1、 中考数学 （湖南专用） 8.5 开放探究型 1.(2019湖南邵阳,26,10分)如图,二次函数y=-x2+bx+c的图象过原点,与x轴的另一个交点为(8,0). (1)求该二次函数的解析式; (2)在x轴上方作x轴的平行线y1=m,交二次函数图象于A、B两点,过A、B两点分别作x轴的垂线,垂足分别 为点D、点C.当矩形ABCD为正方形时,求m的值; (3)在(2)的条件下,动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长度匀速运动,同时动点Q以相同的速度从 点A出发沿线段AD匀速运动,到达点D时立即原速返回,当动点Q返回到点A时,P、Q两点同时停止运动, 设运动时间为t秒(t0).过点P向x轴作
2、垂线,交抛物线于点E,交直线AC于点F,问:以A、E、F、Q四点为顶 点构成的四边形能否是平行四边形?若能,请求出t的值;若不能,请说明理由. 1 3 (备用图) 解析解析 (1)将(0,0),(8,0)代入y=-x2+bx+c中, 得解得 该二次函数的解析式为y=-x2+x. (2)当y=m时,-x2+x=m, 解得x1=4-,x2=4+, 点A的坐标为(4-,m),点B的坐标为(4+,m), 点D的坐标为(4-,0),点C的坐标为(4+,0), 矩形ABCD为正方形, 4+-(4-)=m, 解得m1=-16(舍去),m2=4. 1 3 0, 64 -80, 3 c bc 8 , 3 0,
3、b c 1 3 8 3 1 3 8 3 16-3m16-3m 16-3m16-3m 16-3m16-3m 16-3m16-3m 当矩形ABCD为正方形时,m的值为4. (3)以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形能为平行四边形. 由(2)可知点A的坐标为(2,4),点B的坐标为(6,4),点C的坐标为(6,0),点D的坐标为(2,0). 设直线AC的解析式为y=kx+a(k0), 将A(2,4),C(6,0)代入y=kx+a,得 解得 直线AC的解析式为y=-x+6. 当x=2+t时,y=-x2+x=-t2+t+4,y=-x+6=-t+4, 点E的坐标为,点F的坐标为(2+t,-t+4). 令
4、-x2+x=-x+6,得x=2或9. 抛物线与直线AC的交点的横坐标分别为2,9. 24, 60, ka ka -1, 6, k a 1 3 8 3 1 3 4 3 2 14 2,-4 33 ttt 1 3 8 3 以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形,且AQEF, AQ=EF. 分三种情况考虑: 当0t4时,如图1所示,AQ=t,EF=-t2+t+4-(-t+4)=-t2+t, t=-t2+t, 解得t1=0(舍去),t2=4; 1 3 4 3 1 3 7 3 1 3 7 3 图1 当4t7时,如图2所示,AQ=8-t,EF=-t2+t+4-(-t+4)=-t2+t, 8-t=
5、-t2+t, 解得t3=4(舍去),t4=6; 图2 1 3 4 3 1 3 7 3 1 3 7 3 当7t8时,AQ=8-t,EF=-t+4-=t2-t, 8-t=t2-t, 解得t5=2-2(舍去),t6=2+2. 综上所述,当以A、E、F、Q四点为顶点构成的四边形为平行四边形时,t的值为4或6或2+2. 2 14 -4 33 tt 1 3 7 3 1 3 7 3 77 7 思路分析思路分析 (1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出二次函数的解析式; (2)利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A,B的坐标,进而可得出点C,D的坐标,再利用正方形的性质 可得出关于m的方程,解之即可; (3
6、)由(2)可得出点A,B,C,D的坐标,根据点A,C的坐标,利用待定系数法可求出直线AC的解析式,利用二次 函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可求出点E,F的坐标,由AQEF且以A、E、 F、Q四点为顶点的四边形为平行四边形可得出AQ=EF,分0t4,4t7,7t8三种情况找出AQ,EF的 长,由AQ=EF可得出关于t的一元二次方程,解之取合适的值即可. 解题关键解题关键 本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、正方形的性 质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质,解题的关 键:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求
