1、 中考数学 （广东专用） 3.4 二次函数 考点一 二次函数的图象与性质 A组 20162020年广东中考题组 1.(2020广东,7,3分)把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数解析式为( ) A.y=x2+2 B.y=(x-1)2+1 C.y=(x-2)2+2 D.y=(x-1)2+3 答案答案 C 根据抛物线的平移规律,知把函数y=(x-1)2+2的图象向右平移1个单位长度,平移后图象的函数 解析式为y=(x-1)-12+2=(x-2)2+2,故选C. 解题关键解题关键 本题考查二次函数图象的平移,解答的关键在于熟练掌握抛物线的平移规律“左加右减、 上加下
2、减”. 2.(2016广州,9,3分)对于二次函数y=-x2+x-4,下列说法正确的是( ) A.当x0时,y随x的增大而增大 B.当x=2时,y有最大值-3 C.图象的顶点坐标为(-2,-7) D.图象与x轴有两个交点 1 4 答案答案 B A.由题可知,该二次函数的图象开口向下,对称轴为直线x=2.因此,当x2时,y随x的增大而减小,所以A错; B.当x=2时,y有最大值-3,所以B正确; C.该二次函数图象的顶点坐标为(2,-3),所以C错; D.=12-4(-4)=-30,因此该二次函数的图象与x轴没有交点,所以D错. 1 - 4 3.(2019深圳,9,3分)已知y=ax2+bx+c
3、(a0)的图象如图,则y=ax+b和y=的图象为( ) c x 答案答案 C 抛物线的开口向下,a0,b0. 抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,c0. a0,y=ax+b的图象经过第一、二、四象限. c0,开口向下,a0,与y轴交于负半轴,c0 B.4ac-b20 D.关于x的方程ax2+bx+c=n+1无实数根 答案答案 C 因为图象开口向下,所以a0.因为对称轴方程为x=-=-10,所以b0,所以abc0,故A正确.因为函数图象与x轴有两个交点,所以方程ax2+ bx+c=0有两个不相等的实数根,所以b2-4ac0,即4ac-b20,故B正确.从图象可知,当x=-3时,y0.根据二次函
4、数图象的对称性可知,当x=1时,y0,即a+b+c0.由对称轴方程为x=-=-1,可得b=2a,所以a+b+c=a+2a+c= 3a+c0.x=m+1,x1. y与x的函数关系式为y=-x-2(x1). (3)函数H:y=-x-2(x1)的图象如图, x=2时,y=-2-2=-4, 函数H的图象过点B(2,-4). 抛物线G:y=m(x-1)2-m-3, x=2时,y=m-m-3=-3, 抛物线G恒过点A(2,-3). 由图象可知,若抛物线与函数H的图象有交点P,则yByPyA, 点P的纵坐标的取值范围为-4yP1. x=2时,方程为0=-1不成立, x2,即x2-2x=x(x-2)0, m=
5、0. 又x1,1-x0,x(x-2)0, x-20, x2,1x2. 又yP=-x-2, -4yP0,可求得x的取值范围. (3)求出抛物线恒过点A(2,-3),函数H的图象过点B(2,-4),由图象可知两图象交点P的纵坐标在A、B的纵坐 标之间. 考点二 二次函数与一元二次方程的联系 1.(2016梅州,14,4分)如图,抛物线y=-x2+2x+3与y轴交于点C,点D(0,1),点P在抛物线上,且PCD是以CD为 底的等腰三角形,则点P的坐标为 . 答案答案 (1+,2)或(1-,2) 22 解析解析 PCD是以CD为底的等腰三角形,CD的垂直平分线与抛物线的交点即为点P.点D(0,1),点
6、 C(0,3),点P的纵坐标为2.把y=2代入抛物线的解析式得-x2+2x+3=2,解得x=1. 点P的坐标为(1+,2)或(1-,2). 2 22 2.(2017广州,23,12分)已知抛物线y1=-x2+mx+n,直线y2=kx+b,y1的对称轴与y2交于点A(-1,5),点A与y1的顶点 B的距离是4. (1)求y1的解析式; (2)若y2随x的增大而增大,且y1与y2都经过x轴上的同一点,求y2的解析式. 解析解析 (1)抛物线y1的对称轴与直线y2的交点为A(-1,5), 抛物线y1的对称轴方程为x=-=-=-1,m=-2, y1=-x2-2x+n=-(x2+2x+1)+n+1=-(
