1、 中考数学 （北京专用） 7.4 代数压轴综合题 1.(2020北京海淀一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2+m的顶点为A. (1)当m=1时,直接写出抛物线的对称轴; (2)若点A在第一象限,且OA=,求抛物线的解析式; (3)已知点B,C(2,2).若抛物线与线段BC有公共点,结合函数图象,直接写出m的取值范围. 2 1 ,1 2 mm 解析解析 (1)当m=1时,抛物线y=x2-2mx+m2+m=x2-2x+2. 抛物线的对称轴为直线x=1. (2)y=x2-2mx+m2+m=(x-m)2+m, 抛物线y=x2-2mx+m2+m的顶点A的坐标为(m,m).
2、点A在第一象限,且点A的坐标为(m,m), 过点A作AM垂直于x轴于点M.连接OA, m0,OM=AM=m. OA=m. OA=,m=1. 抛物线的解析式为y=x2-2x+2. 2 2 (3)m1或m2. 提示:把点B代入抛物线y=x2-2mx+m2+m时,方程无解; 把点C(2,2)代入抛物线y=x2-2mx+m2+m,得m2-3m+2=0,解得m=1或m=2. 根据函数图象及性质可知当m1或m2时,抛物线与线段BC有公共点,m的取值范围是m1或m2. 1 ,1 2 mm 思路分析思路分析 本题第(3)问可将点B、C的坐标分别代入表达式中,同时根据函数图象及性质即可解决. 易错警示易错警示
3、本题第(3)问在计算的过程中,一定要关注临界值是否符合题意. 2.(2020北京海淀二模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知二次函数y=mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A(-3, 0),与y轴交于点B,将其图象在点A,B之间的部分(含A,B两点)记为F. (1)求点B的坐标及该函数的表达式; (2)若二次函数y=x2+2x+a的图象与F只有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 解析解析 (1)y=mx2+2mx+3的图象与y轴交于点B, 点B的坐标为(0,3). y=mx2+2mx+3的图象与x轴交于点A(-3,0), 将A(-3,0)代入y=mx2+2mx+3可得9m-6m+3=
4、0. m=-1. 该函数的表达式为y=-x2-2x+3. (2)将二次函数y=mx2+2mx+3的图象在点A,B之间的部分(含A,B两点)记为F, F的端点为A,B,并经过抛物线y=-x2-2x+3的顶点C(其中C点坐标为(-1,4). 画出F如图1所示. 图1 二次函数y=x2+2x+a的图象的对称轴为直线x=-1, 且与F只有一个公共点, 可分别把A,B,C的坐标代入解析式y=x2+2x+a中. 可得三个a值分别为-3,3,5. 可画示意图如图2所示. 图2 结合函数图象可知:二次函数y=x2+2x+a的图象与F只有一个公共点时,a的取值范围是-3a3或a=5. 3.(2020北京西城一模
5、,26)已知抛物线y=ax2+bx+a+2(a0)与x轴交于点A(x1,0),点B(x2,0)(点A在点B的左 侧),抛物线的对称轴为直线x=-1. (1)若点A的坐标为(-3,0),求抛物线的表达式及点B的坐标; (2)C是第三象限的点,且点C的横坐标为-2,若抛物线恰好经过点C,直接写出x2的取值范围; (3)抛物线的对称轴与x轴交于点D,点P在抛物线上,且DOP=45,若抛物线上满足条件的点P恰有4个, 结合图象,求a的取值范围. 解析解析 (1)抛物线y=ax2+bx+a+2的对称轴为直线x=-1, -=-1. b=2a. y=ax2+2ax+a+2,可化为y=a(x+1)2+2. 将
6、点A(-3,0)代入y=a(x+1)2+2中,得a=-. y=-(x+1)2+2=-x2-x+. 抛物线的表达式为y=-x2-x+. 点B的坐标为(1,0). (2)-1x20. (3)抛物线的顶点坐标为(-1,2),点D的坐标为(-1,0). DOP=45,且抛物线上满足条件的点P恰有4个, 2 b a 1 2 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 抛物线与x轴的交点都在y轴的左侧. 满足条件的点P在x轴上方有2个, 在x轴下方也有2个. a+20, 解得a-2. a的取值范围是a0时,OD=. OB=2OD,OB=b. 点A的坐标为(-2b,0),点B的坐标为(b,0). 当-2b. 2
