1、 中考数学 （福建专用） 6.2 图形的相似 20162020年全国中考题组 考点一 相似的性质与判定 1.(2020四川成都,9,3分)如图,直线l1l2l3,直线AC和DF被l1,l2,l3所截,AB=5,BC=6,EF=4,则DE的长为( ) A.2 B.3 C.4 D. 10 3 答案答案 D l1l2l3, 由平行线分线段成比例可得=, AB=5,BC=6,EF=4, =,DE=4=,故选D. DE EF AB BC 4 DE5 6 5 6 10 3 2.(2020云南,11,4分)如图,平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是CD的中点,则DEO与 BCD的面积的比等于
2、( ) A. B. C. D. 1 2 1 4 1 6 1 8 答案答案 B 在ABCD中,BO=DO,E是CD的中点,OEBC,OE=BC,DOEDBC,= =.故选B. 1 2 DEO BCD S S 2 OE BC 1 4 3.(2016宁德,11,4分)如图,已知ADEABC,若ADE=37,则B= . 答案答案 37 解析解析 ADEABC,若ADE=37,得B=ADE=37. 4.(2016厦门,13,4分)如图,在ABC中,DEBC,且AD=2,DB=3,则= . DE BC 答案答案 2 5 解析解析 DEBC, ADEABC, =. 又AD=2,DB=3,AB=5, =. A
3、D AB DE BC DE BC 2 5 5.(2020内蒙古呼和浩特,23,10分)某同学在学习了正多边形和圆之后,对正五边形的边及相关线段进行 研究,发现多处出现著名的黄金分割比0.618.如图,圆内接正五边形ABCDE,圆心为O,OA与BE交 于点H,AC,AD与BE分别交于点M、N.根据圆与正五边形的对称性,只对部分图形进行研究.(其他可同理 得出) (1)求证:ABM是等腰三角形且底角等于36,并直接说出BAN的形状; (2)求证:=,且其比值k=; (3)由对称性知AOBE,由(1)(2)可知也是一个黄金分割数,据此求sin 18的值. 51 2 BM BN BN BE 51 2
4、MN BM 解析解析 (1)连接圆心O与正五边形除A外的各顶点, 在正五边形中,AOE=3605=72, ABE=AOE=36,同理BAC=72=36,AM=BM, ABM是等腰三角形且底角等于36. BOD=BOC+COD=72+72=144, BAD=BOD=72,BNA=180-BAD-ABE=72, AB=NB,即ABN为等腰三角形. 1 2 1 2 1 2 (2)证明:ABM=ABE,AEB=AOB=36=BAM, BAMBEA, =,而AB=BN, =,设BM=y,AB=x,则AM=AN=y,AE=BN=x, AMN=MAB+MBA=72=BAN,ANM=ANB, AMNBAN,
5、=,即=,则y2=x2-xy, 两边同除以x2,得=1-,设=t, 则t2+t-1=0,解得t=或(舍),=. 1 2 BM AB AB BE BM BN BN BE AM AB MN AN y x xy y 2 y x y x y x 51 2 15 2 BM BN BN BE y x 51 2 (3)MAN=36,根据对称性可知:MAH=NAH=MAN=18,而AOBE,=, sin 18=sinMAH=. 1 2 MN BM 51 2 MH AM 1 2 MN AM2 MN BM 51 4 6.(2016南平,21,8分)如图,RtABC中,C=90,AB=14,AC=7,D是BC上一点
6、,BD=8,DEAB,垂足为E,求线 段DE的长. 解析解析 DEAB, BED=90, BED=C. 又B=B, BEDBCA, =, DE=4. BD AB DE AC BD AC AB 8 7 14 7.(2019福建,20,8分)已知ABC和点A,如图. (1)以点A为一个顶点作ABC,使得ABCABC,且ABC的面积等于ABC面积的4倍;(要求: 尺规作图,不写作法,保留作图痕迹) (2)设D,E,F分别是ABC三边AB,BC,CA的中点,D,E,F分别是你所作的ABC三边AB,BC,CA的中 点,求证:DEFDEF. 解析解析 本题考查尺规作图、相似三角形的性质与判定、三角形中位线