7、x+1)2+n+1, 顶点坐标为B(-1,n+1). 点A到顶点B的距离是4, AB=|n-4|=4, n1=0,n2=8. y1=-x2-2x或y1=-x2-2x+8. (2)y2随x的增大而增大,k0. 当y1=-x2-2x=-x(x+2)时, 抛物线y1=-x2-2x与x轴的交点为(0,0),(-2,0). (i)当直线y2=kx+b经过点A(-1,5),(0,0)时, 有解得 2 b a2(-1) m 2 m 5-, 0, kb b -5, 0. k b y2=-5x(舍去). (ii)当直线y2=kx+b经过点A(-1,5),(-2,0)时, 有解得y2=5x+10. 当y1=-x2
8、-2x+8时, 令y1=0,即-x2-2x+8=0,解得x1=2,x2=-4, 抛物线y1=-x2-2x+8与x轴交于点(2,0),(-4,0). (i)当直线y2=kx+b经过点A(-1,5),(2,0)时, 有解得 y2=-x+(舍去). (ii)当直线y2=kx+b经过点A(-1,5),(-4,0)时, 5-, 0-2, kb kb 5, 10. k b 5-, 02, kb kb 5 - , 3 10 . 3 k b 5 3 10 3 有解得 y2=x+. 综上,y2=5x+10或y2=x+. 5-, 0-4, kb kb 5 , 3 20 . 3 k b 5 3 20 3 5 3 2
9、0 3 评析评析 本题主要考查二次函数与一次函数的性质以及用待定系数法求函数解析式等知识,考查学生的 推理能力、计算能力和分类讨论能力. 易错警示易错警示 只考虑了A点在顶点B的上方(或者下方),造成漏解. 考点三 二次函数的应用 1.(2020广州,16,3分)对某条线段的长度进行了3次测量,得到3个结果(单位:mm)9.9,10.1,10.0,若用a作为 这条线段长度的近似值,当a= mm时,(a-9.9)2+(a-10.1)2+(a-10.0)2最小.对另一条线段的长度进行 了n次测量,得到n个结果(单位:mm)x1,x2,xn,若用x作为这条线段长度的近似值,当x= mm 时,(x-
10、x1)2+(x-x2)2+(x-xn)2最小. 答案答案 10.0; 12 n xxx n 解析解析 令y=(a-9.9)2+(a-10.1)2+(a-10.0)2=3a2-60a+9.92+102+10.12,是关于a的二次函数, 当a=-=10时,原式最小. 同理可知,当x=时,(x-x1)2+(x-x2)2+(x-xn)2最小. -60 2 3 12 n xxx n 2.(2017深圳,23,9分)如图,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(-1,0),B(4,0),交y轴于点C. (1)求抛物线的解析式(用一般式表示); (2)点D为y轴右侧抛物线上一点,是否存在点D,使SABD=SAB
11、C,若存在,请直接给出点D的坐标;若不存在, 请说明理由; (3)将直线BC绕点B顺时针旋转45得到BE,与抛物线交于另一点E,求BE的长. 3 2 解析解析 (1)由题意得解得 y=-x2+x+2. (2)依题意知AB=5,OC=2, SABC=ABOC=52=5, SABD=SABC,SABD=5=. 设D(m0). SABD=AB|yD|=, -20, 16420, a b ab 1 -, 2 3 , 2 a b 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 3 2 15 2 2 13 ,-2 22 mmm 1 2 15 2 5=, 解得m=1或m=2或m=-2(舍去)或m=5, D1(1,3
12、),D2(2,3),D3(5,-3). (3)过点C作CFBC,交BE于点F,过点F作y轴的垂线,交y轴于点H, CBF=45,BCF=90,CF=CB, BCF=90,FHC=90, HCF+BCO=90,HCF+HFC=90, 1 2 2 13 -2 22 mm 15 2 HFC=BCO, 在CHF和BOC中, CHFBOC(AAS). HF=OC=2,HC=BO=4,F(2,6), 易求得直线BF:y=-3x+12, 联立得 解得 故E(5,-3). BE=. , , , CHFBOC HFCOCB FCCB 2 13 -2, 22 -312, yxx yx 1 1 5, -3, x y
