1、 中考数学 （广东专用） 3.3 反比例函数 考点一 反比例函数的图象与性质 A组 20162020年广东中考题组 1.(2019广州,8,3分)若点A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是 ( ) A.y3y2y1 B.y2y1y3 C.y1y3y2 D.y1y2y3 6 x 答案答案 C 将点A(-1,y1),B(2,y2),C(3,y3)分别代入y=中,得y1=-6,y2=3,y3=2.-623,y1y3y2. 故选C. 6 x 6 -1 6 2 6 3 一题多解一题多解 如图为反比例函数y=的大致图象,根据图象可以判断y1
2、y30,从抛物线开口方向分析得a0,从抛物线的顶点位置分析得a0,B项不正确;C项,从反比例函数图象分析得a0,C项不正确;D项,从反比例函数图象分析得a0,从抛物线的开口方 向分析得a0,从抛物线的顶点位置分析得a0,b0,当x=-1时,y=-a+b,此时y 0,所以-a+b0.所以反比例函数图象经过第一、三象限.A正确,B错误. (2)由题图C、D可知一次函数图象经过第一、二、四象限,则a0,当x=-1时,y=-a+b,此时y0,所以-a+ b0,即a-b0)相交于点P(1,m). (1)求k的值; (2)若点Q与点P关于直线y=x成轴对称,则点Q的坐标是Q( ); (3)若过P、Q两点的
3、抛物线与y轴的交点为N,求该抛物线的函数解析式,并求出抛物线的对称轴方 程. 2 x 5 0, 3 解析解析 (1)把P(1,m)代入y=,得m=2,(1分) P(1,2). 把P(1,2)代入y=kx+1,得2=k+1, k=1.(2分) (2)连接PO,QO,PQ,作PAy轴于A,QBx轴于B,则PA=1,OA=2. 点Q与点P关于直线y=x成轴对称, 2 x 2 1 直线y=x垂直平分PQ,OP=OQ, 1=2, POA=QOB.(3分) 在OPA与OQB中, POAQOB,QB=PA=1,OB=OA=2, Q(2,1).(4分) (3)由N,可设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+,
4、(5分) 把P(1,2)和Q(2,1)代入上式可得(6分) , , , PAOOBQ POAQOB OPOQ 5 0, 3 5 3 5 2, 3 5 142. 3 ab ab 解得(7分) 抛物线的解析式为y=-x2+x+.(8分) 对称轴方程为x=-=-=.(9分) 2 -, 3 1. a b 2 3 5 3 2 b a 1 4 - 3 3 4 思路分析思路分析 (1)将P(1,m)代入y=,求出m的值,从而得P的坐标,将点P(1,2)代入y=kx+1,得k的值;(2)利用轴 对称构造全等三角形,由对称点的横、纵坐标关系,即可得到Q点坐标;(3)用待定系数法求出a、b的值,进 而写出解析式和
5、对称轴方程. 2 x 小题巧解小题巧解 因为关于y=x对称的点的坐标的特点是:两点的横坐标与纵坐标相反,即若两点关于y=x对称, 一点坐标为(a,b),那么另一点的坐标为(b,a),所以(2)中只要交换P点的横、纵坐标,即可得到Q的坐标. 3.(2018广州,22,12分)设P(x,0)是x轴上的一个动点,它与原点的距离为y1. (1)求y1关于x的函数解析式,并画出这个函数的图象; (2)若反比例函数y2=的图象与函数y1的图象相交于点A,且点A的纵坐标为2. 求k的值; 结合图象,当y1y2时,写出x的取值范围. k x 解析解析 (1)当x0时,y1=x,当x0,则由题意可知两图象只在第
6、一象限有交点,当y=2时,x=2,A(2,2),k=22=4. 若ky2时,x的取值范围是x2或xy2时,x的取值范围是x0. 4 x 4 x 思路分析思路分析 (1)分类讨论y1=|x|即可;(2)对k的范围分类讨论,把A的纵坐标根据情况代入分段函数中,求 出A点坐标,将A点坐标代入反比例函数解析式求出k;正确画出图象,结合图象可得到x的范围. 解题关键解题关键 正确画出两函数的图象,分类讨论的结果才会不重复不遗漏. 4.(2017广州,22,12分)将直线y=3x+1向下平移1个单位长度,得到直线y=3x+m,若反比例函数y=的图象与 直线y=3x+m相交于点A,且点A的纵坐标是3. (1
