1、 中考数学 （湖南专用） 4.3 等腰三角形与直角三角形 A组 20162020年湖南中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2020湖南湘西,6,3分)已知AOB,作AOB的平分线OM,在射线OM上截取线段OC,分别以O、C为圆 心,大于OC的长为半径画弧,两弧相交于E,F,作直线EF,分别交OA于D,交OB于G,那么,ODG一定是 ( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形 1 2 答案答案 C 如图,分别以O、C为圆心,大于OC的长为半径画弧,两弧相交于E,F,EF垂直平分线段 OC, 设EF交OC于点N,ONE=ONF=90, OM平分AOB,NOD=NOG,
2、又ON=ON,ONDONG,OD=OG,ODG是等腰三角形,故选C. 1 2 思路分析思路分析 根据题意知EF垂直平分线段OC,又知OM为AOB的平分线,由此证明ONDONG,即 可得到OD=OG,从而得到答案. 2.(2019湖南长沙,9,3分)如图,RtABC中,C=90,B=30,分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半 径作弧,两弧相交于M、N两点,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则CAD的度数是( ) A.20 B.30 C.45 D.60 1 2 答案答案 B 在RtABC中,B=30,C=90,BAC=180-B-C=60,由作图可知MN为线段AB的 垂直平分线,DA=DB,
3、DAB=B=30,CAD=BAC-DAB=30,故选B. 3.(2019湖南郴州,7, 3分)如图,分别以线段AB的两端点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,在线段AB的两 侧分别交于点E,F,作直线EF交AB于点O.在直线EF上任取一点P(不与O重合),连接PA,PB,则下列结论不 一定成立的是( ) A.PA=PB B.OA=OB C.OP=OF D.POAB 1 2 答案答案 C 由作图可知,EF垂直平分线段AB,则PA=PB,故A选项结论成立;OA=OB,故B选项结论成立;OE =OF,故C选项结论不成立;POAB,故D选项结论成立. 故选C. 解题关键解题关键 本题考查基本作图、线段
4、垂直平分线的性质,解题的关键是掌握线段垂直平分线的作法,利 用线段垂直平分线上的点到两个端点的距离相等解决问题. 4.(2018湖南邵阳,17,3分)如图所示,在等腰ABC中,AB=AC,A=36,将ABC中的A沿DE向下翻折, 使点A落在点C处.若AE=,则BC的长是 . 3 解析解析 AB=AC,A=36, B=ACB= =72, 将ABC中的A沿DE向下翻折,使点A落在点C处, AE=CE,A=ECA=36, CEB=72,BCE是等腰三角形, BC=CE=AE=. 3 答案答案 3 思路分析思路分析 由折叠的性质可知AE=CE,再证明BCE是等腰三角形即可得到BC=CE,问题得解. 解
5、题关键解题关键 本题考查了等腰三角形的判定和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理,证明BCE是 等腰三角形是解题的关键. 5.(2017湖南株洲,22,8分)如图所示,正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上,EF与BC相 交于点G,连接CF. 求证:DAEDCF. 证明证明 四边形ABCD是正方形,EDF是等腰直角三角形,ADC=EDF=90,AD=CD,DE=DF, ADE+ADF=ADF+CDF, ADE=CDF, 在DAE和DCF中, , , , DEDF ADECDF DADC DAEDCF. 考点二 直角三角形 1.(2019湖南长沙,12,3分)如图,ABC中,A
6、B=AC=10,tan A=2,BEAC于点E,D是线段BE上的一个动点,则 CD+BD的最小值是( ) A.2 B.4 C.5 D.10 5 5 553 答案答案 B 如图,作DHAB于H,CMAB于M. BEAC, AEB=90, tan A=2, 可设AE=a(a0),BE=2a, 则有100=a2+4a2, BE AE a=2, BE=2a=4. AB=AC,BEAC,CMAB,A=A, AMCAEB, CM=BE=4. sinDBH=, DH=BD, CD+BD=CD+DH, CD+DHCM, CD+BD4, 5 5 5 DH BD AE AB 5 5 5 5 5 5 5 5 5 C