13、 2 2 4, 0, x y 22 (5-4)(-3-0)10 一题多解一题多解 (3)如图,设直线AC与直线BE交于点F,过F作FMx轴于点M, AO=1,OC=2,OB=4,AB=5, AC=,BC=2, AC2+BC2=AB2, ABC为直角三角形,即BCAC, 由题意可知FBC=45, CFB=45, 22 125 22 245 CF=BC=2, COFM, =,即=,解得OM=2, =,即=,解得FM=6, F(2,6), 设直线BE的解析式为y=kx+m(k0),则 解得 直线BE的解析式为y=-3x+12, 联立直线BE和抛物线的解析式得 5 AO OM AC CF 1 OM 5
14、 2 5 OC FM AC AF 2 FM 5 3 5 26, 40, km km -3, 12, k m 2 -312, 13 -2, 22 yx yxx 解得或 E(5,-3),BE=. 4, 0 x y 5, -3, x y 22 (5-4)(-3) 10 3.(2020广州,25,14分)平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=ax2+bx+c(0a12)过点A(1,c-5a),B(x1,3),C(x2,3), 顶点D不在第一象限,线段BC上有一点E,设OBE的面积为S1,OCE的面积为S2,S1=S2+. (1)用含a的式子表示b; (2)求点E的坐标; (3)若直线DE与抛物线G的另
15、一个交点F的横坐标为+3,求y=ax2+bx+c在1x6时的取值范围(用含a的 式子表示). 3 2 6 a 解析解析 (1)将A(1,c-5a)代入y=ax2+bx+c,得c-5a=a+b+c,b=-6a. (2)设点E的坐标为(xE,3). 若x1x2,即C在B的左侧,则BE=x1-xE,CE=xE-x2, 此时S1=(x1-xE),S2=(xE-x2), (x1-xE)=(xE-x2)+, xE=,E. 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 12-1 2 xx5 2 5 ,3 2 (3)y=ax2+bx+c=ax2-6ax+c=a(x-3)2+c-9a, D(3,c-9a). 把xF=
16、+3代入y=a(x-3)2+c-9a,得yF=+c-9a, F. F点在D点右侧,E. 分别过点E,F作y轴的平行线,过点D作x轴的平行线,依次交于点H,K,则tanFDK=tanEDH, 6 a 36 a 636 3,-9ca aa 7 ,3 2 =,即=, 化简得c-9a=0. 抛物线的解析式为y=a(x-3)2. 当1x6时,0y9a. - - FD FD yy xx - - ED ED yy xx 36 6 a a 3-9 7 -3 2 ca 思路分析思路分析 (1)将点A的坐标代入抛物线G的解析式中化简即可. (2)由于题目没有明确点B、C之间的位置关系,故应对点B、C之间的位置关系
17、进行分类讨论.设点E的坐 标为(xE,3),当x1x2时,同理可得点E的坐标. (3)由抛物线的解析式得点D的坐标为(3,c-9a),将点F的横坐标代入解析式得点F的坐标为 .依据tanFDK=tanEDH可得方程=,化简得c-9a=0,从而进一步求出y=ax2+ bx+c在1x6时的取值范围. 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 12 1 2 xx 7 2 636 3,-9ca aa 36 6 a a 3-9 7 -3 2 ca 4.(2019深圳,22,9分)如图,抛物线y=ax2+bx+c过点A(-1,0),点C(0,3),且OB=OC. (1)求抛物线的解析式及对称轴; (
18、2)点D、E是在直线x=1上的两个动点,且DE=1,点D在点E的上方,求四边形ACDE的周长的最小值; (3)点P为抛物线上一点,连接CP,直线CP把四边形CBPA的面积分为35两部分,求点P的坐标. 解析解析 (1)点C(0,3),OC=3, OB=OC=3,点B(3,0). 将点A(-1,0),B(3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c中,得解得 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, 其对称轴为直线x=-=1. (2)如图,作点C关于对称轴x=1的对称点C(2,3),连接CC,CD,将点A向上平移一个单位长度得到点A(-1, 1),连接AA,AD,AC,易得四边形AADE为平行四
