1、 中考数学 （河南专用） 第五章 圆 5.1 圆的性质及与圆有关的位置关系 1.(2020陕西,9,3分)如图,ABC内接于O,A=50.E是边BC的中点,连接OE并延长,交O于点D,连接 BD,则D的大小为( ) A.55 B.65 C.60 D.75 考点一 圆的有关概念与性质 答案答案 B 连接CD.由四边形ABDC是圆内接四边形可知,A+BDC=180.A=50,BDC=130. E为BC的中点,=,BD=CD,ODB=BDC=65.故选B. BD CD 1 2 解后反思解后反思 由点A,B,C,D都在圆上,且A=50,可联想到圆内接四边形的性质,从而可知A与BDC 的数量关系.由弦的
2、中点可联想垂径定理,从而知ODB与BDC的数量关系. 2.(2019吉林,5,2分)如图,在O中,所对的圆周角ACB=50,若P为上一点,AOP=55,则POB 的度数为( ) A.30 B.45 C.55 D.60 AB AB 答案答案 B 由题意可得AOB=2ACB=100.POB=100-55=45.故选B. 3.(2019安徽,13,5分)如图,ABC内接于O,CAB=30,CBA=45,CDAB于点D.若O的半径为2,则 CD的长为 . 答案答案 2 解析解析 如图,连接OC、OB,则COB=2CAB=60,OC=OB,COB为等边三角形,BC=2.CBA=4 5,CDAB,CB=C
3、D,CD=. 22 解题关键解题关键 连接OC、OB得到COB是等边三角形是解答本题的关键. 4.(2018湖北黄冈,11,3分)如图,ABC内接于O,AB为O的直径,CAB=60,弦AD平分CAB,若AD= 6,则AC= . 答案答案 2 3 解析解析 连接BD,因为AB为O的直径,所以ACB=ADB=90,因为CAB=60,弦AD平分CAB,所以 BAD=30,因为=cos 30,所以AB=4.在RtABC中,AC=AB cos 60=4=2. AD AB 6 3 2 33 1 2 3 5.(2016新疆乌鲁木齐,13,4分)设I为ABC的外心,若BIC=100,则A的度数为 . 答案答案
4、 50或130 解析解析 当I在ABC的内部时,如图1,A=BIC=50; 当I在ABC的外部时,如图2,A+BIC=180, A=130. 综上,A的度数为50或130. 1 2 1 2 图1 图2 6.(2019河南,17,9分)如图,在ABC中,BA=BC,ABC=90.以AB为直径的半圆O交AC于点D,点E是上 不与点B,D重合的任意一点,连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点G. (1)求证:ADFBDG; (2)填空: 若AB=4,且点E是的中点,则DF的长为 ; 取的中点H,当EAB的度数为 时,四边形OBEH为菱形. BD BD AE 解析解析 (1)证明:BA=BC,
5、ABC=90, CAB=C=45. AB为半圆O的直径, ADF=BDG=90. DBA=DAB=45, AD=BD.(3分) DAF和DBE都是所对的圆周角, DAF=DBG. ADFBDG.(5分) (2)4-2.(7分) 30(注:若填为30,不扣分).(9分) 详解:如图,过F作FMAB于M, 点E是的中点, DE 2 BD BAE=DAE, FDAD,FMAB, FM=FD, =sinFBM=sin 45=, =,即BF=FD. AB=4, BD=4cos 45=2, FM BF 2 2 FD BF 2 2 2 2 BF+FD=2,即(+1)FD=2, FD=4-2. 连接OH,EH
6、,点H是的中点, OHAE, AEB=90,BEAE,BEOH, 四边形OBEH为菱形, BE=OH=OB=AB, sinEAB=, EAB=30. 222 2 2 21 2 AE 1 2 BE AB 1 2 7.(2016河南,18,9分)如图,在RtABC中,ABC=90,点M是AC的中点,以AB为直径作O分别交AC,BM 于点D,E. (1)求证:MD=ME; (2)填空:若AB=6,当AD=2DM时,DE= ; 连接OD,OE,当A的度数为 时,四边形ODME是菱形. 解析解析 (1)证明:在RtABC中,ABC=90,点M是AC的中点, MA=MB.A=MBA.(2分) 四边形ABE