7、D+BD的最小值为4.故选B. 5 5 5 解后反思解后反思 本题考查解直角三角形、全等三角形的判定,垂线段最短等知识,学生要会添加常用辅助线, 用转化的思想思考问题. 2.(2017湖南益阳,10,3分)如图,ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB边上的中线,则CD= . 答案答案 6.5 解析解析 在ABC中,AC=5,BC=12,AB=13, AC2+BC2=52+122=132=AB2, ABC为直角三角形,且ACB=90, CD是AB边上的中线, CD=AB=13=6.5. 1 2 1 2 3.(2020湖南岳阳,12,3分)如图,在RtABC中,CD是斜边AB上的中
8、线,若A=20,则BDC= . 答案答案 40 解析解析 在RtABC中,CD是斜边AB上的中线, CD=AD=AB. A=20, DCA=A=20,BDC=DCA+A=40. 故答案为40. 1 2 思路分析思路分析 先根据直角三角形斜边中线的性质得出CD=AD=AB,则有DCA=A=20,最后利用三角 形外角的性质即可得出答案. 1 2 B组 20162020年全国中考题组 考点一 等腰三角形 1.(2020福建,5,4分)如图,AD是等腰三角形ABC的顶角平分线,BD=5,则CD等于( ) A.10 B.5 C.4 D.3 答案答案 B 根据等腰三角形“三线合一”可得AD是BC边上的中线
9、,所以CD=BD=5.故选B. 2.(2019内蒙古包头,10,3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2- 12x+m+2=0的两根,则m的值是( ) A.34 B.30 C.30或34 D.30或36 答案答案 A 由根与系数的关系可得当a=4时,b=8;当b=4时,a=8. 这两种情况都不能构成三角形, a=b=6, m=34,故选A. 12, 2, ab abm 易错警示易错警示 本题易错选C,原因是未考虑到a=4,b=8或b=4,a=8的情况下不能构成三角形. 3.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .
10、 答案答案 80 解析解析 等腰三角形的两底角相等, 180-502=80, 顶角为80. 4.(2020黑龙江齐齐哈尔,15,3分)等腰三角形的两条边长分别为3和4,则这个等腰三角形的周长是 . 答案答案 10或11 解析解析 等腰三角形的两条边长分别为3和4,计算周长分两种情况讨论: 若3为腰长,则4为底边长,此时周长为3+3+4=10; 若4为腰长,则3为底边长,此时周长为4+4+3=11. 故其周长为10或11. 5.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F,G为EF的 中点,连接DG,则DG的长为 . 答案答案 19 2
11、 解析解析 连接DE, 在等边ABC中,D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=AC=2=EC, DEF=EFC. EFAC, EFC=90, EF=,DEF=90. G是EF的中点, 1 2 3 EG=, 在RtDEG中,DG=. 3 2 22 DEEG 2 2 3 2 2 19 2 疑难突破疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质求线段DG的长,DG与 图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股定理求出DG的长. 6.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,连接AE
12、、 BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形. 图1 图2 解析解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90, AC=BC,EC=DC,ACB+ACD=DCE+ACD,即ACE=BCD, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE. 7.(2020吉林,25,10分)如图,ABC是等边三角形,AB=4 cm.动点P从点A出发,以2 cm/s的速度沿AB向点B 匀速运动,过点P作
13、PQAB,交折线AC-CB于点Q,以PQ为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异侧.设点P 的运动时间为x(s)(0x2),PQD与ABC重叠部分图形的面积为y(cm2). (1)AP的长为 cm(用含x的代数式表示); (2)当点D落在边BC上时,求x的值; (3)求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围. 解析解析 (1)2x.(2分) 详解:根据“路程=速度时间”可得AP=2x(cm). (2)如图,根据题意,得4x+2x=4,解得x=. 图 当点D落在边BC上时,x=.(4分) (3)如图,当0x时,y=(2x)2=3x2. 2 3 2 3 2 3 3 4 33 y=3x2.