7、 b ,0 2 b 2 b 2 2 b2 2 b 2 3 当b0.OD=-. OB=2OD,OB=-b. 抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,且A在B的左侧, 点A的坐标为(0,0),点B的坐标为(-b,0). 2 b 当0-时,存在垂直于x轴的直线分别与直线l:y=x+和抛物线交于点P,Q,且点P,Q均在x轴下方,解 得b-2. 综上,b的取值范围是b. 2 2 b2 2 b 2 3 5.(2020北京朝阳一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-3ax+a+1与y轴交于点A. (1)求点A的坐标(用含a的式子表示); (2)求抛物线的对称轴; (3)已知点M(-2,-
8、a-2),N(0,a).若抛物线与线段MN恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 解析解析 (1)抛物线y=ax2-3ax+a+1与y轴交于点A, 令x=0,得y=a+1,A(0,a+1). (2)由抛物线y=ax2-3ax+a+1可知x=-=. 抛物线的对称轴是直线x=. (3)对于任意的实数a,都有a+1a. 可知点A总在点N的上方. 令抛物线上的一点C(-2,yC). yC=11a+1. 如图1,当a0时,yC-a-2. 3 2 a a 3 2 3 2 图1 点C在点M的上方. 结合函数图象,可知抛物线与线段MN没有公共点. 当a0时, (i)如图2抛物线经过点M时,yC=-a-
9、2. 图2 a=-. 结合函数图象,可知抛物线与线段MN恰有一个公共点M. (ii)当-a0时,可知抛物线与线段MN没有公共点. (iii)如图3,当a-时,yC0时,yC-a-2,根据已有信息,画出图象,结合图象,可知抛物线与线 段MN没有公共点.当a0时,先假设抛物线经过点M,即11a+1=-a-2,可得a=-,结合图象,可知抛物线与线 段MN恰有一个公共点M.当-a-a-2,可知抛物线与线段MN没公共点.当a-时,yC0时, 当a=2时,如图1,抛物线与线段AB只有一个公共点. 当a=1+时,如图2,抛物线与线段AB有两个公共点. 结合函数图象可得2a1+. 当a0时,抛物线与线段AB只
10、有一个公共点或没有公共点. 综上所述,a的取值范围是2a1+. 2 2 2 7.(2020北京门头沟一模,26)在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=-ax+3的图象与y轴交于点A,与抛物线y =ax2-2ax-3a(a0)的对称轴交于点B,将点A向右平移5个单位长度得到点C,连接AB,AC得到的折线段记 为图形G. (1)求出抛物线的对称轴和点C的坐标; (2)当a=-1时,直接写出抛物线y=ax2-2ax-3a与图形G的公共点个数; 如果抛物线y=ax2-2ax-3a与图形G有且只有一个公共点,求出a的取值范围. 解析解析 (1)抛物线y=ax2-2ax-3a(a0), 对称轴为直线x=-
11、=1, 一次函数y=-ax+3的图象与y轴交于点A, A(0,3), 点A向右平移5个单位长度得到点C,C(5,3). (2)如图1,观察图象可知,抛物线与图象G的交点有3个. 2 2 a a 图1 易得抛物线的顶点坐标为(1,-4a), 当a0时,由可知,a=-1时,抛物线经过A,B, 当a0时,如图3中,抛物线经过点C时,满足条件, 3 4 图3 25a-10a-3a=3,解得a=, 观察图象可知a时,满足条件. 1 4 1 4 综上所述,满足条件的a的取值范围为a-1或a或a=-. 1 4 3 4 8.(2020北京顺义一模,26)在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的
12、图象经过点A(0,-4)和B(-2,2). (1)求c的值,并用含a的式子表示b; (2)当-2x0时,若二次函数满足y随x的增大而减小,求a的取值范围; (3)直线AB上有一点C(m,5),将点C向右平移4个单位长度,得到点D,若抛物线与线段CD只有一个公共点, 求a的取值范围. 解析解析 (1)把点A(0,-4)和B(-2,2)分别代入y=ax2+bx+c中,得c=-4,4a-2b+c=2.(1分) b=2a-3.(2分) (2)当a0时,依题意抛物线的对称轴方程需满足-2.解得-a0时,依题意抛物线的对称轴方程需满足-0.解得0a. a的取值范围是-a0或00时,若抛物线与线段CD只有一
