1、 中考数学 （河南丏用） 第二章 方程（组）与不等式（组） 2.2 一元二次方程 考点一 一元二次方程及其解法 1.(2019山西,8,3分)一元二次方程x2-4x-1=0配方后可化为( ) A.(x+2)2=3 B.(x+2)2=5 C.(x-2)2=3 D.(x-2)2=5 答案答案 D x2-4x-1=0,(x2-4x+4)-4-1=0,(x-2)2=5,故选D. 2.(2018江苏盐城,8,3分)已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1,则k的值为( ) A.-2 B.2 C.-4 D.4 答案答案 B 把x=1代入方程得1+k-3=0,解得k=2.故选B. 3.(2020江西,
2、8,3分)若关于x的一元二次方程x2-kx-2=0的一个根为x=1,则这个一元二次方程的另一个根为 . 答案答案 x=-2 解析解析 将x=1代入方程可得k=-1,一元二次方程为x2+x-2=0,解得x1=-2,x2=1,另一个根为x=-2. 4.(2019安徽,15,8分)解方程:(x-1)2=4. 解析解析 (x-1)2=4,所以x-1=2或x-1=-2,即x=3或x=-1. 所以原方程的解为x1=3,x2=-1. 1.(2020河南,7,3分)定义运算:mn=mn2-mn-1.例如:42=422-42-1=7.则方程1x=0的根的情况为 ( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的
3、实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 考点二 一元二次方程根的判别式 答案答案 A 由题意知,1x=x2-x-1=0,a=1,b=-1,c=-1,=b2-4ac=(-1)2-41(-1)=50, 方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根,故选A. 2.(2020安徽,5,4分)下列方程中,有两个相等实数根的是( ) A.x2+1=2x B.x2+1=0 C.x2-2x=3 D.x2-2x=0 答案答案 A 对于选项A,x2-2x+1=0,即(x-1)2=0,解得x1=x2=1;对于选项B,方程无实数解;对于选项C,方程有两 个不等的实数根-1,3;对于选项D,方程有两个不等的实数根0,2,
4、故选A. 3.(2019河南,6,3分)一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 答案答案 A 将一元二次方程(x+1)(x-1)=2x+3整理得,x2-2x-4=0,=b2-4ac=200,所以此一元二次方程有两 个不相等的实数根,故选A. 4.(2018河南,7,3分)下列一元二次方程中,有两个不相等实数根的是( ) A.x2+6x+9=0 B.x2=x C.x2+3=2x D.(x-1)2+1=0 答案答案 B 选项A,=0,方程有两个相等实数根;选项B,x2-x=0,=10,方程有
5、两个不相等实数根;选项C,x2- 2x+3=0,=-80,所以该一元二次方程有两个不相等的实数根,故选B. 6.(2019河北,15,2分)小刚在解关于x的方程ax2+bx+c=0(a0)时,只抄对了a=1,b=4,解出其中一个根是x=- 1.他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2,则原方程的根的情况是( ) A.不存在实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有一个根是x=-1 D.有两个相等的实数根 答案答案 A 只抄对了a=1,b=4,即x2+4x+c=0,把x=-1代入得c=3,因为所抄的c比原方程的c值小2,所以c值应 该为5,原方程为x2+4x+5=0,=42-415=-4- 9 4
6、解析解析 根据题意得=b2-4ac=9+4k0,所以k-. 9 4 8.(2019吉林,10,3分)若关于x的一元二次方程(x+3)2=c有实数根,则c的值可以为 (写出一个即可). 答案答案 0(答案不唯一,任意一个非负数皆可) 解析解析 因为一个数的平方为非负数,所以只要c0,一元二次方程就有实数根,答案不唯一,例如c=0. 9.(2017北京,21,5分)关于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0. (1)求证:方程总有两个实数根; (2)若方程有一个根小于1,求k的取值范围. 解析解析 (1)证明:依题意,得=-(k+3)2-4(2k+2)=(k-1)2. (k-1)20,
7、方程总有两个实数根. (2)由求根公式,得x=, x1=2,x2=k+1. 方程有一个根小于1,k+11,k0, 即k的取值范围是k0,当b2-4ac0时,方程有实数根. x+=. 当b2-4ac0时,x1=,x2=, x1 x2=;当b2-4ac=0时,x1=x2=-, b a c a b a 2 2 b a c a 2 2 b a 2 2 b x a 2 2 -4 4 bac a 2 b a 2-4 2 bac a 2 -4 2 bbac a 2 - -4 2 bbac a 22 2 (-4) (- -4) 4 bbacbbac a 22 2 -(-4) 4 bbac a 2 4 4 ac
8、 a c a2 b a x1 x2=. 综上,证得x1 x2=. 2 - 2 b a 2 2 4 b a 2 4 4 ac a c a c a 思路分析思路分析 本题需要借助配方法解含字母系数的一元二次方程,同时借助求根公式验证推导是否正确. 解题关键解题关键 正确解决本题的关键是要通过求根公式进行验证,同时要具有计算含字母系数的方程的能 力. 1.(2020广东广州,9,3分)直线y=x+a不经过第二象限,则关于x的方程ax2+2x+1=0实数解的个数是( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.1个或2个 考点二 一元二次方程根的判别式 答案答案 D 直线y=x+a不经过第二象限,a0. 当
