1、 中考数学 （河南专用） 第四章 图形的认识 4.2 三角形及其全等 1.(2020吉林,5,2分)将一副三角尺按如图所示的方式摆放,则的大小为( ) A.85 B.75 C.65 D.60 考点一 三角形的有关概念 答案答案 B 如图,是ABC的外角,所以=ABC+A=45+30=75,故选B. 2.(2018福建,3,4分)下列各组数中,能作为一个三角形三边边长的是( ) A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5 答案答案 C 三角形的三边边长要满足“任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”,选项A、 B、D均不符合,故选C. 3.(2017吉林,5,2分)如
2、图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD.若B=40 ,C=36,则DAC的度数是( ) A.70 B.44 C.34 D.24 答案答案 C 由作图知BA=BD,BAD=BDA=(180-40)=70,BDA=C+DAC,DAC= BDA-C=34,故选C. 1 2 4.(2020北京,15,2分)如图所示的网格是正方形网格,A,B,C,D是网格线交点,则ABC的面积与ABD的 面积的大小关系为:SABC SABD(填“”“=”或“”). 答案答案 = 解析解析 根据题中图形可以求得ABC的面积为4,ABD的面积由割补法可求,为4,所以两个三角形的面 积相等.
3、 一题多解一题多解 连接CD,可知CDAB,即点C,D到直线AB的距离相等,两个三角形同底等高,故面积相等. 5.(2019四川成都,25,4分)如图,在平面直角坐标系xOy中,我们把横、纵坐标都是整数的点称为“整点”. 已知点A的坐标为(5,0),点B在x轴的上方,OAB的面积为,则OAB内部(不含边界)的整点的个数为 . 15 2 答案答案 4或5或6 解析解析 A(5,0),SOAB=,点B在x轴的上方,点B的纵坐标为3.设边OB,AB分别与直线y=1交于点E,F,与 直线y=2交于点C,D,则BC=CE=EO,CDEFOA,CD=OA=,EF=OA=,线段CD可以覆盖1个 或2个整点,
4、线段EF可覆盖3个或4个整点,OAB内部(不含边界)的整点的个数为4或5或6. 15 2 1 3 5 3 2 3 10 3 6.(2018湖北黄冈,12,3分)一个三角形的两边长分别为3和6,第三边长是方程x2-10 x+21=0的根,则三角形 的周长为 . 答案答案 16 解析解析 x2-10 x+21=(x-3)(x-7)=0, x1=3,x2=7, 3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长, 三角形的第三边长为7, 三角形的周长为3+6+7=16. 1.(2020北京,14,2分)如图,在ABC中,AB=AC,点D在BC上(不与点B,C重合).只需添加一个条件即可证明 ABDACD,这个
5、条件可以是 (写出一个即可). 考点二 三角形全等 答案答案 答案不唯一,如:D是BC的中点 解析解析 根据题意可知AB=AC,B=C,若根据“边角边”判定ABDACD,可以添加BD=CD(D是 BC的中点);若根据“角边角”判定ABDACD,可以添加BAD=CAD(AD平分BAC);若根据 “角角边”判定ABDACD,可以添加BDA=CDA(ADBC或ADC=90),答案答案不唯一. 2.(2020江西,11,3分)如图,CA平分DCB,CB=CD,DA的延长线交BC于点E,若EAC=49,则BAE的度 数为 . 答案答案 82 解析解析 EAC=49,DAC=180-EAC=131.CA平
6、分DCB,DCA=BCA,又CB=CD,CA= CA,DCABCA,DAC=BAC=131,BAE=131-EAC=82. 3.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下列结论: ACBD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是 . 答案答案 解析解析 ABOADO, BAO=DAO,AOB=AOD,AB=AD. AOB+AOD=180, AOB=90,ACBD,正确. AB=AD,BAC=DAC,AC=AC, ABCADC,正确. ABCADC,CB=CD,正确. 由条件得不到DA=DC,不正确. 4.(2019