7、)求m和k的值; (2)结合图象求不等式3x+m的解集. k x k x 解析解析 (1)直线y=3x+m由直线y=3x+1向下平移1个单位长度得到,m=0. 点A的纵坐标为3且在直线y=3x上, 点A的坐标为(1,3). 点A在反比例函数y=的图象上,k=3. (2)由(1)知m=0,k=3,不等式3x+m的解集,即3x的解集.直线y=3x与y=的图象如图所示, k x k x 3 x 3 x 由图可知当3x时,-1x1. 3 x 知识点评知识点评 本题考查了一次函数的性质,特别是在解析式y=kx+b中b所表示的几何意义,运用函数图象的 平移法则“上加下减,左加右减”进行解题. 5.(201
8、7深圳,21,8分)如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=(x0)的图象交于A(2,4),B(a,1),与x轴、y轴 分别交于点C、D. (1)直接写出一次函数y=kx+b的表达式和反比例函数y=(x0)的表达式; (2)求证:AD=BC. m x m x 解析解析 (1)将A(2,4)代入y=中,得m=8, 反比例函数的表达式为y=(x0). 将B(a,1)代入上式,得a=8, B(8,1). 将A(2,4),B(8,1)代入y=kx+b, 得解得 一次函数的表达式为y=-x+5. (2)证明:由(1)知,C、D两点的坐标分别为(10,0),(0,5), 如图,过点A作AEy轴,垂足为E
9、,过B作BFx轴,垂足为F. m x 8 x 24, 81, kb kb 1 -, 2 5. k b 1 2 E(0,4),F(8,0),又A(2,4),B(8,1), AE=2,DE=1,BF=1,CF=2, 在RtADE和RtBCF中,根据勾股定理得, AD=,BC=, AD=BC. 22 AEDE5 22 CFBF5 6.(2019广东,23,9分)如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y=的图象相交于A、B两点,其中点A 的坐标为(-1,4),点B的坐标为(4,n). (1)根据图象,直接写出满足k1x+b的x的取值范围; (2)求这两个函数的表达式; (3)点P在线段AB上,
10、且SAOPSBOP=12,求点P的坐标. 2 k x 2 k x 解析解析 (1)x-1或0x0)的图象经过点A(3,4)和点M. (1)求k的值和点M的坐标; (2)求OABC的周长. k x 解析解析 (1)将A(3,4)代入y=中,得k=12. 设点C(a,0),M为AC的中点,M. 将M的坐标代入y=中,得=2,a=9,M(6,2). (2)四边形OABC是平行四边形,AB=OC,OA=BC. 由(1)知C(9,0),OC=9,OC=AB=9. A(3,4),OA=5, OA=BC=5,COABC=(9+5)2=28. k x 3 ,2 2 a 12 x 12 3 2 a 22 34
11、3.(2019广州,22,12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P(-1,2),ABx 轴于点E,正比例函数y=mx的图象与反比例函数y=的图象相交于A,P两点. (1)求m,n的值与点A的坐标; (2)求证:CPDAEO; (3)求sinCDB的值. -3n x 解析解析 (1)将点P(-1,2)代入y=mx,得2=-m,解得m=-2,正比例函数解析式为y=-2x. 将点P(-1,2)代入y=,得2=-(n-3),解得n=1,反比例函数解析式为y=-. 由于正比例函数与反比例函数图象的交点关于原点对称,点A的坐标为(1,-2). (2)证明:四边形ABC
12、D是菱形,ACBD,ABCD,CPD=90,DCP=OAE. ABx轴,AEO=90,AEO=CPD, CPDAEO. (3)点A的坐标为(1,-2),AE=2,OE=1, AO=,sinAOE=. CPDAEO,CDB=AOE,sinCDB=sinAOE=. -3n x 2 x 22 AEOE5 AE AO 2 5 2 5 5 2 5 5 思路分析思路分析 (1)根据点P是正比例函数和反比例函数图象的交点可求出m,n的值,通过正比例函数和反比 例函数图象的交点关于原点对称可以得到点A的坐标. (2)由菱形的性质可得出ACBD,ABCD,利用平行线的性质可得出DCP=OAE,结合ABx轴可得