14、(6分) 图 图 3 图 如图,当x1时,y=3x2-(3x-2)2 =- x2+18x-6. y=- x2+18x-6.(8分) 如图,当1x2时,y=(4-2x)2 2 3 3 3 3 2 21 2 333 21 2 333 1 2 3 3 4 =(x-2)2. y=(x-2)2.(10分) 3 3 2 3 3 2 2 3 3 -6 36 3 2 yxx 或 难点突破难点突破 对于第(3)问,先利用第(2)问所求x的值及点Q与点C重合时x的值,分0x、x1和1x0,x0)的图象经过点B,则k的值为( ) A. B.9 C. D. k x 9 2 27 8 27 4 答案答案 D 过点B作B
15、Dx轴于点D,易得AOCCDB. AC=2BC,相似比为21,于是可得BD=CD=. OD=3+=, B, k=. 3 2 3 2 9 2 9 3 , 2 2 9 2 3 2 27 4 思路分析思路分析 过点B作x轴的垂线,构造两个相似的三角形,利用相似比求出边长,进而求出点B的坐标,最后 可得k的值. 解后反思解后反思 等腰直角三角形的性质和判定、相似比以及反比例函数图象上点的坐标特征是解决问题的 必备知识,恰当地将线段的长与坐标互相转化,使问题得以解决. 2.(2018陕西,6,3分)如图,在ABC中,AC=8,ABC=60,C=45,ADBC,垂足为D,ABC的平分线交 AD于点E,则A
16、E的长为( ) A.2 B.3 C. D. 22 4 3 2 8 3 2 答案答案 D AC=8,C=45,ADBC,AD=ACsin 45=4,过点E作EFAB于点F,BE是ABC的平 分线,DE=EF,ABC=60,ADBC,BAE=30,在RtAEF中,EF=AE,又AD=4,DE=EF, AE=AD= ,故选D. 2 1 2 2 2 3 8 3 2 思路分析思路分析 首先利用AC的长及C的正弦求出AD的长,进而通过角平分线的性质及含30度角的直角三 角形的性质确定DE和AE的数量关系,最后求出AE的长. 3.(2017辽宁大连,8,3分)如图,在ABC中,ACB=90,CDAB,垂足为
17、D,点E是AB的中点,CD=DE=a,则 AB的长为( ) A.2a B.2a C.3a D.a 2 4 3 3 答案答案 B CDAB,CD=DE=a,CE=a,在ABC中,ACB=90,点E是AB的中点,AB=2CE= 2a,故选B. 2 2 4.(2020河北,16,2分)如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种 正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图中的方式组成图案,使所围成的三角形 是面积最大的直角三角形,则选取的三块纸片的面积分别是( ) A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,4 答案答案 B
18、围成的三角形的三边长就是正方形纸片的边长,根据勾股定理可知选取的三块纸片的面积的 关系为两个面积较小的正方形纸片的面积和等于最大的正方形纸片的面积,所以选项C不符合题意.其 他三个选项,A选项中,直角三角形的面积为1;B选项中,直角三角形的面积为;D选项中,直角三角形的 面积为1,所以选取的三块纸片的面积分别是2,3,5时,所围成的三角形面积最大,故选B. 6 2 解题关键解题关键 熟练掌握勾股定理在直角三角形中的应用,以及直角三角形面积的计算是解本题的关键. 5.(2019内蒙古呼和浩特,12,3分)下面三个命题:底边和顶角对应相等的两个等腰三角形全等;两边及 其中一边上的中线对应相等的两个
19、三角形全等;斜边和斜边上的中线对应相等的两个直角三角形全 等.其中正确的命题的序号为 . 答案答案 解析解析 等腰三角形的顶角相等,则它们的底角也相等,又因为底边对应相等,所以由AAS或ASA判定两等 腰三角形全等,命题正确;先由SSS证明两三角形中线同侧的三角形全等,得两边的夹角对应相等,再由 SAS证得原两三角形全等,命题正确;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,所以仅有斜边相等不 能证得两个直角三角形全等,命题错误.故正确的命题是. 6.(2019贵州贵阳,25,12分) (1)数学理解:如图,ABC是等腰直角三角形,过斜边AB的中点D作正方形DECF,分别交BC,AC于 点E,F,求
20、AB,BE,AF之间的数量关系; (2)问题解决:如图,在任意直角ABC内,找一点D,过点D作正方形DECF,分别交BC,AC于点E,F,若AB= BE+AF,求ADB的度数; (3)联系拓广:如图,在(2)的条件下,分别延长ED,FD,交AB于点M,N,求MN,AM,BN的数量关系. 解析解析 (1)四边形DECF为正方形且D为等腰直角ABC斜边AB的中点, AF=FC=CE=EB=DE=FD, 在RtAFD和RtBED中,AD=AF,BD=BE, AB=AD+BD=(AF+BE). (2)四边形DECF是正方形, DF=DE, 将ADF以点D为旋转中心,逆时针旋转90得到ADE,如图, A
