1、 专题 01 质数那些事 例 1 34 例 2 C 例 3 3 符合要求 提示:当 p=3k1 时,p10=3k11,p14=3(k5),显然 p14 是合数,当 p=3k2 时,p10=3(k4)是合数,当 p=3k 时,只有 k=1 才符合题意 例 4 (1)因 122004= 2 1 2004(12004)=10022005 为 3 的倍数,故无论怎样交换 这 2004 个数的顺序,所得数都有 3 这个约数 (2)因 n 是大于 2 的正整数,则 n 217, n 21、 n 2、 n 21 是不小于 7 的三个连续的正 整数,其中必有一个被 3 整除,但 3 不整除 n 2,故 n 2
2、1 与 n 21 中至多有一个数是质数 (3)设正整数 a 的所有正约数之和为 b, 1 d, 2 d, 3 d, n d为 a 的正约数从小到大的排列, 于是 1 d=1, n d=a由于 n dddd S 1111 321 中各分数分母的最小公倍数 n d=a,故 S= nn n n n d d d d d d 11 = n n d ddd 21 = a b ,而 a=360=532 23 ,故 b=(12 2 2 3 2) (13 2 3)(15)=1170 a b = 360 1170 = 4 1 3 例 5 由 xy yx = p 2 ,得 xy= p xy2 =k (k 为正整数)
3、 ,可得 2xy=kp,所以 p 整除 2xy 且 p 为奇质数, 故 p 整除 x 或 y,不放设 x=tp,则 tpy=2ty,得 y= 12 t tp 为整数又 t 与 2t1 互质,故 2t1 整除 p,p 为质数,所以 2t1=1 或 2t1=p若 2t1=,得 t=1,x=y=p,与 xy 矛盾;若 2t 1=p,则 xy yx = p 2 ,2xy=p(xy) p 是奇质数,则 xy 为偶数,x、y 同奇偶性,只能同 为 xy= 2 yxp 必有某数含因数 p令 x=ap,ay= 2 yap ,2ay=apyy= 12 a ap ,故 a,2a 1 互质,2a1 整除 p,又 p
4、 是质数,则 2a1=p,a= 2 1p ,故 x=p p 2 1 = 2 1pp ,x y= 2 1pp 2 1p = 2 1 2 p 。 例 6 设 N 是一个同时含有数字 1, 3, 7, 9 的绝对质数 因为 0 k=7931, k=1793, 2 k=9137, 3 k=7913, 4 k=7193, 5 k=1937, 6 k=7139 除以 7 所得余数分别为 0,1,2,3,4,5,6故如下 7 个正整 数: 7931 4210 n CCCN=L 0 4 10kL, 1793 4211 n CCCN=L 1 4 10kL, 7139 4216 n CCCN=L 6 4 10kL
5、, 其中,一定有一个能被 7 整除,则这个数就不是质数,故矛盾 A 级 11998 21 363 42000 5D 6A 7B 8由 r=pq 可知 r 不是最小的质数,则为奇数,故 p,q 为一奇一偶,又因为 pq故 p 既是质数 又是偶数,则 p=2 9设十个连续合数为 k2,k3,k4,k10,k11,这里 k 为自然数,则只要取 k 是 2,3, 4,11 的倍数即可 10选甲提示:相邻的两个自然数总是互质数,把相邻自然数两两分为一组,这两数总是互质的, (2,3) , (4,5) , (6,7) , (1992,1993) ,1994,甲擦掉 1994,无论乙擦哪一个数,甲 就擦那一
6、组的另一数,以此类推,最后还剩一对互质数 11设这块地面积为 S,则 S= 2 nx=(n124) 2 y 22 yxn=124 2 y xy (x,y)=1 ( 2 x, 2 y)=1 ( 22 yx , 2 y)=1 得 22 yx 124 124= 2 231, 22 yx =(xy) (xy) 1 31 yx yx ,或 2 62 yx yx 15 16 y x ,或 30 32 y x (舍) 此时 n= 22 2 124 yx y =900 S= 2 nx=900 2 16=230400cm 2 =2304m 2 。 B 级 119 或 25 2 3 31 提示:q=mn,则 m、
7、n 只能一个为 1,另一个为 q 3133 23 42001 5B 提示:唯有 a=2,b=2089 11 2=20892048=41 是质数,符合题意 6A 提示:当 a=3 时,符合题意;当 a3 时, 2 a被 3 处余 1,设 2 a=3n1,则 7 2 a8=21n15, 8 2 a7=24n15,它们都不是质数,与条件矛盾故 a=3 7 2 aa, 2 bb, 2 cc, 2 dd 都是偶数, 即 M= 2222 dcba (abcd) 是偶数 因 为 22 ba = 22 dc , 所 以 2222 dcba=2 ( 22 ba ) 是 偶 数 , 从 而 有 a b c d=
8、2222 dcbaM=2( 22 ba )M,它 一定是偶数,但 abcd2,于是 abc d 是个合数 8取六个数 aii(123456)1 (i1,2,6),则其中任意两个数都是互质的,事 实上,假设 a2与 a5不互质,设 d 是 a2与 a5的最大公约数,则 d 必是(52)123456,即 3123456 的一个因子,但从 a221234561 知,d 不整除 a2,这与假设 d 是 a2与 a5的最大公约数矛盾,故 a2与 a5互质 9由 pq1111 且 pq11 是质数知,pq11 必为正奇数,从而 p2 或 q2 (1)若 p2,此时 7pq 及 2q11 均为质数设 q3k
9、1,则 q143(k5)不是质数;设 q3k 2,则 2q113(2k5)不是质数,因此 q 应为 3k 型的质数,当然只能是 q3 (2)若 q2,此时 7pq 与 2p11 均为质数,设 p3k1,则 7p23(7k3)不是质数;设 p 3k2,则 2p113(2k5)不是质数,因此,p 应为 3k 型的质数,p3 综合(1),(2)知 p3,q 2 或 p2,q3,所以 pq十 qp 17 10(1)能办到 提示:注意到 41 与 43 都是质数,据题意,要使相邻两数的和都是质数,显然它 们只能都是奇数, 因此, 在这排数中只能一奇一偶相间排列: 不妨先将奇数排成一排: 1, 3, 5, 7, , 41,在每两数之间留空,然后将所有的偶数依次反序插在各空白中,得 1,40,3,38,5,36,7, 34,8,35,6,37,4,39,2,41.这样任何相邻两数之和都是 41 或 43.满足题目要求 (2)不能办到 提示:若把 1,2,3,40,41 排成一圈,要使相邻两数的和为质数,这些质 数都是奇数,故圆圈上任何相邻两数必为一奇一偶但现有 20 个偶数,21 个奇数,总共是 41 个号 码,由此引出矛盾,故不能办到,