13、个公共点(如图1),则抛物线上的点(1,3a-7)在D点的下方. 23 2 a a 3 2 23 2 a a 3 2 3 2 3 2 3a-75,解得a4.0a4. 当a0时,若抛物线的顶点在线段CD上, 则抛物线与线段只有一个公共点(如图2), =5.即=5. 解得a=-3+(舍去)或a=-3-. 2 4 4 acb a 2 4( 4)(23) 4 aa a 3 2 3 3 2 3 综上,a的取值范围是0a4或a=-3-.(6分) 3 2 3 易错警示易错警示 本题第(3)问容易忽略顶点在线段CD上的情况,需要在分析问题的过程中养成有序思考的习 惯,即a0都要考虑. 9.(2020北京丰台一
14、模,26)已知二次函数y=ax2-2ax. (1)二次函数图象的对称轴是直线x= ; (2)当0 x3时,y的最大值与最小值的差为4,求该二次函数的表达式; (3)若a0时,对称轴为直线x=1, 当x=1时,y有最小值-a, 当x=3时,y有最大值3a, 3a-(-a)=4.a=1, 二次函数的表达式为y=x2-2x; 当a0时,同理可得, y有最大值-a,y有最小值3a,-a-3a=4,a=-1, 二次函数的表达式为y=-x2+2x. 综上所述,二次函数的表达式为y=x2-2x或y=-x2+2x. (3)a1时,y随x的增大而减小,x=-1和x=3时的函数值相等,tx1t+1,x23时,均满
15、足y1y2,t-1且t+13,-1 t2. 10.(2020北京丰台二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-4ax+3a与y轴交于点A. (1)求点A的坐标(用含a的式子表示); (2)求抛物线与x轴的交点坐标; (3)已知点P(a,0),Q(0,a-2),如果抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求a的取值范围. 解析解析 (1)令x=0,得y=3a. 点A的坐标为(0,3a).(1分) (2)令y=0,则ax2-4ax+3a=0.(2分) a0,x1=1,x2=3. 抛物线与x轴的交点坐标分别为(1,0),(3,0).(4分) (3)当a0时,可知3aa-2.解得a
16、-1. a的取值范围是-1a0时,由知a-1时,点Q始终在点A的下方,抛物线与线段PQ恰有一个公共点时,只要1a3即 可. 综上所述,a的取值范围是-1a0或1a0)的顶点A在x轴上,与y轴 交于点B. (1)用含a的代数式表示b; (2)若BAO=45,求a的值; (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域(不含边界) 内恰好没有整点,结合函数的图象,直接写出a的取值范围. 解析解析 (1)y=ax2+4ax+b=a(x+2)2+(b-4a), 顶点A的坐标为(-2,b-4a). 顶点A在x轴上,b-4a=0,即b=4a. (2)抛物线的解析式为
17、y=ax2+4ax+4a(a0),则顶点为A(-2,0),与y轴的交点B(0,4a)在y轴的正半轴. BAO=45,OB=OA=2.4a=2.a=. (3)00),抛物线在点A,B之间的部分与线段AB所围成的区域(不含边界) 内恰好没有整点,或解得a=1或00). (1)抛物线的对称轴为直线 ; (2)若当1x5时,y的最小值是-1,求当1x5时,y的最大值; (3)已知直线y=-x+3与抛物线y=ax2-4ax+1(a0)存在两个交点,设左侧的交点为点P(x1,y1),当-2x10,即抛物线开口向上,x2时,y随x的增大而增大,即x=5时,y有最大值. 把顶点(2,-1)代入y=ax2-4a
18、x+1, 得4a-8a+1=-1,解得a=, y=x2-2x+1. 当x=5时,y=,即y的最大值是. (2)当x1=-2时,P(-2,5), 把P(-2,5)代入y=ax2-4ax+1. 得4a+8a+1=5,解得a=, 1 2 1 2 7 2 7 2 1 3 当x1=-1时,P(-1,4), 把P(-1,4)代入y=ax2-4ax+1, 得a+4a+1=4,解得a=,a0,a的值影响开口大小,a的值越小,开口越大,在题目中随着抛物线与直线交点从(-2,5) 变化到(-1,4)(取不到),图象上反映的是开口由大到小,对应的a的值由小变大,所以将两个点代入即可求 出a的范围. 13.(2020
