1、大一轮复习讲义 第八章高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题 第2课时定点与定值问题 例1(12分)(2020全国)已知A，B分别为椭圆E： y21(a1)的左、 右顶点，G为E的上顶点， 8.P为直线x6上的动点，PA与E的另 一交点为C，PB与E的另一交点为D. (1)求E的方程； (2)证明：直线CD过定点. 答题模板题型一定点问题 (1)解依据题意作图，如图所示， 规范解答 A(a,0)，B(a,0)，G(0,1)， 3分 (2)证明设P(6，y0)， 4分 直线CD的方程为 6分 8分 12分 第一步：确定曲线方程(一般根据待定系数法或定义法). 第二步：设直线方程并与曲线方程联立，得关
2、于x或y的一元二次 方程. 第三步：写出根与系数的关系(或求出交点坐标). 第四步：将第三步得出的关系代入题目条件，解决范围、最值或 定点、定值等问题. 第五步：反思回顾，考虑方程有解条件和图形完备性. 答题模板 跟踪训练1(2019北京)已知抛物线C：x22py经过点(2，1). (1)求抛物线C的方程及其准线方程； 解由抛物线C：x22py经过点(2，1)，得p2. 所以抛物线C的方程为x24y，其准线方程为y1. (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点 M，N，直线y1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径 的圆经过y轴上的两个定点. 证明抛
3、物线C的焦点为F(0，1). 设直线l的方程为ykx1(k0). 16k2160恒成立. 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x24. 综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0，3). 题型二定值问题 师生共研 (1)求C的方程； 解得a26，b23. (2)点M，N在C上，且AMAN，ADMN，D为垂足.证明：存在定点Q， 使得|DQ|为定值. 证明设M(x1，y1)，N(x2，y2). 若直线MN与x轴不垂直， 得(12k2)x24kmx2m260. 故(x12)(x22)(y11)(y21)0， 整理得(k21)x1x2(kmk2)(x1x2)(m1)240. 将代
4、入上式， 整理得(2k3m1)(2km1)0. 因为A(2,1)不在直线MN上， 所以2km10，所以2k3m10，k1. 若直线MN与x轴垂直，可得N(x1，y1). 得(x12)(x12)(y11)(y11)0. 若D与P不重合，则由题设知AP是RtADP的斜边， 圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代 入代数式、化简即可得出定值. (2)求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析 式，再利用题设条件化简、变形求得. (3)求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析 式进行化简、变形即
5、可求得. 思维升华 (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2， 椭圆C的一条切线l：ykxm与l1，l2分别交于M，N两点，求证： MF1N为定值. 证明由题意可知，l1的方程为x3，l2的方程为x3. 直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(3，3km)，N(3,3km)， 得(9k28)x218kmx9m2720. 因为直线l与椭圆C相切， 所以(18km)24(9k28)(9m272)0， 化简得m29k28. KESHIJINGLIAN 课时精练 基础保分练 12345 (1)求椭圆C的标准方程； 解由椭圆的定义，可知
6、 12345 解得a2. (2)过点B(4,0)作一条斜率不为0的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，记点P 关于x轴对称的点为P.证明：直线PQ经过x轴上一定点D，并求出定 点D的坐标. 12345 证明由题意，设直线l的方程为xmy4(m0). 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P(x1，y1). 可得(m24)y28my120. 16(m212)0，m212. 12345 D(1,0). 直线PQ经过x轴上定点D，其坐标为(1,0). 12345 2.(2020西安模拟)设F1，F2为椭圆C： 1(b0)的左、右焦点，M为椭 圆上一点，满足MF1MF2，已知MF1F2的面积为1. (1
7、)求椭圆C的方程； 12345 解由椭圆定义得|MF1|MF2|4， 由MF1MF2得 |MF1|2|MF2|2|F1F2|24(4b2)， 由题意得 |MF1|MF2|1， 1 2 MF F S 由，可得b21， 所以椭圆C的方程为 y21. 12345 (2)设C的上顶点为H，过点(2，1)的直线与椭圆交于R，S两点(异于H)， 求证：直线HR和HS的斜率之和为定值，并求出这个定值. 12345 解依题意，H(0,1)，显然直线RS的斜率存在且不为0， 设直线RS的方程为ykxm(k0)， 代入椭圆方程并化简得(4k21)x28kmx4m240. 由题意知，16(4k2m21)0， 设R(
8、x1，y1)，S(x2，y2)，x1x20， 12345 12345 直线RS过点(2，1)，2km1， kHRkHS1.故kHRkHS为定值1. 3.(2018北京)已知抛物线C：y22px经过点P(1,2)，过点Q(0,1)的直线l 与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴 于N. (1)求直线l的斜率的取值范围； 12345 解因为抛物线y22px过点(1,2)， 所以2p4，即p2. 故抛物线C的方程为y24x. 由题意知，直线l的斜率存在且不为0. 设直线l的方程为ykx1(k0)， 12345 依题意知(2k4)24k210， 解得k0或0k|F1F2
9、|2， 所以点Q的轨迹为以F1，F2为焦点，长轴长为4的椭圆， 故2a4，a2,2c2，c1，b2a2c23. 12345 (2)记曲线C与x轴交于A，B两点，M是直线x1上任意一点，直线MA， MB与曲线C的另一个交点分别为D，E，求证：直线DE过定点H(4,0). 12345 证明由(1)可设A(2,0)，B(2,0)，点M的坐标为(1，m)， (4m227)x216m2x16m21080， 直线MB的方程为ym(x2)， 12345 (4m23)x216m2x16m2120， 因为k1k2，所以直线DE经过定点H(4,0). 12345 5.(2020华中师大附中月考)如图，已知椭圆C1
10、： y21的左、右顶点分 别为A1，A2，上、下顶点分别为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为 圆C2. 12345 拓展冲刺练 (1)求圆C2的标准方程； 解因为A2，B1分别为椭圆C1： y21的右顶点和上顶点， 则A2，B1的坐标分别为(2,0)，(0,1)， 可得直线A2B1的方程为x2y2. 12345 (2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点. ()求证：OPOM； 12345 证明可设切线l：ykxb(k0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)， 由根与系数的关系得， 12345 又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离 12345 故OPOM. 12345 解由()知OPOM， 当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|1，|OM|2， 当直线OP的斜率存在时，设直线OP的方程为yk1x， 12345 12345 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