13、出AEO=CPD=90,即可证出CPDAEO. (3)由点A的坐标可得出AE,OE,AO的长,由相似三角形的性质可得出CDB=AOE,再利用正弦的定义 即可求出sinCDB的值. 4.(2020广东,24,10分)如图,点B是反比例函数y=(x0)图象上一点,过点B分别向坐标轴作垂线,垂足为A, C.反比例函数y=(x0)的图象经过OB的中点M,与AB,BC分别相交于点D,E.连接DE并延长交x轴于点F, 点G与点O关于点C对称,连接BF,BG. (1)填空:k= ; (2)求BDF的面积; (3)求证:四边形BDFG为平行四边形. 8 x k x 解析解析 (1)2.(2分) 详解:点B在反
14、比例函数y=(x0)的图象上, 可设点B的坐标为, OB的中点M的坐标为. 点M在反比例函数y=(x0)的图象上,k=2. (2)ABOC,B,则D, BD=m-=m. SBDF=m=3.(6分) 8 x 8 ,m m 4 , 2 m m k x 2 m4 m 8 ,m m 8 , 4 m m 4 m3 4 1 2 3 4 8 m (3)证明:由(2)知B,D,则A,E,C(m,0). BE=-=,CE=. CFBD,ECFEBD, =, CF=. 点G与点O关于点C对称, CG=OC=AB=m, FG=CG-CF=m-=m, BD=FG. 又BDFG, 四边形BDFG是平行四边形.(10分)
15、 8 ,m m 8 , 4 m m 8 0, m 2 ,m m 8 m 2 m 6 m 2 m CF BD CE BE 4 m 4 m3 4 一题多解一题多解 (2)连接OD,则SAOD=1.SAOB=4,SBOD=4-1=3.OFAB,点F到AB的距离等于点 O到AB的距离,SBDF=SBOD=3. | | 2 k|8| 2 B组 20162020年全国中考题组 考点一 反比例函数的图象与性质 1.(2016河南,5,3分)如图,过反比例函数y=(x0)的图象上一点A作ABx轴于点B,连接AO,若SAOB=2,则k 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 k x 答案答案 C 由题意得
16、k0,SAOB=k=2,所以k=4.故选C. 1 2 2.(2019河北,12,2分)如图,函数y=的图象所在坐标系的原点是( ) A.点M B.点N C.点P D.点Q 1 (0), 1 -(0) x x x x 答案答案 A 当x0时,y=0,y=(x0)的图象在第一象限,当x0,y=-(x0,x0)图象上的位置如图所示,分别过这三个 点作x轴、y轴的平行线.图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为S1,S2,S3.若OE=ED=DC,S1+S3=27,则 S2的值为 . k x 答案答案 27 5 解析解析 设CD=DE=OE=a(a0). 则P,Q,R, CP=,DQ=,ER=,ER=2
17、DQ=3CP. OA=ER,OG=DQ,OF=CP, OG=AG,OF=2FG,OF=AG, S1=S3=2S2. S1+S3=27, S3=,S1=,S2=. 故答案为. ,3 3 k a a ,2 2 k a a , k a a 3 k a2 k a k a 2 3 2 3 81 5 54 5 27 5 27 5 解题关键解题关键 本题考查反比例函数,利用反比例函数图象上点的坐标特征进行图形面积的转化,利用代数 关系找出OG,AG,OF之间的数量关系是解题的关键. 思路分析思路分析 设DE=OE=CD=a(a0),利用函数解析式分别表示P,Q,R的坐标,可得CP,DQ,ER的长.据此可 以
18、推出OG=AG,OF=2FG,OF=AG,然后根据S1+S3=27可以求出S1,S2,S3的值. 2 3 6.(2018河南,18,9分)如图,反比例函数y=(x0)的图象过格点(网格线的交点)P. (1)求反比例函数的解析式; (2)在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形(不写画法),要求每个矩形均需满足下列两个条件: 四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P; 矩形的面积等于k的值. k x 解析解析 (1)点P(2,2)在反比例函数y=(x0)的图象上, =2,即k=4.反比例函数的解析式为y=. (2)(答案不唯一,正确画出两个矩形即可) 举例:如图,矩形OAPB,矩形OPCD.
