1、 专题专题 03 从算术到代数从算术到代数 阅读与思考阅读与思考 算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基 础上发展起来的. 用字母表示数是代数的一个重要特征， 也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上， 从确定的 数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点： 1.任意性 即字母可以表示任意的数. 2.限制性 即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义. 3.确定性 即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定. 4.抽象性 即与具体的数值相比，用字母表示
2、数具有更抽象的意义. 例题与求解例题与求解 【例【例 1】研究下列算式，你会发现什么规律： 131422 241932 3511642 4612552 请将你找到的规律用代数式表示出来：_ (山东菏泽地区中考试题) 解题思路解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数 式表示. 【例【例 2】下列四个数中可以写成 100 个连续自然数之和的是（ ） A.1627384950 B. 2345678910 C. 3579111300 D. 4692581470 （江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路：设自然数从 a1 开始，这 100 个连续自然数的和为（a
3、1）(a2) (a100) 100a5050，从揭示和的特征入手. 【例【例 3】设 A 22 12 1 2 + + 22 23 2 3 + + 22 34 3 4 + 22 10031004 1003 1004 + 22 10041005 1004 1005 + ，求 A 的整数部 分. （北京市竞赛试题） 解题思路解题思路：从分析 A 中第 n 项 22 (1) (1) nn nn + ? 的特征入手. 【例【例 4】现有 a 根长度相同的火柴棒，按如图摆放时可摆成 m 个正方形，按如图摆放时可摆成 2n 个正方形. (1)用含 n 的代数式表示 m； (2)当这 a 根火柴棒还能摆成如图
4、所示的形状时，求 a 的最小值. （浙江省竞赛试题） 解题思路解题思路：由图中有 m 个正方形、图中有 2n 个正方形，可设图中有 3p 个正方形，无论怎样 摆放，火柴棒的总数相同，可建立含 m，n，p 的等式. 【例【例 5】 化简 个个个nnn 9199999999. （江苏省竞赛试题） 解题思路解题思路：先考察 n1，2，3 时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确. 【例【例 6】观察按下列规律排成的一列数： 1 1 ， 1 2 ， 2 1 ， 1 3 ， 2 2 ， 3 1 ， 1 4 ， 2 3 ， 3 2 ， 4 1 ， 1 5 ， 2 4 ， 3 3 ， 4 2 ，
5、5 1 ， 1 6 ， （*） （1）在（*）中，从左起第 m 个数记为 F(m) 2 2001 时，求 m 的值和这 m 个数的积. （2）在（*）中，未经约分且分母为 2 的数记为 c，它后面的一个数记为 d，是否存在这样的两个 数 c 和 d，使 cd2001000，如果存在，求出 c 和 d；如果不存在，请说明理由. 解题思路解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（ 1 1 ） ， （ 1 2 ， 2 1 ） ， （ 1 3 ， 2 2 ， 3 1 ） ， （ 1 4 ， 2 3 ， 3 2 ， 4 1 ） ， （ 1 5 ， 2 4 ， 3 3 ， 4 2 ， 5 1
6、 ） ，. 能力训练能力训练 A 级级 1.已知等式：2 2 3 22 2 3 ，3 3 8 32 3 8 ，4 4 15 42 4 15 ， ，10 a b 102 a b （a，b 均为正整数） ，则 ab_. (湖北省武汉市竞赛试题) 2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有 n（n2）个棋子， 每个图案棋子总数为 s，按此规律推断 s 与 n 之间的关系是_. n2 n3 n4 s4 s8 s12 (山东省青岛市中考试题) 3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d） ， 当且仅当 ac 且 bd 时， （a，b）（c，d） 定义 运算“” ： （a，b
7、）（c，d）（acbd，adbc） 若（1，2）（p，q）（5，0） ，则 pq_ (浙江省湖州市数学竞赛试题) 4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板， 则第 （3） 个图形中有黑色瓷砖_ 块，第 n 个图形中需要黑色瓷砖_块（含 n 代数式表示） （广东省中考试题） -= 5.如果 a 是一个三位数，现在把 1 放在它的右边得到一个四位数是（ ） A.1000a1 B. 100a1 C. 10a1 D. a1 (重庆市竞赛试题) 6.一组按规律排列的多项式：ab，a2b3，a3b5，a4b7，其中第十个式子是（ ） A. a10b19 B. a10-b19 C. a10-
