1、 中考数学 （河南专用） 第六章 图形与变换 6.2 图形的相似 考点一 相似的性质与判定 1.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DEBC,点F为BC边上一 点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是( ) A.= B.= C.= D.= AD AB AE EC AG GF AE BD BD AD CE AE AG AF AC EC 答案答案 C 根据平行线分线段成比例定理可知=,=,=,=,所以选项A、B、 D错误,选项C正确.故选C. AD AB AE AC AG GF AE EC BD AD CE AE AG AF AE AC 2
2、.(2019安徽,7,4分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=6,BC=12.点D在边BC上,点E在线段AD上,EF AC于点F,EGEF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为( ) A.3.6 B.4 C.4.8 D.5 答案答案 B 如图,作DNCA交AB于点N, ACB=90,EFEG,EFAC, EGDNAC,EFBC. =. EF=EG,DN=DC. DNCA,=,=, 解得DC=4,故选B. EG DN AE AD EF CD DN AC BD BC6 DC12- 12 DC 3.(2020吉林,12,3分)如图,ABCDEF.若=,BD=5,则DF= . AC CE 1
3、 2 答案答案 10 解析解析 ABCDEF,=.=,BD=5, DF=10. AC CE BD DF AC CE 1 2 4.(2019江西,12,3分)在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(4,0),(4,4),(0,4),点P在x轴上,点D在直 线AB上,若DA=1,CPDP于点P,则点P的坐标为 . 答案答案 (2,0),(2+2,0),(2-2,0) 22 解析解析 (1)当点D在第一象限时,如图1. 图1 CPPD,CPD=90,易证COPPAD. =,=. (4-OP)OP=4,即OP2-4OP+4=0, 即(OP-2)2=0,OP=2,点P的坐标为(2,0). (2)
4、当点D在第四象限时, OC PA OP AD 4 4-OP1 OP 当点P在点A左侧时,如图2, CPPD,CPD=90, 易证COPPAD,=,=. OP2+4OP=4,(OP+2)2=8, OP+2=2. OP=2-2或OP=-2-2(舍). 点P的坐标为(2-2,0). 当点P在点A右侧时,如图3,CPPD, CPD=90,易证COPPAD, =,=. OP2-4OP=4. (OP-2)2=8, OC PA OP AD 4 4OP 1 OP 2 22 2 OC AP OP AD 4 -4OP1 OP OP-2=2. OP=2+2或OP=2-2(舍). 点P的坐标为(2+2,0). 综上,
5、点P的坐标为(2,0),(2+2,0),(2-2,0). 图2 图3 2 22 2 22 5.(2020河南,23,11分)将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB,记旋转角为.连接BB,过点D作DE 垂直于直线BB,垂足为点E,连接DB,CE. (1)如图1,当=60时,DEB的形状为 ,连接BD,可求出的值为 ; (2)当00),则BF=3x,在RtABF中,由勾股定理得AF2 +BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得x=(负值舍去),所以3x=,即BF=.故选B. AD DE BF AF 3 1 BF AF 10 5 3 10 5 3 10 5 思路分析思路分析 先通过证明
6、ADEBFA得到AF与BF的数量关系,再在RtABF中,由勾股定理建立方程 求解. 7.(2020山西,15,3分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=3,BC=4,CDAB,垂足为D,E为BC的中点,AE与 CD交于点F,则DF的长为 . 答案答案 54 85 解析解析 作PAAC交CD的延长线于P点, 如图所示,在RtABC中,AB=5,cos B=,tan B=, 又CDAB,B=DCA, 在RtACD中,cosDCA=,CD=, 在RtACP中,由cosDCA=可得CP=, 由tanDCA=可得PA= , BCAC,BCPA, CEFPAF,=, 又E为BC的中点,CE=BC=2
