1、 中考数学 （河南专用） 第八章 综合专题 8.2 与动点有关的几何图形折叠题型 1.(2019南阳镇平三模,15)如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=4,D=30,点E是BC边的中点,F是射 线BA上一动点,将BEF沿直线EF折叠,得到PEF,连接PC,当PCE为等边三角形时,BF的长为 . 3 答案答案 3或6 解析解析 分情况讨论: 当点P在EC的上方时,如图,连接BP,则EFBP,BE=PE,PBE=BPE. 四边形ABCD是平行四边形, ABC=D=30, PCE是等边三角形, PEC=60, PEC=PBE+BPE, PBE=30, ABC=PBC=30, B、F、A、P
2、在同一直线上, BF=BE cos 30=BC cos 30=4=3; 当点P在CE下方P处时,点F处于F处,如图,连接BP,设BP与直线FE交于点Q. 1 2 1 2 3 3 2 由题意知EFBP,BE=EP,EBP=BPE. PCE是等边三角形, PEC=60, PEC=PBE+BPE, PBE=30, ABP=60, BQ=BEcos 30=2=3, BF=6. 综上所述,BF的长为3或6. 3 3 2 2.(2019辽宁葫芦岛,17,3分)如图,在RtABC的纸片中,C=90,AC=5,AB=13.点D在边BC上,以AD为折痕 将ADB折叠得到ADB,AB与边BC交于点E.若DEB为直
3、角三角形,则BD的长是 . 答案答案 7或 26 3 解析解析 在RtABC中,BC=12. 当EDB=90时,如图1, 过点B作BFAC,交AC的延长线于点F, 则四边形CFBD是矩形. 由折叠得:AB=AB=13,BD=BD=CF, 设BD=x,则BD=CF=x,BF=CD=12-x, 在RtAFB中,由勾股定理得: (5+x)2+(12-x)2=132, 即x2-7x=0,解得x1=0(舍去),x2=7,即BD=7; 22 -AB AC 22 13 -5 图1 当DEB=90时,如图2,此时点E与点C重合, 由折叠得:AB=AB=13,则BC=13-5=8, 设BD=x,则BD=x,CD
4、=12-x, 在RtBCD中,由勾股定理得:(12-x)2+82=x2, 解得x=,即BD=. 26 3 26 3 综上所述,BD的长为7或. 图2 26 3 3.(2019许昌禹州二模,15,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E为线段CD的中点,动点F从点C出 发,沿CBA的方向在CB和BA上运动,将矩形沿EF折叠,点C的对应点为C,当点C恰好落在矩形的对角 线上时(不与矩形顶点重合),点F运动的距离为 . 3 答案答案 1或2+ 3 3 解析解析 分两种情况: 如图1,当点C落在对角线BD上时,连接CC,由题意得CCEF, 点E为线段CD的中点,CE=ED=EC, CCD
5、=90,即CCBD, EFBD,点F是BC的中点, 在矩形ABCD中,AD=2, BC=AD=2,CF=1, 点F运动的距离为1; 图1 如图2,当点C落在对角线AC上时,CCEF,作FHCD于H,则四边形CBFH为矩形, 在矩形ABCD中,AD=2,AB=2,B=BCD=90,ABCD,BC=AD=2,tanBAC=, 3 BC AB 2 2 3 3 3 图2 BAC=30, EFAC, AFE=60, FEH=60, 四边形CBFH为矩形, HF=BC=2, EH=, EC=CD=, BF=CH=CE-EH=-=, 点F运动的距离为2+. 综上所述,点F运动的距离为1或2+. 2 3 2
6、3 3 1 2 3 3 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4.(2018洛阳三模,15)如图,在菱形ABCD中,DAB=45,AB=8,P为线段AB上一动点,过点P作PEAB交直 线AD于E,沿PE将A折叠,点A的对称点为点F,连接EF、DF、CF,当CDF为直角三角形时,AP= . 答案答案 2或4+2 22 解析解析 如图1,当DFAB时,CDF是直角三角形,在菱形ABCD中,AB=8,CD=AD=AB=8, 图1 在RtADF中,AD=8,DAF=45,DF=AF=4, AP=AF=2. 如图2,当CFAB时,DCF是直角三角形, 2 1 2 2 图2 在RtCBF中,CFB=90,C
7、BF=A=45,BC=8,BF=CF=4, AF=8+4, AP=AF=4+2. 易得直线AB、CD间的距离为4,CD=8,以CD为直径的圆与直线AB无交点,故DFC不可能为直角. 2 2 1 22 2 综上所述,当CDF为直角三角形时,AP的值为2或4+2. 22 5.(2020江西,12,3分)矩形纸片ABCD,长AD=8 cm,宽AB=4 cm,折叠纸片,使折痕经过点B,交AD边于点E,点 A落在点A处,展平后得到折痕BE,同时得到线段BA,EA,不再添加其他线段.当图中存在30角时,AE的长 为 cm. 答案答案 或4或(8-4) 4 3 3 33 解析解析 分三种情况:当ABE=30
8、时,在RtABE中,tan 30=,可得AE=;当AEB=30时, 在RtABE中,tan 30=,可得AE=4;当AED=30时,如图,由折叠性质可得ABEABE, AEB=AEB=75,ABE=15,在RtABE中,作FEB=FBE并交AB于点F,则AFE=30,BF= EF=2AE,AF=4-2AE,在RtAFE中,AE2+AF2=EF2,即AE2+(4-2AE)2=(2AE)2,化简得AE2-16AE+16=0,可求 得AE=8-4或8+4(舍),AE的长为 cm或4 cm或(8-4)cm. AE AB 3 3 4 3 3 AB AE 3 3 3 33 4 3 3 33 难点突破难点突
9、破 第种情况的突破口是构造等腰三角形EFB,从而应用勾股定理得到关于AE的一元二次方 程. 6.(2018南阳镇平二模,15)已知RtABC中,B=90,AB=4,BC=3,点M,N分别在边AB、AC上,将AMN沿 直线MN折叠,点A落在点P处,且点P在射线CB上,当PNC为直角三角形时,PN的长为 . 答案答案 或 20 9 20 7 解析解析 在RtABC中,ABC=90,AB=4,BC=3, AC=5, 设AN=PN=x(x0),则CN=5-x. 当NPC=90时,如图1, 图1 NPC=B=90,C=C, NPCABC, =,=,解得x=. 22 34 PN AB CN AC4 x5- 5 x20 9 PN=. 当PNC=90时,如图2, PNC=ABC=90,C=C, PNCABC, =. =,解得x=. PN=. 综上所述,PN的长为或. 20 9 PN AB NC BC 4 x5- 3 x20 7 20 7 20 9 20 7 图2