7、辽宁大连,19,9分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:AF=DE. 证明 BE=CF, BE+EF=CF+EF,BF=CE. 在ABF和DCE中, ABFDCE(SAS),AF=DE. , , , ABDC BC BFCE 证明证明 1=2, 1+DAC=2+DAC, 即BAC=DAE.(1分) 在ABC和ADE中,(3分) ABCADE(ASA),(5分) BC=DE.(6分) , , , BACDAE ABAD BD 5.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE. 6.(2018陕西,18,5分)如
8、图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与EC、BF相交 于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH. 证明证明 ABCD,A=D. ECBF, BHA=CGD.(2分) AB=CD, ABHDCG, AH=DG, AG=DH.(5分) 归纳总结归纳总结 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据已知条件恰当选择判定定 理.当已知两边相等时,可考虑证它们的夹角相等或第三边相等.当已知两角相等时可考虑证夹边相 等或一角的对边相等.当已知角及邻边相等时可选用SAS、ASA或AAS. 思路分析思路分析 首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CG
9、D,进而判定ABHDCG,最后根据 全等三角形的性质及等量减等量差相等得出结果. 7.(2016河南,22,10分) (1)发现 如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b. 填空:当点A位于 时,线段AC的长取得最大值,且最大值为 (用含a,b的式子表示). 图1 (2)应用 点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1.如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形 ACE,连接CD,BE. 请找出图中与BE相等的线段,并说明理由; 直接写出线段BE长的最大值. 图2 (3)拓展 如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(5,0),点P为
10、线段AB外一动点,且PA=2,PM= PB,BPM=90.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 解析解析 (1)CB延长线上;a+b.(2分) (2)DC=BE.理由如下: ABD和ACE为等边三角形, AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60. BAD+BAC=CAE+BAC,即CAD=EAB.(5分) CADEAB.DC=BE.(6分) BE长的最大值是4.(8分) 提示:由(1)得点D在CB的延长线上时,CD最大,最大值为DB+BC=AB+BC=4, CADEAB,DC=BE. BE长的最大值为4. (3)AM的最大值为3+2,点P的坐标为(2-,).(10分) 【提示】如
11、图a,构造BNPMAP,则NB=AM.由(1)知,当点N在BA的延长线上时,NB取得最大值(如 图b).易得AN=2,AM=NB=3+2.过点P作PEx轴于E,PE=AE=,P(2-,). 222 22222 思路分析思路分析 (1)当AC为线段AB与BC的和时,线段AC的长取得最大值. (2)依据条件判定CADEAB,得出DC=BE.当CD的长度等于BD+BC时,线段BE的长取得最大值. (3)类比第(2)问的图形,构造出全等三角形,结合等腰直角三角形的有关性质求解. 评析评析 本题属类比探究题,主要考查三角形的全等,等边三角形的性质. 1.(2020广东,6,3分)已知ABC的周长为16,
12、点D,E,F分别为ABC三条边的中点,则DEF的周长为( ) A.8 B.2 C.16 D.4 2 考点一 三角形的有关概念 教师专用题组 答案答案 A 如图,D,E,F分别为ABC三条边的中点, DF=BC,DE=AC,EF=AB. ABC的周长=BC+AC+AB=16, DEF的周长=DF+DE+EF=(BC+AC+AB)=16=8,故选A. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2.(2020福建,3,4分)如图,面积为1的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则DEF的面积是 ( ) A.1 B. C. D. 1 2 1 3 1 4 答案答案 D 由中位线的定义