19、边形,AD=AE. -0, 930, 3, a bc abc c -1, 2, 3, a b c 2 b a AC=,DE=1, C四边形ACDE=AC+DE+CD+AE=+1+CD+AE, 要使C四边形ACDE最小,只需CD+AE最小即可, CD+AE=DC+AD, 要使C四边形ACDE最小,只需AD+DC最小即可, 当A,D,C三点共线时,AD+DC有最小值, 四边形ACDE的周长的最小值为+1. 22 OCOA10 10 13 1013 (3)如图,设PC交x轴于E点,过点A作AMCP于点M,过点B作BNCP于点N, SPAC=PC AM,SPBC=PC BN, SPACSPBC=AMB
20、N=35或53, 即=或, 易证MAENBE, =或, 易得点E为或, 直线CE的解析式为y=-6x+3或y=-2x+3, 当y=-2x+3时,联立直线CE的解析式与抛物线的解析式,解得点P(4,-5), 当y=-6x+3时,联立直线CE的解析式与抛物线的解析式,解得点P(8,-45). 1 2 1 2 AM BN 3 5 5 3 AE BE AM BN 3 5 5 3 1 ,0 2 3 ,0 2 思路分析思路分析 (1)由OB=OC,求出点B坐标,将点A,B,C的坐标代入y=ax2+bx+c中,得到关于a,b,c的三元一次方 程组,解方程组便可得抛物线的解析式,利用x=-求出抛物线的对称轴.
21、 (2)作C关于对称轴x=1的对称点C,将点A向上平移一个单位长度得到点A,这样C四边形ACDE=AC+CD+DE+ AE=AC+DC+DE+AD,由AC,DE的长为定值,知只需DC+AD的值最小即可,根据当A,D,C三点共线时,A D+DC的值最小,得出四边形ACDE周长的最小值为+1. (3)过点A作AMPC于点M,过点B作BNPC于点N,由PAC和PCB是同底不同高的三角形,易得S PACSPCB=AMBN,PC与x轴交于点E,易证MAENBE,从而得出AEBE=AMBN=35或53,分 类讨论得出点E的坐标,求出CE所在直线的解析式,联立直线CE的解析式和抛物线的解析式,求出点P的 坐
22、标即可. 2 b a 1013 5.(2020广东,25,10分)如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点,点A,B分别位于原点的左、右两侧, BO=3AO=3,过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C,D,BC=CD. (1)求b,c的值; (2)求直线BD的函数解析式; (3)点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方,点Q在射线BA上.当ABD与BPQ相似时,请直接写出所有满 足条件的点Q的坐标. 33 6 3 解析解析 (1)BO=3AO=3,A(-1,0),B(3,0). y=(x+1)(x-3)=x2-x-. b=-,c=-.(2分) (2)过点D作DEy轴,垂足为E. D
23、EOB,OBCEDC, =, 33 6 33 6 33 3 33 2 33 3 33 2 OB DE BC CD DE=,即xD=-. yD=(-)2-(-)-=+1. D(-,+1).(4分) 设直线BD的函数解析式为y=kx+m,k0, 直线过点B(3,0),D(-,+1), 解得 直线BD的函数解析式为y=-x+.(6分) (3)满足条件的点Q共有四个: 33 33 6 3 33 3 3 33 2 3 33 33 30, - 331. km km 3 -, 3 3. k m 3 3 3 ,(5-2,0),(1-2,0).(10分) 详解:连接AC,AD. A(-1,0),C(0,),E(
24、0,+1),D(-,+1), OA=CE=1,OC=DE=,AOCCED,AC=CD,ACO=CDE,ACD=90,ACD为等腰 直角三角形,tanADB=1. 易得tanABD=. A(-1,0),B(3,0),抛物线的对称轴为直线x=1.则设P(1,n)且n0. 设对称轴与x轴的交点为M,则M(1,0), 设Q(x,0)且x3,过点D作DNx轴于点N,则tanDAN=. 当点Q位于对称轴左侧时: 4 3-3 ,0 3 3-2 3 ,0 3 33 3333 3 OC OB 3 3 31 3-1 当PBQABD时,tanPBQ=tanABD,即=,解得n=-,tanPQB=tanADB,即=1