7、出二次函数解析式;(2)利用正方形的性质,列出关于m的方程;(3) 分0t4,4t7,7t8三种情况,利用平行四边形的性质列出关于t的一元二次方程. 2.(2019湖南益阳,25,12分)在平面直角坐标系xOy中,顶点为A的抛物线与x轴交于B、C两点,与y轴交于点 D,已知A(1,4),B(3,0). (1)求抛物线对应的二次函数表达式; (2)探究:如图1,连接OA,作DEOA交BA的延长线于点E,连接OE交AD于点F,M是BE的中点,则OM是否将 四边形OBAD分成面积相等的两部分?请说明理由; (3)应用:如图2,P(m,n)是抛物线在第四象限的图象上的点,且m+n=-1,连接PA、PC
8、,在线段PC上确定一点 N,使AN平分四边形ADCP的面积,求点N的坐标. 提示:若点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),则线段AB的中点坐标为. 1212 , 22 xxyy 解析解析 (1)抛物线的顶点为A(1,4),设函数表达式为y=a(x-1)2+4(a0), 将点B坐标代入,得0=a(3-1)2+4, 解得a=-1, 故抛物线对应的二次函数表达式为y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3. (2)OM能将四边形OBAD分成面积相等的两部分. 理由: DEAO,SODA=SOEA(同底等高的两个三角形面积相等), SODA+SAOM=SOEA+SAOM,即S四边形O
9、MAD=SOME, M是BE的中点, SOME=SOBM, S四边形OMAD=SOBM,即OM将四边形OBAD分成面积相等的两部分. (3)点P(m,n)是抛物线y=-x2+2x+3的图象上的点, n=-m2+2m+3,又m+n=-1, n=-m-1,代入上式,得-m-1=-m2+2m+3, 解得m1=-1(舍去),m2=4. 点P的坐标为(4,-5). 如图,连接AC,过点D作QDAC交PC的延长线于点Q, 由(2)知点N是PQ的中点, 设经过点C(-1,0),P(4,-5)的直线对应的函数表达式为y=kx+b(k0), 由此得 -0, 4-5, kb kb 解得 直线PC对应的表达式为y=
10、-x-1, 同理,直线AC对应的函数表达式为y=2x+2, 直线DQCA,故设直线DQ对应的函数表达式为y=2x+b(b2),其经过点D(0,3), 直线DQ对应的函数表达式为y=2x+3. 由得 即Q, 点N为PQ的中点, 点N的横坐标为2=, -1, -1, k b - -1, 23 yx yx 4 -, 3 1 , 3 x y 4 1 -, 3 3 4 -4 3 4 3 点N的纵坐标为2=-, 点N的坐标为, 1 -5 3 7 3 47 ,- 33 解题关键解题关键 本题考查的是二次函数的综合运用,涉及一次函数、图形面积的计算等,其中第(3)问直接利 用第(2)问的结论,即点N是PQ的中
11、点,是解本题的突破点. 3.(2020湖南怀化,24,14分)如图所示,抛物线y=x2-2x-3与x轴相交于A、B两点,与y轴相交于点C,点M为抛 物线的顶点. (1)求点C及顶点M的坐标; (2)若点N是第四象限内抛物线上的一个动点,连接BN、CN,求BCN面积的最大值及此时点N的坐标; (3)若点D是抛物线对称轴上的动点,点G是抛物线上的动点,是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形 是平行四边形?若存在,求出点G的坐标.若不存在,试说明理由; (4)直线CM交x轴于点E,若点P是线段EM上的一个动点,是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与 ABC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请