7、, 22 BCAC 4 5 3 4 CD AC 4 5 12 5 AC CP 4 5 15 4 PA AC 3 4 9 4 CE AP CF PF 1 2 =, 解得CF=, DF=CD-CF=-=. 2 9 4 15 - 4 CF CF 30 17 12 5 30 17 54 85 思路分析思路分析 作PAAC交CD的延长线于P点,在RtABC中分别求出cos B,tan B,由CDAB易推出B= DCA,然后在RtACD中,利用cosDCA=求出CD,在RtACP中,利用cosDCA=求出CP,利用tan DCA=求出AP,最后根据CEFPAF求出CF,则DF=CD-CF,即可求解. 4
8、5 4 5 3 4 难点突破难点突破 本题的突破口是作辅助线构造CEFPAF,然后利用相似三角形的性质及锐角三角函数 求出CD、AP、CF、CP. 8.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,ABC是等边三角形,AB=,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连 接BH、CH,当BHD=60,AHC=90时,DH= . 7 答案答案 1 3 解析解析 延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE, BHD=60,BHE是等边三角形,BH=BE=HE,BEH=60,ABC是等边三角形,AB=BC, ABC=60,ABH=CBE,ABHCBE,BEC=BHA=120,HEC=60,CHAD, C
9、HE=90,设BH=x(x0),则HE=x,CH=x,过点B作BGHE于G,则BG=x,EG=,BGD=CHD=90, 又BDG=CDH,BDGCDH,=,BC=,CD= ,又DH=GH= HE=,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即+(x)2=,解得x=1,DH=. 3 3 22 x BD CD BG CH DG DH 1 2 7 2 3 7 2 3 2 3 1 23 x 2 3 x 3 2 2 7 3 1 3 疑难突破疑难突破 此类题型中,可根据等边三角形、60这些条件,通过补全小等边三角形,构造全等三角形,从 而实现线段的转化. 9.(2017黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形A
10、BCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DEAM,垂足 为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为 . 答案答案 2 5 5 解析解析 BAM+EAD=90,EAD+EDA=90, BAM=EDA.又B=AED=90, ADEMAB.=,即=. AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x0), 则BM=2x, 在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2, 解得x=(舍负),BM=2x=. AE BM DE AB AE BM 1 1 5 5 2 5 5 10.(2020江苏南京,26,9分)如图,在ABC和ABC中,D、D分别是AB、AB上一点,=.
11、 (1)当=时,求证ABCABC. 证明的途径可以用下面的框图表示,请填写其中的空格. AD AB AD AB CD CD AC AC AB AB (2)当=时,判断ABC与ABC是否相似,并说明理由. CD CD AC AC BC BC 解析解析 (1)=;A=A. (2)相似.理由如下:如图,过点D、D分别作DEBC、DEBC,DE交AC于点E,DE交AC于点E. DEBC,ADEABC, CD CD AC AC AD AD =. 同理=. 又=,=.=. 同理=.=,即=. =, 又=, =, DCEDCE. CED=CED. AD AB DE BC AE AC AD AB DE BC