7、定理等基础知识,考查推理能力. (1) ABC为所求作的三角形. (2)证明:D,E,F分别是ABC三边AB,BC,CA的中点, DE=AC,EF=AB,FD=BC. 同理,DE=AC,EF=AB,FD=BC. ABCABC, =, 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 AC A C AB A B BC B C =, 即=, DEFDEF. 1 2 1 2 AC A C 1 2 1 2 AB A B 1 2 1 2 BC B C DE D E EF E F FD F D 8.(2018福建,20,8分)求证:相似三角形对应边上的中线之比等于相似比. 要求:根据给出的ABC及线段AB,
8、A(A=A),以线段AB为一边,在给出的图形上用尺规作出 ABC,使得ABCABC,不写作法,保留作图痕迹; 在已有的图形上画出一组对应中线,并据此写出已知,求证和证明过程. 解析解析 如图, ABC即为所求作的三角形. 已知:如图,ABCABC,=k,AD=DB,AD=DB.求证:=k. A B AB B C BC A C AC C D CD 证明:AD=DB,AD=DB, AD=AB,AD=AB, =,又=,=, ABCABC,A=A, 1 2 1 2 A D AD 1 2 1 2 A B AB A B AB A B AB A C AC A D AD A C AC CADCAD,=k. C
9、 D CD A C AC 9.(2016福州,25,12分)如图,在ABC中,AB=AC=1,BC=,在AC边上截取AD=BC,连接BD. (1)通过计算,判断AD2与AC CD的大小关系; (2)求ABD的度数. 51 2 解析解析 (1)AD=BC=, AD2=. AC=1,CD=1-=, AD2=AC CD. (2)AD2=AC CD,AD=BC, BC2=AC CD,即=. 又C=C, ABCBDC. =. 又AB=AC, 51 2 2 51 2 35 2 51 2 35 2 BC AC CD BC AB BD AC BC BD=BC=AD. A=ABD,ABC=C=BDC. 设A=A
10、BD=x,则BDC=A+ABD=2x, ABC=C=BDC=2x, A+ABC+C=x+2x+2x=180. 解得x=36. ABD=36. 思路分析思路分析 (1)直接计算即可得结论;(2)由AD2=AC CD,得到BC2=AC CD,即=,从而得到ABC BDC,故有=,从而得到BD=BC=AD,故A=ABD,ABC=C=BDC.设A=ABD=x,则 BDC=2x,ABC=C=BDC=2x,由三角形内角和等于180可求得x,从而得出结论. BC AC CD BC AB BD AC BC 10.(2016莆田,25,12分)若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形
11、的 另两条边上,则正方形称为三角形该边上的内接正方形,ABC中,设BC=a,AC=b,AB=c,各边上的高分别 记为ha,hb,hc,各边上的内接正方形的边长分别记为xa,xb,xc. (1)模拟探究:如图,正方形EFGH为ABC的BC边上的内接正方形,求证:+=; (2)特殊应用:若BAC=90,xb=xc=2,求+的值; (3)拓展延伸:若ABC为锐角三角形,bxc.理由如下: 由(1)得+=,+=, xb=,xc=, EH BC AK AD a x a aa a hx h 1 a 1 a h 1 a x 1 b 1 b h 1 b x 1 b 1 c 1 2 1 b 1 b h 1 b
12、x 1 c 1 c h 1 c x b b bh bh c c ch ch SABC=bhb=chc,2SABC=bhb=chc, 又hb=csinBAC,hc=bsinBAC, -= = =, bc,sinBAC1,-xc. 1 2 1 2 1 b x 1 c x () 2 bc ABC bhch S sin(sin) 2 ABC bcBACcbBAC S ()(1sin) 2 ABC bcBAC S 1 b x 1 c x 考点二 图形的位似 1.(2020河北,8,3分)在如图所示的网格中,以点O为位似中心,四边形ABCD的位似图形是( ) A.四边形NPMQ B.四边形NPMR C.四
