 解析解析 B=70. 3.(2016徐州,14,3分)若等腰三角形的顶角为120,腰长为2 cm,则它的底边长为 cm. 答案答案 2 3 解析解析 过点A作ADBC于点D, AB=AC,BAD=BAC=60,BD=BC. 在RtABD中,BD=ABsin 60=2=(cm), BC=2BD=2 cm. 1 2 1 2 3 2 3 3 4.(2019辽宁大连,13,3分)如图,ABC是等边三角形,延长BC到点D,
33、使CD=AC,连接AD.AB=2,则AD的长 为 . 答案答案 2 3 解析解析 ABC是等边三角形,AB=2, BC=CA=AB=2,ABC=BCA=BAC=60. CA=CD=2, CAD=D,BD=CB+CD=4, ACB=CAD+D, 2D=ACB=60,D=60=30, BAD=180-B-D=180-60-30=90. 在RtABD中, AD=2. 1 2 22 -BD AB 22 4 -23 5.(2020扬州,27,12分)如图1,已知点O在四边形ABCD的边AB上,且OA=OB=OC=OD=2,OC平分BOD,与 BD交于点G,AC分别与BD、OD交于点E、F. (1)求证:
34、OCAD; (2)如图2,DE=DF,求的值; (3)当四边形ABCD的周长取最大值时,求的值. AE AF DE DF 解析解析 (1)证明:OA=OD, DAO=ODA, BOD=DAO+ODA=2ODA, OC平分BOD, COD=COB, COD=ODA, OCAD. (2)OB=OD,OC平分BOD, BGO=DGO=90, ADOC, ADB=OGB=90,DAC=OCA, OA=OC, OAC=OCA, DAC=OAC, DE=DF,DFE=DEF, DFE=AFO, AFO=DEF, AFOAED, AOD=ADB=90,=, OA=OD=2, 根据勾股定理可得AD=2, =.
35、 (3)易知OC垂直平分BD,CD=BC. OA=OB,OCAD, 设OG=x,AD=2x,则CG=2-x,BG=, BC=CD=, AD AO AE AF 2 AD AO AE AF 2 2 2 2 22 -OB OG 2 4-x 22 BGCG8-4x 四边形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC =4+2x+2=4+2x+4. 令=t0,即x=2-t2, 四边形ABCD的周长=4+2x+4 =4+2(2-t2)+4t =-2t2+4t+8 =-2(t-1)2+10, 当t=1时,四边形ABCD的周长取得最大值,最大值为10, 此时x=2-t2=1,AD=2. OCAD, ADF=COF,
36、DAF=OCF, AD=OC=2, ADFCOF, 8-4x2-x 2-x 2-x DF=OF=OD=1. AD=OC=OA=OD, ADO是等边三角形, 由(2)知DAF=OAF,ADE=90, 在RtADE中,DAE=30, =tan 30=, DE=,=. 1 2 DE DA 3 3 2 3 3 DE DF 2 3 3 解题关键解题关键 本题考查了全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,三角形中位线的性质、锐 角三角函数,平行线的判定与性质,等腰三角形的性质等知识点,熟练掌握上述判定与性质并应用是解题 的关键. 6.(2019扬州,28,12分)如图,已知等边ABC的边长为8,点
37、P是AB边上的一个动点(与点A、B不重合).直线 l是经过点P的一条直线,把ABC沿直线l折叠,点B的对应点是点B. (1)如图1,当PB=4时,若点B恰好在AC边上,则AB的长度为 ; (2)如图2,当PB=5时,若直线lAC,则BB的长度为 ; (3)如图3,点P在AB边上的运动过程中,若直线l始终垂直于AC,ACB的面积是否变化?若变化,说明理由; 若不变化,求出面积; (4)当PB=6时,在直线l变化过程中,求ACB面积的最大值. 解析解析 (1)如图, ABC是等边三角形, A=60,AB=BC=AC=8, PB=4,PB=PB=PA=4, A=60,APB是等边三角形, AB=AP
38、=4. (2)如图,设直线l交BC于点E,BB交PE于点O. PEAC,BPE=A=60,BEP=C=60, PEB是等边三角形, PB=5,B,B关于直线l对称, BBPE,BB=2OB. 在RtPOB中,OB=PB sin 60=, BB=5. (3)结论:面积不变. 连接BB.B,B关于直线l对称,BB直线l,如图, 直线lAC,ACBB, 5 3 2 3 SACB=SACB=84=16. (4)如图,连接BP,并延长交AC于点E.当BPAC时,ACB的面积最大, 1 2 33 在RtAPE中,PA=2,PAE=60, PE=PA sin 60=,BE=6+, SACB的最大值=8(6+
39、)=4+24. 33 1 2 3 3 考点2 直角三角形 1.(2020广西北部湾经济区,11,3分)九章算术是古代东方数学代表作,书中记载:今有开门去阃(读kn, 门槛的意思)一尺,不合二寸,问门广几何?题目大意是:如图1、2(图2为图1的平面示意图),推开双门,双门 间隙CD的距离为2寸,点C和点D距离门槛AB都为1尺(1尺=10寸),则AB的长是( ) 图1 图2 A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸 答案答案 C 如图,过O作OECD于E,易知四边形EDFO为矩形,O为AB的中点,E为DC的中点,故FO=DE= DC=1寸. 设AO=AD=BC=OB=x寸, 则AF=
40、(x-1)寸, 在RtADF中,AD2=AF2+DF2,即x2=(x-1)2+102, 解得x=,故AB=2x=101寸,故选C. 1 2 101 2 2.(2018内蒙古包头,12,3分)如图,在四边形ABCD中,BD平分ABC,BAD=BDC=90,E为BC的中点, AE与BD相交于点F.若BC=4,CBD=30,则DF的长为( ) A. B. C. D. 2 5 3 2 3 3 3 4 3 4 5 3 答案答案 D 如图,连接DE. BD平分ABC,CBD=30,1=2=30. 在RtBCD中,BD=BC cos 30=2. 在RtABD中,AB=BD cos 30=3. E为BC的中点