13、及性质可得DF=BC,DFBC,所以DF=BE,EDF=DEB.又DE=DE,所以 DEFEDB;同理,可证DEFCFE,DEFFAD.所以四个三角形互相全等.所以SDEF=S ABC= .故选D. 1 2 1 4 1 4 3.(2019河北,10,3分)根据圆规作图的痕迹,可用直尺成功找到三角形外心的是( ) 答案答案 C 由作图痕迹可以判断选项A作了一个角的平分线和一边的垂直平分线,选项B作了两个角的 角平分线,选项C作了两条边的垂直平分线,选项D作了一边的高线和一边的垂直平分线,而三角形的外 心是三边垂直平分线的交点,所以在选项C中可以用直尺成功找到三角形的外心,故选C. 4.(2016
14、湖南长沙,7,3分)若一个三角形的两边长分别为3和7,则第三边长可能是( ) A.6 B.3 C.2 D.11 答案答案 A 设第三边长为x,根据三角形的三边关系,可得7-3x7+3,即4x10,故选A. 5.(2016江苏南京,4,2分)下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是( ) A.3,4,4 B.3,4,5 C.3,4,6 D.3,4,7 答案答案 C 由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形,D不能构成三角形. 设一个三角形的三边长分别为a,b,c,且abc2,则三角形为 锐角三角形;若a2+b2c2,则三角形为钝角三角形.32+42AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE
15、AC,并截取DE=AB, 且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:DEBABC. 证明证明 DEAC, EDB=BAC.(2分) 又BD=CA,DE=AB,(4分) DEBABC.(5分) 4.(2019山西,17,7分)已知:如图,点B,D在线段AE上,AD=BE,ACEF,C=F.求证:BC=DF. 证明证明 AD=BE,AD-BD=BE-BD. AB=DE.(2分) ACEF,A=E.(4分) 在ABC和EDF中, (5分) ABCEDF.(6分) BC=DF.(7分) , , , CF AE ABED 证明证明 BE=CF,BF=CE. 在ABF和DCE中, ABFDCE.AFB=DEC
16、,GE=GF. , , , ABDC BC BFCE 5.5.(2018湖北武汉,18,8分)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF与DE交于点G,求证:G E=GF. 6.(2017福建,19,8分)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.求作ABC的平分线,分别交AD,AC于 P,Q两点,并证明AP=AQ.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) 解析解析 如图,BQ是所求作的ABC的平分线,P,Q是所求作的点. 证明如下: ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90. BAC=90,AQP+ABQ=90. ABQ=PBD,BPD=AQP. BPD=AP
17、Q,APQ=AQP,AP=AQ. 7.(2017湖北武汉,18,8分)如图,点C,F,E,B在一条直线上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE.写出CD与AB之 间的关系,并证明你的结论. 解析解析 CD与AB之间的关系为CD=AB,且CDAB. 证明:CE=BF,CF=BE. 在CDF和BAE中, CDFBAE, CD=BA,C=B, CDBA. , , , CFBE CFDBEA DFAE 思路分析思路分析 先证明CDFBAE,再利用全等三角形的性质得到CD与AB之间的关系. 易错警示易错警示 CD与AB之间的位置关系是平行,数量关系是相等,本题容易出现的错误是只得到CD与AB之 间的一
18、种关系. 8.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE、 BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 图1 图2 解析解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE. 详解:AC=DC, AC