25、,解 得x=1-,此时点Q的坐标为,即; 当PQBABD时,tanPBQ=tanADB,即=1,解得n=-2, tanPQB=tanABD,即=,解得x=1-2,此时点Q的坐标为(1-2,0). 当点Q位于对称轴右侧时: 当PQBDAB时,tanPBQ=tanABD,即=,解得n=-,tanPQM=tanDAN,即= ,解得x=-1,此时点Q的坐标为,即; 当PQBBAD时,tanPBQ=tanADB,即=1,解得n=-2, - 2 n 3 3 2 3 3 - 1- n x 2 3 3 2 3 1-,0 3 3-2 3 ,0 3 - 2 n - 1- n x 3 3 33 - 2 n3 3 2
26、 3 3 - -1 n x 31 -13 4 3 3 4 3 -1,0 3 4 3-3 ,0 3 - 2 n tanPQM=tanDAN,即=,解得x=5-2,此时点Q的坐标为(5-2,0). 综上所述,点Q的坐标为,(1-2,0),或(5-2,0). - -1 n x 31 -13 33 3-2 3 ,0 3 3 4 3-3 ,0 3 3 一题多解一题多解 (1)BO=3AO=3,A(-1,0),B(3,0),将A,B两点的坐标代入y=x2+bx+c,得 解得 33 6 33 -0, 6 279 3 30, 6 bc bc 3 -1-, 3 3 3 - . 22 b c 难点突破难点突破 对
27、于第(3)问,由点A,B,C,D的坐标易得tanABD=,tanDAN=.根据K型图可判断 ACD为等腰直角三角形,进而可得tanADB=1.这样就可以把相似三角形的对应角相等转化为对应角的 正切值相等.分别讨论点Q位于对称轴左侧和右侧,根据相似三角形的对应角的正切值相等分别列出方 程即可得解. 3 3 31 3-1 6.(2020深圳,23,9分)如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a0)与x轴交于点A(-3,0)和B(1,0),与y轴交于点C,顶点 为D. (1)求该抛物线的解析式; (2)连接AD,DC,CB,将OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移,得到OBC,点O、B、C的对应
28、 点分别为点O、B、C,设平移时间为t秒,当点O与点A重合时停止移动.记OBC与四边形AOCD重合 部分的面积为S,请直接写出S与t之间的函数关系式; (3)如图2,过该抛物线上任意一点M(m,n)向直线l:y=作垂线,垂足为E,试问在该抛物线的对称轴上是否 存在一点F,使得ME-MF=?若存在,请求出F的坐标;若不存在,请说明理由. 9 2 1 4 解析解析 (1)解法一:令y=a(x+3)(x-1), 将C(0,3)代入其中,得-3a=3,解得a=-1, y=-x2-2x+3. 解法二:将A(-3,0),B(1,0)代入y=ax2+bx+3中, 得解得 y=-x2-2x+3. (2)当0t
29、1时,如图所示. 设BC与y轴交于点G,易得OO=t,OB=1-t, 09 -33, 03, a b ab -1, -2, a b OG=OB tanCBO=3OB=3-3t, S=(3+3-3t)t=-t2+3t. 当1t时,S=. 由A(-3,0),D(-1,4)易得直线AD的解析式为y=2x+6. 当点C落在AD上时,如图所示. 令y=2x+6中y=3,得x=-,C, 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 -,3 2 当C落在AD上时,平移时间为秒. 当1,若PAM与DD1A相似,因为都是直角三角形,所以必有一锐角相等. (i)若PAM=DAD1,则点P、A、D共线, 而直线AD与
30、抛物线只有两个交点A、D, 所以这种情况不存在点P,使得PAM与DD1A相似. (ii)若PAM=ADD1,则=, 2 33 37 3 ,- 848 mmm 1 PM AD 1 AM DD =, m=1或m=-,均不满足m1. 当点P在点A右侧时,不存在点P,使得PAM与DD1A相似. (如果考生只写了这种情况,酌情给分) ()如图,当点P在点A和点B之间时,-7m1. 2 33 37 3 - 848 4 mm -1 2 3 m 5 3 (i)若PAM=DAD1,则AD与AP重合, 此时不存在点P,使得PAM与DD1A相似(不含全等). (ii)若PAM=ADD1,则=, =, 1 PM AD
