1、大一轮复习讲义 第八章解析几何 8.3圆的方程 考试要求 1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的 标准方程与一般方程. 2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题. 主干梳理主干梳理 基础落实基础落实 题型突破题型突破 核心核心探究探究 课时精练课时精练 内容 索引 ZHUGANSHULI JICHULUOSHI 主干梳理 基础落实 1 1.圆的定义和圆的方程圆的定义和圆的方程 知识梳理 定义平面内到 的距离等于 的点的集合叫做圆 方程 标准(xa)2(yb)2r2(r0) 圆心C_ 半径为_ 一般 x2y2DxEyF 0(D2E24F0) 圆心C_ 半径r_ 定
2、点定长 (a，b) r 2.点与圆的位置关系点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列 关系： (1)|MC|rM在 ，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外； (2)|MC|rM在 ，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上； (3)|MC|rM在 ，即(x0a)2(y0b)20， 即3a24a40， 2a0)， 方法二(几何法) 因为圆E经过点A(0,1)，B(2,0)， 由题意知圆E的圆心又在x轴上， 2.(2021潍坊调研)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线 xby2b10相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 A.
3、x2(y1)24 B.x2(y1)22 C.x2(y1)28 D.x2(y1)216 解析由直线xby2b10可得该直线过定点A(1,2)， 设圆心为B(0,1)，由题意可知要使所求圆的半径最大， 所以半径最大的圆的标准方程为x2(y1)22.故选B. 3.(2020苏州模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线l： x y2 0与圆C：x2y24的两个交点，当圆M的面积最小 时，圆M的标准方程为_. 当圆M的面积最小时，圆M以AB为直径， (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程. (2)待定系数法 若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b， r的值；
4、 选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而 求出D，E，F的值. 思维升华 例1(1)(2020保定质检)已知A(0,2)，点P在直线xy20上，点Q在 圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_. 题型二与圆有关的最值问题 师生共研 解析因为圆C：x2y24x2y0， 设点A(0,2)关于直线xy20的对称点为A(m，n)， 解原方程可化为(x2)2y23， 当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值， 引申探究 本例(2)中，求x2y2的最大值和最小值. 解x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点和圆心连线与圆的两个交点处取
5、得最大值和最小值. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法.一般根据长度或距离的几何 意义，利用圆的几何性质数形结合求解. (2)与圆上点(x，y)有关代数式的最值的常见类型及解法. 形如u 型的最值问题，可转化为过点(a，b)和点(x，y)的直线的斜 率的最值问题； 形如(xa)2(yb)2型的最值问题，可转化为动点到定点(a，b)的距离 的平方的最值问题. 思维升华 跟踪训练1已知M(x，y)为圆C：x2y24x14y450上任意一点， 且点Q(2,3). (1)求|MQ|的最大值和最小值； 解由圆C：x2y24x14y450， 可得(x2)2(
6、y7)28， 设直线MQ的方程为y3k(x2)， 即kxy2k30. 直线MQ与圆C有交点， 例2已知RtABC的斜边为AB，且A(1,0)，B(3,0). 求：(1)直角顶点C的轨迹方程； 题型三与圆有关的轨迹方程 师生共研 解方法一设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0. 因为ACBC，且BC，AC斜率均存在， 所以kACkBC1， 化简得x2y22x30. 因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0). 方法二设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)， 由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心， 2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的
7、交点). 所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0). (2)直角边BC的中点M的轨迹方程. 解设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点， 所以x02x3，y02y. 由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)， 将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24， 即(x2)2y21. 因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0). 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法： (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程. (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程. (3)几何法：利用圆的几何性质列方程. (4)相关点代入法：
8、找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式. 思维升华 跟踪训练2已知线段AB的端点B的坐标为(8,6)，端点A在圆C：x2y2 4x0上运动，求线段AB的中点P的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么. 解设点P的坐标为(x，y)，点A的坐标为(x0，y0)， 由于点B的坐标为(8,6)，且P为线段AB的中点， 点A在圆C上运动， 点A的坐标满足方程x2y24x0， (2x8)2(2y6)24(2x8)0， 化简整理，得x2y26x6y170，即(x3)2(y3)21. 故点P的轨迹是以(3,3)为圆心，1为半径的圆. KESHIJINGLIAN3 课时精练 1.圆x2y24x6y30的圆心和
9、半径分别为 A.(4，6)，16 B.(2，3)，4 C.(2,3)，4 D.(2，3)，16 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 解析方法一易知D4，E6，F3， 12345678910 11 12 13 14 15 16 故圆心坐标为(2,3)，半径为4. 方法二将圆的一般方程化为标准方程得(x2)2(y3)216， 则圆心坐标为(2,3)，半径为4. 2.圆心在x轴上，半径为1，且过点(2,1)的圆的方程是 A.(x2)2y21 B.(x2)2y21 C.(x2)2(y3)21 D.x2(y2)21 12345678910 11 12 13 14 15
10、 16 解析设圆的圆心为(a,0)， 所以圆的标准方程是(x2)2y21.故选A. 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.若一圆的圆心坐标为(2，3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上， 则此圆的方程是 A.(x2)2(y3)213 B.(x2)2(y3)213 C.(x2)2(y3)252 D.(x2)2(y3)252 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，6)， 所以所求圆的方程是(x2)2(y3)213. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.已知圆C1：(x1)2(y1
