1、 专题专题 14 一次方程组一次方程组 阅读与思考阅读与思考 一次方程组是在一元一次方程的基础上展开的，解一次方程组的基本思想是“消元” ，即通过消元 将一次方程组转化为一元一次方程来解，常用的消元方法有代入法和加减法 解一些复杂的方程组（如未知数系数较大，方程个数较多等） ，需观察方程组的系数特点，从整体 上思考问题，运用整体叠加、整体叠乘、辅助引元、换元等技巧 方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，求解法、代解法是处理方程组解的基本方法 对于含有字母系数的二元一次方程组，总可以化为 222 111 cybxa cybxa 的形式，方程组的解由 222111 ,cbacba的取值范围确定，
2、当 222111 ,cbacba的取值范围未给出时，须讨论解的情况，基本 思路是通过换元，将方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论 例题与求解例题与求解 【例【例 1】 若 m 使方程组 myx yx 2 2 的解 x，y 的和为 6，则 m_ (湖北黄冈市竞赛试题) 解题思路：解题思路：用含 m 的式子分别表示 x，y，利用 xy6 的关系式，求解 m 【例【例 2】 若 4x3y6z0， x2y7z0 （0 xyz） 则代数式 222 222 1032 25 zyx zyx 的值等于 ( ) A 2 1 B 2 19 C15 D13 (全国初中数学竞赛试题) 解题思路解题思路：把 z
3、当作常数，解关于 x，y 的方程组 【例【例 3】 解下列方程组 （1） 3432 654 zyx zyx （ “缙云杯”邀请赛试题） （2） 798719951997 598919971995 yx yx （北京市竞赛试题） （3） 1999 1 1999199821 1999199819981997433221 xxxx xxxxxxxxxx （ “华罗庚金杯”竞赛试题） 解题思路：解题思路：根据方程组的特点，灵活运用不同的解题方法，或脱去绝对值符号，或设元引参，或整 体叠加 【例【例 4】 已知关于 x，y 的方程组 3) 1(22 12 yax ayax 分别求出 a 为何值，方程组的
4、解为： （1）有唯一一组解； （2）无解； （3）有无穷多组解 （湖北省荆州市竞赛试题） 解题思路解题思路：通过消元，将方程组的解的情况讨论转化为一元一次方程解的情况讨论 【例【例 5】已知正数 a，b，c，d，e，f 满足4 a bcdef ，9 b acdef ，16 c abdef ， 4 1 d abcef ， 9 1 e abcdf ， 16 1 f abcde 求)()(fdbeba的值 （ “CADIO”武汉市竞赛试题） 解题思路：解题思路：利用叠乘法求出 abcdef 的值 【例【例 6】已知关于 x，y 的二元一次方程（a3）x（2a5）y60，当 a 每取一个值时就有 一个
5、方程，这些方程有一个公共解 （1）求出这个公共解 （2）请说明，无论 a 取何值，这个公共解都是二元一次方程（a3）x（2a5）y60 的解 （2013 年“实中杯”数学竞赛试题） 解题思路：解题思路：分别令 a 取两个不同的值，可得到二元一次方程组，求出公共解 能力训练能力训练 A 级级 1 若243 124953 nmnm yx是关于 x，y 的二元一次方程，则 n m 的值等于_. （ “希望杯”邀请赛试题） 2 方程组 572317 631723 yx yx ，的解为_. （辽宁省中考试题） 3 已知方程组 24 155 byx yax 由于甲看错了方程中的 a 得到方程组的解为 x3
6、，y 1；乙看错了方程中的 b 得到方程组的解为 x5，y4若按正确的 a，b 计算，则原方程组的解 为_. （四川省联赛试题） 4 已知关于x的方程) 1(5) 13()3(xxbxa有无穷多个解， 则 a ， b_. （ “希望杯”邀请赛试题） 5已知0)2 23 ()4 23 ( 22 yxyx ，则有( ) A. x2，y3 B. x6，y3 C. x3，y6 D. x3，y6 6如果方程组 223 623 yx yx 的解也是方程 4xy2a0 的解，那么 a 的值是 ( ) A. 3 91 B. 6 91 C. 2 D. 2 7设非零实数 a，b，c 满足 0432 032 cba
7、 cba ，则 222 cba cabcab 的值为( ) A. 2 1 B.0 C. 2 1 D. 1 （2013 年全国初中数学竞赛试题） 8若方程组 9 .3053 1332 ba ba 的解为 2 . 1 3 . 8 b a 则方程组 9 .30) 1(5)2( 3 13) 1( 3)2(2 yx yx 的解为( ) A. 2 . 1 3 . 8 y x B. 2 . 2 3 .10 y x C. 2 . 2 3 . 6 y x D 2 . 0 3 .10 y x （山东省枣庄市中考试题） 9已知关于 x，y 的方程组 3423 1232 kyx kyx 的解 x，y 的值的和为 6，
8、求 k 的值 （上海市竞赛试题） 10解方程组 （1） 102361463 102463361 yx yx （云南省昆明市竞赛试题） （2） 1 12 1 22 1 1 36 2 1 1 yx yx （浙江省竞赛试题） （3） 132 7 yx yx 11若 1 x 5 x满足下列方程组 962 482 242 122 62 54321 54321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx ，求 54 23xx 的值 （美国数学邀请赛试题） B 级级 1已知对任意有理数 a，b，关于 x，y 的二元一次方程baybaxba)()(有一组公共
9、解， 则公共解为_. （江苏省竞赛试题） 2设 3654 2332 zyx zyx ，则 3x2yz （2013 年全国初中数学竞赛试题） 3若关于 x，y 的方程组 03 186 yx myx 有自然数解，则整数 m 可能的值是 （2013 年浙江省湖州市竞赛试题） 4 已知方程组 byx yxa5) 1( ，当 a ，b 时，方程组有唯一一组解；当 a ，b 时，方程组无解；当 a ，b 时，方程组有无数组解 （ “汉江杯”竞赛试题） 5 “”表示一种运算符号，其意义是 ab2ab，如果 x（13）2，则 x ( ) A.1 B. 2 1 C. 2 3 D2 （江苏省竞赛试题） 6已知 x
10、zzyx 531 ，则 zy yx 2 2 的值为( ) A.1 B. 2 3 C. 2 3 D 4 1 （重庆市竞赛试题） 7已知关于 x，y 的两个方程组 72 22 yx byax 和 113 953 yx byax 具有相同的解，那么 a，b 的值是 ( ) A. 2 3 b a B. 3 2 b a C. 3 2 b a D 2 3 b a 8若 a，c，d 是整数，b 是正整数，且满足 abc，bcd，cda，则 abcd 的最大值 是( ) A. 1 B. 5 C.0 D1 （全国初中数学联赛试题） 9解方程组 （1） 32 1 yx yx （江苏省竞赛试题） （2） 6 4 3
11、 2 1 ea de cd bc ab （上海市竞赛试题） 10已知 15 1 ba ab ， 17 1 cb bc ， 16 1 ac ca ，求 cabcab abc 的值 （山西省太原市数学竞赛试题） 11已知 1 x， 2 x， 3 x， n x中每一个数值只能取2，0，1 中的一个，且满足求的值 1 x 2 x 3 x n x17， 2 1 x 2 2 x 2 3 x 2 n x37求 3 1 x 3 2 x 3 n x的值 （ “华罗庚金杯”邀请赛试题） 12已知 k 是满足20101910k的整数，并且使二元一次方程组 kyx yx 54 745 有整数解，问： 这样的整数 k 有多少个？ （ “华罗庚金杯”邀请赛试题）