19、 k x 2 k4 x 考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 1.(2017甘肃兰州,11,4分)如图,反比例函数y=(x0)与一次函数y=x+4的图象交于A,B两点,A,B两点的横 坐标分别为-3,-1,则关于x的不等式x+4(x0)的解集为( ) A.x-3 B.-3x-1 C.-1x0 D.x-3或-1x0 k x k x 答案答案 B 由题意知A,B两点既在一次函数y=x+4的图象上,又在反比例函数y=(x0)的图象上,当x-3 时,反比例函数y=(x0)的图象在一次函数y=x+4图象的上方;当-3x-1时,反比例函数y=(x0)的图象 在一次函数y=x+4图象的下方;当-1x0时,
20、反比例函数y=(x0)与双曲线y=交于A,C两点(点A 在第一象限),直线y=nx(n0)交双曲线y=于A、C两点, OA=OC. 直线y=nx(n0)的图象交于B(a,4). (1)求一次函数和反比例函数的表达式; (2)设M是直线AB上一点,过M作MNx轴,交反比例函数y=(x0)的图象于点N,若以A,O,M,N为顶点的四 边形为平行四边形,求点M的坐标. k x k x 解析解析 (1)一次函数y=x+b的图象经过点A(-2,0), -2+b=0,b=2, 一次函数的表达式为y=x+2. 一次函数的图象与反比例函数y=(x0)的图象交于B(a,4), a+2=4,a=2,B(2,4),
21、反比例函数的表达式为y=. (2)设M(m-2,m),N,m0. 当MNAO且MN=AO时,以A、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形. 故=2且m0,解得m=2或m=2+2, M的坐标为(2-2,2)或(2,2+2). k x 8 x 8 ,m m 8 -( -2)m m 23 2233 4.(2019四川成都,19,10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=x+5和y=-2x的图象相交于点A,反 比例函数y=的图象经过点A. (1)求反比例函数的表达式; (2)设一次函数y=x+5的图象与反比例函数y=的图象的另一个交点为B,连接OB,求ABO的面积. 1 2 k x 1 2 k
22、 x 解析解析 (1)由解得点A的坐标为(-2,4). 把(-2,4)代入y=中,得4=,k=-8. 反比例函数的表达式为y=. (2)由解得 B(-8,1),直线BO的解析式为y=-x. 过点A作ACx轴交BO于点C,则yC=, 1 5, 2 -2 , yx yx -2, 4. x y k x-2 k -8 x 1 5, 2 -8 , yx y x 1 1 -2, 4, x y 2 2 -8, 1. x y 1 8 1 4 SABO=AC (xO-xB)=(0+8)=15. 1 2 1 2 1 4- 4 思路分析思路分析 (1)联立两直线解析式得方程组,方程组的解即为点A的坐标;(2)联立直
23、线与反比例函数解析 式,求得点B坐标,进而得到直线BO的解析式,用“铅垂法”求得ABO的面积. 考点三 反比例函数的综合应用 1.(2020江苏苏州,10,3分)如图,平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,点D(3,2)在对角线OB上,反比 例函数y=(k0,x0)的图象经过C、D两点.已知平行四边形OABC的面积是,则点B的坐标为( ) A. B. C. D. k x 15 2 8 4, 3 9 ,3 2 10 5, 3 24 16 , 55 答案答案 B 如图,分别过点D、B作DEx轴于点E,BFx轴于点F,延长BC交y轴于点H, 反比例函数y=(k0,x0)的图象经过D(3,2),
24、 k=23=6,即反比例函数解析式为y=. DEBF, ODEOBF, k x 6 x =,=, 2OF=3BF,设B(3a,2a)(a0), 平行四边形OABC的面积是, OA 2a=, OA=BC, 点C的坐标为, 则2a=6, 解得a1=,a2=-(舍去), DE OE BF OF BF OF 2 3 15 2 15 2 15 4a 15 3 -,2 4 aa a 15 3 - 4 a a 3 2 3 2 点B的坐标为,故选B. 9 ,3 2 2.(2019内蒙古包头,19,3分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(0,2),将ABO沿直线AB翻折后得 到ABC,若反比例函