19、北京密云二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C1:y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B 的左侧),与y轴交于点C.点B的坐标为(3,0),将直线y=kx沿y轴向上平移3个单位长度后,恰好经过B、C两 点. (1)求k的值和点C的坐标; (2)求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标; (3)已知点E是点D关于原点的对称点,若抛物线C2:y=ax2-2(a0)与线段AE恰有一个公共点,结合函数的 图象,求a的取值范围. 解析解析 (1)直线y=kx+3经过点B(3,0), 3k+3=0,k=-1. y=-x+3与y轴的交点即为点C(0,3), (2)抛物线y=x2+bx+c经过点
20、B(3,0)和点C(0,3), y=x2+bx+3,9+3b+3=0,b=-4. 抛物线C1的表达式为y=x2-4x+3. y=(x-2)2-1. 顶点D的坐标为(2,-1). (3)点E是点D关于原点的对称点, 点E的坐标为(-2,1), 当y=ax2-2经过点E(-2,1)时,a=, 当y=ax2-2经过点A(1,0)时,a=2, a的取值范围是a0时,-0,如图1. 图1 令抛物线上的点C. 当x1时,y随x的增大而减小, yC1). 当x1时,y随x的增大而增大, xD2. 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点. 当a0时, (i)当-a2,如图2. 1 2 1 a 图2 令抛
21、物线上的点C. 当x-. 令抛物线上的点D(xD,2)(xD1). 当x1时,y随着x的增大而减小, xD2. 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ没有公共点. (ii)当a=-时,A(0,2),B(2,2),P,Q(2,2),如图3. 1 , 2 C y 1 a 1 2 1 ,2 2 图3 结合函数图象,可知抛物线与线段PQ恰有一个公共点Q(2,2). (iii)当a-时,0-2,如图4. 1 2 1 a 图4 令抛物线上的点C. 当x-. 令抛物线上的点D(xD,yD), 当x1时,y随x的增大而减小, 1 , 2 C y 1 a 1 1, DD xy a xD0时,如图1. 2 b a 2
22、 2 a a 图1 将x=5代入抛物线的解析式得y=12a, 12a4,a. a4, a-. 若抛物线的顶点在线段BC上,则顶点为(1,4),如图3. 4 3 图3 将点(1,4)代入抛物线的解析式得4=a-2a-3a, a=-1. 综上所述,a或ay1,则x2的取值范围是 ; (2)已知点P(-1,2),将点P向右平移4个单位长度,得到点Q.当n=3时,若抛物线与线段PQ恰有一个公共点, 结合函数图象,求m的取值范围. 解析解析 (1)m=2,抛物线为y=x2-2x+n.x=-=1, 抛物线的对称轴为直线x=1.(1分) 当x=1时,y=1-2+n=n-1, 顶点的纵坐标为n-1.(2分)
23、由开口方向向上可知当x2y1;由对称轴为x=1可知,当x24时,y2y1,所以x24.(4分) (2)点P(-1,2)向右平移4个单位得到点Q, 点Q的坐标为(3,2).n=3,抛物线为y=x2-mx+3. 当抛物线经过点Q(3,2)时,2=32-3m+3,解得m=. 当抛物线经过点P(-1,2)时,2=(-1)2+m+3,解得m=-2. 2 2 10 3 当抛物线的顶点在线段PQ上时,=2,解得m=2. 结合图象可知(图略),m的取值范围是m-2或m=2或m.(6分) 2 12 4 m 10 3 思路分析思路分析 本题(1)需要关注对称轴与顶点的关系;(2)中恰有一个公共点,有两种情况,一种
24、是相交,另 一种是相切,即顶点在线段PQ上. 解题关键解题关键 解决本题的关键是画出y=x2-mx+3的示意图:画出的图象开口方向、大小都不变,与y轴交点 也不变,进而借助图象进行观察. 17.(2019北京东城一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=mx2-6mx+9m+1(m0). (1)求抛物线的顶点坐标; (2)若抛物线与x轴的两个交点分别为A和B(点A在点B的左侧),且AB=4,求m的值; (3)已知四个点C(2,2),D(2,0),E(5,-2),F(5,6),若抛物线与线段CD和线段EF都没有公共点,请直接写出m的 取值范围. 解析解析 (1)y=mx2-6mx+9m