7、D是圆内接四边形, ADE+ABE=180. 又ADE+MDE=180, MDE=MBA. 同理可证:MED=A.(4分) MDE=MED, MD=ME.(5分) (2)2.(7分) 60(或60).(9分) 详解:由(1)可知,A=MDE, DEAB,=, AD=2DM,DMMA=13, DE AB MD MA DE=AB=6=2. 故答案为2. 当A=60时,四边形ODME是菱形. 理由:OA=OD,A=60, AOD是等边三角形, AOD=60, DEAB, ODE=AOD=60,MDE=A=60, 又OD=OE,MD=ME, ODE,DEM都是等边三角形, OD=OE=DE,DM=EM
8、=DE, OD=OE=EM=DM, 四边形OEMD是菱形. 故答案为60. 1 3 1 3 1.(2020重庆A卷,5,4分)如图,AB是O的切线,A为切点,连接OA,OB,若B=20,则AOB的度数为( ) A.40 B.50 C.60 D.70 考点二 与圆有关的位置关系 答案答案 D AB是O的切线,OAB=90, 又B=20,AOB=90-20=70,故选D. 2.(2019福建,9,4分)如图,PA,PB是O的两条切线,A,B为切点,点C在O上,且ACB=55,则APB等于 ( ) A.55 B.70 C.110 D.125 答案答案 B 连接OA,OB. PA,PB是O的两条切线,
9、 OAAP,OBPB. OAP=OBP=90. AOB=2ACB=255=110, APB=360-OAP-OBP-AOB =360-90-90-110=70.故选B. 方法总结方法总结 在应用切线性质时,一定要抓住“垂直”这一特征,故连接圆心与切点是常作的辅助线.而在 圆中通过连半径构造同弧所对的圆周角和圆心角也是常用的辅助线作法. 3.(2018福建,9,4分)如图,AB是O的直径,BC与O相切于点B,AC交O于点D.若ACB=50,则BOD 等于( ) A.40 B.50 C.60 D.80 答案答案 D 由BC与O相切于点B,可得ABC=90,由三角形内角和为180 及ACB=50可得
10、BAC=4 0,由OA=OD得ODA=OAD=40,由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得BOD =ODA+OAD=80. 4.(2019内蒙古包头,18,3分)如图,BD是O的直径,A是O外一点,点C在O上,AC与O相切于点C, CAB=90,若BD=6,AB=4,ABC=CBD,则弦BC的长为 . 答案答案 2 6 解析解析 连接CD,BD是直径, DCB=90, 又CAB=90,ABC=CBD, CABDCB, =, 即=, BC=2. BD BC BC AB 6 BC4 BC 466 5.(2018安徽,12,5分)如图,菱形ABOC的边AB,AC分别与O相切于点D,E.若
11、点D是AB的中点,则DOE= . 答案答案 60 解析解析 AB,AC分别与圆O相切于点D,E,ODAB,OEAC,在菱形ABOC中,AB=BO,点D是AB的中 点,BD=AB=BO,BOD=30,B=60,又OBAC,A=120,在四边形ADOE中,DOE =360-90-90-120=60. 1 2 1 2 解题关键解题关键 由题意得出OD垂直平分AB及AB=BO是解答本题的关键. 6.(2020河南,20,9分)我们学习过利用尺规作图平分一个任意角,而“利用尺规作图三等分一个任意角” 曾是数学史上一大难题,之后被数学家证明是不可能完成的.人们根据实际需要,发明了一种简易操作工 具三分角器
12、.图1是它的示意图,其中AB与半圆O的直径BC在同一直线上,且AB的长度与半圆的半径 相等;DB与AC垂直于点B,DB足够长. 图1 图2 使用方法如图2所示,若要把MEN三等分,只需适当放置三分角器,使DB经过MEN的顶点E,点A落在 边EM上,半圆O与另一边EN恰好相切,切点为F,则EB,EO就把MEN三等分了. 为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明.如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整, 并写出“证明”过程. 已知:如图2,点A,B,O,C在同一直线上,EBAC,垂足为点B, . 求证: . 解析解析 已知:如图,点A,B,O,C在同一直线上,EBAC,垂足为点B,AB