19、=CD=EC=CB, 又ACB=DCE=90, ACBDCE(SAS). 由(1)知ACEBCD, AEC=BDC,EAC=DBC, DOM=AON=90, AEC=CAE=CBD, EMCBNC(ASA). CM=CN,DM=AN, 又CAE=AEC=CDB, AONDOM(AAS).AO=DO, DE=AB, RtAOBRtDOE(HL). 9.(2019河北,23,9分)如图,ABC和ADE中,AB=AD=6,BC=DE,B=D=30.边AD与边BC交于点P(不 与点B,C重合),点B,E在AD异侧.I为APC的内心. (1)求证:BAD=CAE; (2)设AP=x,请用含x的式子表示P
20、D,并求PD的最大值; (3)当ABAC时,AIC的取值范围为mAICn,分别直接写出m,n的值. 解析解析 (1)证明:AB=AD,B=D,BC=DE, ABCADE.(3分) BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC. BAD=CAE.(4分) (2)PD=6-x.(5分) 如图,当ADBC时,x最小,PD最大. B=30,AB=6,x=AB=6=3. PD的最大值为3.(7分) (3)m=105,n=150.(9分) 提示:根据I为APC的内心可得IAC=PAC,ACI=ACP,所以AIC=180-PAC-ACP= 90+APC,所以AIC的大小取决于APC的大小.假设点P与点B重
21、合,此时AIC=90+B=105, 随着点P接近点C,APC的最大值接近于120,假设APC=120,此时AIC=90+120=150,即105 AIC150,所以m=105,n=150. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 思路分析思路分析 (1)根据SAS可证明ABCADE,得出BAC=DAE,进而可得BAD=CAE;(2)易得 PD=6-x,根据x的取值判断当AP最短(ADBC)时,PD取得最大值;(3)根据I为APC的内心易知AIC=90 +APC,可得AIC的大小取决于APC的大小.根据30APC120进而确定105AIC150,所 以m=105,
22、n=150. 1 2 10.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一点,连接 MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN; (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围. 解析解析 (1)证明:P为AB中点,PA=PB. 又A=B,MPA=NPB, APMBPN. (2)由(1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN, =B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角,
23、又B=50, 40BPN90,即4090. 思路分析思路分析 (1)根据ASA可证明:APMBPN; (2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的取值范围. 1.(2020信阳二模,8)如图,已知在RtABC中,B=90,以点A为圆心,适当长为半径作弧,分别交AB、AC 于点D、E,再分别以点D、E为圆心,大于DE长为半径作弧,两弧交于点F,作射线AF交BC于点G,若BG= 1,AC=4,则ACG的面积是( ) A.1 B.2 C. D. 1 2 3 2 5 2
24、 A组 20182020年模拟基础题组 时间:25分钟 分值:37分 一、选择题(每小题3分,共9分) 答案答案 B 由题意知AF平分BAC,作GHAC于H,B=90,GH=BG=1,SACG=GH AC=2,故选B. 1 2 2.(2020河南联考,9)如图,在ABC中,以点A为圆心,AC的长为半径作弧,与BC交于点E,分别以点E,C为圆 心,大于EC的长为半径作弧,两弧相交于点P,作射线AP交BC于点D,若B=45,C=2CAD,则BAC 的度数为( ) A.80 B.75 C.65 D.30 1 2 答案答案 B 由作图知APEC, ADC=90, C=2CAD,C+CAD=90, C=
25、60, BAC=180-B-C=180-45-60=75. 故选B. 3.(2018信阳二模,8)如图,E、B、F、C四点在一条直线上,且EB=CF,A=D,增加下列条件中的一个仍 不能证明ABCDEF的是( ) A.DFAC B.AB=DE C.E=ABC D.ABDE 答案答案 B EB=CF,EB+BF=BF+CF,即EF=CB.当DFAC时,DFE=C,由AAS可证明全等,当AB= DE时,由SSA不能证明全等;当E=ABC时,由AAS可证明全等;当ABDE时,E=ABC,由AAS可证 明全等.故选B. 二、填空题(每小题3分,共6分) 4.(2020信阳一模,13)一个等腰三角形边长