12、AE AC AD AB AD AB DE BC DE BC DE DE BC BC AE AC AE AC -AC AE AC - AC AE AC EC AC EC AC EC EC AC AC CD CD AC AC BC BC CD CD DE DE EC EC DEBC,CED+ACB=180. 同理CED+ACB=180, ACB=ACB. 又=, ABCABC. AC AC BC BC 评析评析 本题考查相似三角形的性质和判定,添加平行线,构造相似三角形即可解决本题,是一道中档题. 11.(2020海南,21,13分)四边形ABCD是边长为2的正方形,E是AB的中点,连接DE,点F
13、是射线BC上一动点 (不与点B重合),连接AF,交DE于点G. (1)如图1,当点F是BC边的中点时,求证:ABFDAE; (2)如图2,当点F与点C重合时,求AG的长; (3)在点F运动的过程中,当线段BF为何值时,AG=AE?请说明理由. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是正方形, B=DAE=90,AB=AD=BC,(2分) 点E、F分别是AB、BC的中点, AE=AB,BF=BC, AE=BF,(3分) ABFDAE.(4分) (2)在正方形ABCD中,ADC=90,AD=CD=2, AC=2,(5分) ABCD, AGECGD,(6分) =,即=,(7分) AG=.(8分) 1
14、2 1 2 22 ADCD 22 222 AG CG AE CD2 2- AG AG 1 2 2 2 3 (3)当BF=时,AG=AE.理由如下: 由(2)知,当点F与点C重合(即BF=2)时, AG=2),如图所示,设AF交CD于点M, 若使AG=AE=1,则有1=2, ABCD,1=4, 又2=3,3=4,DM=MG.(9分) 8 3 2 2 3 在RtADM中,AM2-DM2=AD2, 即(DM+1)2-DM2=22, DM=, CM=CD-DM=2-=,(10分) 3 2 3 2 1 2 ABCD, ABFMCF,(11分) =,即=,(12分) BF=, 故当BF=时,AG=AE.(
15、13分) BF CF AB MC-2 BF BF 2 1 2 8 3 8 3 一题多解一题多解 (3)取线段BC的中点H,连接AH交ED于N,由(1)得DAEABH,BAH=ADE, BAD=BAH+DAH=90,ADE+DAH=90, AND=90,即ANDE, AE=AG,ANDE,BAH=GAH, ADE=GAH, ADBC,DAG=AFB, DAGAFH, =,=, 化简得3CF2+4CF-4=0,解得CF=或CF=-2(舍去), 所以BF=2+=. AG FH AD AF 1 1CF 22 2 2(2)CF 2 3 2 3 8 3 12.(2020辽宁营口,25,14分)如图,在矩形
16、ABCD中,AD=kAB(k0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接 AE,过点A作AFAE交射线DC于点F. (1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 ; (2)如图2,若k1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示) (3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长. 图1 图2 备用图 解析解析 (1)AF=AE.(2分) 详解:k=1,AD=AB, 四边形ABCD是正方形,BAD=90, AFAE,EAF=90,EAB=FAD, ABE=D=90, EABFAD(ASA),AF=AE. (2)AF=kAE.(
17、4分) 证明:四边形ABCD是矩形, BAD=ABC=ADF=90, FAD+FAB=90, AFAE,EAF=90, EAB+FAB=90, EAB=FAD, ABE+ABC=180, ABE=180-ABC=180-90=90, ABE=ADF, ABEADF.(7分) =. AD=kAB,=, =,AF=kAE.(8分) (3)如图1,当点F在DC上时, 四边形ABCD是矩形,AB=CD,ABCD, AB AD AE AF AB AD 1 k AE AF 1 k 图1 AD=2AB=4,AB=2,CD=2, CF=1,DF=CD-CF=2-1=1. 在RtADF中,ADF=90, AF=