31、 1 AM DD 2 33 37 3 - 848 4 mm 1- 2 3 m m=1或m=-, 又-7m1,m=-. 当m=-时,PAM与ADD1相似.(8分) ()如图,当点P在点B左侧时,m-7. (i)若PAM=DAD1,则=, 5 3 5 3 5 3 1 PM DD 1 AM AD =, m=1或m=-11, 又m-7,m=-11. 当m=-11时,PAM与DAD1相似.(8分) (ii)若PAM=ADD1,则=, =, m=1或m=-, 又m0). (1)证明:该抛物线与x轴总有两个不同的交点; (2)设该抛物线与x轴的两个交点分别为A,B(点A在点B的右侧),与y轴交于点C,A,B
32、,C三点都在P上. 试判断:无论m取何正数,P是否经过y轴上某个定点.若是,求出该定点的坐标;若不是,说明理由; 若点C关于直线x=-的对称点为点E,点D(0,1),连接BE,BD,DE,BDE的周长记为l,P的半径记为r, 求的值. 2 m l r 解析解析 (1)证明:当y=0时,x2+mx-2m-4=0, =m2-4(-2m-4)=(m+4)2, m0,(m+4)20, 方程有两个不相等的实数根,即抛物线与x轴总有两个不同的交点. (2)是.如图,设圆P经过y轴上的定点M.连接MA,BC. 当y=0时,x2+mx-2m-4=0, 解得x1=2,x2=-m-2. A(2,0),B(-m-2
33、,0). 当x=0时,y=-2m-4, C(0,-2m-4). BCO=MAO,BOC=MOA, BOCMOA, =, MO=AO=1. 圆P经过y轴上的定点(0,1). 连接AD,因为AB为圆P的一条弦,所以圆心P在抛物线的对称轴上. 根据抛物线与圆的对称性可知,E在圆上,连接EC. ECD=90,DE为圆P的一条直径,DE=2r. MO AO BO CO |- -2| |-2 -4| m m 1 2 1 2 BED=OAD,EBD=DOA=90, EBDAOD, BDBEDE=DOOAAD=12. ED=2r,BD=r,BE=r. l=BD+BE+DE=r, 5 2 5 5 4 5 5 1
34、06 5 5 =. l r 106 5 5 思路分析思路分析 (1)将根的判别式进行配方即可得到结论. (2)判断P经过y轴上除C点以外的点是不是定点,也就是判断OM的长是不是与m无关.通过MOA与 BOC相似,得到对应线段成比例,求出OM=1.先说明DE是P的直径,得DE=2r,再通过EBD与 AOD相似,可把BD、BE用r表示出来,则EBD的周长也可用r表示出来,最后求出. l r B组 20162020年全国中考题组 考点一 二次函数的图象与性质 1.(2020山东青岛,8,3分)已知在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx和反比例函数y=的图象如图所示, 则一次函数y=x-b的图象
35、可能是( ) c x c a 答案答案 B 由二次函数的图象可知a0,由反比例函数的图象可知c0,0,-b0,一次函数y=x- b的图象与y轴负半轴相交且y随x的增大而减小.故选B. c a c a 2.(2020内蒙古呼和浩特,7,3分)关于二次函数y=x2-6x+a+27,下列说法错误的是( ) A.若将图象向上平移10个单位,再向左平移2个单位后过点(4,5),则a=-5 B.当x=12时,y有最小值a-9 C.x=2对应的函数值比最小值大7 D.当a0时,图象与x轴有两个不同的交点 1 4 答案答案 C y=x2-6x+a+27=(x-12)2+a-9, 将图象向上平移10个单位,再向
36、左平移2个单位后,所得图象对应的二次函数解析式为y=(x-10)2+a+1, 当x=4,y=5时,5=(4-10)2+a+1,解得a=-5,故A中说法正确. 当x=12时,ymin=a-9,故B中说法正确. 当x=2时,y=(2-12)2+a-9=a+16, a+16-(a-9)=25,故C中说法错误. =(-6)2-4(a+27)=36-a-27=9-a, 当a0,图象与x轴有两个不同的交点,故D中说法正确. 故选C. 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 3.(2020福建,10,4分)已知P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y=ax2-2ax上的点,下列命题正确的是(