26、的数值是方程x2-6x+8=0的根,那么这个等腰三角形的周长为 . 答案答案 10 解析解析 解方程x2-6x+8=0, 得x1=2,x2=4, 则等腰三角形的三边长为2,4,4. 其周长为10. 5.(2018安阳一模,12)如图,ABC中,B=35,BCA=75,请依据尺规作图的作图痕迹,计算= . 答案答案 75 解析解析 B=35,BCA=75, BAC=70. 由作图痕迹可知,AD是BAC的平分线, CAD=BAC=35. 由作图痕迹可知,EF是线段BC的垂直平分线, BF=CF,BCF=B=35, ACF=ACB-BCF=40, =35+40=75. 1 2 思路分析思路分析 根据
27、三角形内角和定理得出BAC=70,由角平分线的定义求出CAD的度数,再由EF是线 段BC的垂直平分线得出B=BCF,最后得出的度数. 三、解答题(共22分) 6.(2020中原名校三模,22(1)(2)问题呈现:已知等边三角形ABC边BC的中点为点D,EDF=120,EDF 的两边分别交直线AB,AC于点E,F,现要探究线段BE,CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系. (1)特例研究:如图1,当点E,F分别在线段AB,AC上,且DEAB,DFAC时,请直接写出线段BE,CF与BC的 数量关系: ; (2)问题解决:如图2,当点E落在射线BM上,点F落在线段AC上时,(1)中的结论是否
28、成立?若不成立,请通过 证明探究出线段BE,CF与等边三角形ABC的边长BC之间的数量关系. 解析解析 (1)BE+CF=BC.(3分) (2)不成立. 理由如下:如图,分别过点D作DGAB于点G,DHAC于点H, 易证得BDGCDH, 则BG=CH,DG=DH. A=60,DGA=DHA=90, GDH=120, EDF=120,FDH=EDG, 则DGEDHF,EG=FH, 1 2 CF-FH=CF-EG=CF-(BE+BG)=CF-BE-BG=CH, 即CF-BE=2CH, 在RtDCH中,CD=2CH, CF-BE=CD,即CF-BE=BC.(8分) 1 2 思路分析思路分析 (1)根
29、据等边三角形的性质和直角三角形的性质可得出线段BE、CF和BC之间的关系;(2)过 点D作AB、AC的垂线,结合题中的条件构造全等三角形,依据全等的性质找出相等线段,判断三条线段 的数量关系. 7.(2019鹤壁一模,17(1)如图,已知点E为正方形ABCD的边AD上一点,连接BE,过点C作CNBE,垂足为M, 交AB于点N.求证:ABEBCN. 证明证明 在正方形ABCD中, A=ABC=90,AB=BC, 1+2=90, CNBE,BMC=90, 2+3=90, 1=3, ABEBCN(ASA). 8.(2019安阳二模,22(1)(2)(1)问题发现:如图1,在四边形ABCD中,ABDC
30、,E是BC的中点,若AE是BAD 的平分线,则AB,AD,DC之间的数量关系为 ; (2)问题探究:如图2,在四边形ABCD中,ABDC,E是BC的中点,点F是DC的延长线上一点,若AE是BAF 的平分线,试探究AB,AF,CF之间的数量关系,并证明你的结论. 解析解析 (1)AB+DC=AD. 详解:延长DC交AE于点M, E为BC的中点, BE=CE, DCAB, BAE=CME, 又CEM=AEB, ABEMCE. CM=AB, AE平分BAD, BAE=DAE, DAE=CME, AD=DM=DC+CM=DC+AB. (2)AB=CF+AF. 证明:延长AE交DC的延长线于点G. AB
31、CD,EAB=G,B=BCG. 又E是BC的中点, BE=CE, ABEGCE,AB=CG, AE是BAF的平分线, EAB=FAE, G=FAE,AF=FG, CG=CF+FG=CF+AF,AB=CF+AF. 1.(2020驻马店二模,7)如图,在ABC中,BAC=80,以点B为圆心,以任意长度为半径画弧交BA,BC于点 D,E,分别以点D,E为圆心,以大于DE的长度为半径画弧,两弧交于点P,作射线BP;以点C为圆心,以任意 长度为半径画弧交AC,BC于点M,N,分别以点M,N为圆心,以大于MN的长度为半径画弧,两弧交于点Q, 作射线CQ.若BP与CQ相交于点O,则BOC的度数是 ( ) A
32、.100 B.110 C.120 D.130 1 2 1 2 B组 20182020年模拟提升题组 时间:50分钟 分值:56分 一、选择题(每小题3分,共6分) 答案答案 D 由作图知BP,CQ分别平分ABC,ACB, 则OBC=ABC,OCB=ACB, OBC+OCB=(ABC+ACB), 180-BOC=(180-A), BOC=90+A=130, 故选D. 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2.(2018商丘一模,5)如图,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,ABOC,DC与OB交于 点E,则DEO的度数为( ) A.85 B.70 C.75 D.60 答案答案 C