13、边形NHMQ D.四边形NHMR 答案答案 A 根据“两个位似图形一定是相似图形”以及四边形ABCD是菱形可知选A. 2.(2020重庆A卷,8,4分)如图,在平面直角坐标系中,ABC的顶点坐标分别是A(1,2),B(1,1),C(3,1),以原点 为位似中心,在原点的同侧画DEF,使DEF与ABC成位似图形,且相似比为21,则线段DF的长度 为( ) A. B.2 C.4 D.2 55 答案答案 D 由题可知:AB=1,BC=2,AC=,因为DEF与ABC成位似图形,且相似 比为21,则DF=2AC=2,故选D. 22 ABBC 22 12 5 5 3.(2017四川成都,8,3分)如图,四
14、边形ABCD和ABCD是以点O为位似中心的位似图形,若OAOA=23, 则四边形ABCD与四边形ABCD的面积比为( ) A.49 B.25 C.23 D. 23 答案答案 A 由位似图形的性质知=,所以=.故选A. AB A B OA OA 2 3 ABCD A B C D S S 四边形 四边形 2 AB A B 4 9 4.(2016三明,13,4分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(1,0),D(3,0),ABC与DEF位似,原点O是位似中 心.若AB=1.5,则DE= . 答案答案 4.5 解析解析 ABC与DEF是位似图形,它们的位似中心恰好为原点,已知A点坐标为(1,0),D点坐
15、标为(3, 0), AO=1,DO=3, =, DE=3AB=4.5. AO DO AB DE 1 3 思路分析思路分析 根据点的坐标得出AO,DO的长,进而得出=,求出DE的长即可. AO DO AB DE 1 3 思路分析思路分析 此题主要考查了位似图形的性质,根据已知点的坐标得出=是解题的关键. AO DO AB DE 1 3 5.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,=,则= . OE OA 3 5 FG BC 答案答案 3 5 解析解析 四边形ABCD与四边形EFGH位似,OEFOAB,OFGOBC,=,= =. OF OB OE
16、OA 3 5 FG BC OF OB 3 5 6.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的1010网格中,已知点O,A,B均为网 格线的交点. (1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对应点分别为 A1,B1).画出线段A1B1; (2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90得到线段A2B1.画出线段A2B1; (3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是 个平方单位. 解析解析 (1)线段A1B1如图所示.(3分) (2)线段A2B1如图所示.(6分) (3)20.(8分) 提示:根据(
17、1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为=2, 以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积为(2)2=20(个平方单位). 22 425 5 教师专用题组 考点一 相似的性质与判定 1.(2020广西北部湾经济区,9,3分)如图,在ABC中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH一边在BC上,点E,F分 别在AB,AC上,AD交EF于点N,则AN的长为( ) A.15 B.20 C.25 D.30 答案答案 B 在正方形EFGH中,EFHG,EF=EH,易证ANEF,所以EH=ND,令AN=x,则EF=EH=ND=60-x, 由EFHG可得AEFABC,故=,即=,
18、解得x=20,故选B. AN AD EF BC60 x60 120 x 2.(2019黑龙江齐齐哈尔,23,12分)折纸是同学们喜欢的手工活动之一,通过折纸我们既可以得到许多美 丽的图形,同时折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识. 折一折:把边长为4的正方形纸片ABCD对折,使边AB与CD重合,展开后得到折痕EF,如图;点M为CF上 一点,将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠,使点C落在EF上的点N处,展开后连接DN,MN,AN,如图. (一)填一填,做一做: (1)图中,CMD= ;线段NF= ; (2)图中,试判断AND的形状,并给出证明; 剪一剪、折一折:将图中的AND剪下来,将其沿直线GH折