21、D=AD,AF=AE,且ADA=90. 22 2 AB=BE+AF,AB=BE+AE=AB. 在ABD和ABD中, ABDABD,ADB=ADB, ADB= =135. (3)由(2)得,AD,BD分别是CAB和CBA的平分线, MAD=FAD,NBD=EBD, 由题意得EMCA,FNCB, MDA=FAD,NDB=EBD, MDA=MAD,NDB=NBD, AM=MD,ND=BN. 在RtMDN中,MN2=MD2+ND2, MN2=AM2+BN2. , , , ADAD ABAB BDBD 思路分析思路分析 (1)根据题意得出ADF和BDE均为等腰直角三角形,AD=AF,BD=BE,进而得出
22、结 果;(2)将ADF绕点D逆时针旋转90,得到ADE,进一步证明ABD与ABD全等,得出ADB=ADB, 进而求出ADB的度数;(3)由(2)易得AD平分BAC,BD平分ABC,结合EMAC,FNBC,得出AM= DM,DN=BN,最后根据勾股定理得出结论. 22 难点突破难点突破 对于第(3)问,三条线段在同一直线上,利用“角平分线+平行”得出等腰ADM和等腰BDN, 把所求三条线段转化为直角三角形DMN的三边,问题迎刃而解. 7.(2020北京,27,7分)在ABC中,C=90,ACBC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE,过点D作 DFDE,交直线BC于点F,连接EF. (
23、1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示); (2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明. 解析解析 (1)D,E分别是AB,AC的中点, DEBC, DEDF, EDF=90, DFB=90. C=90, DFAC. BD=DA, =1. BF=FC, AE=a,BF=b, 在RtECF中,EF=.(2分) (2)依题意补全图形,如图. BF FC BD DA 22 CECF 22 AEBF 22 ab 线段AE,EF,BF之间的数量关系:AE2+BF2=EF2. 证明:延长ED至
24、点G,使得DG=DE,连接BG,FG. DEDF, FE=FG. D为AB的中点, AD=BD, ADE=BDG, ADEBDG, AED=BGD,AE=BG. CEBG, GBF=ACB=90. 在RtGBF中,BG2+BF2=GF2, AE2+BF2=EF2.(7分) 一题多解一题多解 (2)过点D作BC的垂线,垂足为H,可知H为BC的中点,过点D作AC的垂线,垂足为G,可知G为AC 的中点, 可得EF2=DE2+DF2=DG2+EG2+DH2+FH2 =+ =BC2+AC2+AE AC-BF BC+AE2+BF2, EF2=EC2+CF2=(AE+AC)2+(BF-BC)2=AC2+2A
25、E AC+BC2-2BF BC+AE2+BF2, 2-可得EF2=AE2+BF2. 2 1 2 BC 2 1 2 AEAC 2 1 2 AC 2 1 - 2 BFBC 1 2 1 2 C组 教师专用题组 考点一 等腰三角形 1.(2020福建,3,4分)如图,面积为1的等边三角形ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,则DEF的面积是 ( ) A.1 B. C. D. 1 2 1 3 1 4 答案答案 D 由中位线的定义及性质可得DF=BC,DFBC,所以DF=BE,EDF=DEB.又DE=DE,所以 DEFEDB;同理,可证DEFCFE,DEFFAD.所以四个三角形互相全等.所以S
26、DEF=SABC =.故选D. 1 2 1 4 1 4 2.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上.在证明该 结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是( ) A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C 答案答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB,垂足为C, 都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B. 3.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中
27、,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得等腰三角 形的第三个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 答案答案 D 如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形; 如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交
28、AB于点I,则BCI就是等腰三角形.故选D. 4.(2019辽宁大连,13,3分)如图,ABC是等边三角形,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,AB=2,则AD的长 为 . 答案答案 2 3 解析解析 ABC是等边三角形,AB=2, BC=CA=AB=2,ABC=BCA=BAC=60. CD=CA=2, CAD=D,BD=CB+CD=4, ACB=CAD+D, 2D=ACB=60, D=60=30, BAD=180-B-D=180-60-30=90. 在RtABD中,AD=2, 故答案为2. 1 2 22 -BD AB 22 4 -23 3 5.(2020黑龙江齐齐哈尔,17,3分)如图,