33、由题意得,B=30,C=45,因为ABOC,所以BOC=B=30.所以DEO=EOC +C= 30+45=75.故选C. 二、填空题(每小题3分,共6分) 3.(2020信阳二模,13)如图,在ABC中,BAC=90,B=36,AD是BC边上的中线,将ACD沿AD折叠,使 点C落在点F处,DF交AB于点E,则DEB= . 答案答案 108 解析解析 在RtABC中,BAC=90,C=90-B=54.D是BC的中点,DA=DC,DAC=C=54, ADC=ADF=72,EDB=180-272=36,DEB=180-B-EDB=180-36-36=108. 4.(2019郑州一模,14)如图,已知
34、ABCDCEGEF,三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上,连 接BG,分别交AC、DC、DE于点P、Q、K,其中SPQC=3,则图中三个阴影部分的面积和为 . 答案答案 39 解析解析 ABCDCEGEF,ACB=DEC=GFE,BC=CE=EF.ACDEGF. =,=,KE=2PC,GF=3PC.又DK=DE-KE=3PC-2PC=PC,易证DQKCQP.设 DQK的边DK的长为x,DK边上的高为h,则xh=3,整理得xh=6,SBPC=x 2h=xh=6. S四边形CEKQ=3x 2h-3=3xh-3=36-3=18-3=15,SEFG=3x 2h=3xh=18. 三个阴影部分的面积和
35、为6+15+18=39. PC KE 1 2 PC GF BC BF 1 3 1 2 1 2 1 2 1 2 三、解答题(共44分) 5.(2020驻马店一模,22(1)(2)在ABC中,ACB=90,AC=BC,点D是直线AB上的一动点(不与点A,B重 合),连接CD,在CD的右侧以CD为斜边作等腰直角三角形CDE.点H是BD的中点,连接EH. 问题发现 (1)如图,当点D是AB的中点时,线段EH与AD的数量关系是 ,EH与AD的位置关系是 ; 猜想论证 (2)如图,当点D在边AB上且不是AB的中点时,(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请仅就图中的情况 给出证明,若不成立,请说明理由. 解
36、析解析 (1)EH=AD;EHAD.(2分) (2)仍然成立.(3分) 如图,延长DE到F,使得EF=DE,连接CF、BF,则CE垂直平分线段DF, CF=CD, CFE=CDE=45, DCF=ACB=90, ACD=BCF. 在ACD和BCF中,AC=BC,ACD=BCF,CD=CF, ACDBCF,(6分) 1 2 AD=BF,CBF=CAD=45, ABF=CBF+ABC=90, FBAB, 点E、H分别是DF和BD的中点, EH是BFD的中位线, EHFB,且EH=BF=AD, EH=AD,EHAD.(8分) 1 2 1 2 1 2 6.(2020洛阳一模,22)已知AC=AB,AD
37、=AE,CAB=DAE=(090). (1)观察猜想 如图1,当=90时,请直接写出线段CD与BE的数量关系: ,位置关系: ; (2)类比探究 如图2,已知=60,F,G,H,M分别是CE,CB,BD,DE的中点,写出GM与FH的数量关系和位置关系,并说明理 由; (3)解决问题 如图,已知AB=2,AD=3,F,G,H,M分别是CE,CB,BD,DE的中点,将ABC绕点A旋转,直接写出四边形FGHM 的面积S的范围(用含的三角函数式表示). 解析解析 (1)CD=BE;CDBE.(2分) (2)GM=FH,GMFH.理由如下: 连接CD,BE,CD与BE交于O, CAB=DAE=60, C
38、AD=BAD+60=BAE, AC=AB,AD=AE, CADBAE,(4分) CD=BE,ACD=ABE, BOC=BAC=60.(5分) 3 连接GF,FM,MH,HG, F,G,H,M分别是CE,CB,BD,DE的中点, GFBE,HMBE,FMCD,GHCD,GF=HM=BE,FM=GH=CD, FGH=60,GF=FM=MH=HG, 四边形FGHM是菱形,FHGM,(7分) tan 60=, GM=FH.(8分) (3)sin Ssin .(10分) 提示由(2)得FGH=,四边形FGHM是菱形. 如图1,当点B在边AE上,点C在边AD上时,菱形FGHM的边长最小,为(AD-AC)=