19、叠,使点A落在点A处,分别得到图、图 . (二)填一填: (3)图中阴影部分的周长为 ; (4)图中,若AGN=80,则AHD= ; (5)图中的相似三角形(包括全等三角形)共有 对; (6)如图,点A落在边ND上,若=,则= (用含m,n的代数式表示). A N A D m n AG AH 解析解析 (一)填一填,做一做: (1)75;4-2.(2分) 详解:如图,由题知CD=DN=2ED,EFAD,2=3, 1=30,4=60,NDC=30. 2=3,NDC=2+3,3=15. C=90, CMD=75. 在RtNED中,1=30, EN=4 cos 30=2,EF=4, 3 3 NF=4
20、-2. (2)AND是等边三角形.(3分) 证明:由折叠可知DN=CD=AD,(4分) DE=AD,DE=DN,(5分) EFAD,END=30,(6分) ADN=60,ADN是等边三角形.(7分) (二)填一填: (3)12.(8分) 详解:由(2)可知AND为等边三角形. 由折叠可知AG=AG,AH=AH, 阴影部分周长=NG+GA+DH+AH+ND =NG+GA+DH+AH+ND =AN+AD+ND =12. 3 1 2 1 2 (4)40.(9分) 详解:由折叠知,A=A=60, N=D=60,NPG=QPA,PQA=HQD, NGPAQP,AQPDQH, NGPDQH,AHD=NPG
21、, N=60,NGP=80,NPG=40, AHD=40. (5)4.(10分) 详解:由(4)知NGPAQPDQH, 再加上AGHAGH, 共有4对相似三角形. (6).(12分) 详解:=, 可设AN=bm,AD=bn(b0). AND是等边三角形, AN=AD=ND=b(m+n),A=N=D=60, 由折叠可知AG=AG,AH=AH,A=GAH=60, =, NGA+NAG=120,NAG+HAD=120, NGA=HAD,N=D,NGADAH, 2 2 mn mn A N A D m n AG AH A G A H =, 即=. A G A H A NG A DH C C () ()
22、b mnbm b mnbn 2 2 mn mn AG AH 2 2 mn mn 方法总结方法总结 图形折叠问题的解题关键是找出对称轴,再根据轴对称性得出全等三角形,同时可以得到折 叠前后两图形对应边及对应角相等的关系. 3.(2019安徽,23,14分)如图,在RtABC中,ACB=90,AC=BC.P为ABC内部一点,且APB=BPC=135. (1)求证:PABPBC; (2)求证:PA=2PC; (3)若点P到三角形的边AB,BC,CA的距离分别为h1,h2,h3,求证:=h2 h3. 2 1 h 证明证明 (1)在ABP中,APB=135, ABP+BAP=45, 又ABC为等腰直角三
23、角形,ABC=45, 即ABP+CBP=45,BAP=CBP. 又APB=BPC=135,PABPBC.(4分) (2)证法一:由(1)知PABPBC, =. 于是,=2,即PA=2PC.(9分) 证法二:APB=BPC=135,APC=90, CAP45,故APCP. 如图,在线段AP上取点D,使AD=CP. 又CAD+PAB=45,且PBA+PAB=45, CAD=PBA, 又CBP+BCP=CBP+PBA=45,PBA=BCP,CAD=BCP.AC=CB,ADC CPB,ADC=CPB=135,CDP=45, PA PB PB PC AB BC 2 PA PC PA PB PB PC P
24、DC为等腰直角三角形,CP=PD,又AD=CP, PA=2PC.(9分) (3)如图,过点P作边AB,BC,CA的垂线,垂足分别为Q,R,S,则PQ=h1,PR=h2,PS=h3,在RtCPR中,= tanPCR=tanCAP=, =,即h3=2h2.又PABPBC,且=, PR CR CP AP 1 2 2 3 h h 1 2 AB BC 2 =,即h1=h2,于是=h2 h3.(14分) 1 2 h h 22 2 1 h 思路分析思路分析 (1)结合题意易求ABC=45,从而得出PBA+PBC=45,进而求出PAB=PBC,结合 APB=BPC=135,即可证明;(2)证法一:由ABC是等