29、在平面直角坐标系中,等腰直角三角形沿x轴正半轴滚动并且按 一定规律变换,每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形.第一次滚动后点A1(0,2)变换到点A2(6,0),得 到等腰直角三角形;第二次滚动后点A2变换到点A3(6,0),得到等腰直角三角形;第三次滚动后点A3变 换到点A4(10,4),得到等腰直角三角形;第四次滚动后点A4变换到点A5(10+12,0),得到等腰直角三 角形;依此规律,则第2 020个等腰直角三角形的面积是 . 22 答案答案 22 020 解析解析 可令等腰直角三角形的直角边长为a1,等腰直角三角形的直角边长为a2,依此类推. 由A1(0,2),A2(6,0),A3(
30、6,0),A4(10,4)推出a1=2,a2=(6-2)=2,a3=10-6=4,a4=4, 解法一:由此可发现从a1=2开始,后一个等腰直角三角形的直角边长是前一个的倍,因此a2 020=2()2 019 =()2 021, 设第2 020个等腰直角三角形的面积为S2 020. S2 020= =()2 0212=22 021=22 020. 解法二:令第n个等腰直角三角形的面积为Sn, 则S1=22=2, S2=(2)2=8=4=22, S3=42=16=8=23, 2 2 2 22 22 2 1 2 2 2 020 a 1 2 2 1 2 1 2 2 1 a 1 2 1 2 2 2 a
31、1 2 2 1 2 1 2 2 3 a 1 2 1 2 S2 020=22 020. 解题关键解题关键 本题考查等腰直角三角形的性质及面积表示,属于几何图形的规律探究类型问题,解决本题 的关键在于根据A点经过滚动、变换后的坐标确定出对应的等腰直角三角形的直角边长,由特殊得出一 般规律,从而根据等腰直角三角形的面积公式:S=a2(其中a为直角边长)求得面积.熟练掌握等腰直角三 角形直角边长与斜边长之比为1,可以快速确定直角边长,事半功倍. 1 2 2 6.(2017内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,等腰三角形ABC中,BD,CE分别是两腰上的中线. (1)求证:BD=CE; (2)设BD与CE相
32、交于点O,点M,N分别为线段BO和CO的中点.当ABC的重心到顶点A的距离与底边长相 等时,判断四边形DEMN的形状,无需说明理由. 解析解析 (1)证明:AB,AC是等腰ABC的两腰,AB=AC, BD,CE是两腰上的中线,AD=AC,AE=AB, AD=AE, 又A=A,ABDACE,BD=CE. (2)四边形DEMN为正方形. 提示:由MN、DE分别是OBC、ABC的中位线可得四边形DEMN是平行四边形,由(1)知BD=CE,故可 证OE=OD,从而四边形DEMN是矩形,再由ABC的重心到顶点A的距离与底边长相等,ME、MN分别是 ABO、OBC的中位线可知四边形DEMN为正方形. 1
33、2 1 2 7.(2020江苏南京,27,9分)如图,要在一条笔直的路边l上建一个燃气站,向l同侧的A、B两个城镇分别铺 设管道输送燃气.试确定燃气站的位置,使铺设管道的路线最短. 图 (1)如图,作出点A关于l的对称点A,线段AB与直线l的交点C的位置即为所求,即在点C处建燃气站,所得 路线ACB是最短的. 为了证明点C的位置即为所求,不妨在直线l上另外任取一点C,连接AC、BC,证明AC+CBAC+CB.请完 成这个证明. 图 (2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生态保护区,燃气管道不能穿过该区域.请分别给出下列两种情形 的铺设管道的方案(不需说明理由). 生态保护区是正方形区域,位置如
34、图所示; 生态保护区是圆形区域,位置如图所示. 图 图 解析解析 (1)证明:连接AC. 点A、A关于直线l对称,点C在l上, CA=CA.AC+CB=AC+CB=AB. 同理AC+CB=AC+CB. ABAC+CB,AC+CB0), 则FG=x,BF=4-x. 在RtBFG中, 由BF2=FG2+BG2,得(4-x)2=x2+22,解得x=, CE=CF=.选A. 3 2 3 2 3.(2020宁夏,16,3分)2002年8月,在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾 股圆方图,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图1),且大正方形 的面积是15
35、,小正方形的面积是3,直角三角形的较短直角边长为a,较长直角边长为b.如果将四个全等的 直角三角形按图2的形式摆放,那么图2中的大正方形的面积为 . 答案答案 27 解析解析 由题图1可得直角三角形的面积为=3,大正方形的边长为,题图2中的大正方形的面积 为34+()2=27. 15-3 4 15 15 思路分析思路分析 先根据题图1求出直角三角形的面积和大正方形的边长,然后求出题图2中的大正方形的面 积. 4.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC=+1,点M,N分别是边BC,AB上的动点,沿 MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B落在边AC上.若MBC