11、)24，圆C2与圆C1关于直线xy10对称， 则圆C2的方程为 A.(x2)2(y2)24 B.(x2)2(y2)24 C.(x2)2(y2)24 D.(x2)2(y2)24 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据题意，设圆C2的圆心为(a，b)， 圆C1：(x1)2(y1)24，其圆心为(1,1)，半径为2， 若圆C2与圆C1关于直线xy10对称， 则圆C1与C2的圆心关于直线xy10对称，且圆C2的半径为2， 则圆C2的方程为(x2)2(y2)24. 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.(多选)已知直线l与圆C：x2y22x4ya0
12、相交于A，B两点，弦 AB的中点为M(0，1)，则实数a的取值可以为 A.1 B.2 C.3 D.4 解析圆C的标准方程为(x1)2(y2)25a，故a5. 又因为弦AB的中点为M(0，1)， 故M点在圆内，所以(01)2(12)25a， 即a3. 综上a3. 故选AB. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.(多选)设有一组圆Ck：(xk)2(yk)24(kR)，下列命题正确的是 A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3,0) C.经过点(2,2)的圆Ck有且只有一个 D.所
13、有圆的面积均为4 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析圆心坐标为(k，k)，在直线yx上，A正确； 令(3k)2(0k)24，化简得2k26k50， 364040，有两个不相等实根， 经过点(2,2)的圆Ck有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为4，D正确. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.已知圆C：(x2)2(ym4)21，当m变化时，圆C上的点与原点O 的最短距离是_.1 解析圆C：(x2)2(ym4)21表示圆心为C(2，m4)，半径r 1的圆， 所以当m4时，|OC|的最小值为2， 故当m变化时，圆C上的点与原点的最短
14、距离是|OC|r211. 12345678910 11 12 13 14 15 16 8.若圆(x1)2(y3)29上相异两点P，Q关于直线kx2y40对称， 则k的值为_.2 解析圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴， 已知圆的圆心为(1,3)， 由题设知，直线kx2y40过圆心， 则k(1)2340，解得k2. 9.已知P，Q分别为圆M：(x6)2(y3)24与圆N：(x4)2(y2)21 上的动点，A为x轴上的动点，则|AP|AQ|的最小值为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析圆N：(x4)2(y2)21， 关于x轴对称的圆为圆N：(x4)2(y2
15、)21， 10.如果圆(xa)2(ya)28上总存在到原点的距离为 的点，则实数 a的取值范围是_. 3，11,3 实数a的取值范围是3，11,3. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.已知圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，2)，且圆心在直线L： xy10上. (1)求圆心为C的圆的标准方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 解设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2(r0)， 圆经过点A(1，1)和B(2，2)， 且圆心在直线L：xy10上， 解得a3，b2，r5， 圆
16、的标准方程为(x3)2(y2)225. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)设点P在圆C上，点Q在直线xy50上，求|PQ|的最小值. 直线与圆C相离， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.已知点A(3,0)，B(3,0)，动点P满足|PA|2|PB|. (1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程； 解设点P的坐标为(x，y)， 化简可得(x5)2y216，此方程即为所求. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若点Q在直线l1：xy30上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个 公共点M，求|QM|的最小值.
17、 12345678910 11 12 13 14 15 16 解曲线C是以点(5,0)为圆心，4为半径的圆， 如图所示. 由题意知直线l2是此圆的切线， 连接CQ， 当|QM|最小时，|CQ|最小，此时CQl1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 技能提升练 13.直线xy20分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x2)2y2 2上，则ABP面积的取值范围是 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设圆(x2)2y22的圆心为C，半径为r，点P到直线xy20 的距离为d， 12345678910 11 12 13 14 15 16 综上，A
18、BP面积的取值范围是2,6.故选A. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由圆x2y24x12y10知， 其标准方程为(x2)2(y6)239， 圆x2y24x12y10关于直线axby60(a0，b0)对称， 该直线经过圆心(2,6)，即2a6b60， a3b3(a0，b0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 15.(2020泰安模拟)已知直线l：3x4ym0，圆C：x2y24x20， 则圆C的半径r_；若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P， 使得APB9
19、0，则实数m的取值范围是_. 16，4 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析圆的标准方程为(x2)2y22， 若在圆C上存在两点A，B，在直线l上存在一点P，使得APB90， 过P作圆的两条切线PM，PN(M，N为切点)， 则由题意得，MPN90， 而当CPl时，MPN最大，只要此最大角90即可， 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知点P(2,2)，圆C：x2y28y0，过点P的动直线l与圆C交于A， B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程； 解圆C的方程可化为x2(y4)216，所以圆心为C(0,4)，半径为4. 12345678910 11 12 13 14 15 16 即(x1)2(y3)22. 由于点P在圆C的内部，所以M的轨迹方程是(x1)2(y3)22. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)当|OP|OM|时，求l的方程及POM的面积. 12345678910 11 12 13 14 15 16 由于|OP|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上， 又P在圆N上，从而ONPM. 故l的方程为x3y80. 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