25、腰直角三角形,即可得出AB和BC之间的关系,再 利用(1)中的相似得到=,问题解决;证法二:由已知易推APC=90,在线段AP上取点D,使 得AD=CP,然后证明CAD=BCP,从而证明ADCCPB,进一步得出PDC是等腰直角三角形,问 题解决;(3)h1,h2分别为第(1)问中的两个相似三角形中AB和BC边上的高,根据相似三角形的性质可得h1= h2.在RtCPR中,CR=h3,=tanPCR=tanCAP=.易证=h2 h3. PA PB PB PC AB BC 2 2 2 3 h h CP AP 1 2 2 1 h 难点突破难点突破 第(3)问的突破口是h2h3=tanPCR=tanCA
26、P=,结合APBBPC可证=h2 h3. 1 2 2 1 h 4.(2019四川成都,27,10分)如图1,在ABC中,AB=AC=20,tan B=,点D为BC边上的动点(点D不与点B,C 重合).以D为顶点作ADE=B,射线DE交AC边于点E,过点A作AFAD交射线DE于点F,连接CF. (1)求证:ABDDCE; (2)当DEAB时(如图2),求AE的长; (3)点D在BC边上运动的过程中,是否存在某个位置,使得DF=CF?若存在,求出此时BD的长;若不存在,请 说明理由. 3 4 解析解析 (1)证明:AB=AC, B=ACB. ADE+CDE=B+BAD,ADE=B, BAD=CDE
27、. ABDDCE. (2)过点A作AMBC于点M. 在RtABM中,设BM=4k,则AM=BM tan B=4k=3k, 3 4 由勾股定理,得AB2=AM2+BM2. 202=(3k)2+(4k)2. k=4. AB=AC,AMBC, BC=2BM=2 4k=32. DEAB, BAD=ADE. 又ADE=B,B=ACB, BAD=ACB. 又ABD=CBA, ABDCBA. =. DB=. AB CB DB AB 2 AB CB 2 20 32 25 2 DEAB, =. AE=. (3)D点在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF. 过点F作FHBC于点H.过点A作AMBC于
28、点M,ANFH于点N. AE AC BD BC AC BD BC 25 20 2 32 125 16 易知NHM=AMH=ANH=90, 四边形AMHN为矩形, MAN=90,MH=AN. AB=AC,AMBC, BM=CM=BC=32=16. 在RtABM中,由勾股定理,得AM=12. ANFH,AMBC, ANF=90=AMD. DAF=90=MAN, NAF=MAD. AFNADM. =tanADF=tan B=. 1 2 1 2 22 ABBM 22 2016 AN AM AF AD 3 4 AN=AM=12=9. CH=CM-MH=CM-AN=16-9=7. 当DF=CF时,由点D不
29、与点C重合,可知DFC为等腰三角形. 又FHDC, CD=2CH=14. BD=BC-CD=32-14=18, 点D在BC边上运动的过程中,存在某个位置,使得DF=CF,此时BD=18. 3 4 3 4 解后反思解后反思 由相似三角形的判定定理来判定相似.求以相似图形为背景的某些线段的长,常常运用成比 例线段,勾股定理,解直角三角形等方面的知识求解. 考点二 图形的位似 1.(2020宁夏,17,6分)在平面直角坐标系中,ABC的三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(4,1),C(1,1). (1)画出ABC关于x轴成轴对称的A1B1C1; (2)画出ABC以点O为位似中心,位似比为12的A2
30、B2C2. 解析解析 (1)正确画出A1B1C1如图.(3分) (2)正确画出A2B2C2如图.(6分) 2.(2016广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0), C(4,-4). (1)请画出ABC向左平移6个单位长度后得到的A1B1C1; (2)以点O为位似中心,将ABC各边缩小为原来的,得到A2B2C2,请在y轴右侧画出A2B2C2,并求出 A2C2B2的正弦值. 1 2 解析解析 (1)A1B1C1为所求作三角形.(3分,正确作出一个点给1分) (2)A2B2C2为所求作三角形.(6分,正确作出一个点给1分) 根据勾股定理