37、 ) A.若|x1-1|x2-1|,则y1y2 B.若|x1-1|x2-1|,则y10时,如图所示: 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离. 由图知y1y2, 若|x1-1|x2-1|,则x1到1的距离小于x2到1的距离. 由图知y1y2. 当a|x2-1|,则x1到1的距离大于x2到1的距离. 由图知y1y2, 若|x1-1|y2. 综上所述,A、B不正确. 由图可知,D不正确. 若|x1-1|=|x2-1|,则x1,x2到1的距离相等,所以y1=y2,故选C. 方法指导方法指导 解决二次函数中a不确定的问题时,一定要分a0和a0两种情况讨论,并且能结合图象分析 题意
38、.(画草图时,需画出开口方向,对称轴等) 4.(2019辽宁大连,10,3分)如图,抛物线y=-x2+x+2与x轴相交于A,B两点,与y轴相交于点C,点D在抛物线 上,且CDAB.AD与y轴相交于点E,过点E的直线PQ平行于x轴,与抛物线交于P,Q两点,则线段PQ的长为 ( ) A.3 B.1+ C.4 D.2 1 4 1 2 55 答案答案 D 在y=-x2+x+2中,令x=0,则y=2,C(0,2);令y=0,则-x2+x+2=0,解得x=-2或4,A(-2,0). CDAB,点D的纵坐标和点C的纵坐标相同,为2,令y=2,则-x2+x+2=2,解得x=0或2,D(2,2).设直线 AD的
39、解析式为y=kx+b(k0),将(-2,0),(2,2)代入y=kx+b中,得解得直线AD的解析式为 y=x+1,令y=x+1中的x=0,则y=1,E(0,1).令-x2+x+2=1,即x2-2x-4=0,解得x=1,PQ=(1+)-(1- )=2,故选D. 1 4 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 -20, 22, kb kb 1 , 2 1, k b 1 2 1 2 1 4 1 2 55 55 思路分析思路分析 根据抛物线的解析式求出其与x轴的交点A及与y轴的交点C的坐标,因为CDAB,所以点D 的纵坐标和点C的纵坐标相同,将点D的纵坐标代入抛物线解析式中,从而求出点D的坐标.利用待
40、定系数 法求直线AD的解析式,并进一步求出点E的坐标,将点E的纵坐标代入抛物线的解析式中,求出点P、Q的 横坐标,进而可求出PQ的长. 5.(2018湖北黄冈,6,3分)当axa+1时,函数y=x2-2x+1的最小值为1,则a的值为( ) A.-1 B.2 C.0或2 D.-1或2 答案答案 D y=x2-2x+1=(x-1)2,当a1时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而增大,其最小值为a2-2a +1,则a2-2a+1=1,解得a=2或a=0(舍去);当a+11,即a0时,函数y=x2-2x+1在axa+1内,y随x的增大而 减小,其最小值为(a+1)2-2(a+1)+1
41、=a2,则a2=1,解得a=-1或a=1(舍去).当0a1或a-1 解析解析 解法一:函数y=x2-2ax的图象与x轴的交点为(0,0),(2a,0),函数y=x-a+1的图象与x轴的交点为(a-1,0), 与y轴的交点为(0,1-a). 分两种情况:当a2a,可得a0时,如图(2),要满足题意,则需a-10,可得a1. 综上,实数a的取值范围是a1或a-1. 解法二:直线l分别与函数y=x-a+1和y=x2-2ax的图象相交于P、Q两点,且都在x轴的下方, 令y=x-a+10,解得xa-1. 令y=x2-2ax0时,解得0x2a;当a0时,解得2ax0时,若有解,则a-10,解得a1; 当a
42、0时,若有解,则2aa-1,解得a1或a-1. -1, 02 xa xa -1, 20 xa ax 思路分析思路分析 考虑到二次函数图象的对称轴方程是x=a,故分a0两种情况,解法一:由于二次函数的 图象过原点,结合图象知只需满足直线y=x-a+1与二次函数图象相交的左边交点在x轴的下方即可,从而 得出关于a的不等式;解法二:分别在a0两种情况下满足有解,解之即可. 2 -10, -20 x a xax 难点突破难点突破 根据二次函数图象的特点分a0两种情况考虑是解答本题的突破口. 7.(2017新疆乌鲁木齐,15,4分)如图,抛物线y=ax2+bx+c过点(-1,0),且对称轴为直线x=1,
