1、 专题专题 5 数与形的第一次联姻数与形的第一次联姻 阅读与思考阅读与思考 数学是研究数和形的学科， 在数学里数和形是有密切联系的， 我们常用代数的方法来处理几何问题； 反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合， 是一种重要的数学思想 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要 体现在一下几个方面： 1利用数轴能形象地表示有理数； 2利用数轴能直观地解释相反数； 3利用数轴比较有理数的大小； 4利用数轴解决与绝对值相关的问题 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 已知数轴上有 A，B 两点，A，B 之间
2、的距离为 1，点 A 与原点 O 的距离为 3，那么所有满足 条件的点 B 与原点 O 的距离之和等于_ （北京市“迎春杯”竞赛试题） 解题思路：解题思路：确定 A，B 在数轴上的位置，求出 A，B 两点所表示的有理数 【例【例 2】 在数轴上和有理数cba,对应的点的位置如图所示有下面四个结论： 0abc，cacbba，0)()(accbba，bca1，其中，正确的结论 有（ ）个 A4 B3 C2 D1 （“希望杯”邀请赛试题） 解题思路解题思路：从数轴上得到101cba，再对代数式进行逐以一判断 【例【例 3】 如图所示，已知数轴上点CBA,所对应的数cba,都不为 0，且C是AB的中点
3、如 果0222cbacbcaba，试确定原点O的大致位置 解题思路解题思路：从化简等式入手，而 2 ba c 是解题的关键 【例【例 4】 （1）阅读下面材料： 点BA,在数轴上分别表示实数,baBA,两点之间的距离表示为AB 当BA,两点中有一点在原点 时， 当 A、B 两点都不在原点时， 如图 2，点 A、B 都在原点的右边|AB|OB|OA|b|a|ba|ab|； 如图 3，点 A、B 都在原点的左边，|AB|OB|OA|b|a|ba|ab|；如图 4，点 A、 B 在原点的两边，|AB|OB|OA|b|a|b（a）|ab|； 综上，数轴上 A、B 两点之间的距离|AB|ab| （2）回
4、答下列问题： 数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_，数轴上表示2 和5 的两点之间的距离是 _，数轴上表示 1 和3 的两点之间的距离是_； 数轴上表示 x 和1 的两点 A 和 B 之间的距离是_， 如果|AB|2， 那么 x 为_； 当代数式|x1|十|x2|取最小值时_，相应的 x 的取值范围是_ 求1997.321xxxx的最小值 （江苏省南京市中考试题） 解题思路：解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式ba所表示的意义，来回答所提出的具体问题 【例【例 5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑 15，7，11，3，14 台，现在为使各
5、校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小， 三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？ （湖北省荆州市竞赛试题） 解题思路解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来解题的关键是怎样将实际问 题转化为求 n axaxaxy 21 的最小值 【例【例 6】 如图，A是数轴上表示30 的点，B是数轴上表示 10 的点，C是数轴上表示 18 的点， 点CBA,在数轴上同时向正方向运动 点A运动的速度是 6 个单位长度/秒， 点B和点C运动的速度是 3 个单位长度/秒设三个点运动的时间为 t（秒） （1）当 t 为何值时，线段 AC
6、6（单位长度）？ （2）t5 时，设线段 OA 的中点为 P，线段 OB 的中点为 M，线段 OC 的中点为 N，求 2PMPN2 时 t 的值 （湖北省荆州市竞赛试题） 解题思路：解题思路：（1）CBA,三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A点运动到C点左侧和右侧两 种情况来分析求解 （2）先将NMP,三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点 M 始终在点N左侧，则分为“点P 在NM,左边”，“点P在NM,之间”，“点P在NM,右边”三种情况来求解 能力训练能力训练 A 级级 1已知数轴上表示负数有理数m的点是点M，那么在数轴上与点M相距m个单位的点中，与原点距 离较远的点对应的数是_ （江苏
