1、 中考数学 （湖南专用） 8.2 方案设计与决策型 1.(2018湖南永州,18,4分)现有A、B两个大型储油罐,它们相距2 km,计划修建一条笔直的输油管道,使得 A、B两个储油罐到输油管道所在直线的距离都为0.5 km,输油管道所在直线符合上述要求的设计方案 有 种. 答案答案 4 解析解析 输油管道所在直线符合上述要求的设计方案有4种,如图所示. 2.(2019吉林,19,7分)图,图均为44的正方形网格,每个小正方形的顶点称为格点.在图中已画出线 段AB,在图中已画出线段CD,其中A,B,C,D均为格点.按下列要求画图: (1)在图中,以AB为对角线画一个菱形AEBF,且E,F为格点;
2、 (2)在图中,以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH,且G,H为格点,CGD=CHD=90. 解析解析 答案不唯一,以下答案供参考. (1) (3分) (2) (7分) 评分说明:(1)点E,点F标注的位置互换不扣分;(2)点G,点H标注的位置互换不扣分. 解题关键解题关键 解决本题的关键是要添加一些边角条件并借助相关图形的判定定理进行证明,方法不唯一, 建议尝试多种方法解决. 3.(2020湖南怀化,22,12分)某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台,已知甲型平板电脑 进价1 600元,售价为2 000元;乙型平板电脑进价为2 500元,售价为3 000元. (1)设
3、该商店购进甲型平板电脑x台,请写出全部售出后该商店获利y(单位:元)与x之间的函数表达式; (2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39 200元,全部售出所获利润不低于8 500元,请设计出所 有采购方案,并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润. 解析解析 (1)由题意得y=(2 000-1 600)x+(3 000-2 500)(20-x)=-100 x+10 000, 全部售出后该商店获利y(单位:元)与x之间的函数表达式为y=-100 x+10 000. (2)由题意得 解得12x15, x为正整数, x=12、13、14、15. 共有四种采购方案: 购进甲型电脑12台,乙型
4、电脑8台. 购进甲型电脑13台,乙型电脑7台. 1 6002 500(20- )39 200, -10010 0008 500, xx x 购进甲型电脑14台,乙型电脑6台. 购进甲型电脑15台,乙型电脑5台. y=-100 x+10 000,且-1000, y随x的增大而减小, 当x取最小值时,y有最大值, 即x=12时,y取得最大值,为-10012+10 000=8 800, 购进甲型电脑12台,乙型电脑8台时商店获得最大利润,最大利润是8 800元. 思路分析思路分析 (1)根据利润等于每台电脑的利润乘台数列出函数关系式即可; (2)根据题意列不等式组,求出解集,根据解集即可得到四种采购
5、方案,由(1)的函数表达式得到当x取最小 值时,y有最大值,将x=12代入函数表达式求出结果即可. 4.(2020甘肃天水,25,10分)天水市某商店准备购进A、B两种商品,A种商品每件的进价比B种商品每件的 进价多20元,用2 000元购进A种商品和用1 200元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定 为80元,B种商品每件的售价定为45元. (1)A种商品每件的进价和B种商品每件的进价各是多少元? (2)商店计划用不超过1 560元的资金购进A、B两种商品共40件,其中A种商品的数量不低于B种商品数 量的一半,该商店有几种进货方案? (3)“五一”期间,商店开展优惠促销活动,决
6、定对每件A种商品售价优惠m(10m20)元,B种商品售价不 变,在(2)的条件下,请设计出m的不同取值范围内,销售这40件商品获得总利润最大的进货方案. 解析解析 (1)设A种商品每件的进价为x元,则B种商品每件的进价为(x-20)元. 依题意得=,解得x=50, 经检验,x=50是原方程的解且符合题意, 当x=50时,x-20=30. 答:A种商品每件的进价为50元,B种商品每件的进价为30元. (2)设商店购进A种商品a件,则购进B种商品(40-a)件, 依题意得解得a18, a为正整数,a=14,15,16,17,18. 该商店有5种进货方案. (3)设销售A、B两种商品的总利润为y元,
7、 则y=(80-50-m)a+(45-30)(40-a)=(15-m)a+600. 当m=15时,15-m=0,y与a的取值无关,即(2)中的五种方案都获利600元; 2 000 x 1 200 -20 x 5030(40- )1 560, 1 (40- ), 2 aa aa 40 3 当10m0,y随a的增大而增大, 当a=18时,获利最大,即在(2)的条件下,购进A种商品18件,购进B种商品22件时,获利最大; 当15m20时,15-m0,y随a的增大而减小, 当a=14时,获利最大,即在(2)的条件下,购进A种商品14件,购进B种商品26件时,获利最大. 思路分析思路分析 (1)设A种商
8、品每件的进价为x元,则B种商品每件的进价为(x-20)元,然后根据“用2 000元购 进A种商品和用1 200元购进B种商品的数量相同”列分式方程解答即可; (2)设商店购进A种商品a件,则购进B种商品(40-a)件,再根据“商店计划用不超过1 560元的资金购进A、 B两种商品”和“A种商品的数量不低于B种商品数量的一半”列不等式组,确定出a的正整数值即可; (3)设销售A、B两种商品的总利润为y元,然后列出y与a和m的关系式,然后分m=15、10m15、15m20 三种情况分别解答. 5.(2020河南,19,9分)暑期将至,某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动,活动方案如下: 方案一:购