13、=OB,EN切半圆O于点F.(2分) 求证:1=2=3.(3分) 证明:连接OF.(4分) EBAC,ABE=OBE=90, 又AB=OB,EB=EB, ABEOBE. 1=2.(6分) EN切半圆O于点F, OFEF, 又OBEB且OF=OB, EO平分BEF, 3=2, 1=2=3.(9分) 说明:若“已知”未补充完整,而“证明”过程正确,仅在“已知处扣分” 7.(2018河南,19,9分)如图,AB是O的直径,DOAB于点O,连接DA交O于点C,过点C作O的切线交 DO于点E,连接BC交DO于点F. (1)求证:CE=EF; (2)连接AF并延长,交O于点G.填空: 当D的度数为 时,四
14、边形ECFG为菱形; 当D的度数为 时,四边形ECOG为正方形. 解析解析 (1)证明:连接OC. CE是O的切线, OCCE. FCO+ECF=90. DOAB,B+BFO=90. CFE=BFO, B+CFE=90.(3分) OC=OB,FCO=B. ECF=CFE.CE=EF.(5分) (2)30.(注:若填为30,不扣分)(7分) 22.5.(注:若填为22.5,不扣分)(9分) 详解:当D=30时,DAO=60. AB为直径, ACB=90, B=30, 1=2=60, CE=FE, CEF为等边三角形, CE=CF=EF, 同理可得GFE=60, 利用对称得FG=FC, FG=EF
15、, FEG为等边三角形, EG=FG, FC=FG=GE=CE, 四边形ECFG为菱形. 当D=22.5时,DAO=67.5. OA=OC,OCA=OAC=67.5, AOC=180-67.5-67.5=45, COE=45, 利用对称得EOG=45, COG=90, 易证OECOEG, OC=OG,OGE=OCE=90, 四边形ECOG为矩形, 又OC=OG, 四边形ECOG为正方形. 故答案为30;22.5. 8.(2017河南,18,9分)如图,在ABC中,AB=AC,以AB为直径的O交AC边于点D,过点C作CFAB,与过点 B的切线交于点F,连接BD. (1)求证:BD=BF; (2)
16、若AB=10,CD=4,求BC的长. 解析解析 (1)证明:AB=AC, ABC=ACB. CFAB, ABC=FCB. ACB=FCB,即CB平分DCF.(3分) AB是O的直径,ADB=90,即BDAC. BF是O的切线, BFAB.(5分) CFAB,BFCF. BD=BF.(6分) (2)AC=AB=10,CD=4,AD=AC-CD=10-4=6. 在RtABD中,BD2=AB2-AD2=102-62=64.(8分) 在RtBDC中,BC=4, 即BC的长为4.(9分) 22 BDCD 2 6445 5 1.(2020安徽,9,4分)已知点A,B,C在O上,则下列命题为真命题的是( )
17、 A.若半径OB平分弦AC,则四边形OABC是平行四边形 B.若四边形OABC是平行四边形,则ABC=120 C.若ABC=120,则弦AC平分半径OB D.若弦AC平分半径OB,则半径OB平分弦AC 考点一 圆的有关概念与性质 教师专用题组 答案答案 B 对于选项A,虽然半径OB平分弦AC,但AC不一定平分OB,故四边形OABC不一定是平行四边 形,故A为假命题;对于选项B,四边形OABC是平行四边形,且OA=OB=OC,OAB,OBC均为等边三 角形,ABO=60,ABC=2ABO=120,则B为真命题;对于选项C,虽然ABC=120,但点B不一定 是劣弧AC的中点,四边形OABC不一定是
18、平行四边形,因而弦AC不一定平分半径OB,故C为假命题;对 于选项D,虽然弦AC平分半径OB,但过半径OB中点的弦有无数条,只有当ACOB时,弦AC被半径OB平 分,D选项中没有说明此条件,故D为假命题. 思路分析思路分析 先根据各选项的条件画出草图,然后根据平行四边形的判定定理或者运用平行四边形的性 质来判断选项是否正确,判断时不能只注意特殊情况. 2.(2020海南,10,3分)如图,已知AB是O的直径,CD是弦,若BCD=36,则ABD等于( ) A.54 B.56 C.64 D.66 答案答案 A 根据圆周角定理的推论得BCD=A,BCD=36,A=36,根据直径所对的圆周角是 直角可
19、得ADB=90,ABD=90-36=54,故选A. 3.(2019四川成都,9,3分)如图,正五边形ABCDE内接于O,P为上的一点(点P不与点D重合),则CPD 的度数为( ) A.30 B.36 C.60 D.72 DE 答案答案 B 连接CO,DO,五边形ABCDE为正五边形,COD=360=72,CPD=COD=36, 故选B. 1 5 1 2 4.(2017福建,8,4分)如图,AB是O的直径,C,D是O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与ACD 互余的角是( ) A.ADC B.ABD C.BAC D.BAD 答案答案 D AB是O的直径,ADB=90,BAD+B=90,易知