39、,菱形的面积最小,为 1 2 1 2 2 2 GM FH GM FH 3 3 1 4 25 4 1 2 1 2 GH2 sin =sin . 图1 如图2,当点B在线段EA的延长线上时,FG最大,为(AB+AE)=,菱形的面积最大,为GF2 sin =sin , sin Ssin . 1 4 1 2 5 2 25 4 1 4 25 4 图2 思路分析思路分析 由题中条件判断,图形为“手拉手模型”,CD和BE的长度相等,所夹的较小的角为,根据三 角形的中位线定理及已证结论得四边形FGHM为菱形,进而可根据菱形的性质进行计算. 7.(2019开封一模,22(1)(2)(1)操作:如图1,点O为线段
40、MN的中点,直线PQ与MN相交于点O,请利用图1画出 一对以点O为对称中心的全等三角形;(不写画法) (2)根据上述操作得到的经验完成探究活动:如图2,在四边形ABCD中,ABDC,E为BC边的中点,BAE= EAF,AF与DC的延长线相交于点F.试探究线段AB与AF,CF之间的等量关系,并证明你的结论. 解析解析 (1)如图.(1分) (2)结论:AB=AF+CF.(2分) 证明:如图分别延长AE、DF交于点M, E为BC的中点,BE=CE, ABCD,BAE=M. 在ABE与MCE中, , , , BAEM AEBMEC BECE ABEMCE(AAS),AB=MC, BAE=EAF,EA
41、F=M, AF=MF,AB=MC=MF+FC=AF+FC.(6分) 8.(2019焦作二模,22)已知ACD=90,AC=DC,MN是过点A的直线,过点D作DBMN于点B,连接CB. (1)问题发现 如图1,过点C作CECB,与MN交于点E,则易发现BD和EA之间的数量关系为 ;BD,AB,CB之间的 数量关系为 ; (2)拓展探究 当MN绕点A旋转到图2位置时,BD,AB,CB之间满足怎样的数量关系?请写出你的猜想,并证明; (3)解决问题 当MN绕点A旋转到图3位置时(点C,D在直线MN两侧),若此时BCD=30,BD=2,则CB= . 解析解析 (1)BD=EA;BD+AB=CB. 详解
42、:ECB=90,ACD=90, ACE=90-ACB,BCD=90-ACB, ACE=BCD. DBMN,DBA=90. 在四边形ACDB中,BAC+ACD+ABD+D=360, BAC+D=180. CAE+BAC=180, CAE=D. AC=DC, ACEDCB, AE=DB,CE=CB. ECB=90, ECB是等腰直角三角形, 2 BE=CB, BE=AE+AB=DB+AB, BD+AB=CB. (2)BD-AB=CB. 证明:如图,过点C作CECB,与MN交于点E, BCE=ACD=90,BCE+1=ACD+1.ACE=DCB,BDMN,ABD=ACD=90 ,2+3=4+D=90
43、,3=4,2=D,AC=DC,ACEDCB(ASA),AE=BD,EC= BC.在RtBCE中,BE=CB, AE-AB=BE,BD-AB=CB. 2 2 2 2 2 (3)-. 提示:作CECB交AN于点E,连接AD. 证得ACEDCB. 所以AE=DB,CE=CB, 所以AB-BD=BC, 又BCD=30, 则在RtABD中,AB=BD=2, 所以BC=2-2, 即CB=-. 62 2 33 23 62 9.(2018安阳一模,22)如图,点A是直线PQ上一动点,BCPQ,垂足为C,线段AB的垂直平分线DE交PCB 的平分线于点E,交AB于点D.连接AE,BE. (1)如图1,AE与BE的
44、数量关系是 ;过点E作EMPQ于点M,作ENBC于点N,通过证明 AEMBEN,可知AE与BE的位置关系是 ; (2)当点A在点C的下方如图2所示的位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由; (3)当点A位于如图3的位置时,过点A作AFCB交PCB的平分线于点F,设AC=a,CB=b,请直接写出EF的 长(用含a,b的式子表示). 图1 图2 图3 解析解析 (1)相等;垂直. (2)成立.理由如下: 过点E作EMPQ于点M,作ENBC于点N,如图所示. PQBC,四边形MCNE是矩形, MEN=90. CE是PCB的平分线,ME=EN. ED是AB的垂直平分线, AE=BE, RtAMER
45、tBNE, MEA=NEB. MEA+AEN=90, NEB+AEN=90,即AEB=90, AEBE. 综上,AE=BE,AEBE. (3)EF=(b-a). 详解:如图,过点E作EMPQ于点M,作ENBC于点N, 易证得AEMBEN, 2 2 AM=BN. 设AM=BN=x. 易知EM=EN, 矩形MCNE是正方形, CM=CN, 即a+x=b-x, x=, CN=BC-BN=b-x=b-=. AFBC,BCPC,AFBC, PCE=45, ACF是等腰直角三角形, AC=AF=a, CF=AC=a, - 2 b a - 2 b a 2 ba 22 ENC是等腰直角三角形, EC=CN=, EF=CE-CF=-a=(b-a). 2 2() 2 ab 2() 2 ab 2 2 - 2 2 ba2 2