18、, DFAB, 22 ADDF 22 4117 GDF=GBA,GFD=GAB, GDFGBA, =, AF=GF+AG, AG=AF=,(9分) 由(2)得AE=AF=.(10分) 在RtEAG中,EAG=90, EG=.(11分) 如图2,当点F在DC的延长线上时,DF=CD+CF=2+1=3. GF GA DF BA 1 2 2 3 2 17 3 1 2 1 2 17 17 2 22 AEAG 22 172 17 23 1768 49 5 17 6 图2 在RtADF中,ADF=90, AF=5, DFAB, GAB=GFD,GBA=GDF, 22 ADDF 22 43 AGBFGD,
19、=, GF+AG=AF=5, AG=2,(12分) 由(2)得AE=AF=5=.(13分) 在RtEAG中,EAG=90, EG=. 综上所述,EG的长为或.(14分) AG FG AB FD 2 3 1 2 1 2 5 2 22 AEAG 2 2 5 2 2 25 4 4 41 2 5 17 6 41 2 解题关键解题关键 解决第(3)问的关键是要发现并灵活运用AGBFGD,进而求得线段AE和AG的长.同时 要注意由于点F的位置不确定需要分类讨论. 13.(2019四川成都,27,10分)如图1,在ABC中,AB=AC=20,tan B=,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C 重合).以D
20、为顶点作ADE=B,射线DE交AC边于点E,过点A作AFAD交射线DE于点F,连接CF. (1)求证:ABDDCE; (2)当DEAB时(如图2),求AE的长; (3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请 说明理由. 3 4 解析解析 (1)证明:AB=AC,B=ACB. ADE+CDE=B+BAD,ADE=B, BAD=CDE.ABDDCE. (2)过点A作AMBC于点M. 在RtABM中,设BM=4k,则AM=BM tan B=4k=3k, 由勾股定理,得AB2=AM2+BM2. 202=(3k)2+(4k)2.k=4. AB
21、=AC,AMBC, BC=2BM=2 4k=32. DEAB,BAD=ADE. 又ADE=B,B=ACB, BAD=ACB. 又ABD=CBA, 3 4 ABDCBA.=. DB=. DEAB,=. AE=. AB CB DB AB 2 AB CB 2 20 32 25 2 AE AC BD BC AC BD BC 25 20 2 32 125 16 (3)D点在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF. 过点F作FHBC于点H.过点A作AMBC于点M,ANFH于点N. 易知NHM=AMH=ANH=90, 四边形AMHN为矩形, MAN=90,MH=AN. AB=AC,AMBC, B
22、M=CM=BC=32=16. 在RtABM中,由勾股定理,得AM=12. ANFH,AMBC,ANF=90=AMD. DAF=90=MAN,NAF=MAD. AFNADM.=tanADF=tan B=. AN=AM=12=9. 1 2 1 2 22 -AB BM 22 20 -16 AN AM AF AD 3 4 3 4 3 4 CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7. 当DF=CF时,由点D不与点C重合,可知DFC为等腰三角形. 又FHDC, CD=2CH=14. BD=BC-CD=32-14=18, 点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=18. 解后反思解
23、后反思 由相似三角形的判定定理来判定相似.求以相似图形为背景的某些线段的长,常常运用成比 例线段,勾股定理,解直角三角形等方面的知识求解. 1.(2016湖北十堰,5,3分)如图,以点O为位似中心,将ABC缩小后得到ABC,已知OB=3OB,则ABC 与ABC的面积比为( ) A.13 B.14 C.15 D.19 考点二 图形的位似 答案答案 D OB=3OB,=, 以点O为位似中心, 将ABC缩小后得到ABC, ABCABC, =. =,故选D. OB OB 1 3 AB AB OB OB 1 3 ABC ABC S S 2 AB AB 1 9 2.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四