9、a=0时,方程为2x+1=0,只有一个实数解; 当a0,方程有两个解. 故方程有1个解或2个解.故选D. 易错警示易错警示 本题易将a=0的情况漏掉,从而错选C. 2.(2018山东菏泽,5,3分)关于x的一元二次方程(k+1)x2-2x+1=0有两个实数根,则k的取值范围是( ) A.k0 B.k0 C.k0且k-1 D.k0且k-1 答案答案 D 根据题意得k+10且=(-2)2-4(k+1)0,解得k0且k-1,故选D. 3.(2018云南昆明,8,4分)关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围 是( ) A.m3 C.m3 D.m3 3 答案答案
10、A 由题意知=b2-4ac=12-4m0,解得m0; B项,=(-2)2-41(-1)=80; C项,=(-2)2-411=0; D项,=(-2)2-412=-40,D项中的方程没有实数根,故选D. 思路分析思路分析 对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),=b2-4ac,当0时,方程有两个实数根;当a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0 答案答案 B 由(a-c)2a2+c2,得a2-2ac+c2a2+c2,即-2ac0,所以-4ac0.又因为b20,所以=b2-4ac0,所以方程
11、有两个不相等的实数根. 7.(2016福建福州,12,3分)下列选项中,能使关于x的一元二次方程ax2-4x+c=0一定有实数根的是( ) A.a0 B.a=0 C.c0 D.c=0 答案答案 D 若一元二次方程ax2-4x+c=0有实数根, 则=(-4)2-4ac=16-4ac0,且a0. ac4,且a0. A.若a0,则当a=1,c=5时,ac=54,故此选项错误; B.a=0不符合一元二次方程的定义,故此选项错误; C.若c0,则当a=1,c=5时,ac=54,故此选项错误; D.若c=0,则ac=04,故此选项正确.故选D. 评析评析 本题主要考查一元二次方程根的情况与判别式的关系:(
12、1)0方程有两个不相等的实数根; (2)=0方程有两个相等的实数根;(3)-4 解析解析 一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根,0,即 b2-4ac=(-4)2-41 (-m)=16+4m0,解得 m-4. 14.(2018四川成都,16,6分)若关于x的一元二次方程x2-(2a+1)x+a2=0有两个不相等的实数根,求a的取值范 围. 解析解析 由题意可知=-(2a+1)2-4a2=4a2+4a+1-4a2=4a+1.原方程有两个不相等的实数根,4a+10, a-. 1 4 15.(2018广西玉林,21,6分)已知关于x的一元二次方程x2-2x-k-2=0有两个不相等的实数根
13、. (1)求k的取值范围; (2)给k取一个负整数值,解这个方程. 解析解析 (1)根据题意得=(-2)2-4(-k-2)0,解得k-3. (2)取k=-2,代入方程得x2-2x=0,解得x1=0,x2=2. (或取k=-1,代入方程得x2-2x-1=0,解得x1=1+,x2=1-) 22 16.(2018北京,20,5分)关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0. (1)当b=a+2时,利用根的判别式判断方程根的情况; (2)若方程有两个相等的实数根,写出一组满足条件的a,b的值,并求此时方程的根. 解析解析 (1)依题意,得=(a+2)2-4a=a2+40. 故方程有两个不相等的实数根.
14、(2)由题意可知,a0,=b2-4a=0. 答案答案不唯一,如:当b=2,a=1时,方程为x2+2x+1=0, (x+1)2=0,x1=x2=-1. 17.(2016北京,20,5分)关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0有两个不相等的实数根. (1)求m的取值范围; (2)写出一个满足条件的m的值,并求此时方程的根. 解析解析 (1)依题意,得=(2m+1)2-4(m2-1)=4m+50,解得m-. (2)答案答案不唯一.如:m=1.此时方程为x2+3x=0. 解得x1=-3,x2=0. 5 4 1.(2019新疆,7,5分)在某篮球邀请赛中,参赛的每两个队之间都要比赛一场,
15、共比赛36场.设有x个队参赛, 根据题意,可列方程为( ) A.x(x-1)=36 B.x(x+1)=36 C.x(x-1)=36 D.x(x+1)=36 1 2 1 2 考点三 一元二次方程的应用 答案答案 A 根据题意可列方程为x(x-1)=36,故选A. 1 2 2.(2018四川眉山,10,3分)我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新 政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平 方4 860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是( ) A.8% B.9% C.10% D.11% 答案答案 C 设
16、平均每次下调的百分率为x,由题意,得6 000(1-x)2=4 860,解得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).故选 C. 3.(2018四川宜宾,6,3分)某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计,该市2017年“竹文 化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元,据此估计该市2018年、2019年 “竹文化”旅游收入的年平均增长率约为( ) A.2% B.4.4% C.20% D.44% 答案答案 C 设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x,根据题意得2(1+x)2=2.88,解 得x1=0.2=20%,x2=-2.
