1、 专题专题 17 不等式不等式(组组)的应用的应用 阅读与思考阅读与思考 许多数学问题和实际问题所求的未知量往往受到一些条件的限制，可以通过数量关系和分析，列出不等 式(组)，运用不等式的有关知识予以求解，不等式(组)的应用主要体现在： 1作差或作商比较有理数的大小 2求代数式的取值范围 3求代数式的最大值或最小值 4列不等式(组)解应用题 列不等式(组)解应用题与列方程(组)解应用题的步骤相仿，关键是在理解题意的基础上，将一些词 语转化为不等式如“不大于”“不小于”“正数”“负数”“非正数”“非负数”等对应不等号：“”“”“0”“ 0”“0”“0” 例题与求解例题与求解 【例【例 1】如果关
2、于x的方程 2 10m xx 只有负根，那么m的取值范围是_ (辽宁省大连市“育英杯”竞赛试题) 解题思路：解题思路：由x0 建立关于m的不等式 【例【例 2】已知 A 1998 1999 2000 2001 ，B 1998 2000 1999 2001 ，C 1998 2001 1999 2000 ，则有( ) AABC BCBA CBAC DBCA (浙江省绍兴市竞赛试题) 解题思路：解题思路：当作差比较困难时，不妨考虑作商比较 【例【例 3】已知 1 a， 2 a， 3 a， 4 a， 5 a， 6 a， 7 a是彼此不相等的正整数，它们的和等于 159，求其中最小 数 1 a的最大值
3、(北京市竞赛试题) 解题思路：解题思路：设 1 a 2 a 3 a 7 a，则 1 a+ 2 a+ 3 a+ + 7 a159，解题的关键是怎样把多元等式 转化为只含 1 a的不等式 【例【例 4】一玩具厂用于生产的全部劳力为 450 个工时，原料为 400 个单位，生产一个小熊玩具要使用 15 个工时、20 个单位的原料，售价为 80 元；生产一个小猫玩具要使用 10 个工时、5 个单位的原料，售价 为 45 元在劳力和原料的限制下合理安排生产小熊玩具、小猫玩具的个数，可以使小熊玩具和小猫玩 具的总售价尽可能高请用你所学过的数学知识分析，总售价是否可能达到 2 200 元 (“希望杯”邀请赛
4、试题) 解题思路：解题思路：列不等式的关键是劳力限制在 450 个工时，原料限制为 400 个单位引入字母，把方程 和不等式结合起来分析 【例【例 5】某钱币收藏爱好者想把 3.50 元纸币兑换成 1 分，2 分，5 分的硬币，他要求硬币总数为 150 枚， 且每种硬币不少于 20 枚，5 分的硬币多于 2 分的硬币，请你据此设计兑换方案 (河北省竞赛试题) 解题思路：解题思路：引入字母，列出含等式、不等式的混合组，把解方程组、解不等式组结合起来 【例 6】已知n，k皆为自然数，且 1kn若1 23 10 1 nk n ，nka求a的值 (香港中学数学竞赛试题) 解题思路：解题思路：此题可理解
5、为在n个连续自然数中去除其中一个数 k (且 1kn，k是非两头的两 个数)，使剩余的数的平均数等于 10，求n和k之和。 能力训练能力训练 A 级级 1.若方程24910 8 a xx 的解小于零，则a的取值范围是_ 2.若方程组 31, 33 xyk xy 的解为x，y，且 2k4，则xy的取值范围是_ （山东省聊城市中考试题） 3.a，b，c，d是正整数，且ab20，ac24，ad22，设abcd的最大值为 M， 最小值为 N，则 MN_ （重庆市竞赛试题） 4一辆公共汽车上有54a名乘客，到某一车站时有92a名乘客下车，则车上原有 _名乘客 （吉林省长春市中考试题） 5一个盒子里装有红
6、、黄、白三种颜色的球，若白球至多是黄球的 1 2 ，且至少是红球的 1 3 ，黄球与白 球合起来不多于 55 个，则盒子中至多有红球_个 (河北省竞赛试题) 6若2ab ，且a2b，则( ) A b a 有最小值 1 2 B b a 有最大值 1 C a b 有最大值 2 D a b 有最小值 8 9 (浙江省杭州市中考题) 7设 1989 1990 21 21 P ， 1990 1991 21 21 Q ，则 P，Q 的大小关系是（ ） APQ BPQ CPQ D不能确定 8小芳和爸爸、妈妈三人玩跷跷板，三人的体重一共为 150 千克，爸爸坐在跷跷板的一端，体重只有 妈妈一半的小芳和妈妈一同