24、边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,=,则= . OE OA 3 5 FG BC 答案答案 3 5 解析解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似, OEFOAB,OFGOBC, =,=. OF OB OE OA 3 5 FG BC OF OB 3 5 3.(2020宁夏,17,6分)在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1). (1)画出ABC关于x轴成轴对称的A1B1C1; (2)画出ABC以点O为位似中心,位似比为12的A2B2C2. 解析解析 (1)正确画出A1B1C1如图.(3分) (2)正确画出A2B2C2如图.(6分) 4
25、.(2018陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们选择了河 对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河岸垂直,并在B点竖 起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线. 已知:CBAD,EDAD,测得BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m.测量示意图如图所示. 请根据相关测量信息,求河宽AB. 解析解析 CBAD,EDAD, ABC=ADE=90. BAC=DAE, ABCADE,(3分) =.(5分) BC=1 m,DE=1.5 m,BD=8.5 m, =, AB=17
26、 m. 河宽AB为17 m.(7分) AB AD BC DE 8.5 AB AB 1 1.5 思路分析思路分析 首先根据ABC=ADE,BAC=DAE判定ABCADE,再根据相似三角形的性质得 出=,进而可求得AB的值. AB AD BC DE 方法指导方法指导 解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项.审题:结合图形通读题干,第一时间锁定采 用的知识点,如:观察题图是否含有已知度数的角,如果含有,考虑利用锐角三角函数解题.如果仅涉及三 角形的边长,则采用相似三角形的性质解题.筛选信息:由于实际问题文字阅读量较大,因此筛选有效 信息尤为关键.构造图形:只要是与三角形有关的实际问题都会涉及图形的
27、构造,如果题干中给出了相 应的图形,则可直接利用所给图形进行计算,必要时可添加辅助线;若未给出图形,则需要通过中获取 的信息构造几何图形进行解题. A组 20182020年模拟基础题组 时间:35分钟 分值:42分 一、选择题(每小题3分,共12分) 1.(2020焦作一模,4)如图,l1l2l3,AB=2,BC=4,DB=3,则DE的长为( ) A.4 B.5 C.6 D.9 答案答案 D l1l2l3,=,BE=2BD=6,DE=DB+BE=3+6=9.故选D. AB BC BD BE 2.(2020平顶山一模,5)如图,已知平行四边形ABCD中,点E在DC上,DEEC=21,连接AE交B
28、D于点F,则 DEF与BAF的周长之比为( ) A.49 B.13 C.12 D.23 答案答案 D 四边形ABCD为平行四边形,DC=AB,DCAB,DFEBFA,DEEC=21, DEDC=23,DEAB=23,CDFECBFA=23.故选D. 3.(2018南阳镇平一模,2)如图,在平面直角坐标系中,有点A(6,3),B(6,0),以原点O为位似中心,相似比为, 在第一象限内把线段AB缩小后得到CD,则点C的坐标为( ) A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1) 1 3 答案答案 A 由题意得ODCOBA,且相似比是,=.又OB=6,AB=3,OD=2,CD=1,