25、数y=(x0)的图象上(点B的横 坐标大于点A的横坐标),点A的坐标为(2,4),过点A作ADx轴于点D,过点B作BCx轴于点C,连接OA,AB. (1)求k的值; (2)若D为OC中点,求四边形OABC的面积. k x 解析解析 (1)把A(2,4)代入,得4=. 解得k=8.(3分) (2)点A的坐标是(2,4),OD=2,AD=4. D为OC的中点, OC=2OD=4.(4分) 当x=4时,y=2, 点B的坐标是(4,2), BC=2.(5分) S四边形OABC=SAOD+S四边形ABCD =24+(2+4)2=10. 四边形OABC的面积是10.(7分) 2 k 8 4 1 2 1 2
26、 思路分析思路分析 (1)将点A的坐标代入y=,可得k值; (2)将点C的横坐标代入反比例函数的解析式可得点B的坐标,利用三角形和梯形的面积公式可得结果. k x 4.(2019辽宁大连,22,9分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(3,2)在反比例函数y=(x0)的图象上,点B在 OA的延长线上,BCx轴,垂足为C,BC与反比例函数的图象相交于点D,连接AC,AD. (1)求该反比例函数的解析式; (2)若SACD=,设点C的坐标为(a,0),求线段BD的长. k x 3 2 解析解析 (1)将(3,2)代入y=中,得2=,解得k=6,该反比例函数的解析式为y=(x0). (2)过A作A
27、EBC于点E,延长EA交y轴于点F, 点A的坐标为(3,2),AF=3. BCx轴,点C的坐标为(a,0), k x3 k6 x 点D的坐标为,AE=a-3. SACD=CD AE= (a-3)=, a=6.经检验,a=6是上述分式方程的解. 点D的坐标为(6,1). 设OA所在直线的解析式为y=mx(m0), 将(3,2)代入,得2=3m,解得m=, OA所在直线的解析式为y=x, 当x=6时,y=6=4. 点B的坐标为(6,4).BD=3. 6 , a a 1 2 1 2 6 a 3 2 2 3 2 3 2 3 C组 教师专用题组 考点一 反比例函数的图象与性质 1.(2020山西,7,3
28、分)已知点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)都在反比例函数y=(k0)的图象上,且x1x20y1y3 B.y3y2y1 C.y1y2y3 D.y3y1y2 k x 答案答案 A k0,当x0,当x0时,y随x的增大而增大且y0,又x1x2y10,x30,y3y1y3,故选A. 思路分析思路分析 根据k0得反比例函数y=的图象在第二、四象限,并在各自象限内y随x的增大而增大,然后 根据x1x20分别得出y2y10和y30)图象上的一点,AB垂直于x轴,垂足为B,OAB 的面积为6.若点P(a,7)也在此函数的图象上,则a= . k x 答案答案 12 7 解析解析 由题图得k0
29、.由OAB的面积为6,得=6, k=12(舍去负值),反比例函数的解析式为y=. 点P(a,7)也在此函数的图象上,7=,a=. | | 2 k 12 x 12 a 12 7 方法规律方法规律 在反比例函数y=的图象上任取一点,过这个点向x轴和y轴分别作垂线,与坐标轴围成的矩 形的面积是定值|k|.在反比例函数y=的图象上任取一点向一条坐标轴作垂线,以这一点和垂足以及坐 标原点为顶点所构成的三角形的面积是|k|. k x k x 1 2 3.(2019甘肃兰州,15,4分)如图,矩形OABC的顶点B在反比例函数y=(x0)的图象上,S矩形OABC=6,则k= . k x 答案答案 6 解析解析