25、+1 =m(x2-6x+9)+1=m(x-3)2+1. 抛物线的顶点坐标为(3,1).(2分) (2)对称轴为x=3,且AB=4,A(1,0),B(5,0), 将A(1,0)代入抛物线,可得m=-.(4分) (3)m.(6分) 提示:分别将C(2,2),F(5,6)代入抛物线表达式得m=1,m=,将D(2,0),E(5,-2)代入抛物线表达式得m=-1,m =-,因为没有公共点,所以图象开口应更小,即m的绝对值更大,所以m. 1 4 5 4 5 4 3 4 5 4 18.(2019北京朝阳一模,26)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x2-2x+a-3,当a=0时,抛物线与y轴交于 点A
26、,将点A向右平移4个单位长度,得到点B. (1)求点B的坐标; (2)将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折,图象的其他部分保持不变,得到一个新的图象,记为图 形M,若图形M与线段AB恰有两个公共点,结合函数的图象,求a的取值范围. 解析解析 (1)当a=0时,抛物线表达式为y=x2-2x-3, 当x=0时,y=-3, 点A的坐标为(0,-3).(1分) 点B的坐标为(4,-3).(2分) (2)如图1,当a=0时,图形M与线段AB恰有三个公共点, 如图2,当a=-3时,图形M与线段AB恰有一个公共点, 图1 图2 如图3,当a=1时,图形M与线段AB恰有两个公共点, 图3 由图象可知
27、,当-3a0或a=1时,图形M与线段AB恰有两个公共点.(6分) 思路分析思路分析 本题(2)要理解“在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折”的含义,尝试画出各种情况的示意图. 19.(2019北京丰台一模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c过原点和点A(-2,0). (1)求抛物线的对称轴; (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知点B,记抛物线与直线AB围成的封闭区域(不含边界)为 W. 当a=1时,求出区域W内的整点个数; 若区域W内恰有3个整点,结合函数图象,直接写出a的取值范围. 3 0, 2 解析解析 (1)抛物线y=ax2+bx+c过原点(0,0)和点A
28、(-2,0), 抛物线的对称轴为直线x=-1.(1分) (2)抛物线y=ax2+bx+c经过原点(0,0)和点A(-2,0),c=0,b=2a. 抛物线解析式可化为y=ax2+2ax. a=1时,抛物线解析式为y=x2+2x.(2分) 抛物线的顶点为(-1,-1). 由图象知(图略),区域W内的整点个数为2.(3分) a或1a2或-4a0时,图象经过(-1,-2),则a=2, 1a2;图象经过(1,2),(1,1),分别得到a=,a=,a;(2)当a0时,图象经过(-1,4),(-1,3)时,分别 得到a=-4,a=-3,-4a-3. 1 3 2 3 2 3 1 3 1 3 2 3 20.(2
29、019北京石景山一模,26)在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx+1(k0)经过点A(2,3),与y轴交于点B,与 抛物线y=ax2+bx+a的对称轴交于点C(m,2). (1)求m的值; (2)求抛物线的顶点坐标; (3)N(x1,y1)是线段AB上一动点,过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P(x2,y2),Q(x3,y3)(点P在点Q的左 侧).若x2x10时,如图, 2 b a 若抛物线过点B(0,1),则a=1. 结合函数图象可得0a1. 当a0时,不符合题意. 综上所述,a的取值范围是0a1.(6分) 21.(2019北京通州一模,26)已知二次函数y=x2-ax+b在x=0和
30、x=4时的函数值相等. (1)求二次函数y=x2-ax+b的对称轴; (2)过P(0,1)作x轴的平行线与二次函数y=x2-ax+b的图象交于不同的两点M、N. 当MN=2时,求b的值; 当PM+PN=4时,请结合函数图象,直接写出b的取值范围. 解析解析 (1)二次函数y=x2-ax+b在x=0和x=4时的函数值相等,对称轴为直线x=2.(1分) (2)不妨设点M在点N的左侧.对称轴为直线x=2,MN=2, 点M的坐标为(1,1),点N的坐标为(3,1).(2分) -=2,1=1-a+b.a=4,b=4.(4分) 1b5.(6分) (提示:当函数图象经过(0,1)时,b=1;经过(2,1)时