29、点C的坐标为(2,1).故选A. 1 3 OD OB DC AB 1 3 4.(2019平顶山一模,10)如图,把ABC沿着BC的方向平移到DEF的位置,它们重叠部分的面积是 ABC面积的一半,若BC=,则ABC移动的距离是( ) A. B. C. D.- 3 3 2 3 3 6 2 3 6 2 答案答案 D 由题意知ABDE,CEHCBA.由“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得 =,即=,又BC=,CE=,BE=BC-CE=-,即ABC移动的距离是-. 2 CE CB 1 2 CE CB 2 2 3 6 2 3 6 2 3 6 2 二、填空题(每小题3分,共12分) 5.(2020洛阳
30、一模,13)如图,在等边ABC中,AB=12,P、Q分别是边BC、AC上的点,且APQ=60,PC=8, 则QC的长是 . 答案答案 8 3 解析解析 在等边ABC中,BC=AB=12,BP=BC-PC=12-8=4.APC=APQ+QPC=B+BAP,且 APQ=B=60,BAP=CPQ,又B=C,ABPPCQ,=,QC=. AB BP PC QC 8 3 6.(2020平顶山一模,15)如图,已知等边ABC的边长为3,点M为AB上一点,且BM=1,点N为边AC上不 与A、C重合的一个动点,连接MN,以MN所在直线为对称轴,折叠AMN,点A的对应点为P.当点P落在等 边ABC的边上时,AN的
31、长为 . 答案答案 1或5- 13 解析解析 如图1,当点P落在边AC上时, 图1 ABC是等边三角形, A=60, AB=3,BM=1, AM=2, ANM=90,AMN=30, AN=AM=1. 1 2 如图2,当点P落在边BC上时, 图2 BPN=C+PNC=BPM+MPN, 又B=C=A=MPN=60, BPM=CNP, PBMNCP, =, AN=PN,AM=PM=2, PM PN PB NC BM PC =, 解得AN=5-或AN=5+(舍去). 综上所述,AN的长为1或5-. 2 AN3- PB AN 1 3-PB 1313 13 思路分析思路分析 本题考查翻折的性质、相似三角形
32、的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质,分两种 情形:点P落在边AC上,点P落在边BC上. 7.(2019开封一模,13)如图,ABC中,D,E两点分别在AB,BC上,若ADDB=CEEB=23,则SDBESADC= . 答案答案 910 解析解析 =,=,又B=B,BDEBAC,SBDESBAC=925, SADCSABC=25,SDBESADC=910. AD DB CE EB 2 3 BD BA BE BC 3 5 8.(2018郑州二模,13)如图,在ABC中,C=90,D是AC上一点,DEAB于点E,若AC=8,BC=6,DE=3,则AD 的长为 . 答案答案 5 解析解析 在R
33、tABC中,AB=10, DEAB,AED=90,C=AED, 又A=A,AEDACB,=,AD=5. 22 ACBC 22 86 AD DE AB BC 9.(2020焦作一模,22) (1)问题发现 如图1,在ABC和DCE中,AB=AC,DC=DE,BAC=CDE=60,点D是BC的垂线AF上任意一点. 填空:的值为 ;ABE的度数为 ; (2)类比探究 如图2,在ABC和DCE中,BAC=CDE=90,ABC=DEC=30,点D是BC的垂线AF上任意一点,请 求出的值及ABE的度数,并说明理由; (3)问题解决 在(2)的条件下,若AB=,CD=,请直接写出BE的长. AD BE AD
34、 BE 3 3 3 三、解答题(共18分) 解析解析 (1)1.90.(2分) 提示证明ACDBCE. (2)=,ABE=60.(4分) 理由如下:在RtABC中,BAC=90,ABC=30, =,同理,=,=,(5分) 又ACB=DCE=60,ACD=BCE,ACDBCE.(6分) =,CAD=CBE.(7分) ABE=ABC+CBE=ABC+CAD=60.(8分) (3)或.(10分) 提示在RtABC中,AC=AB=1,AF=,CF=AC=,在RtDCF中,DF=.当点D AD BE 1 2 AC BC 1 2 DC EC 1 2 AC BC DC EC AD BE AC BC 1 2
35、2 3 3 4 3 3 3 3 3 2 1 2 1 2 22 -CD CF 3 6 在线段AF上时,AD=AF-DF=-=,BE=2AD=;当点D在线段AF的延长线上时,AD=AF+DF =,BE=2AD=. 3 2 3 6 3 3 2 3 3 2 3 3 4 3 3 10.(2019安阳一模,22(1)(2)(1)问题发现:如图1,在等边ABC中,点D为BC边上一动点,DEAB交AC于点 E,将AD绕点D顺时针旋转60得到DF,连接CF.则AE与FC的数量关系是 ,ACF的度数为 . (2)拓展探究:如图2,在RtABC中,ABC=90,ACB=60,点D为BC边上一动点,DEAB交AC于点