30、 矩形OABC的面积等于6, BC BA=6,即xy=6, k=6. 4.(2019湖北黄冈,15,3分)如图,一直线经过原点O,且与反比例函数y=(k0)的图象相交于点A,点B,过点 A作ACy轴,垂足为C.连接BC.若ABC的面积为8,则k= . k x 答案答案 8 解析解析 设点A(a,b)(a0,b0),则点B(-a,-b),所以AC=a,点B到直线AC的距离是2b,则SABC=a2b=ab=8,将 点A的坐标代入反比例函数表达式可得k=ab=8. 1 2 思路分析思路分析 由反比例函数的性质易知点A与点B关于原点对称,可设点A(a,b),则点B(-a,-b),然后根据ABC 的面积
31、为8可求ab,将点A的坐标代入反比例函数表达式可得k=ab,问题解决. 5.(2018内蒙古包头,19,3分)以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点,以平行于两边的直线为坐标 轴,建立如图所示的平面直角坐标系,BEAC,垂足为E.若双曲线y=(x0)经过点D,则OB BE的值为 . 3 2x 答案答案 3 解析解析 根据题意得,矩形ABCD的顶点B在双曲线y=上,顶点A,C在双曲线y=-上.设AB与x轴交于 点M,BC与y轴交于点N,则SAMO=SCNO=,S矩形BMON=,SABC=3.OB=BD=AC,BEAC,SABC=BE AC=BE 2OB=3,即OB BE=3. 3 2x 3
32、2x 3 4 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 6.(2018贵州贵阳,12,4分)如图,过x轴上任意一点P作y轴的平行线,分别与反比例函数y=(x0),y=-(x 0)的图象交于A点和B点,若C为y轴上任意一点,连接AC,BC,则ABC的面积为 . 3 x 6 x 答案答案 9 2 解析解析 解法一:设点P(m,0),可得点A,B, AB=+=, SABC=m=. 解法二:如图,连接OA,OB,ABy轴,SABC=SABO=SAPO+SBPO=+=. 解法三:特殊点法,当点C在原点时,SABC=SABO=SAPO+SBPO=+=. 3 ,m m 6 ,-m m 3 m 6 m 9 m
33、1 2 9 m 9 2 3 2 6 2 9 2 3 2 6 2 9 2 7.(2020浙江杭州,20,10分)设函数y1=,y2=-(k0). (1)当2x3时,函数y1的最大值是a,函数y2的最小值是a-4,求a和k的值; (2)设m0,且m-1,当x=m时,y1=p;当x=m+1时,y1=q.圆圆说:“p一定大于q.”你认为圆圆的说法正确吗? 为什么? k x k x 解析解析 (1)因为k0,函数图象在第一、三象限,所以y1随x的增大而减小, 所以当x=2时,y1=a,即k=2a. 又因为-k0,函数图象在第二、四象限,所以y2随x的增大而增大, 所以当x=2时,y2=a-4,即-k=2
34、a-8. 由,得a=2,k=4. (2)圆圆的说法不正确. 取m=m0,满足-1m00,则m00. 所以当x=m0时,p=y1=0. 此时p00时,反比例函数的图象在第一、第三象限内, 在同一象限内,y随x的增大而减小.当k0)的图象如图所示,而函数y=-x+的图象可由直线y=-x平移得到.请在同一直角坐标系中直 接画出直线y=-x. 4 x2 m 4 x2 m (3)平移直线y=-x,观察函数图象 当直线平移到与函数y=(x0)的图象有唯一交点(2,2)时,周长m的值为 ; 在直线平移过程中,交点个数还有哪些情况?请写出交点个数及对应的周长m的取值范围. (4)得出结论 4 x 若能生产出面
35、积为4的矩形模具,则周长m的取值范围为 . 解析解析 (1)一. (2)如图. (3)8. 把点(2,2)代入y=-x+得2=-2+,解得m=8. 2 m 2 m 在直线平移过程中,交点个数还有0个,2个两种情况. 当有0个交点时,周长m的取值范围是0m8. (4)m8. 考点二 反比例函数与一次函数的综合应用 1.(2020辽宁营口,10,3分)如图,在平面直角坐标系中,OAB的边OA在x轴正半轴上,其中OAB=90,AO =AB,点C为斜边OB的中点,反比例函数y=(k0,x0)的图象过点C且交线段AB于点D,连接CD,OD,若SOCD =,则k的值为( ) A.3 B. C.2 D.1