31、,b=5,又因为此时M,N重合,所以舍去b=5.) 2 a 22.(2019北京海淀二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y=ax2-2ax+3与直线l:y=kx+b交于A,B两点, 且点A在y轴上,点B在x轴的正半轴上. (1)求点A的坐标; (2)若a=-1,求直线l的解析式; (3)若-3k0时,且a=3时,抛物线C过点B(1,0),此时k=-3. 结合函数图象可得a3. 当a0时,且a=-1时,抛物线C过点B(3,0),此时k=-1. 结合函数图象可得a-1. 综上所述,a的取值范围是a3. 23.(2019北京顺义二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2+2m
32、x-3(m0)与x轴交于A、B两点(点A 在点B左侧),与y轴交于点C,该抛物线的顶点D的纵坐标是-4. (1)求点A、B的坐标; (2)设直线l与直线AC关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的表达式; (3)平行于x轴的直线b与抛物线交于点M(x1,y1)、N(x2,y2),与直线l交于点P(x3,y3).若x1x30)的顶点D的纵坐标是-4, =-4,解得m=1, y=x2+2x-3, 令y=0,则x1=-3,x2=1, A(-3,0),B(1,0).(2分) (2)由题意,抛物线的对称轴为直线x=-1, 点C(0,-3)的对称点坐标是E(-2,-3), 点A(-3,0)的对称点坐标是B(1
33、,0), 设直线l的表达式为y=kx+b, 点E(-2,-3)和点B(1,0)在直线l上, 解得 直线l的表达式为y=x-1.(4分) (3)由对称性可知x2-(-1)=-1-x1,得x1+x2=-2, 2 124 4 mm m 23, 0. kb kb 1, 1. k b 结合图象可得-2x31, -4x1+x2+x30时,截得的线段长为,令2,解得m; 当m0时,截得的线段长为,令2,解得m-. 33 22 (1)( 1)1m 22 (1)( 1)1m 3 22 ( 1)(1)1m 22 ( 1)(1)1m3 思路分析思路分析 解决本题最后一问需要借助勾股定理,用含m的式子表示出截得的线段
34、长. 25.(2019北京朝阳二模,26)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2-2a2x(a0)的对称轴与x轴交于点P. (1)求点P的坐标(用含a的代数式表示); (2)记函数y=-x+(-1x3)的图象为图形M,若抛物线与图形M恰有一个公共点,结合函数的图象,求a 的取值范围. 3 4 9 4 解析解析 (1)抛物线y=ax2-2a2x的对称轴是直线x=-=a,点P的坐标是(a,0).(2分) (2)由题意可知图形M为线段AB,A(-1,3),B(3,0). 当抛物线经过点A时,解得a=-或a=1; 当抛物线经过点B时,解得a=.(3分) 如图1,当a=-时,抛物线与图形M恰有一个公
35、共点. 2 2 2 a a 3 2 3 2 3 2 图1 如图2,当a=1时,抛物线与图形M恰有两个公共点. 图2 如图3,当a=时,抛物线与图形M恰有两个公共点. 3 2 图3 结合函数的图象可知,当a-或0a时,抛物线与图形M恰有一个公共点.(6分) 3 2 3 2 思路分析思路分析 本题的第二问需要画出抛物线的示意图(经过原点),同时关注对称轴与顶点的坐标之间有怎 样的数量关系. 26.(2020北京,26,6分)在平面直角坐标系xOy中,M(x1,y1),N(x2,y2)为抛物线y=ax2+bx+c(a0)上任意两点,其 中x13,都有y1y2,求t的取值范围. 解析解析 (1)由抛物
36、线的性质可知,只有当点M(x1,y1),N(x2,y2)关于抛物线的对称轴直线x=1对称时,才有y1=y2. x13,x1. 故当t时,只需讨论x2t的情况. 当x1t3,t,x1+x22t. 抛物线的对称轴为直线x=t,且x1t, t2t-x10, 3 2 3 2 3 2 3 2 y1y2,符合题意. 当tx10, y13,都有y1时,令x1=,x2=t,此时x1+x23,但y1y2,不符合题意. 综上所述,t的取值范围是t.(6分) 3 2 3 2 3 2 3 2 思路分析思路分析 本题第(2)问需要考虑抛物线的对称轴与x1,x2的关系,因为a0,所以越靠近对称轴,函数值越小. 解题关键解