12、说明理由. 解析解析 (1)令y=x2-2x-3中x=0,此时y=-3,故C点坐标为(0,-3), y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故M点坐标为(1,-4). (2)过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点,如图所示: 令y=x2-2x-3中y=0,解得x=-1或3, B(3,0),A(-1,0), 设直线BC的解析式为y=ax+b(a0),代入C(0,-3),B(3,0),得解得 即直线BC的解析式为y=x-3, 设N点坐标为(n,n2-2n-3),故Q点坐标为(n,n-3),其中0n3, 则SBCN=SNQC+SNQB = QN (xQ-xC)+ QN (xB-xQ) = QN (xQ-x
13、C+xB-xQ) = QN (xB-xC), 其中xQ,xC,xB分别表示Q,C,B三点的横坐标, 又QN=(n-3)-(n2-2n-3)=-n2+3n,xB-xC=3, 故SBCN= (-n2+3n) 3=-+,其中0n3, -3, 03, b ab 1, -3, a b 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 2 3 - 2 n 27 8 当n=时,SBCN有最大值,为, 此时N的坐标为. (3)设D点坐标为(1,t),G点坐标为(m,m2-2m-3). 分类讨论: 情况:当DG为对角线时,则另一对角线是BC,由中点坐标公式可知: 线段DG的中点坐标为,即, 线段BC的中点坐标为,
14、即, 此时DG的中点与BC的中点为同一个点, 故解得 3 2 27 8 3 15 ,- 24 , 22 DGDG xxyy 2 1-2 -3 , 22 m tmm , 22 BCBC xxyy 30 0-3 , 22 2 13 , 22 -2 -33 -, 22 m tmm 2, 0, m t 经检验,此时四边形DCGB为平行四边形,此时点G的坐标为(2,-3); 情况:当DB为对角线时,则另一对角线是GC,由中点坐标公式可知: 线段DB的中点坐标为,即, 线段GC的中点坐标为,即, 此时DB的中点与GC的中点为同一个点, 故解得 经检验,此时四边形DCBG为平行四边形,此时点G的坐标为(4,
15、5); 情况:当DC为对角线时,则另一对角线是GB,由中点坐标公式可知: 线段DC的中点坐标为,即, , 22 DBDB xxyy 130 , 22 t , 22 GCGC xxyy 2 0-2 -3-3 , 22 mmm 2 130 , 22 0-2 -3-3 , 22 m tmm 4, 2, m t , 22 DCDC xxyy 10-3 , 22 t 线段GB的中点坐标为,即, 此时DC的中点与GB的中点为同一个点, 故 解得 经检验,此时四边形DGCB为平行四边形,此时点G的坐标为(-2,5). 综上所述,G点坐标存在,为(2,-3)或(4,5)或(-2,5). (4)连接AC,OP,
16、如图所示, , 22 GBGB xxyy 2 3-2 -30 , 22 mmm 2 103 , 22 -3-2 -30 , 22 m tmm -2, 8, m t 设MC的解析式为y=kx+s(k0),代入C(0,-3),M(1,-4), 得解得 MC的解析式为y=-x-3, -3, -4, s ks -1, -3, k s 令y=0,求得E点坐标为(-3,0), OE=OB=3, 又OC=OC,EOC=BOC, EOCBOC, CE=CB,即B=E, 设P(x,-x-3),-3x0, 则EP=(x+3),BC=3. 分类讨论: 情况:=, =,解得x=-,满足-3x0,此时P的坐标为; 情况
17、:=, 22 (3)(- -3)xx2 22 332 EO BA EP BC 3 4 2(3) 3 2 x 3 4 39 -,- 44 EO BC EP BA =,解得x=-1,满足-3x0,此时P的坐标为(-1,-2). 综上所述,P点的坐标为或(-1,-2). 3 3 2 2(3) 4 x 39 -,- 44 解题关键解题关键 本题考查了二次函数的图象和性质、平行四边形的存在性问题、相似三角形的性质和判定 等,综合性较强,具有一定的难度,学会用代数的方法求解几何问题是解题关键. 4.(2019湖南岳阳,24,10分)如图1,AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1:y=x2+x的图象上