36、为直角三角形,则BM的长为 . 2 始终 答案答案 或1 21 2 解析解析 在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45. (1)当MBC=90时,BMC=C=45. 设BM=x,则BM=BC=x, 在RtMBC中,由勾股定理得MC=x, x+x=+1,解得x=1,BM=1. (2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合, 此时BM=BM=BC=. 2 22 1 2 21 2 综上所述,BM的长为1或. 21 2 5.(2018浙江杭州,21,10分)如图,在ABC中,ACB=90,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交线段AB于 点D;以点A为圆心,AD长为半径画弧,交线段AC于点E,连
37、接CD. (1)若A=28,求ACD的度数; (2)设BC=a,AC=b. 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗?说明理由; 若AD=EC,求的值. a b 解析解析 (1)ACB=90,A=28, B=62, 由题意知BD=BC, BCD=BDC=59, ACD=90-BCD=31. (2)线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根.理由如下: 由勾股定理得AB=, AD=-a, 解方程x2+2ax-b2=0,得x=-a, 线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根. AD=AE,AD=EC, AD=AE=EC=, 22 ACBC 22 ab 22 ab 22 -2
38、44 2 aab 22 ab 2 b 在RtABC中,由勾股定理得a2+b2=,整理得=. 2 1 2 ba a b 3 4 思路分析思路分析 (1)根据三角形内角和定理求出B,再根据等腰三角形的性质求出BCD,根据ACD为 BCD的余角计算即可;(2)根据勾股定理求出AB,进而得到AD,利用求根公式解方程,比较即可;根 据勾股定理及等量关系列出等式,化简、整理即可. 解题关键解题关键 本题考查的是勾股定理、一元二次方程的解法,掌握一元二次方程的求根公式、熟练应用 勾股定理是解题的关键. 6.(2020宁夏,26,10分)如图1放置两个全等的含有30角的直角三角板ABC与DEF(B=E=30)
39、.若将三 角板ABC向右以每秒1个单位长度的速度移动(点C与点E重合时移动终止),移动过程中始终保持 点B、F、C、E在同一条直线上,如图2,AB与DF、DE分别交于点P、M,AC与DE交于点Q,其中AC=DF= ,设三角板ABC移动时间为x秒. (1)在移动过程中,试用含x的代数式表示AMQ的面积; (2)计算x等于多少时,两个三角板重叠部分的面积有最大值,最大值是多少. 3 图1 图2 解析解析 (1)解法一: RtABC中,B=30,A=60. E=30,EQC=AQM=60, AMQ是等边三角形.(1分) 过点M作MNAQ,垂足为点N. 在RtABC中,AC=,BC=AC tan A=
40、3. 3 EF=BC=3. 根据题意可知CF=x,CE=EF-CF=3-x, CQ=CE tan E=(3-x).(2分) AQ=AC-CQ=-(3-x)=x. AM=AQ=x,(3分) MN=AM sin A=x. SAMQ=AQ MN=xx=x2.(4分) 解法二:AMQ为等边三角形(推理方法同解法一). 过点M作MNAQ,垂足为点N.根据题意可知CF=x. 3 3 3 3 3 3 3 3 3 1 2 1 2 1 2 3 3 1 2 3 12 AMQ与DMP关于点M中心对称,MN=x.(2分) AM=x,AQ=AM=x. SAMQ=AQ MN=xx=x2.(4分) (2)由(1)知BF=C
41、E=3-x,PF=BF tan B=(3-x). S重叠部分=SABC-SAMQ-SBPF=AC BC-AQ MN-BF PF=3-x2-(3-x)(3-x)=-x2+x=- (x-2)2+. 当x=2时,重叠部分面积最大,最大面积是.(10分) 1 2 sin MN A 1 2 3 2 x 3 3 3 3 1 2 1 2 3 3 1 2 3 12 3 3 1 2 1 2 1 2 1 2 3 3 12 1 2 3 3 3 4 3 3 4 3 3 7.(2020天津,24,10分)将一个直角三角形纸片OAB放置在平面直角坐标系中,点O(0,0),点A(2,0),点B在第 一象限,OAB=90,B
42、=30,点P在边OB上(点P不与点O,B重合). (1)如图,当OP=1时,求点P的坐标; (2)折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点P,并与x轴的正半轴相交于点Q,且OQ=OP,点O的对应点为O, 设OP=t. 如图,若折叠后OPQ与OAB重叠部分为四边形,OP,OQ分别与边AB相交于点C,D,试用含有t的 式子表示OD的长,并直接写出t的取值范围; 若折叠后OPQ与OAB重叠部分的面积为S,当1t3时,求S的取值范围(直接写出结果即可). 解析解析 (1)解法一:如图,过点P作PHx轴,垂足为H,则OHP=90. OAB=90,B=30,BOA=90-B=60. OPH=90-POH=30.