36、k x 3 2 5 2 答案答案 C 如图,过点C作CEOA于点E,则CEAB,所以OCEOBA.又因为C是OB的中点,所以SOBA =4SOCE.由反比例函数系数k的几何意义可知SOCE=SOAD=0.5k,所以SOBA=2k,所以SOBD=1.5k.因为SOCD= ,C是OB的中点,所以SOBD=3,所以k=2. 3 2 解后反思解后反思 本题需要借助反比例函数系数k的几何意义以及相似三角形的相关知识解决. 2.(2019江西,5,3分)已知正比例函数y1的图象与反比例函数y2的图象相交于点A(2,4),下列说法正确的是 ( ) A.反比例函数y2的解析式是y2=- B.两个函数图象的另一
37、交点坐标为(2,-4) C.当x-2或0x2时,y1y2 D.正比例函数y1与反比例函数y2都随x的增大而增大 8 x 答案答案 C 设反比例函数的解析式为y2=,k0,将点A(2,4)代入,得4=,k=8,所以反比例函数的解析式为 y2=,故A选项错误;易知反比例函数图象和正比例函数图象的交点关于原点中心对称,所以另一个交点 坐标为(-2,-4),故B选项错误;y1和y2的大致图象如图: 结合函数图象,可知当x-2或0x2时,y10)的图象与y=2x的图象相交于点C,过直线上点 A(a,8)作ABy轴交于点B,交反比例函数图象于点D,且AB=4BD. (1)求反比例函数的解析式; (2)求四
38、边形OCDB的面积. k x 解析解析 (1)由点A(a,8)在y=2x的图象上,得a=4, A(4,8).(1分) ABy轴,与反比例函数图象交于点D,且AB=4BD, BD=1,即D(1,8).(3分) k=8,反比例函数的解析式为y=.(5分) (2)C是直线y=2x与反比例函数y=(x0)图象的交点, 2x=,又x0,x=2,则C(2,4).(7分) SABO=48=16,(8分) SADC=34=6,(9分) S四边形OCDB=SABO-SADC=10.(10分) 8 x 8 x 8 x 1 2 1 2 8.(2019内蒙古呼和浩特,23,7分)如图,在平面直角坐标系中,矩形OCAB
39、(OCOB)的对角线长为5,周长为 14.若反比例函数y=的图象经过矩形顶点A. (1)求反比例函数解析式;若点(-a,y1)和(a+1,y2)在反比例函数的图象上,试比较y1与y2的大小; (2)若一次函数y=kx+b的图象过点A并与x轴交于点(-1,0),求出一次函数解析式,并直接写出kx+b-0成 立时,对应x的取值范围. m x m x 解析解析 (1)设A点的坐标为(x,y),则x2+y2=25, (x+y)2-2xy=25, 又x+y=7,xy=12, m=12,反比例函数解析式为y=. 当a-1时,a+100y2; 当-1a-时,0a+1-a,此时y1y2; 当-a0时,0-ay
40、2; 当a0时,-a0a+1,此时y10y2. (2)由题意知A(3,4), 又一次函数y=kx+b的图象过点A并与x轴交于点(-1,0),解得 则一次函数的解析式为y=x+1. 12 x 1 2 1 2 34, -0, kb kb 1, 1, k b 由解得 当kx+b-0时,对应的x的取值范围为x-4或0x0)的图象G经过点A(4,1),直线l:y=x+b与图象 G交于点B,与y轴交于点C. (1)求k的值; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记图象G在点A,B之间的部分与线段OA,OC,BC围成的区域(不含 边界)为W. 当b=-1时,直接写出区域W内的整点个数; 若区域W内恰有4个
41、整点,结合函数图象,求b的取值范围. k x 1 4 解析解析 (1)由函数y=(x0)的图象过点A(4,1),得k=14=4. (2)整点个数为3. 如图, k x 若b0,当直线过点(1,2)时,b=, 当直线过点(1,3)时,b=,b; 若b0,当直线过点(4,0)时,b=-1, 7 4 11 4 7 4 11 4 当直线过点(5,0)时,b=-, -b-1. 综上,-b-1或0)的图象与直线y=x-2交于点A(3,m). (1)求k,m的值; (2)已知点P(n,n)(n0),过点P作平行于x轴的直线,交直线y=x-2于点M,过点P作平行于y轴的直线,交函数y =(x0)的图象于点N.