18、,点A 的横坐标为-4,点B的纵坐标为-2.(点A在点B的左侧) (1)求点A、B的坐标; (2)将AOB绕点O逆时针旋转90得到AOB,抛物线F2:y=ax2+bx+4经过A、B两点,已知点M为抛物线F 2的对称轴上一定点,且点A恰好在以OM为直径的圆上,连接OM、AM,求OAM的面积; (3)如图2,延长OB交抛物线F2于点C,连接AC,在坐标轴上是否存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形 与OAC相似?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 1 3 7 3 解析解析 (1)当x=-4时,y=(-4)2+(-4)=-4, 点A的坐标为(-4,-4). 当y=-2时,x2+x=-
19、2, 解得x1=-1,x2=-6, 点A在点B的左侧, 点B坐标为(-1,-2). (2)如图,过点B作BEx轴于点E,过点B作BGx轴于点G. 1 3 7 3 1 3 7 3 BEO=OGB=90,OE=1,BE=2. 将AOB绕点O逆时针旋转90得到AOB, OB=OB,BOB=90, BOE+BOG=BOE+OBE=90, BOG=OBE. 在BOG与OBE中, BOGOBE(AAS), OG=BE=2,BG=OE=1. 点B在第四象限, B(2,-1). 同理可得A(4,-4), OA=OA=4. 抛物线F2:y=ax2+bx+4经过点A、B, 解得 , , , OGBBEO BOGO
20、BE BOOB 22 442 1644-4, 424-1, ab ab 1 , 4 -3, a b 抛物线F2的解析式为y=x2-3x+4. 对称轴为直线x=-=6. 点M在直线x=6上,设M(6,m), OM2=62+m2,AM2=(6-4)2+(m+4)2=m2+8m+20. 点A在以OM为直径的圆上, OAM=90, OA2+AM2=OM2, (4)2+m2+8m+20=36+m2. 解得m=-2. AM=2, SOAM=OA AM=42=8. 1 4 -3 1 2 4 2 2 820mm4-16202 1 2 1 2 22 (3)在坐标轴上存在点D,使得以A、O、D为顶点的三角形与OA
21、C相似. B(2,-1), 直线OB解析式为y=-x. 由解得或 C(8,-4). A(4,-4), ACx轴,AC=4, OAC=135, AOC45,ACO0时,抛物线的对称轴上是否存在一点C,使得C同时与x轴和直线AP都相切?如 果存在,请求出点C的坐标;如果不存在,请说明理由. 1 4 解析解析 (1)y=-x2+mx+n,对称轴为x=-=1, m=, 将A(2,3)代入y=-x2+x+n,得n=3, 抛物线的解析式为y=-x2+x+3. (2)过A作ADx轴于D,过B作BEx轴于E,则PADPBE, 1 4 1 2- 4 m 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 =, A(2,3)
22、,AD=3,BE=1, 设B(x,1),代入抛物线的解析式得x1=4,x2=-2, B(4,1)或B(-2,1), PA PB AD BE 3 1 一次函数的解析式为y=-x+5或y=x+2. (3)存在.理由如下: k0时,y=x+2,P(-4,0). 假设存在,设C(1,y),抛物线对称轴与直线y=x+2的交点为M、与x轴交点为G,直线y=x+2与y轴的交点 为H,则M,H(0,2), 当C在第一象限时,过C作CFAP于F, MGy轴,PHO=FMC, 又HOP=MFC=90, CMFPHO,=, OP=4,PH=2,CM=-y,CF=, 1 2 1 2 1 2 1 2 5 1, 2 CF
23、 CM OP PH 22 425 5 2 2 5 5 - 2 y 由题意得CF=CG,y=,解得y=5-10. C(1,5-10); 同理,当C在第四象限时, -y=, 解得y=-10-5, C(1,-10-5). 2 5 5 - 2 y 5 5 2 5 5 - 2 y 5 5 综上所述,C(1,5-10)或C(1,-10-5). 55 思路分析思路分析 (1)根据抛物线的对称轴为直线x=1可求出m的值,再将点A的坐标代入抛物线的解析式中求 出n的值.(2)根据PAPB=31,结合点A的坐标即可得出点B的纵坐标,将其代入抛物线解析式中即可求 出点B的坐标,再根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AP的解析式;(3)假设存在,设出点C的 坐标,依照题意画出图形,利用相似三角形的性质表示出C到直线AP的距离,根据圆与直线相切的性质即 可求得C点的纵坐标,进而得出结论. 解题关键解题关键 (1)对抛物线性质熟练掌握;(2)巧妙运用三角形相似,将边长比例转化为横、纵坐标之间的比 例关系;(3)画出示意图并根据相切的条件找出题中的等量关系.