36、E,当 ADF=ACF=90时,求的值. AE FC 解析解析 (1)AE=FC;60. 详解:DEAB, ABC=EDC=60, BAC=DEC=60. DEC是等边三角形,AED=120, DE=DC. 将AD绕点D顺时针旋转60得到DF, 则ADF=60=EDC,AD=DF, ADE=FDC,又CD=DE, AD=DF,ADEFDC. AE=CF,AED=DCF=120, ACF=60. (2)DEAB,EDC=ABC=90, ADF=90,ADE=FDC, 又ACF=90,AED=EDC+ECD,FCD=ACF+ECD, AED=FCD.DAEDFC.=, 又DEAB,EDCABC,
37、=,=. AE FC DE DC DE DC AB BC AE FC AB BC 3 思路分析思路分析 (1)根据等边三角形ABC以及旋转的性质,易证AEDFCD,可得结论;(2)根据题意证得 ADE=FDC,AED=FCD,得出DAEDFC,由DEAB证得ABCEDC,得出比例式,从而求 出的值. AE FC 1.(2020中原名校三模,10)已知ABC的面积为1,如图1,点D,E分别是边BC,AC的中点,图中阴影部分的面 积为S1;如图2,点D,E分别是边BC,AC的三等分点,图中阴影部分的面积为S2;如图3,点D,E分别是边BC,AC 的四等分点(D,E分别靠近点B,A),图中阴影部分的
38、面积为S3;,则Sn用含n(n为正整数)的代数式表示为 ( ) 图1 图2 图3 B组 20182020年模拟提升题组 时间:40分钟 分值:44分 一、选择题(每小题3分,共9分) A. B. C. D. 2 2 (1) n n 2 2 (21) n n 2 (1) n n 2 (21) n n 答案答案 C 在题图1中,由条件得DEAB,DE=AB,CEDCAB,SCED=SCAB=, BD=CD,S1=SCED=;在题图2中, 由条件得DEAB,DE=AB,CEDCAB, SCED= SCAB=, BD=CD,S2=SCED=;在题图3中, 由条件得DEAB,DE=AB,CEDCAB,
39、SCED= SCAB=, BD=CD, 1 2 1 4 1 4 1 4 2 3 2 2 3 4 9 1 2 1 2 2 9 3 4 2 3 4 9 16 1 3 S3=SCED=;, 则Sn=.故选C. 1 3 3 16 2 (1) n n 2.(2019郑州二模,8)如图,在ABC中,AD平分BAC,按如下步骤作图:分别以点A,D为圆心,以大于 AD的长为半径在AD两侧作弧,分别交于M,N两点;连接MN分别交AB,AC于点E,F;连接DE,DF.若BD= 8,AF=5,CD=4,则下列说法中正确的是( ) A.DF平分ADC B.AF=3CF C.DA=DB D.BE=10 1 2 答案答案
40、 D 根据作图可知:MN是线段AD的垂直平分线,AE=DE,AF=DF,EAD=EDA, AD平分BAC, BAD=CAD,EDA=CAD,DEAC, 同理DFAE, 四边形AEDF为平行四边形, 又AE=DE,四边形AEDF是菱形, AE=DE=DF=AF=5, DEAC,=, BD=8,DC=4,AE=5, =,BE=10,故选D. BD CD BE AE 8 45 BE 3.(2019焦作一模,9)如图,已知矩形AOBC的顶点O(0,0),A(0,3),B(4,0),按以下步骤作图:以点O为圆心,适 当长度为半径作弧,分别交OC,OB于点D,E;分别以点D,E为圆心,大于DE的长为半径作
41、弧,两弧在 BOC内交于点F;作射线OF,交边BC于点G,则点G的坐标为( ) A. B. C. D. 1 2 4 4, 3 4 ,4 3 5 ,4 3 5 4, 3 答案答案 A 延长AC与射线OF交于点Q,由作图知OF平分BOC,COG=BOG.在矩形AOBC中,AC OB,OBC=QCG=90,GOB=GQC,COG=CQG,CO=CQ.在RtCOB中,由勾股定理 得OC=5,BOGCQG,=,=,BG=,即G点的坐标为.故选A. 22 BOBC BO CQ BG CG 4 53- BG BG 4 3 4 4, 3 二、填空题(每小题3分,共15分) 4.(2020南阳镇平一模,15)如
