1、 专题 28 纵观全局整体思想 阅读与思考阅读与思考 解数学问题时，人们习惯了把它分成若干个较为简单的为，然后在分而治之，各个击破。与分解、分部 处理问题相反，整体思想是将问题看成一个完整的整体，从大处着眼，有整体入手，突出对问题的整体 结构的分析和改造，把一些看似彼此孤立、实质上紧密联系的量作为整体考虑，从整体上把握问题的内 容和解题方向的策略，往往能找到简捷的解题方法，解题中运用整体思想解题的具体途径主要有： 1. 整体观察 2. 整体设元 3. 整体代入 4. 整体求和 5. 整体求积 注：注：既看局部，又看整体；既见“树木” ，又见“森林” ，两者互用，这是分析问题和解决问题的普遍而
2、有效的方法 例题与求解例题与求解 【例 1】某市抽样调查了 1000 户家庭的年收入，其中年收入最高的只有一户，是 38000 元。由于将这个 数据输入错了，所以计算机显示的这 1000 户的平均年收入比实际平均年收入高出了 342 元，则输入计 算机的那个错误数据是 （北京市竞赛题） 解题思路解题思路：有 1000 个未知量，而等式只有两个，显然不能分布求出每个未知量，不妨从整体消元 注：注：有些问题要达到求解的目的，需要设几个未知数，但在解答的过程中，这些未知数只起到沟通已知 与未知的辅助的作用，因此可“设而不求” ，通过整体考虑，直接获得问题的答案 【例 2】设a b c、 、是不全相等
3、的任意数， 若 222 ,xabc ybac zcab错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 ， 则xyz、 、（ ） （全国初中数学联赛试题） A.都不小于零 B.都不大于零 C.至少有一个小于零 D.至少有一个大于零 解题思路解题思路：由于abc、 、的任意性，若孤立地考虑xyz、 、，则很难把握的xyz、 、正负性，应该考虑 整体求出xyz的值 【例 3】如果 a 满足等式 2 2310aa 错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 ，试求 5432 233951 31 aaaaa a 错错 误误!未找到引用源。未找到引用源。的值 (天津市竞赛题) 解题思路解题思路：不能直接求出a的值，可
4、寻求待求式子分子分母与条件等式的联系，然后把条件等式整体代 入求值 注：注：整体思想在代数式的化简与求值、解方程（组） 、几何证明等方面有广泛的应用，整体代入、叠加 叠乘、整体运算、整体设元、几何补形等都是整体思想的体现 【例 4】已知2,4xy 错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 ，代数式 3 1 51997 2 axby错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 ， 求当 1 4, 2 xy 错误错误!未找到引用源。未找到引用源。时，代数式 3 3244986axby错误错误!未找到引用源。未找到引用源。的值 （北京市“迎春杯”竞赛试题） 解题思路解题思路：ab、的值无法求出，将给定的xy
5、、值分别代入对应的代数式，寻找已知式与待求式之间的 联系，整体代入求值 【例 5】已知实数abcdef、 、 、 、 、满足方程组 220 240 280 2160 2320 2640 abcdef abcdef abcdef abcdef abcdef abcdef 求fedcba 的值错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 （上海市竞赛题） 解题思路解题思路：将上述六个式子看成整体，通过，分别得到,fe dc ba错误错误! ! 未找到引用源。未找到引用源。 【例 6】如图，将 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 这十个数分别填入图中的十个圆圈内，使得任意连续相邻的五个圆 圈内的数的
6、和均不大于某一个整数 M，求 M 得最小值并完成你的填图 （北京市“迎春杯”竞赛试题） 解题思路解题思路：解答此题的关键是根据题意得出 1210 () 10S aaaM错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 ，这是本题 的突破口 注：在解答有同一结构的问题时，可将这一相同结构看作一个整体，用一个字母代换，以此达到体现式 子结构的特点，化繁为简的目的 能力训练能力训练 1已知密码：3ABCPQR=4PQRABC,其中每个字母都表示一个十进制数字，将这个密码翻译成式子 是 2 若 a， b， c 的值满足 22 (324)(236)0abcabc 错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 ， 则92
7、7abc 错误错误!未找到引用源。未找到引用源。 (“城市杯”竞赛试题) 3角， ，中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算 1 15 （）错误错误!未找到引用未找到引用 源。源。的值时，全班得到 23.5，24.5，25.5这样三个不同结果，其中确有正确的答案，则正确的 答案是 4如果 2 23xx，那么 432 781315xxxx= （ “希望杯”邀请赛试题） 5 已 知 121991 ,aaa都 是 正 数 ， 设 121990231991 () ()Maaaaaa， 121991231990 () ()Naaaaaa，那么M与N的大小关系是 M N （北京市“迎春杯”竞赛试题）
8、 6若方程组 0 0 01 2 2 2 baxx axbx bxax 有解，则ba （湖北省武汉市选拔赛试题） 7若正数zyx，满足不等式 yzxy xzyx zyxz 4 11 2 5 3 5 2 3 2 6 11 ，则zyx，的大小关系是（ ） Azyx Bxzy Cyxz D不能确定 8若fexdxcxbxaxx 2345 2 13，则fedcba的值是（ ） A32 B32 C1024 D1024 9在一家三口人中，每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别得到 47,61,60，那么这三人中最大 年龄与最小年龄的差是（ ） A28 B27 C2 D2 10设cba，满足等式 2 2,
9、6 2, 3 2 222 aczcbybax，则zyx， 中至少有 一个值（ ） A0大于 B0等于 C0不大于 D0小于 （全国初中数学联赛试题） 11. 3) 11 () 11 () 11 (, 01 ba c ac b cb acba化简）（ 的值为多少？，则已知 cabcab abc ac ca cb bc ba ab 16 1 , 17 1 , 15 1 )2( 12有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前、后两个两位数，将前面的两位数的末尾添一个零， 然后加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字为 5，试求这个 四位数 （江苏省竞赛试题） 13代数式tvxtuyswxsuzrwyrvz中，zyxvutsr，可以分别取+1 或-1 （1）证明代数式的值都是偶数 （2）求这个代数式所能取到的最大值 （ “华罗庚金杯”竞赛试题） 14如图，在六边形的顶点处分别标上数 1，2，3，4，5，6，能否使任意三个相邻顶点处的三数之和（1） 大于 9？（2）大于 10？ 若能，请在图中标出来；若不能，请说明理由 （江苏省竞赛试题）