31、得A2C2=, sinA2C2B2=.(8分) 22 1310 1 10 10 10 A组 20182020年模拟基础题组 时间:80分钟 分值:100分 一、选择题（每小题4分，共12分） 1.(2020漳州线上质检,7)如图,五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1是位似图形,A和A1是一对对应点,P是位 似中心,且2PA=3PA1,则五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为( ) A. B. C. D. 2 3 3 2 3 5 5 3 答案答案 B 2PA=3PA1,=, 故五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1的相似比为. 故选B. 1 PA PA 3 2 3
32、2 解题关键解题关键 本题考查了位似图形的性质,明确位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 相似比是解题关键. 2.(2020漳州平和质检,8)九章算术是中国古代的数学专著,它奠定了中国古代数学的基本框架,以计 算为中心,密切联系实际,以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样一个问题:“今 有勾五步,股十二步,问勾中容方几何?”其大意是:如图,RtABC的两条直角边的长分别为5和12,则它 的内接正方形CDEF的边长是多少?设正方形CDEF的边长为x,下列等式错误的是( ) A.= B.= C.= D.= 12 12 x 5 x5 5 x 12 x 12x x 5 x
33、x12 x12 5 x 答案答案 D BFEBCA, =,=,A中等式正确. ADEACB, =, =,B中等式正确,D中等式错误. BFEEDA, =, =,C中等式正确,故选D. BF BC EF AC 12 12 x 5 x AD AC DE BC 5 5 x 12 x BF ED EF AD 12x x 5 x x 易错警示易错警示 本题是“A”型相似模型,识别图形是关键,注意在列比例式时,对应关系不能错. 3.(2019福州二检,3)已知ABCDEF,若面积比为49,则它们对应高的比是( ) A.49 B.1681 C.35 D.23 答案答案 D ABCDEF,ABC与DEF面积比
34、为49, ABC与DEF的相似比为23, ABC与DEF对应高的比为23.故选D. 二、填空题（每小题4分，共12分） 4.(2019泉州晋江质检,14)如图,在梯形ABCD中,ADBC,过腰AB上的点E作EFAD,交另一腰CD于点F, 若=,且DF=3,则CD= . AE EB 1 2 答案答案 9 解析解析 由题意可得=,即=, FC=6,CD=DF+FC=3+6=9. AE BE DF FC 1 2 3 FC 5.(2020福州一检,11)如图,ABCD,AD与BC相交于点E,若AE=2,ED=3,则的值为 . BE EC 答案答案 2 3 解析解析 ABCD, ABE=ECD,EAB=
35、EDC. AEB=DEC, AEBDEC. =. BE EC AE ED 2 3 6.(2020漳州一检,15)“今有邑,东西七里,南北九里,各开中门,出东门一十五里有木,问:出南门几何步而 见木?”这段话摘自九章算术,意思是说:如图,长方形城池ABCD,东边城墙AB长9里,南边城墙AD长7 里,东门点E,南门点F分别是AB,AD的中点,GEAB,FHAD,EG=15里,HG过点A,则FH= 里. 答案答案 21 20 解析解析 GEAB,FHAD, GEA=AFH=90. 四边形ABCD为矩形, EAF=90. GAE+HAF=90. AFH=90, FAH+FHA=90, GAE=FHA,
36、 GEAAFH, 则有=. 点E为AB的中点, AE=AB=. GE AF AE FH 1 2 9 2 点F为AD的中点,AF=AD=. 设FH=x里, =, 解得x=. 所以FH=里. 1 2 7 2 15 7 2 9 2 x 21 20 21 20 三、解答题（共76分） 7.(2018厦门外国语学校质检,20)如图,A、B在图中格点上,以O为位似中心将线段AB缩小为原来的一半, 其中A、B的对应点分别为A、B. (1)在图中画出缩小后的图形AB; (2)若线段AB上有一点P(m,n),则点P在AB上的对应点P的坐标为 . (2)P.(8分) , 2 2 m n 解析解析 (1)如图,AB