42、图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=3,点E为射线BC上一动点,将ABE沿AE折叠, 得到ABE,若B恰好落在射线CD上,则BE的长为 . 答案答案 或15 5 3 解析解析 当点B在线段CD上时,如图1. AB=AB=5,D=90,AD=3,BD=4,CB=1,设BE=BE=x,则CE=3-x,在RtCBE中,x2=12 +(3-x)2,解得x=; 图1 当B在线段CD的延长线上时,如图2, 在RtBDA中,BD=4, BC=9,易证BDAECB, 22 -BA AD 5 3 22 -BA AD 22 5 -3 =,EC=12,BE=15. 图2 综上所述,BE的长为或15. BD AD
43、EC BC 5 3 5.(2020信阳商城一模,15)如图,矩形ABCD的周长是20,且ADCD=32,E是AD边的中点,点P是AB边上 的一个动点,将APE沿PE折叠得到FPE,连接CE,CF,当ECF是直角三角形时,BP的长是 . 答案答案 3或 7 4 解析解析 矩形ABCD的周长为20, AD+CD=10, ADCD=32, AD=BC=6,AB=CD=4. 如图所示,当CFE=90时,ECF是直角三角形, 由折叠可得,PFE=A=90,AE=FE=DE, CFP=180,即点P,F,C在一条直线上. 在RtCDE和RtCFE中, RtCDERtCFE(HL), CF=CD=4. 设A
44、P=FP=x,则BP=4-x,CP=x+4, 在RtBCP中,BP2+BC2=PC2,即(4-x)2+62=(x+4)2, 解得x=,即AP=, BP=. 如图所示,当CEF=90时,ECF是直角三角形, , , CECE EDEF 9 4 9 4 7 4 过F作FHAB于H,作FQAD于Q,则FQE=D=90,又FEQ+CED=90=ECD+CED, FEQ=ECD, FEQECD, =,即=, 解得FQ=,QE=, AQ=HF=,AH=, FQ ED QE DC EF CE3 FQ 4 QE3 5 9 5 12 5 3 5 9 5 设AP=FP=x,则HP=-x, 在RtPFH中,HP2+
45、HF2=PF2,即+=x2, 解得x=1,即AP=1,PB=3. 综上所述,BP的长为3或. 9 5 2 9 - 5 x 2 3 5 7 4 解后反思解后反思 本题考查了折叠问题,矩形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质以及 勾股定理.本题有两种情况,需要分类讨论:当CFE=90时,ECF是直角三角形;当CEF=90时, ECF是直角三角形. 6.(2020安阳一模,15)如图,半圆O的直径AB=10,=,点D在上,且tanDOC=,点P是半径OC上 一个动点,连接DP,过点P作PFDP,交直径AB于点F,当点P在半径OC上移动时,点F可左右移动的最大 距离是 . AC BC
46、 AC 3 4 答案答案 3 解析解析 由题意得COAB,DO=CO=5,作DECO, tanDOC=,DE=3,OE=4. 当点P与点C重合时,点F移动到最右侧, 如图1,易证DEPPOF, =,OF=; 图1 当点F在点O左侧时,P在线段OE上,如图2,易证DEPPOF, 3 4 DE PE PO OF 5 3 =,设EP=x,则PO=4-x,3FO=x(4-x), FO=-x2+x=-(x-2)2+, 即FO的最大值为,+=3, 当点P在半径OC上移动时,点F可左右移动的最大距离是3. 图2 DE PE PO OF 1 3 4 3 1 3 4 3 4 3 4 3 5 3 7.(2018南
47、阳唐河一模,14)如图,在ABCD中,AB=8,P、Q为对角线AC的三等分点,连接DP并延长交AB于 点M,连接MQ并延长交CD于点N,则CN= . 答案答案 2 解析解析 四边形ABCD是平行四边形, DCAB, NQCMQA,DPCMPA, P、Q为对角线AC的三等分点, =,=, 设CN=x,则AM=2x, =,x=2, CN=2. CN AM CQ AQ 1 2 CP AP CD AM 2 1 8 2x 2 1 8.(2019洛阳二模,15)如图,P是边长为3的等边ABC的边AB上一动点,沿过点P的直线折叠B,使点B落 在AC上,对应点为D,折痕交BC于点E,点D是AC的一个三等分点,则PB的长为 . 答案答案 或 7 5 7 4 解析解析 在等边ABC中,A=C=B. 由折叠得PDE=B,BP=DP,BE