20、ACD=B,BAD+ACD=90 ,故选D. 5.(2017陕西,9,3分)如图,ABC是O的内接三角形,C=30,O的半径为5.若点P是O上的一点,在 ABP中,PB=AB,则PA的长为( ) A.5 B. C.5 D.5 5 3 2 23 答案答案 D 连接OB、OA、OP, C=30, AOB=60, OA=OB, OAB是等边三角形, AB=5. PB=AB=OA=OP, OBAP, AP=2AB cos 30=25cos 30=25=5.故选D. 3 2 3 6.(2016陕西,9,3分)如图,O的半径为4,ABC是O的内接三角形,连接OB、OC.若BAC与BOC互 补,则弦BC的长
21、为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 3333 答案答案 B BOC+CAB=180,BOC=2CAB, BOC=120,作ODBC交BC于点D, BC=2BD. OB=OC, OBD=OCD=30, BD=OBcos 30=2, BC=2BD=4, 故选B. 180?- 2 BOC 3 3 7.(2018湖北武汉,10,3分)如图,在O中,点C在优弧上,将弧折叠后刚好经过AB的中点D.若O的 半径为,AB=4,则BC的长是( ) A.2 B.3 C. D. AB BC 5 32 5 3 2 65 2 答案答案 B 连接AO,并延长交O于点D,则ABD=90.连接BD,CD,DD,DD交B
22、C于点E,连接OD,OB, OC,D为AB的中点,ODAB,AB=4,BD=AB=2,OB=,OD=1,BD=2OD=2, 即BD= BD,显然点D与点D关于直线BC对称.ABD=90,ABC=CBD=45,根据圆周角定理得 AOC=90,DOC=90,CD=OC=,CBD=45,BD=2,BE=ED=,根据勾股定理得 CE=2,BC=BE+CE=3,故选B. 1 2 5 22 -OB BD 2102 22 -CDED22 方法指导方法指导 在求解涉及圆的性质的问题时,通常运用垂径定理或圆周角定理得到相等的线段或角或垂 直关系,求解过程中常需作合适的辅助线构造直角三角形,利用勾股定理等知识进行
23、求解. 8.(2018北京,12,2分)如图,点A,B,C,D在O上,=,CAD=30,ACD=50,则ADB= . CB CD 答案答案 70 解析解析 =,BAC=CAD=30.又BDC=BAC=30,ACD=50,ADB=180-30-30- 50=70. CB CD 9.(2017北京,14,3分)如图,AB为O的直径,C,D为O上的点,=.若CAB=40,则CAD= . AD CD 答案答案 25 解析解析 连接BC,BD,AB为O的直径,ACB=90,ABC=90-CAB=90-40=50.=, ABD=CBD=ABC=25,CAD=CBD=25. AD CD 1 2 10.(20
24、20江苏南京,24,8分)如图,在ABC中,AC=BC,D是AB上一点,O经过点A、C、D,交BC于点E,过 点D作DFBC,交O于点F. 求证:(1)四边形DBCF是平行四边形; (2)AF=EF. 证明证明 (1)AC=BC,BAC=B, DFBC,ADF=B, 又BAC=CFD,ADF=CFD, BDCF,又DFBC, 四边形DBCF是平行四边形. (2)如图,连接AE. ADF=B,ADF=AEF, AEF=B. 四边形AECF是O的内接四边形, ECF+EAF=180, BDCF,ECF+B=180, EAF=B,AEF=EAF. AF=EF. 解题关键解题关键 本题是一道平行四边形
25、与圆相结合的综合题,考查了平行四边形的判定与性质、圆内接四 边形的性质.熟练运用同弧所对的圆周角相等、等腰三角形的判定是解决问题的关键. 11.(2020广东广州,24,14分)如图,O为等边ABC的外接圆,半径为2,点D在劣弧上运动(不与点A,B 重合),连接DA,DB,DC. (1)求证:DC是ADB的平分线; (2)四边形ADBC的面积S是线段DC的长x的函数吗?如果是,求出函数解析式;如果不是,请说明理由; (3)若点M,N分别在线段CA,CB上运动(不含端点),经过探究发现,点D运动到每一个确定的位置,DMN的 周长有最小值t,随着点D的运动,t的值会发生变化,求所有t值中的最大值.