37、题关键 解决本题的关键是借助x1+x23,x1,从而分t,t进行分类讨论. 3 2 3 2 3 2 教师专用题组 1.(2019安徽,22,12分)一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是 该二次函数图象的顶点. (1)求k,a,c的值; (2)过点A(0,m)(0m4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图象相交于B,C两点,点O为坐标原点,记 W=OA2+BC2.求W关于m的函数解析式,并求W的最小值. 解析解析 (1)因为点(1,2)在一次函数y=kx+4的图象上,所以2=k+4,即k=-2,因为一次函数y=kx+4与二次函数y
38、=ax2+c图象的另一个交点是该二次函数图象的顶点,所以(0,c)在一次函数y=kx+4的图象上,即c=4.又点(1, 2)也在二次函数y=ax2+c的图象上,所以2=a+c,从而a=-2.(6分) (2)解法一:因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线与二次函数y=-2x2+4的图象交于点 B,C,所以可设点B的坐标为(x0,m),由对称性得点C的坐标为(-x0,m),故BC=2|x0|.又点B在二次函数y=-2x2+4 的图象上,所以-2+4=m,即=2-,从而BC2=4=8-2m.又OA=m,所以W=OA2+BC2=m2-2m+8=(m-1)2+7(0 m4),所以
39、m=1时,W有最小值7.(12分) 解法二:由(1)得二次函数的解析式为y=-2x2+4,因为点A的坐标为(0,m)(0m4),过点A且垂直于y轴的直线 与二次函数y=-2x2+4的图象交于点B,C,所以令-2x2+4=m,解得x1=,x2=-.所以BC=2,又 OA=m,从而W=OA2+BC2=m2+=m2-2m+8=(m-1)2+7(0m4).所以m=1时,W有最小值7.(12分) 2 0 x 2 0 x 2 m 2 0 x 2 2 m 2 2 m 2 2 m 2 2 2 2 m 思路分析思路分析 (1)将(1,2)代入一次函数解析式求出k,代入二次函数解析式得a+c=2,由题意可判断点(
40、0,c)也 在一次函数图象上,从而求得a,c.(2)解法一:由题意可设点B(x0,m),由二次函数的对称性可得点C(-x0,m),可 得BC=2|x0|,依据B点在二次函数的图象上,得出=2-,从而求出W关于m的函数解析式,最后根据二次函 数的性质求出最值.解法二:由(1)可令-2x2+4=m,求出两根,从而得BC的长,从而求出W关于m的函数解析 式,最后根据二次函数的性质求出最值. 2 0 x 2 m 2.(2019福建,25,14分)已知抛物线y=ax2+bx+c(b0, 由抛物线的对称性,不妨设x1x2,则x1=,x2=, 所以x110,右交点D的坐标为(b,0). 点(x0,0)与点D
41、间的距离为b-=.(10分) (4)4 040;1 010.(12分) 详解:如图,a与L的交点坐标满足:y=x-b=-x2+bx,得交点D(b,0),E(-1,-1-b). 1 2 1 2 1 2 b 1 2 当b为整数时,而x也是整数, 对应的y=-x2+bx和y=x-b均为整数. 当x=-1和x=b时,对应的“美点”各只有一个. 从x=0到x=b-1共有b个整数,每个整数x都对应两个“美点”, 此时“美点”个数为2b+2.把b=2 019代入,求得“美点”个数为4 040. 当b不是整数时,但x是整数,x-b不是整数,即边界y=x-b(-1xb)上没有“美点”;而在边界y=-x2+bx
42、(-1xb)上,满足bx是整数才有“美点”.对于b=2 019.5,x应是从0到2 018的偶数,此时“美点”的个 数为2 0182+1=1 010. 思路分析思路分析 (1)由题意得OA=OB,AB=8,b=4,可得L的方程为y=-x2+4x,进而得出L的对称轴为直线x=2, 把x=2代入y=x-4得出交点坐标;(2)将二次函数解析式配方得出顶点坐标为,根据点C在l下方得出 点C与l的距离为b-=-(b-2)2+11,进而得出最大值;(3)由y3是y1,y2的平均数,可得y3=,即y1+y2=2y 3,得b+x0-b=2(-+bx0),求出x0的值,令y=-x 2+bx=0,求出点D的坐标,