7、省竞赛试题） 2 如果数轴上点A到原点的距离为 3， 点B到原点的距离为 5， 那么BA,两点的距离为_ 3点BA,分别是数3， 2 1 在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到 B A的中点对应数 3， 则点 A对应的数是_，点A移动的距离是_ （“希望杯”邀请赛试题） 4 已知0a，0b且0ba， 那么有理数baba,的大小关系是_（用 “”号连接） （北京市“迎春杯”竞赛试题） 5 在数轴上任取一条长度为 9 1 1999的线段， 则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是 （ ） A1998 B1999 C2000 D2001 （重庆市竞赛试题） 6如图，ba,为数轴上的两点表示的
8、有理数，在abbaabba,2,中，负数的个数有（ ） A1 B2 C3 D4 （“祖冲之”邀请赛试题） 7有理数cba,在数轴上的位置如图所示，式子cbbaba化简结果为（ ） Acba32 Bcb3 Ccb Dbc 8如图所示，在数轴上有六个，且EFDECDBCAB，则与点C所表示的数最接近的整数 是（ ） A1 B0 C1 D2 （“希望杯”邀请赛试题） 9已知dcba,为有理数，在数轴上的位置如图所示： 且64366dcba，求cbabda22323的值 10电子跳蚤落在数轴上的某点 o K，第一步从 o K向左挑一个单位到 1 K，第二步由 1 K向右跳 2 个单位 到 2 K，第三
9、步由 2 K向左跳 3 个单位到 3 K，第四步由 3 K向右跳 4 个单位到 4 K，按以上规律跳了 100 步时， 电子跳蚤落在数轴上的点 100 K所表示的数恰是 19.94 则电子跳蚤的初始位置 o K点所表示的 数是_ 11如图，已知BA,分别为数轴上两点，A点对应的数为20，B点对应的数为 100 （1）求过BA,中点M对应的数 （2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以 6 个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从 A点出发，以 4 个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数 （3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以 6 个单位/秒的速度向左运
10、动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A 点出发，以 4 单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数 B 级级 1有理数cba,在数轴上的位置如图所示： 则化简ccabba11的结果为_ 2电影哈利波特中小哈利波特穿墙进入“站台 4 3 9”的镜头（如示意图中M站台），构 思奇妙，给观众留下深刻的印象若BA,站台分别位于2，1 处，NBAN2，则N站台用类似电 影里的方法称为“_站台” （时代学习报数学文化节试题） 3在数轴上，若N点与原点O的距离是N点与三若对应的点之间的距离的 4 倍，则N点表示的数 是_ （河南省竞赛试题） 4若0, 0ba，则使babxax成立的
11、x的取值范围是_ （武汉市选拔赛试题） 5如图，直线上有三个不同的点CBA,，且BCAB，那么，到CBA,三点距离的和最小的点为（ ） A B点外 B线段AC的中点 C线段AC外一点 D 无穷多个 （“希望杯”邀请赛试题） 6点)(, 321 为正整数nAAAA n 都在数轴上，点在原点O的左边，且1 1 OA，点 2 A在点 1 A的右 边，且2 12 AA，点 3 A在点 2 A的左边，且3 23 AA，点 4 A在点 3 A的右边，且4 34 AA，依 照上述规律，点 20092008,A A所表示的数分别为（ ） A2008，2009 B2008，2009 C1004，1005 D10
12、04，1004 （福建省泉州市中考试题） 7设11xxy，则下列四个结论中正确的是（ ） Ay没有最小值 B只有一个x使y去最小值 C有限个x（不止一个）使y去最小值 D有无穷多个x使y取最小值 （全国初中数学联赛试题） 8 如图， 数轴上标出若干个点， 每相邻两个点相距 1 个单位， 点DCBA,对应的数分别是整数dcba,， 且92 ab，那么数轴的原点对应点是（ ） A点A B点B C点C D点D （“新世纪杯”广西初中数学竞赛试题） 9已知yyxx15912，求yx的最大值和最小值 （江苏省竞赛试题） 10如图，在环形运输线路上有FEDCBA,六个仓库， 现有某种货物的库存量分别是 50 吨、84 吨、 80 吨、70 吨、55 吨和 45 吨要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只 能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小求各仓库向其他仓库的调运量 11如图，数轴上标有12 n个点，它们对应的整数是nnnnn, 1, 2, 2 , 1 , 0 , 1, 2,),1(, 为 了确保从这些点中可以取出 2006 个，使任何两个点之间的距离都不等于 4求n的最小值 （“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）