9、买一张学生暑期专享卡,每次健身费用按六折优惠; 方案二:不购买学生暑期专享卡,每次健身费用按八折优惠. 设某学生暑期健身x(次),按照方案一所需费用为y1(元),且y1=k1x+b;按照方案二所需费用为y2(元),且y2=k2x. 其函数图象如图所示. (1)求k1和b的值,并说明它们的实际意义; (2)求打折前的每次健身费用和k2的值; (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次,应选择哪种方案所需费用更少?说明理由. 解析解析 (1)y1=k1x+b的图象过点(0,30)和点(10,180), (3分) k1的实际意义是:打六折后的每次健身费用为15元.(4分) b的实际意义是:每张
10、学生暑期专享卡的价格为30元.(5分) (2)打折前的每次健身费用为150.6=25(元). k2=250.8=20.(7分) (3)k1=15,b=30,y1=15x+30. k2=20,y2=20 x, 当y1=y2时,15x+30=20 x. 解得x=6, 所以,结合函数图象可知,小华暑期前往该俱乐部健身8次,选择方案一所需费用更少.(9分) 1 30, 18010. b kb 1 15, 30. k b 一题多解一题多解 (3)当x=8时,y1=150,y2=160,所以y1y2,所以小华暑期前往该俱乐部健身8次,选择方案一所需费 用更少. 6.(2019浙江温州,23,12分)某旅行
11、团32人在景区A游玩,他们由成人、少年和儿童组成.已知儿童10人,成 人比少年多12人. (1)求该旅行团中成人与少年分别是多少人; (2)因时间充裕,该团准备让成人和少年(至少各1名)带领10名儿童去另一景区B游玩.景区B的门票价格 为100元/张,成人全票,少年8折,儿童6折,一名成人可以免费携带一名儿童. 若由成人8人和少年5人带队,则所需门票的总费用是多少元? 若剩余经费只有1 200元可用于购票,在不超额的前提下,最多可以安排成人和少年共多少人带队?求 所有满足条件的方案,并指出哪种方案购票费用最少. 解析解析 (1)设该旅行团中成人x人,少年y人,根据题意, 得解得 答:该旅行团中
12、成人17人,少年5人. (2)成人8人可免费带8名儿童, 所需门票的总费用为1008+1000.85+1000.6(10-8)=1 320(元). 设可以安排成人a人、少年b人带队,则1a17,1b5. 当10a17时, a.当a=10时,10010+80b1 200,b, b最大值=2,此时a+b=12,费用为1 160元. b.当a=11时,10011+80b1 200,b, b最大值=1,此时a+b=12,费用为1 180元. c.当a12时,100a1 200,即成人门票至少需要1 200元,不合题意,舍去. 1032, 12, xy xy 17, 5. x y 5 2 5 4 当1a
13、10时, a.当a=9时,1009+80b+601 200,b3, b最大值=3,此时a+b=12,费用为1 200元. b.当a=8时,1008+80b+2601 200,b, b最大值=3,此时a+b=1112,不合题意,舍去. c.当a8时,a+b40, 实际付款:42.60.9=38.34(万元); 方案二:32+4.48=41.240, 实际付款:41.20.9=37.08(万元); 方案三:33+4.47=39.840, 实际付款:39.8万元. 37.0838.3439.8, 采用(1)中设计的第二种方案,购买费用最少. 8.(2017内蒙古包头,23,10分)某广告公司设计一幅
14、周长为16米的矩形广告牌,广告设计费为每平方米2 000 元,设矩形一边长为x米,面积为S平方米. (1)求S与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围; (2)设计费能达到24 000元吗?为什么? (3)当x是多少米时,设计费最多?最多是多少元? 解析解析 (1)矩形的周长为16米,一边长为x米, 其邻边长为(8-x)米. S=x(8-x)=-x2+8x. 其中,0x8.(3分) (2)能.理由如下: 设计费为每平方米2 000元, 当设计费为24 000元时,面积为24 0002 000=12(平方米), 令-x2+8x=12,解得x1=2,x2=6. 设计费能达到24 000元.(
15、6分) (3)S=-x2+8x=-(x-4)2+16, 当x=4时,S取得最大值,且Smax=16. 162 000=32 000(元). 当x是4米时,设计费最多,最多是32 000元.(10分) 思路分析思路分析 (1)一边长为x米,用x表示出其邻边的长,从而可求S与x的关系式;(2)根据设计费求出面积,代 入解析式能求出符合题意的边长,所以答案是肯定的;(3)把二次函数一般式表示成顶点式,求出最大面 积,进而求出最多的设计费. 方法规律方法规律 用函数探究实际问题中的最值问题一般有两种方法:一种是列出一次函数解析式,分析自变 量的取值范围,得出最值;另一种是建立二次函数模型,列出二次函数关系式,整理成顶点式,当二次项系 数小于0时,有最大值,即顶点的纵坐标,自变量的取值即为顶点的横坐标;当二次项系数大于0时,有最小 值,即顶点的纵坐标,自变量的取值即为顶点的横坐标.