42、 当n=1时,判断线段PM与PN的数量关系,并说明理由; 若PNPM,结合函数的图象,直接写出n的取值范围. k x k x 解析解析 (1)直线y=x-2经过A(3,m), m=3-2=1. 又y=(x0)的图象经过点A(3,1),k=xy=3. (2)PM=PN.理由如下: 当n=1时,点P的坐标是(1,1), 点M的坐标为(3,1),点N的坐标为(1,3), PM=PN=2. 由题意知,M(n+2,n), PM=2. PNPM,PN2. 又PN=, 2,00,x0)的图象经过AE上的两点A,F,且AF=EF, ABE的面积为18,则k的值为( ) A.6 B.12 C.18 D.24 k
43、 x 答案答案 B 连接BD,AD平分OAE,OAD=EAD,四边形ABCD是矩形,OA=OD,ODA= OAD,ODA=EAD,BDAE,AOE与ABE的面积相等,为18,又AF=EF,OEF的面积为 9,设F,F为AE的中点且A点在反比例函数y=(k0,x0)的图象上,A,过A作AMx轴交 于M,过F作FNx轴交于N,则OM=,MN=,又AF=EF,MN=NE,OFN的面积为OEF面积的, 为6,k=2SOFN=12. , k a a k x 2 , 2 ak a 2 a 2 a 2 3 2.(2019福建,16,4分)如图,菱形ABCD的顶点A在函数y=(x0)的图象上,函数y=(k3,
44、x0)的图象关于直 线AC对称,且过B,D两点.若AB=2,BAD=30,则k= . 3 x k x 答案答案 6+2 3 解析解析 连接AC,过B作BFx轴于F,过A作AMBF于M,如图. 由双曲线的对称性可知,点A,C是第一象限角平分线上的点,即xA=yA,=3,即xA=,A(,). 根据题意可得CAM=45, BAC=BAD=30=15, BAM=30,BM=AB=2=1. AM=. B(2,1+). 2 A x333 1 2 1 2 1 2 1 2 22 -AB BM 2 2 -13 33 k=2(1+)=6+2. 333 疑难突破疑难突破 本题的突破口是得到CAM=45,将点的坐标转
45、化为线段长,构建含30角的RtABM. 3.(2019甘肃兰州,23,7分)如图,在平面直角坐标系xOy中,反比例函数y=(k0)的图象过等边三角形BOC 的顶点B,OC=2,点A在反比例函数图象上,连接AC,AO. (1)求反比例函数y=(k0)的表达式; (2)若四边形ACBO的面积是3,求点A的坐标. k x k x 3 解析解析 (1)OC=2,且BOC为等边三角形, B(-1,-),k=(-1)(-)=, 反比例函数的表达式为y=. (2)S四边形ACBO=SBOC+SAOC,过点A作ANx轴于点N. 333 3 x SBOC=OC2=,+SAOC=3, SAOC=2,即OC AN=
46、2, 又OC=2,AN=2. 设A(t,2),2t=,t=, 即点A的坐标为. 3 4 333 3 1 2 3 3 333 1 2 1 ,2 3 2 思路分析思路分析 (1)根据等边三角形的性质及OC=2可求点B的坐标,再代入反比例函数的表达式即可求k;(2) 由四边形ACBO的面积等于三角形BOC与三角形AOC的面积之和,可得三角形AOC的面积,利用OC=2,可 求点A到x轴的距离,即点A的纵坐标,设出点A坐标,代入反比例函数的表达式求出点A的横坐标,问题得到 解决. 4.(2018湖北武汉,22,10分)已知点A(a,m)在双曲线y=上且m0)沿y轴折叠得到双曲线y=-(x0),将线段OA
47、绕点O旋转,点A刚好落 在双曲线y=-(x0)上的点D(d,n)处,求m和n的数量关系. 8 x 8 x 8 x 8 x 8 x 解析解析 (1)C(1,3). 依题意,得点C的坐标是(t,t+2). 双曲线y=经过点C,t(t+2)=8, 解得t=2或t=-4. (2)点A,D分别在双曲线y=(x0)和y=-(x0)上, m=,n=-,即a=,d=-. OA=OD, a2+m2=d2+n2, +m2=+n2, (m-n)(m+n)(mn+8)(mn-8)=0. m0, 8 x 8 x 8 x 8 a 8 d 8 m 8 n 2 8 m 2 8 - n 思路分析思路分析 (1)当t=1时,求出PB的长即可得出点C的坐标;由题意可知点C的坐标为(t,t+2),把点C的 坐标代入y=即可得解. (2)由题意