37、即为所求作的图形.(5分) 规律总结规律总结 在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,则位似图形对应点的 横、纵坐标都乘同一个数k或-k. 8.(2020福州二检,20)如图,已知MON,A,B分别是射线OM,ON上的点. (1)尺规作图:在MON的内部确定一点C,使得BCOA且BC=OA;(保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)中,连接OC,用无刻度直尺在线段OC上确定一点D,使得OD=2CD,并证明OD=2CD. 1 2 解析解析 (1)如图,点C为所求作的点.(5分) (2)如图,点D为AB与OC的交点. 证明:由(1)得BCOA,BC=OA, DBC=DAO,
38、DCB=DOA, DBCDAO,(7分) =, OD=2CD.(8分) 1 2 DC DO BC AO 1 2 9.(2020漳州二检,20)如图,在ABC的AC边上求作一点D,使BD=AD;若BD平分ABC,且AD=5,CD=4,求 BC的长.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) 解析解析 如图,点D就是所求作的点. BD=AD,1=A. AD=5,CD=4,AC=AD+CD=5+4=9. BD平分ABC,1=2, 2=A. C=C, BCDACB, =,即=. BC=6. BC AC CD CB9 BC4 CB 10.(2020漳州平和质检,21)如图,在RtABC中,CM是斜边上的
39、中线,绕点A顺时针旋转ABC,使点C的对 应点C落在CM上. (1)尺规作图,作出旋转后的ABC; (2)若此时CC=2CM,BC与AM交于N,求的值. MN NA 解析解析 (1)如图,ABC就是所求作的三角形.(4分) (2)CM是RtABC斜边上的中线, CM=AB=AM, MAC=MCA,(5分) 由旋转的性质得:MAC=CAB,AC=AC,AB=AB, MCA=ACC, CAB=ACC, ABCM.(6分) 1 2 CC=2CM,AB=AB=2CM, AB=6CM, ABCM. MNCANB,(7分) =.(8分) MN NA C M AB 1 6 11.(2020福州福清线上质检,
40、20)如图,已知ABC中,C=90,点D在边BC上,在AC边上求作点E,使CDE CBA;并求出当AB=10,BC=8,CD=3时,四边形ABDE的面积.(要求尺规作图,保留作图痕迹,不必写作 法) 解析解析 (1)如图所示,点E就是所求作的点.(4分) (2)C=90,AB=10,BC=8, AC=6.(5分) SABC=AC BC=68=24.(6分) CDECBA, =.(7分) SCDE=24=. 22 ABBC 22 108 1 2 1 2 CDE ABC S S 2 CD CB 2 3 8 9 64 9 64 27 8 S四边形ABDE=SCBA-SCDE=24-=20.(8分)
41、27 8 5 8 12.(2020漳州一检,18)如图,在ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DEBC,ADAB=25,SADE=4.求四边形 BCED的面积. 解析解析 DEBC, ADE=B,AED=C.(2分) ADEABC.(3分) =, =.(5分) SADE=4, SABC=25.(7分) S四边形BCED=21.(8分) AD AB 2 5 ADE ABC S S 4 25 13.(2020漳州一检,21)如图,在ABC中,AB=AC,A=36. (1)在AC边上求作一点D,使得BDCABC;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法) (2)在(1)的条件下,求证:点D为线段A