26、 AB 解析解析 (1)证明:ABC为等边三角形,AC=BC, =,ADC=BDC,DC是ADB的平分线. (2)是.解法一:将CBD绕C点顺时针旋转60得CAE,则CBDCAE. DAC+DBC=180,DBC=EAC, EAC+DAC=180,即E,A,D三点共线. CE=CD,ADC=ABC=60, EDC为等边三角形. S四边形ADBC=SEDC=CD2,S=x2. O的半径为2,BC=2. 2x4. AC BC 3 4 3 4 3 3 解法二:在CD上取一点E,使得CE=BD,连接AE. 由BD=CE,ABD=ACE,AB=AC, 得ABDACE,AD=AE. 又ADC=ABC=60
27、,ADE为等边三角形. AD=DE,CD=CE+DE=BD+AD. 作AFCD于F,BGCD于G. 设AD=a,则BD=x-a, AF=AD sin 60=a,BG=BD sin 60=(x-a),S=SACD+SBCD=CD (AF+BG)=xa+x-a 3 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 2 3 2 =x2(2x4). (3)作D点关于BC的对称点P,关于AC的对称点Q, 则DN=PN,DM=QM, DMN的周长=DN+MN+DM=PN+MN+QM, 当P,N,M,Q四点共线时,周长取得最小值. PCN=DCN,DCM=QCM, PCQ=2ACB=120. 又CP=CD=CQ,PQ
28、=PC=CD. 3 4 3 33 即t=CD,当CD为直径时,t最大. 所有t值中的最大值为4. 3 3 12.(2018安徽,20,10分)如图,O为锐角ABC的外接圆,半径为5. (1)用尺规作图作出BAC的平分线,并标出它与劣弧的交点E(保留作图痕迹,不写作法); (2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3,求弦CE的长. BC 解析解析 (1)尺规作图如图所示.(4分) (2)连接OE交BC于M,连接OC. 因为BAE=CAE,所以=, 易得OEBC,所以EM=3. RtOMC中,OM=OE-EM=5-3=2,OC=5, 所以MC2=OC2-OM2=25-4=21. RtEMC中,CE2
29、=EM2+MC2=9+21=30, 所以弦CE的长为.(10分) BE EC 30 思路分析思路分析 对于(2),连接OE交BC于点M,再连接OC,由BAE=CAE可得=,可推出OEBC,最后 利用勾股定理求出CE. BE EC 13.(2017安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,B=D,AD于BC,过点C作CEAD交 ABC的外接圆O于点E,连接AE. (1)求证:四边形AECD为平行四边形; (2)连接CO,求证:CO平分BCE. 证明证明 (1)B=D,B=E,D=E. CEAD,E+DAE=180. D+DAE=180.AEDC. 四边形AECD是平行四边形.(5
30、分) (2)过点O作OMEC,ONBC,垂足分别为M、N. 不平行 四边形AECD是平行四边形,AD=EC. 又AD=BC,EC=BC, OM=ON,CO平分BCE.(10分) 思路分析思路分析 (1)根据“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等”可推出E=B,再由D=B,CE AD可推出AEDC,问题得证;(2)作OMCE,ONBC,垂足分别为M、N,由已知及(1)得出EC=BC,再根据 “同一个圆内等弦对应的弦心距相等”可得OM=ON,从而由角平分线的判定定理可得结论. 解题关键解题关键 抓住“在同一个圆中同一段弧所对的圆周角相等及同圆内等弦对应的弦心距相等”是解决 本题的关键. 14.(2
31、019福建,24,12分)如图,四边形ABCD内接于O,AB=AC,ACBD,垂足为E,点F在BD的延长线上,且 DF=DC,连接AF,CF. (1)求证:BAC=2CAD; (2)若AF=10,BC=4,求tanBAD的值. 5 解析解析 (1)证明:ACBD,AED=90, 在RtAED中,ADE=90-CAD. AB=AC,=, ACB=ABC=ADE=90-CAD. 在ABC中,BAC+ABC+ACB=180, BAC=180-(ABC+ACB)=180-2(90-CAD), 即BAC=2CAD. (2)DF=DC,FCD=CFD. BDC=FCD+CFD,BDC=2CFD. BDC=