41、,ED=BE=2, 3=2=1. DEAB,AFBEFD, =,即=, 3 DE AB DF BF 2 32 3- DF DF DF= .故选D. 4 5 3 思路分析思路分析 根据题意得,在RtABD和RtBCD中,ABD=CBD=30,由BC=4,求得BD=2,进而求得 AB=3,由E是BC的中点,得ED=BE,进而可得DEAB,所以AFBEFD,进而求出DF的长. 3 解题关键解题关键 本题考查了含30角的直角三角形的性质,三角形相似的判定和性质.解答本题的关键是作出 RtBCD斜边上的中线. 3.(2020广东,17,4分)有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑,一只猫紧紧盯住位于梯子正
42、中间的老鼠, 等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点,模型如图, ABC=90,点M,N分别在射线BA,BC上,MN的长度始终保持不变,MN=4,E为MN的中点,点D到BA,BC的距 离分别为4和2.在此滑动过程中,猫与老鼠的距离DE的最小值为 . 答案答案 2-2 5 解析解析 连接BE,在此滑动过程中,MN的长度始终保持不变,ABC=90,BE=MN,长度也始终保持不 变.显然点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上.如图,当B、D、E三点共线时,DE有最小值. ABC=90,MN=4,E为MN的中点,BE=2. 点D到BA,BC的距离分别为4和2,
43、BD=2, DE最小值=BD-BE=2-2. 1 2 1 2 22 425 5 解题关键解题关键 确定猫与老鼠的距离DE的最小值需判断点E的运动轨迹,利用直角三角形斜边的中线等于 斜边的一半确定点E在以点B为圆心,MN的长为半径的圆弧上是解题的关键. 1 2 4.(2019北京,12,2分)如图所示的网格是正方形网格,则PAB+PBA= (点A,B,P是网格线交 点). 答案答案 45 解析解析 如图,延长AP到C,连接BC.易证PBC是等腰直角三角形.CPB=45.PAB+PBA=45. 5.(2017徐州,17,3分)如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=3,点Q在对角线AC上,且AQ=A
44、D,连接DQ并延长,与边 BC交于点P,则线段AP= . 答案答案 17 解析解析 在矩形ABCD中,AB=4,AD=3=BC,AC=5, 又AQ=AD=3,ADCP,CQ=5-3=2, CQP=AQD=ADQ=CPQ, CP=CQ=2,BP=3-2=1, 在RtABP中,AP=. 22 ABBP 22 4117 6.(2019内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. (1)若a=6,b=8,c=12,请直接写出A与B的和与C的大小关系; (2)求证:ABC的内角和等于180; (3)若=,求证:ABC是直角三角形. - a a bc 1 () 2
45、 abc c 解析解析 (1)CA+B. (2)证明:如图,过点B作直线DEAC, A=ABD,C=CBE, 又ABD+ABC+CBE=180, A+ABC+C=180, ABC的内角和等于180. (3)证明:原式可变形为=, - a ac b2 acb c (a+c)2-b2=2ac,即a2+2ac+c2-b2=2ac,a2+c2=b2, ABC是以B为直角的直角三角形. 7.(2016镇江,26,7分)如果三角形三边的长a、b、c满足=b,那么我们就把这样的三角形叫做“匀 称三角形”.如:三边长分别为1,1,1或3,5,7,的三角形都是“匀称三角形”. (1)如图1,已知两条线段的长分别
46、为a、c(a0),AF=3k, 由勾股定理得EF=4k, =4k=EF. AEF是“匀称三角形”.(7分) 3 AFEFAE345 3 kkk 解题关键解题关键 本题是一道阅读理解类型的作图题,考查的知识点有三角形全等、勾股定理以及尺规作图 等.解决本题的关键是正确作出辅助线,找出全等和相似三角形,从而根据题目中的定义解决问题. A组 20182020年模拟基础题组 时间:20分钟 分值:25分 一、选择题(共3分) 1.(2020苏州常熟一模,8)如图,四边形ABCD是矩形,BDC的平分线交AB的延长线于点E,若AD=4,AE=1 0,则AB的长为( ) A.4.2 B.4.5 C.5.2
47、D.5.5 答案答案 A 四边形ABCD是矩形, ABCD,A=90, E=EDC. DE平分BDC,EDB=EDC, EDB=E,DB=BE. 设AB=x(x0),AE=10,DB=BE=10-x. A=90, 在RtABD中,AD2+AB2=BD2. AD=4,42+x2=(10-x)2, 解得x=4.2.故选A. 2.(2020无锡二模,16)如图,ABCD,BCD=90,AB=1,BC=CD=2,E为AD的中点,则BE= . 二、填空题(每小题3分,共15分) 答案答案 5 2 解析解析 延长BE交CD于点F, ABCD,则A=EDC,ABE=DFE, 又E为AD的中点,BE=EF, ABEDFE. AB=DF=1, CF=1, 在直角三角形BCF中,BF=, 22 125 BE=BF=. 1 2 5 2 3.(2018南通通州一模,16)如图,在RtABC中,C=90,点D是线段AB的中点,点E是线段BC上的一个动 点,若AC=6,BC=8,则DE长度的取值范围是 . 答案答案 3DE5 解析解析 在RtABC中,C=90, AC=6,BC=8,AB=10, 当DEBC时,DE=AC