8、b17 D. a10-b21 (四川省眉山市竞赛试题) 7.有三组数 x1，x2，x3；y1，y2，y3；z1，z2，z3，它们的平均数分别是 a，b，c，那么 x1y1z1，x2 y2z2，x3y3z3的平均数是（ ） A. 3 a bc+ + B. 3 abc+- C. abc D. 3(abc) (希望杯邀请赛试题) 8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相 同，那么它们的面积 S1、S2 的大小关系是（ ） （东方航空杯竞赛试题） A. S1S2 BSlS2 CS1S2 D无法比较 9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一
9、次将圆纸等分为 4 个扇形面；第二次 将上次得到的一个扇形面再等分成 4 个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去 （1）请通过操作，猜想将第 3、第 4 次，第 n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表； 剪裁次数 1 2 3 4 n 所得的总数 4 7 （2）请你推断，能否按上述操作剪裁出 33 个扇形面？为什么？ （山东省济南市中考试题） 10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原 a（a0）个成品，且每个每天都生产 b（b0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品， 然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验
10、的成品数相同 （1）这若干名检验员 1 天检验多少个成品（用含 a、b 的代数式表示） ； （2）试求出用 b 表示 a 的关系式； （3）若 1 名质检员 1 天能检验 5 4 b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （广东省广州市中考试题） B 级级 1. 你能很快算出 19952吗？ 为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为 5 的自然数的平方，任意一个个位数为 5 的自然数可写成 （10n5） （n 为自然数） ，即求（10n5）2的值（n 为自然数） ，分析 n1，n2，n3，这些 简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，
11、探索规律. 152225 可写成 1001（11）25； 252625 可写成 1002（21）25； 3521225 可写成 1003（31）25； 4522025 可写成 1004（41）25； . 7525625 可写成_； 8527225 可写成_； （2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n5）2_； （3）根据上面的归纳猜想，请算出 19952_. （福建省三明市中考试题） 2.已知 122232n2 1 6 n(n1)(2n1)，计算： （1）112122192_； (2)2242502_. 3.已知 n 是正整数，an1234n，则 1 3 a a 2 4 a a 2010
12、2012 a a 2011 2013 a a _. (“希望杯”邀请赛训练题) 4.已知 17 个连续整数的和是 306，那么，紧接着这 17 个数后面的那 17 个整数的和为_. （重庆市竞赛试题） 5.A，B 两地相距 S 千米，甲、乙的速度分别为 a 千米/时、b 千米/时（ab） ，甲、乙都从 A 地到 B 地去开会，如果甲比乙先出发 1 小时，那么乙比甲晚到 B 地的小时数是（ ） A(1) ss ab -+ B(1) ss ba -+ C(1) ss ab - D(1) ss ba - 6.某商店经销一批衬衣，进价为每件 m 元，零售价比高 a%，后因市场的变化，该店把零售价调整
13、原来零售价的 b%出售，那么调价后的零售价是（ ） Am（1a%） （1b%）元 Bma%（1b%）元 Cm（1a%）b%元 Dm（1a%b%）元 （山东省竞赛试题） 7.如果用 a 名同学在 b 小时内共搬运 c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ） A 2 2 c a b B 2 c ab C 2 ab c D 2 2 a b c (“希望杯”邀请赛试题) 8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班 未参加人数的 1 3 ，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的 1 5 问甲班未参加的人数是乙班未参加 人数的几分之几？ 9.将自然数 1，2，3，21 这 21 个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它 们的和不小于 33. （重庆市竞赛试题） 10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于 18.若这四个数的乘积是 23100，求这四个数. （天津市竞赛试题）