32、BAC,且由(1)知BAC=2CAD, CFD=CAD, CAD=CBD,CFD=CBD,CF=CB. ACBF,BE=EF,故CA垂直平分BF, AC=AB=AF=10. AB AC 设AE=x,则CE=10-x. 在RtABE和RtBCE中,AB2-AE2=BE2=BC2-CE2, 又BC=4,102-x2=(4)2-(10-x)2, 解得x=6. AE=6,CE=4,BE=8. DAE=CBE,ADE=BCE, ADEBCE, =, DE=3,AD=3. 过点D作DHAB,垂足为H. 55 22 -AB AE AE BE DE CE AD BC 5 SABD=AB DH=BD AE,BD
33、=BE+DE=11, 10DH=116,故DH=. 在RtADH中,AH=, tanBAD=. 1 2 1 2 33 5 22 -AD DH 6 5 DH AH 11 2 15.(2019云南,23,12分)如图,AB是C的直径,M、D两点在AB的延长线上,E是C上的点,且DE2=DB DA. 延长AE至F,使AE=EF,设BF=10,cosBED=. (1)求证:DEBDAE; (2)求DA,DE的长; (3)若点F在B、E、M三点确定的圆上,求MD的长. 4 5 解析解析 (1)证明:DE2=DB DA, =.(1分) 又BDE=EDA, DEBDAE.(3分) (2)AB是C的直径,E是
34、C上的点, AEB=90,即BEAF. 又AE=EF,BF=10, AB=BF=10. DEBDAE, EAD=BED,cosBED=, cosEAD=cosBED=. 在RtABE中,由AB=10,cosEAD=, DE DA DB DE 4 5 4 5 4 5 得AE=ABcosEAD=8, BE=6.(5分) DEBDAE, =. DB=DA-AB=DA-10, 解得 经检验,是的解. 22 -AB AE DE DA DB DE EB AE 6 8 3 4 3 , 4 -103 , 4 DE DA DA DE 160 , 7 120 . 7 DA DE 160 , 7 120 7 DA
35、DE 3 , 4 -103 4 DE DA DA DE (8分) (3)连接FM. BEAF,即BEF=90, BF是B、E、F三点确定的圆的直径. 点F在B、E、M三点确定的圆上,即F、E、B、M四点在同一个圆上, 点M在以BF为直径的圆上. FMAB.(10分) 在RtAMF中,由cosFAM=, 得AM=AFcosFAM=2AEcosEAB=28=.(11分) MD=DA-AM=-=. 160 , 7 120 . 7 DA DE AM AF 4 5 64 5 160 7 64 5 352 35 MD=.(12分) 352 35 思路分析思路分析 (1)将DE2=DB DA转化为比例式=,
36、又由BDE=EDA,即可证明DEBDAE. (2)由直径所对的圆周角为90得出BEAF,由AE=EF,BF=10得出AB=BF=10,由DEBDAE得出 BED=EAD,所以cosBED=cosEAD=,即可求出AE,BE的长度,再利用=,即可求出DA, DE的长. (3)连接FM,易得BEF=90,可得点F,E,B,M四点共圆,则点M在以BF为直径的圆上,FMAB,在Rt AMF中,利用锐角三角函数值求出AM的值,则MD=AD-AM. DE DA DB DE 4 5 BE AE DE DA BD DE 1.(2020山西,18,7分)如图,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径