7、坐在跷跷板的另一端，这时，爸爸的那一端仍然着地，请你猜一猜小芳的体 重应小于( ) A49 千克 B50 千克 C24 千克 D25 千克 (山东省烟台市中考试题) 9中国第三届京剧艺术节在南京举行，某场京剧演出的票价有 2 元到 100 元多种，某团体需购买票价 6 元和 10 元的票共 140 张，其中票价为 10 元的票数不少于票价为 6 元的票数的 2 倍问这两种票各购买 多少张所需的钱最少?最少需要多少钱? (江苏省竞赛试题) 10某港受潮汐的影响，近日每天 24 小时港内的水深变化大体如图所示： 一艘货轮于上午 7 时在该港码头开始卸货，计划当天卸完货后离港已知这艘货轮卸完货后吃水
8、深 度为 2.5 m(吃水深度即船底与水面的距离)该港口规定：为保证航行安全，只有当船底与港内水底间的 距离不少于 3.5 m 时，才能进出该港 根据题目中所给的条件，回答下列问题： (1)要使该船能在当天卸完货并安全出港， 则出港时水深不能少于_m， 卸货最多只能用_ 小时； (2)已知该船装有 1200 吨货，先由甲装卸队单独卸，每小时卸 180 吨，工作了一段时间后，交由乙 队接着单独卸，每小时卸 120 吨如果要保证该船能在当天卸完货并安全出港，则甲队至少应该工作几 小时，才能交给乙队接着卸？ （江苏省苏州市中考试题） B 级级 1设a，b，c，d都是整数，且a3b，b5c，c7d，d
9、30，那么a的最大可能值为_ （“新世纪杯”数学竞赛试题） 2某宾馆底楼客房比二楼少 5 间，某旅游团有 48 人，若全安排住底楼，每间住 4 人，房间不够；每间 住 5 人，有房间没有住满 5 人又若全安排在二楼，每间住 3 人，房间不够；每间住 4 人，有房间没有 住满 4 人，该宾馆底楼有客房_间 3已知a0，x满足不等式11axax，那么x的取值范围是_ 4若a，b满足 2 357ab，S 2 23ab，则 S 的取值范围是_ (广西竞赛试题) 5 已知 1 a， 2 a， 3 a， ， 2007 a是彼此互不相等的负数， 且 M( 1 a 2 a 2006 a)( 2 a 3 a 2
10、007 a)， N( 1 a 2 a 2007 a)( 2 a 3 a 2006 a)，那么 M 与 N 的大小关系是( ) AMN BMN CMN D无法确定 (江苏省竞赛试题) 6某出版社计划出版一套百科全书，固定成本为 8 万元，每印刷一套增加成本 20 元如果每套书定价 100 元，卖出后有 3 成收入给经销商，出版社要盈利 10，那么该书至少要发行( )套 A2 000 B3 000 C4 000 D5 000 (“希望杯”邀请赛试题) 7今有浓度为 5，8，9的甲、乙、丙三种盐水分别为 60 克，60 克，47 克，现要配制浓度为 7 的盐水 100 克，问甲种盐水最多可用多少克?
11、最少可用多少克? (北京市竞赛试题) 8为了迎接世界杯足球赛的到来，某足球协会举办了一次足球联赛，其记分规则与奖励方案如下表： 胜一场 平一场 负一场 积分 3 1 0 奖金（元/人） 1500 700 0 当比赛进行到第 12 轮结束(每队均需比赛 12 场)时，A 队共积 1 9 分 (1)请通过计算，判断 A 队胜、平、负各几场 (2)若每赛一场，每名参赛队员均得出场费 500 元设 A 队其中一名参赛队员所得的奖金与出场费 的和为 W(元)，试求 W 的最大值。 (黑龙江省中考试题) 9为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县 A，B 两类薄弱学校全部进行改造根据预算，共需资 金 1 5
12、75 万元，改造一所 A 类学校和两所B 类学校共需资金 230 万元；改造两所 A 类学校和一所 B 类学校共需资金 205 万元 (1)改造一所 A 类学校和一所 B 类学校所需的资金分别是多少万元? (2)若该县的 A 类学校不超过 5 所，则 B 类学校至少有多少所? (3)我市计划今年对该县 A， B 两类学校共 6 所进行改造， 改造资金由国家财政和地方财政共同承担， 若今年国家财政拨付的改造资金不超过 400 万元；地方财政投入的改造资金不少于 70 万元，其中地方 财政投入到 A，B 两类学校的改造资金分别为每所 10 万元和 15 万元，请你通过计算求出有几种改造方 案 (湖北省襄樊市中考试题) 10设 1 x， 2 x， 2008 x是整数，且满足下列条件： (1)l n x2(n1，2，2 008)； (2) 122008 200 xxx； (3) 222 122008 2008xxx 求 333 122008 xxx的最大值和最小值 (“宗沪杯”竞赛试题)