43、有下列结论: abc0; 抛物线经过点(4,y1)与点(-3,y2),则y1y2; 无论a,b,c取何值,抛物线都经过同一个点; am2+bm+a0. 其中所有正确的结论是 . -,0 c a 答案答案 解析解析 因为图象开口向上,所以a0;因为对称轴为直线x=1,所以-=1,得b=-2a0;因为抛物线与y轴的交 点在负半轴上,所以c0,错误. 由题图可知抛物线与x轴交于点(-1,0),且对称轴为直线x=1,所以抛物线与x轴的另一个交点为(3,0), 所以当x=3时,y=0,即9a+3b+c=0,所以10a+3b+c=a0,正确. 由抛物线的对称性可知,点(-3,y2)关于对称轴的对称点是(5
44、,y2),当x1时,y随x的增大而增大,因为45,所以 y1y2,错误. 由题意知抛物线的解析式可以为y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,结合y=ax2+bx+c可知c=-3a,即-=3. 当x=3时,y=a32-2a3-3a=0, 所以抛物线一定过点(3,0),即过点,正确. 因为b=-2a,所以am2+bm+a=am2-2am+a=a(m-1)20,正确. 综上所述,正确. 2 b a c a -,0 c a 考点二 二次函数与一元二次方程的联系 1.(2020内蒙古呼和浩特,6,3分)已知二次函数y=(a-2)x2-(a+2)x+1,当x取互为相反数的任意两个实数值时, 对
45、应的函数值y总相等,则关于x的一元二次方程(a-2)x2-(a+2)x+1=0的两根之积为( ) A.0 B.-1 C.- D.- 1 2 1 4 答案答案 D 依题意得,该二次函数图象的对称轴为y轴. -(a+2)=0,解得a=-2. 方程可化为-4x2+1=0,设方程两根分别为x1,x2, x1 x2=-,故选D. 1 4 解题关键解题关键 明确该抛物线的对称轴为y轴是解题关键. 2.(2019贵州贵阳,10,3分)在平面直角坐标系内,已知点A(-1,0),点B(1,1)都在直线y=x+上,若抛物线y= ax2-x+1(a0)与线段AB有两个不同的交点,则a的取值范围是( ) A.a-2
46、B.a C.1a或a-2 D.-2a0,解 得a.若抛物线与线段AB有两个不同的交点,则当a0时, 解得a1,1a.综上所述,1a0)有两个根,其中一个根是3,则关于x的方程ax2+bx+c+n=0(0n0)有两个根,其中一个根是3, 当y=-m时,关于x的方程ax2+bx+c=-m(m0)有两个根,其中一个根是3. 则函数y=ax2+bx+c的图象开口向下, 设直线y=-m(m0)与函数y=ax2+bx+c的图象交于A,B两点,点B的横坐标是3, 由对称性得点A的横坐标是-5, 如图所示. 设直线y=-n(0nm)与函数y=ax2+bx+c的图象交于C、D,点C的横坐标为x1,点D的横坐标为
47、x2, a0,-5x1-3,1x23, 关于x的方程ax2+bx+c=-n(0n0.有下列结论: abc0; -2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根; 0m+n0,b0,c0,正确.根据二次函数的对称性可知(-2,t)关于对称轴x=的对称点为 (3,t),即-2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根,正确.对称轴为直线x=,-=,b=-a,当x =-时,y0,a-b-20,即a+a-20,a.对称轴为直线x=,二次函数y=ax2+bx+c的图象过点 (-1,m),(2,n),m=n,当x=-1时,m=a-b+c=a+a-2=2a-2,m+n=4a-4,a, 4a-4,错误.故选C. 01 2 1 2 1 2 1 22 b a 1 2 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 8 3 1 28 3 20 3 方法指导方法指导 本题考查了抛物线与y轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标 特征以