37、的O与AB相切于点B,与 AO相交于点D,AO的延长线交O于点E,连接EB交OC于点F.求C和E的度数. 考点二 与圆有关的位置关系 解析解析 连接OB.(1分) AB与O相切于点B,OBAB.OBA=90.(2分) 四边形OABC是平行四边形,ABOC. BOC=OBA=90.(3分) OB=OC,C=OBC=(180-BOC)=(180-90)=45.(4分) 四边形OABC是平行四边形,A=C=45.(5分) AOB=180-A-OBA=180-45-90=45.(6分) E=DOB=AOB=45=22.5.(7分) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 连接OB,由
38、切线的性质可得OBAB,再由四边形OABC是平行四边形可得BOC=OBA=9 0,然后根据OB=OC可求C,根据圆周角定理可求E. 2.(2020安徽,20,10分)如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于 点F,BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E. (1)求证:CBADAB; (2)若BE=BF,求证:AC平分DAB. 证明证明 (1)因为AB为半圆O的直径,所以ACB=BDA=90. 在RtCBA与RtDAB中,因为BC=AD,BA=AB, 所以CBADAB.(5分) (2)证法一:因为BE=BF,又由(1)知BCEF, 所
39、以BC平分EBF. 因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB. 于是,DAC=DBC=CBE=90-E=CAB, 故AC平分DAB.(10分) 证法二:因为BE=BF,所以E=BFE. 因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BEAB. 于是,CAB=90-E=90-BFE=90-AFD=CAD. 故AC平分DAB.(10分) 思路分析思路分析 (1)根据直径所对的圆周角是直角并依据HL证明两个直角三角形全等;(2)两个思路:根据 直径所对的圆周角是直角得BCEF,由BE是切线可得BEAB,再由同弧所对的圆周角相等可得DAC =DBC,利用BE=BF及互余性质可证DAC=CAB,问题解
40、决;先根据BE=BF得E=BFE,根据BE 是切线可得BEAB,再利用互余性质可证CAB=CAD,问题解决. 3.(2020云南,20,8分)如图,AB为O的直径,C为O上一点,ADCE,垂足为D,AC平分DAB. (1)求证:CE是O的切线; (2)若AD=4,cosCAB=,求AB的长. 4 5 解析解析 (1)证明:连接OC.(1分) AC平分DAB, DAC=CAB. OA、OC是O的半径, OA=OC, OAC=OCA, DAC=OCA, ADCO.(2分) ADC=OCE. ADCD,ADC=90, OCE=90.(3分) OCCE, OC是O的半径, CE是O的切线.(4分) (
41、2)连接BC.(5分) DAC=CAB,cosCAB=,cosDAC=.(6分) 在RtADC中,ADC=90,AD=4, AC=5.(7分) AB为O的直径,ACB=90. 4 5 4 5 cos AD DAC 4 4 5 AB=.(8分) cos AC CAB 5 4 5 25 4 思路分析思路分析 (1)连接OC,根据题中条件判定OCDE即可;(2)连接BC,构造RtABC,根据cosCAB=cos CAD=,解直角三角形CAD和直角三角形CAB,可得结果. 4 5 4.(2020北京,23,6分)如图,AB为O的直径,C为BA延长线上一点,CD是O的切线,D为切点,OFAD于 点E,交
42、CD于点F. (1)求证:ADC=AOF; (2)若sin C=,BD=8,求EF的长. 1 3 解析解析 (1)证明:连接OD,如图. CD是O的切线, ODC=90, ADC+ADO=90. OFAD于点E, AEO=90,AE=DE, OAD+AOF=90. OA=OD, OAD=ODA, ADC=AOF.(3分) (2)在RtCDO中,sin C=. 设OD=x, 则OC=3x,BC=4x. AB为O的直径, ADB=90, AEO=ADB, OFBD, COFCBD, =. OD OC 1 3 OF BD OC BC BD=8, OF=8=6. AE=DE,AO=BO, OE=BD=
