1、大一轮复习讲义 第八章8.5椭圆 第2课时直线与椭圆 1.若直线ykx1与椭圆 1总有公共点，则m的取值范围是 A.m1 B.m0 C.0m0且m5，5k2m10， m1且m5. (1)有两个不重合的公共点； 解将直线l的方程与椭圆C的方程联立， 将代入，整理得9x28mx2m240. 方程根的判别式(8m)249(2m24)8m2144. (2)有且只有一个公共点； 这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有 一个公共点. (3)没有公共点. 这时直线l与椭圆C没有公共点. 研究直线与椭圆位置关系的方法 (1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程
2、组 成的方程组解的个数. (2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和 椭圆有交点. 思维升华 题型二弦长及中点弦问题 多维探究 命题点1弦长问题 解析方法一由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方 程为y2(x1)， 方法二由题意知，椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，直线AB的方程为y 2(x1)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线l的方程为yxt， 又(8t)216(t21)50，得t20恒成立. 设C(x1，y1)，D(x2，y2). (2)已知椭圆 (ab0)的一条弦所在的直
3、线方程是xy50，弦 的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是_. 解析设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程， 题型三直线与椭圆的综合问题 师生共研 例3(2020天津)已知椭圆 1(ab0)的一个顶点为A(0，3)，右 焦点为F，且|OA|OF|，其中O为原点. (1)求椭圆的方程； 解由已知可得b3，记半焦距为c， 由|OF|OA|可得cb3， 又由a2b2c2，可得a218， 解因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P， 所以ABCP. 依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在. 设直线AB的方程为ykx3. 消去y可得(2k21)x212kx0， 因为P
4、为线段AB的中点，点A的坐标为(0，3)， 即x2y60或xy30. (1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立 直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关 系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解. (2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不 存在等特殊情形. 思维升华 跟踪训练2已知椭圆C的两个焦点分别为F1(1,0)，F2(1，0)，短轴的 两个端点分别为B1，B2. (1)若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程； 解由题意知，F1B1B2为等边三角形， (2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭
5、圆C相交于P，Q两点，且 ，求直线l的方程. 当直线l的斜率不存在时，其方程为x1，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)， 8(k21)0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 即(x11)(x21)y1y2x1x2(x1x2)1k2(x11)(x21) (k21)x1x2(k21)(x1x2)k21 KESHIJINGLIAN 课时精练 A.(1，) B.(1,3)(3，) C.(3，) D.(0,3)(3，) 12345678910 11 12 13 14 15 16 基础保分练 得m1且m3.故选B. 12345678910 11 12 13 14 15
6、16 解析由题意得直线y1k(x1)恒过定点(1，1)， A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 c3，a218，b29， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 综上所述，正确的为AD. 12
7、345678910 11 12 13 14 15 16 A.四边形AF1BF2为平行四边形 B.F1PF290 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析对于A，根据椭圆的对称性可知，|OF1|OF2|，|OA|OB|.故四边 形AF1BF2为平行四边形.故A正确； 对于B，根据椭圆的性质，当P在上、下顶点时，|OP|b c.此时 F1PF290.由题意可知P不可能在上下顶点，故F1PF290.故 B正确； 12345678910 11 12 13 14 15 16 对于D，设P(x1，y1)，A(x2，y2)，则B(x2，y2)， 故PAB90.故D错误. 故选ABC.
8、 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以b1，焦点坐标为(0，c)， 因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1， 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得m1. 1 9.已知F为椭圆C： 1的右焦点，过F的直线l交椭圆C于A，B两点， M为AB的中点，则M到x轴的最大距离为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为a26，b22，所以椭圆的右焦点坐标为(2，0).设A(x1，y1)， B(x2，y2)，直线l：xty2(显然当直线斜率为0时，不可能最大)，与椭 圆方程联立得， 12345678910 11 12 13 1
9、4 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 因为直线l与椭圆相切，所以36a44(2a21)(10a2a4)0， 化简得a46a250，即a25或a21(舍). 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求椭圆C的方程； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求椭圆E的方程； 1
10、2345678910 11 12 13 14 15 16 (2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且 ，求直线BF2的方程. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x my1，设A(x1，y1)，B(x2，y2). 因为F1(1,0)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 2 BF k 技能提升练 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 a29，b
11、25，c24，c2，即F1(2,0)，F2(2,0). 解得1mb0)长轴的端点分别为A，B.点C为椭圆上异于A， B的一点，若将ABC的三内角记为A，B，C，且满足3tan A3tan B tan C0，则tan Atan B的值为_，椭圆的离心率为_. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析方法一3tan A3tan Btan C0， 3tan(AB)(1tan Atan B)tan C0， 3tan C(1tan Atan B)tan C0. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16
12、12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓展冲刺练 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若与直线OP(O为坐标原点)平行的直线交椭圆C于A，B两点，当 OAOB时，求AOB的面积. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 将直线AB的方程代入椭圆C的方程并整理得 由3m24(m21)0，得m24， 12345678910 11 12 13 14 15 16 大一轮复习讲义 本课结束 更多精彩内容请登录：