43、两者横坐标相减得出结论;(4)易得点D (b,0),点E(-1,-1-b),分两种情况,当b为整数,而x也是整数时,求得“美点”的个数;当b不是整数,但x是 整数时,求得“美点”的个数. 2 , 2 4 b b 2 4 b1 4 12 2 yy 2 0 x 4.(2019天津,25,10分)已知抛物线y=x2-bx+c(b,c为常数,b0)经过点A(-1,0),点M(m,0)是x轴正半轴上的动 点. (1)当b=2时,求抛物线的顶点坐标; (2)点D(b,yD)在抛物线上,当AM=AD,m=5时,求b的值; (3)点Q在抛物线上,当AM+2QM的最小值为时,求b的值. 1 , 2 Q by 2
44、 33 2 4 解析解析 (1)抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0), 1+b+c=0,即c=-b-1, 当b=2时,y=x2-2x-3=(x-1)2-4, 抛物线的顶点坐标为(1,-4). (2)由(1)知,抛物线的解析式为y=x2-bx-b-1, 点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上, yD=b2-b b-b-1=-b-1. 由b0,得b0,-b-10, 2 b 点D(b,-b-1)在第四象限,且在抛物线对称轴x=的右侧. 如图,过点D作DEx轴,垂足为E,则点E(b,0), AE=b+1,DE=b+1,AE=DE, 在RtADE中,ADE=DAE=45, AD=AE,
45、 又已知AM=AD,m=5, 5-(-1)=(b+1),b=3-1. (3)点Q在抛物线y=x2-bx-b-1上, yQ=-b-b-1=-, 可知点Q在第四象限,且在直线x=b的右侧, 2 b 2 22 1 , 2 Q by 2 1 2 b 1 2 b 2 b3 4 13 , 224 b b 考虑到AM+2QM=2,可取点N(0,1), 如图,过点Q作直线AN的垂线,垂足为G,QG与x轴相交于点M, 有GAM=45,得AM=GM, 则此时点M满足题意. 过点Q作QHx轴于点H,则点H, 在RtMQH中,可知QMH=MQH=45, 2 2 2 AMQM 2 2 1 ,0 2 b QH=MH,QM
46、=MH, 点M(m,0), 0-=-m,解得m=-. AM+2QM=, +2-=.b=4. 2 3 24 b 1 2 b 2 b1 4 2 33 2 4 2 1 ( 1) 24 b 2 1 2 b 1 24 b 33 2 4 思路分析思路分析 (1)根据抛物线y=x2-bx+c经过点A(-1,0),可得1+b+c=0,当b=2时,c=-3,即y=x2-2x-3=(x-1)2-4,顶点 坐标为(1,-4). (2)由(1)知,c=-b-1,则y=x2-bx-b-1,根据点D(b,yD)在抛物线y=x2-bx-b-1上,可得yD=b2-b b-b-1=-b-1,过点D作 DEx轴,可得AE=b+1
47、,DE=b+1,AD=AE,最后根据AM=AD,m=5得出b=3-1. (3)首先确定点Q,取点N(0,1),过点Q作直线AN的垂线,根据题意确定符合条件时点M的位 置,依据QH=MH,得出m=-,最后根据AM+2QM=,得出b=4. 22 13 , 224 b b 2 b1 4 2 33 2 4 解题关键解题关键 在第(3)问中确定点M的位置及求得m=-是解题的关键. 2 b1 4 解题技巧解题技巧 对于学生而言,第(3)问难点在于两个参数m,b同时存在,用b表示MH时,只要抓住点Q在抛物 线上这一特点以及QH=MH这个条件就可求得m=-. 2 b1 4 5.(2019湖北武汉,24,12分
48、)已知抛物线C1:y=(x-1)2-4和C2:y=x2. (1)如何将抛物线C1平移得到抛物线C2? (2)如图1,抛物线C1与x轴正半轴交于点A,直线y=-x+b经过点A,交抛物线C1于另一点B,请你在线段AB上 取点P,过点P作直线PQy轴交抛物线C1于点Q,连接AQ. 若AP=AQ,求点P的横坐标; 若PA=PQ,直接写出点P的横坐标; (3)如图2,MNE的顶点M,N在抛物线C2上,点M在点N右侧,两条直线ME,NE与抛物线C2均有唯一公共点, ME,NE均与y轴不平行.若MNE的面积为2,设M,N两点的横坐标分别为m,n,求m与n的数量关系. 4 3 解析解析 (1)将C1先向左平移1个单位长度,再向上平移4个单位长度得到C2. 或将C1先向上平移4个单位长度,再向左平移1个单位长度得到C2. (2)如图,设直线AB与y轴交于点D,延长AQ交