43、4, EF=OF-OE=2.(6分) 3 4 x x 1 2 思路分析思路分析 (1)根据CD是O的切线,推出ADC+ODA=90,根据OFAD,推出AOF+OAD=90, 然后根据OD=OA,可得ODA=OAD,即可得证; (2)需要借助正弦值得到线段的比,进而借助相似三角形的性质求出OF的长,再根据中位线的性质求出 OE的长,即可解决. 解题关键解题关键 解决本题第(2)问的关键是通过三角函数值得到线段的比,借助平行得到COFCBD,由 相似三角形对应边的比相等得到OF的长. 5.(2020陕西,23,8分)如图,ABC是O的内接三角形,BAC=75,ABC=45.连接AO并延长,交O于
44、点D,连接BD.过点C作O的切线,与BA的延长线相交于点E. (1)求证:ADEC; (2)若AB=12,求线段EC的长. 解析解析 (1)证明:如图,连接OC. CE与O相切于点C,OCE=90.(1分) 又ABC=45,AOC=90. ADEC.(3分) (2)如图,过点A作AFEC,垂足为F. OA=OC,四边形AOCF为正方形. ABC=45,BAC=75, ACB=60.D=60. AD是直径, ABD=90,BAD=30. 在RtABD中,AD=8.(6分) AF=CF=OA=4. ADEC,E=BAD=30. 在RtAEF中,EF=12. EC=EF+FC=12+4.(8分) 3
45、 3 3 6.(2019河北,25,10分)如图1和图2,ABCD中,AB=3,BC=15,tanDAB=.点P为AB延长线上一点,过点A 作O切CP于点P,设BP=x. (1)如图1,x为何值时,圆心O落在AP上?若此时O交AD于点E,直接指出PE与BC的位置关系; (2)当x=4时,如图2,O与AC交于点Q,求CAP的度数,并通过计算比较弦AP与劣弧长度的大小; (3)当O与线段AD只有一个公共点时,直接写出x的取值范围. 图1 4 3 PQ 图2 解析解析 (1)O切CP于点P,OPPC,即CPB=90. 由四边形ABCD是平行四边形得ADBC, tanCBP=tanDAB=, 设PC=
46、4k,BP=3k,则BC=5k, 5k=15,即k=3.PC=12,BP=9.x=9.(2分) PE与BC垂直.(3分) (2)如图,连接OP,OQ,作CKAB于点K,OHAP于点H, 同(1)得CK=12,BK=9. AK=AB+BK=12,CK=AK.CAP=ACK=45.(4分) 4 3 22 PCBP BP=4,AP=7,HP=AP=. 又PK=BK-BP=5,PC=13. HOP=90-OPH=CPK, RtHOPRtKPC. =,即=, OP=.(6分) POQ=2PAQ=90,l=.(8分) l.(9分) (3)x18.(10分) 详解:由(1)和(2)可知,满足(3)的点O在A
47、P下方.如图, 1 2 7 2 OP PC PH CK13 OP 7 2 12 91 24 PQ 91 48 91 48 PQ 当O与AD切于点A时,两者只有一个公共点A,则OAD=OPC=90.由OA=OP得OAP=OPA, DAP=CBP=CPA, BC=PC.作CKAP于K,则BK=PK. 由(1)知,BP=2BK=18,即x=18. 当x18时,趋势上点O越来越向右下,与线段AD只有一个公共点A,符合题意.x的取值范围是x18. 7.(2019天津,21,10分)已知PA,PB分别与O相切于点A,B,APB=80,C为O上一点. (1)如图,求ACB的大小; (2)如图,AE为O的直径,AE与BC相交于点D,若AB=AD,求EAC的大小. 解析解析 (1)如图,连接OA,OB, PA,PB是O的切线, OAPA,OBPB,即OAP=OBP=90, APB=80, 在四边形OAPB中,AOB=360-OAP-OBP-APB=100, 在O中,ACB=AOB, ACB=50. (2)如图,连接CE, 1 2 AE为O的直径,ACE=90, 由(1)知,ACB=50, BCE=ACE-ACB=40, BAE=BCE=40, 在ABD中,AB=AD, ADB=ABD=