17、2(不合题意,舍去),故选C. 4.(2017甘肃兰州,10,4分)王叔叔从市场上买了一块长80 cm,宽70 cm的矩形铁皮,准备制作一个工具箱. 如图,他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长为x cm的正方形后,剩余的部分刚好能围成一个底面积为3 000 cm2的无盖长方体工具箱.根据题意可列方程为( ) A.(80-x)(70-x)=3 000 B.8070-4x2=3 000 C.(80-2x)(70-2x)=3 000 D.8070-4x2-(70+80)x=3 000 答案答案 C 长方体工具箱的底面是一个长为(80-2x)cm,宽为(70-2x)cm的矩形,由题意可得方程(80-2x
18、)(70 -2x)=3 000. 思路分析思路分析 用含x的代数式分别表示出长方体底面的长和宽,然后根据“面积=长宽”列方程. 解题关键解题关键 本题考查了一元二次方程的实际应用,解题的关键是找出题目中的相等关系,并能用含未知 数的代数式表示相等关系中的相关量. 5.(2017安徽,8,4分)一种药品原价每盒25元,经过两次降价后每盒16元.设两次降价的百分率都为x,则x满 足 ( ) A.16(1+2x)=25 B.25(1-2x)=16 C.16(1+x)2=25 D.25(1-x)2=16 答案答案 D 第一次降价后的单价为25(1-x)元,第二次降价后的单价为25(1-x)2元,25(
19、1-x)2=16,故选D. 6.(2020山西,14,3分)如图是一张长12 cm,宽10 cm的矩形铁皮,将其剪去两个全等的正方形和两个全等的 矩形,剩余部分(阴影部分)可制成底面积是24 cm2的有盖的长方体铁盒.则剪去的正方形的边长为 cm. 答案答案 2 解析解析 设正方形的边长为x cm,则长方体铁盒底面的宽为=(6-x)cm,底面的长为(10-2x)cm,(6-x) (10-2x)=24,化简得x2-11x+18=0,即(x-2)(x-9)=0,解得x1=2,x2=9,由解得0x1,x2=1.95不合题意,舍去. 答:每个月生产成本的下降率为5%. (2)361(1-5%)=342
20、.95(万元). 答:预测4月份该公司的生产成本为342.95万元. 1 20 39 20 思路分析思路分析 设每个月生产成本的下降率为x,则2月份的生产成本=1月份的生产成本(1-x),3月份的生产 成本=2月份的生产成本(1-x)=1月份的生产成本(1-x)2;4月份的生产成本=3月份的生产成本(1-x). 易错警示易错警示 3月份的生产成本=1月份的生产成本(1-x)2,而不是1月份的生产成本(1-2x). 8.(2017重庆A卷,23,10分)某地大力发展经济作物,其中果树种植已初具规模,今年受气候、雨水等因素 的影响,樱桃较去年有小幅度的减产,而枇杷有所增产. (1)该地某果农今年收
21、获樱桃和枇杷共400千克,其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍,求该果农今年收 获樱桃至少多少千克; (2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售.该果农去年樱桃的市场销售量为1 00千克,销售均价为30元/千克,今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%,销售均价与去年相同;该果农去 年枇杷的市场销售量为200千克,销售均价为20元/千克,今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%,但销 售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和 枇杷的市场销售总金额相同,求m的值. 解析解析 (1)设该果农今年收获樱桃x千克. 根据题意,得400-x7
22、x,(3分) 解这个不等式,得x50. 答:该果农今年收获樱桃至少50千克.(4分) (2)根据题意,得100(1-m%)30+200(1+2m%)20(1-m%)=10030+20020,(7分) 令m%=y,原方程可化为3 000(1-y)+4 000(1+2y)(1-y)=7 000. 整理这个方程,得8y2-y=0, 解这个方程,得y1=0,y2=0.125, m%=0(舍去)或m%=0.125,m=12.5. 答:m的值是12.5.(10分) 1.(2020周口鹿邑一模,6)关于x的一元二次方程(x-1) (x-3)=-x-2,下面说法正确的是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有
23、两个相等的实数根 C.有两个实数根 D.没有实数根 A组 20182020年模拟基础题组 时间:20分钟 分值:33分 一、选择题(每小题3分,共21分) 答案答案 D 方程可化为x2-3x+5=0,=(-3)2-45=-110,方程无实数根.故选D. 思路分析思路分析 先把方程化为一般形式,再计算判别式的值,然后根据判别式与0的大小确定方程根的情况. 2.(2020安阳一模,6)关于x的一元二次方程x2-3x+k=0有实数根,则k的取值范围是( ) A.k B.k C.k B.m C.m且m0 D.m且m0 9 8 9 8 8 9 9 8 答案答案 D 由题意得解得m且m0,故选D. 0,