42、C的黄金分割点. 解析解析 (1)作法一:如图1. 点D为所求作的点.(4分) 作法二:如图2. 点D为所求作的点.(4分) 图1 图2 (2)证明:BCDABC, =.(5分) 根据(1)的作图方法,得BD=AD=BC.(6分) =.(7分) 点D为线段AC的黄金分割点.(8分) BD AC CD BC AD CD AC AD 14.(2019漳州二检,22)如图,在ABC中,AB=,AC=,BC=3,将ABC沿射线BC平移,使B点与 E点重 合,得到DEF. (1)作出平移后的DEF(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法); (2)若AC、DE相交于点H,BE=2,求四边形DHCF的面积
43、. 36 解析解析 (1)如图所示. DEF就是所求作的三角形.(4分) (2)AB=,AC=,BC=3, AB2+AC2=BC2, 36 BAC=90.(5分) ABC平移得DEF, SDEF=SABC=.(6分) EF=BC=3且BE=2, EC=BC-BE=1.(7分) ACDF, DFE=ACE. DEF是ECH与EFD的公共角, ECHEFD.(8分) =.(9分) S四边形DHCF=SDEF= =.(10分) 1 2 36 3 2 2 ECH EFD S S 2 EC EF 1 9 8 9 8 9 3 2 2 4 2 3 15.(2019宁德二检,21)如图,点O是菱形ABCD对角
44、线的交点,点E在BO上,EF垂直平分AB,垂足为F. (1)求证:BEFDCO; (2)若AB=10,AC=12,求线段EF的长. 解析解析 (1)证明:四边形ABCD是菱形, ACBD,ABCD. FBE=ODC.(2分) 又EF垂直平分AB, BFE=DOC=90. BEFDCO.(4分) (2)四边形ABCD是菱形, OC=AC=12=6,CD=AB=10. 在RtDCO中,根据勾股定理得 OD=8. 又EF垂直平分AB, BF=AB=10=5.(6分) 由(1)知BEFDCO, 1 2 1 2 22 CDOC 22 106 1 2 1 2 =,即=, EF=.(8分) EF OC BF
45、 OD6 EF5 8 15 4 B组 20182020年模拟提升题组 时间:60分钟 分值:84分 一、选择题（每小题4分，共12分） 1.(2019福州二检,8)如图,等边三角形ABC的边长为5,D,E分别是边AB,AC上的点,将ADE沿DE折叠,点A 恰好落在BC边上的点F处,若BF=2,则BD的长是( ) A. B. C.3 D.2 24 7 21 8 答案答案 B ABC是等边三角形, A=B=C=60,AB=AC=BC=5. 由折叠性质知,DF=AD,EF=AE,DFE=A=60. 设BD=x,CE=y,则AD=DF=5-x, AE=EF=5-y. DFC=DFE+EFC=60+EF
46、C, DFC=B+BDF=60+BDF, EFC=BDF. 又B=C, DBFFCE. =, 即=, DF EF BD CF BF CE 5 5 x y 3 x2 y 解得即BD=.故选B. 6, 3(5)(5), xy xxy 21, 8 16 , 7 x y 21 8 2.(2019泉州二检,10)如图,点E为ABC的内心,过点E作MNBC,交AB于点M,交AC于点N,若AB=7,AC=5, BC=6,则MN的长为( ) A.3.5 B.4 C.5 D.5.5 答案答案 B 如图,连接BE、EC. E为ABC的内心, BE平分ABC, 1=2. MNBC, 2=3. 1=3. MB=ME.
47、 同理,EN=NC, MN=ME+EN=BM+NC. MNBC, AMNABC, =,=. 设AM=7a,MN=6a,AN=5a, BM=7-7a,CN=5-5a. MN=7-7a+5-5a=6a,解得a=,MN=6=4. AM MN AB BC 7 6 AN MN AC BC 5 6 2 3 2 3 3.(2019漳州二检,10)如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E是BC的中点,AE交BD于点F, BHAE于点G,连接OG,则下列结论: OF=OH;AOFBGF;tanGOH=2;FG+GH=GO. 其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 答案答案 D 由题意知AOF=AGB=90, AFO=BFG, AOFBGF,故正确. OAF=FBG. OA=OB,AOB=BOH=90, AOFBOH. OF=OH,故正确. AOFBGF, =,=. AFB=OFG, ABFOGF. OGA=ABO=45.