43、 在RtOHP中,OP=1, OH=OP=,HP=. 点P的坐标为. 解法二:过点P作PHx轴,垂足为H,则OHP=90. OAB=90,B=30,BOA=90-B=60. 1 2 1 2 22 -OP OH 3 2 13 , 22 在RtOPH中,OP=1, HP=sinBOA OP=sin 60 OP=, OH=cosBOA OP=cos 60 OP=. 点P的坐标为. (2)由折叠知,OPQOPQ,OP=OP,OQ=OQ. 又OQ=OP=t,OP=OP=OQ=OQ=t. 四边形OQOP为菱形. QOOB.ADQ=B=30. 点A(2,0),OA=2.QA=OA-OQ=2-t. 在RtQA
44、D中,QD=2QA=4-2t. OD=OQ-QD,OD=3t-4,其中t的取值范围是t2. 3 2 1 2 13 , 22 4 3 S. 详解:i.O在OAB的内部(含OAB的边)时,1t.当O在AB边上时,在RtAQO中,OQ=2AQ,t+ =2,故t= S=SOPQ=SOPQ= tt=t2. 当1 t时,S. 3 8 4 3 7 4 3 2 t4 3 1 2 3 2 3 4 4 3 3 4 4 3 9 ii.O在OAB的外部,Q在OA上时,t2. 由()知,OD=3t-4,CO=-2,CD=. 此时S=SOPQ-SCDO=t2- CO CD=t2-=-t2+3t-2=-+. 当t2时,S.
45、 4 3 3 2 t 3 3 -2 2 t 3 4 1 2 3 4 1 2 3 2 3 -2 2 t 7 3 8 33 7 3 8 2 12 - 7 t 4 3 7 4 3 4 3 9 4 3 7 iii.O在OAB的外部,Q在OA的延长线上时,2t3. 此时,OP=t,BP=4-t,在RtPBC中,PC=BP=2-, 在RtPCD中,CD=PC=. S=SCPD= CP CD=.当2t3时,S. 1 22 t 332- 2 t 1 2 1 2 2- 2 t 32- 2 t 3 2 2 2- 2 t 3 8 3 2 综上,S的取值范围为S. 3 8 4 3 7 思路分析思路分析 (1)过P点作
46、x轴的垂线,根据特殊角的三角函数值或勾股定理即可求得P点坐标. (2)根据翻折的性质,确定四边形OQOP是菱形,根据A点坐标用t表示出AQ,在直角三角形QAD中,DQ= 2AQ,从而用t表示出DQ,进而表示出DO;画出草图,找到重合部分的面积,根据特殊角的三角函数值用t 表示出各线段长度后表示面积,最后依据t的取值范围及二次函数的性质求出S的取值范围. 难点突破难点突破 求二次函数在一个区间内的取值范围要特别注意对称轴是否在自变量取值范围内,切忌直 接求边界值的函数值. A组 20182020年模拟基础题组 时间:20分钟 分值:15分 一、选择题（每小题3分，共6分） 1.(2018湖南益阳
47、模拟,8)直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角的度数为( ) A.150 B.135 C.120 D.120或135 答案答案 B 直角三角形中,两锐角的度数和为90,则两锐角的各一半的度数和为45,根据三角形内角和 为180,可得钝角度数为135,故选B. 2.(2020湖南长沙长郡滨江中学3月模拟,6)如图,在ABC中,AD是BC边上的高,C=45,sin B=, AD=1, 则ABC的面积为( ) A.1+2 B. C. D.2-1 1 3 2 110 2 12 2 2 2 答案答案 C 在RtABD中,sin B=,AD=1, AB=3. BD2=AB2-AD2, BD=2. 在RtADC中,C=45,CD=AD=1. BC=BD+DC=2+1. SABC=BC AD=(2+1)1=. 故选C. AD AB 1 3 22 3 -12 2 1 2 1 2 2