24、9-80, m m 9 8 4.(2019开封一模,4)关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根,则( ) A.k=4 B.k=-4 C.k-4 D.k4 答案答案 A 因为关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个相等的实数根,所以=b2-4ac=42-4k=0,解得k=4, 故选A. 5.(2019驻马店一模,7)已知关于x的一元二次方程x2+x-m+=0没有实数根,则实数m的取值范围是( ) A.m2 B.m-2 D.m2 9 4 答案答案 A 关于x的一元二次方程x2+x-m+=0没有实数根,=b2-4ac=12-4=4m-80.解得m0,解得a1,所以满足条件的最小
25、整数a的值是2.故选D. 5 - 4 a 7.(2018平顶山一模,3)已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根,若k为非负整数,则k等于( ) A.0 B.1 C.3 D.2 答案答案 B 由题意可知,0k1. k是整数,k=1.故选B. 4-40, 0, 0, k k k 考查内容考查内容 本题考查一元二次方程的定义,一元二次方程根的判别式. 答案答案 k-2 二、填空题(每小题3分,共12分) 8.(2020开封一模,12)若关于x的一元二次方程2x2-4x=k没有实数根,则k的取值范围是 . 解析解析 整理方程得,2x2-4x-k=0,由题意知,=(-4)2-42 (-k)
26、=16+8k0,解得k- C.k D.k0,解得k-.故选B. 1 4 2.(2020驻马店一模,6)关于x的方程x(x-4)+k=2x有两个相等的实数根,则( ) A.k9 B.k=9 C.k-9 D.k=-9 答案答案 B 整理方程得x2-6x+k=0,由题意得=(-6)2-4k=36-4k=0,解得k=9,故选B. 3.(2020焦作一模,6)一元二次方程(x-3)(x-2)=p2的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 答案答案 A 整理方程得x2-5x+6-p2=0,=b2-4ac=(-5)2-4(6-p2)=25-24
27、+4p2=4p2+10,该一元二次方程有 两个不相等的实数根,故选A. 解题关键解题关键 对于非一般形式的一元二次方程,运用根的判别式时,需先化为一般形式. 4.(2020河南百校联盟一模,6)如果关于x的一元二次方程x2-x+m-1=0有实数根,那么m的取值范围是 ( ) A.m2 B.m3 C.m5 D.m5 1 4 答案答案 D 关于x的一元二次方程x2-x+m-1=0有实数根,a=1,b=-1,c=m-1, =b2-4ac=(-1)2-410,解得m5.故选D. 1 4 1 4 1 -1 4 m 思路分析思路分析 根据题意建立关于m的不等式,从而求出m的取值范围. 5.(2019信阳一
28、模,7)关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0没有实数根,则整数a的最小值是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案答案 C 关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+3=0没有实数根,a-10且0, a1且=4-43(a-1), 整数a的最小值是2.故选C. 4 3 思路分析思路分析 当a-10时,原方程为一元二次方程,由方程没有实数根,得根的判别式0,得出关于a的不 等式,解不等式,进而求出整数a的最小值. 二、解答题(共7分) 6.(2019鹤壁一模,18)已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4k-3=0. (1)求证:无论k取何值,该方程总有两个不相等的实数根;
29、 (2)当RtABC的斜边a=,且两直角边b和c恰好是这个方程的两个根时,求k的值. 31 解析解析 (1)证明:=-(2k+1)2-41(4k-3) =4k2-12k+13=(2k-3)2+4, (2k-3)20, 4, 无论k取何值,该方程总有两个不相等的实数根. (2)b,c是x2-(2k+1)x+4k-3=0的两个根, b+c=2k+1,bc=4k-3, 在RtABC中,b2+c2=a2=31, (b+c)2-2bc=31, 即(2k+1)2-2(4k-3)=31, 整理,得k2-k-6=0, 解得k1=-2,k2=3, 当k=-2时,b+c=-30,舍去, 当k=3时,b+c=7,bc=9,符合题意. 综上所述,k的值为3.
