1、 专题专题 18 简单的不定方程、方程组简单的不定方程、方程组 例例 1 3 提示：(n-m)(n+m)=3995=1 5 17 47，(n-m)与(n+m)奇偶性相同，对 3995 的任 一正整数分解均可得到一个 (m，n). 例例2 C 设购买10元， 15元， 20元的电影票分别为x， y， z张.则 30 101520500 xyz xyz ， - 15 得 5( z-x)=50，解得 z-x=10. 例例 3 设此 8 位数为abcdefgh，将abc记为 x，d记为 y，efgh记为 z. x，y，z 均为自然数.即电 话号码是 100 000 x+10 000 y +z，且 10
2、0 x999，0y9，1000z9999， 则 1014405 1000016970 xyz xyz ，得 1111 y x=285，由 100 x999，y0，得 1 826 6144 y x z ， 故电话号码是 82616144. 例例 4 提示：设盒子里共有 x(x200)粒棋子， 则 12a-1=11b=x(a、b 为正整数)， 解得 a=10，b=11，x=121. 例例 5 设甲组学生 a 人，乙组学生 b 人，丙组学生 c 人，由题意得 28a+30b+31c=365. 因 28（a+b+c）28a+30b+31c=365.得 a+b+c 365 28 13.04，所以 a+b
3、+c13. 因 31（a+b+c）28a+30b+31c=365. 得 a+b+c 365 31 11.7，所以 a+b+c12 因此 a+b+c=12 或 13. 当 a+b+c=13 时，得 2b+3c=1，此方程无正整数解；当 a+b+c=12 时，符合题意. 例例 6 设原先租客车 x 辆， 开走一辆空车后， 每辆车乘坐 k 人， 显然 x2， 23k32.依题意有： 22x+1=k(x-1).则 22122222323 22 111 xx k xxx .因为 k 为自然数， 所以 23 1x 必是自然数， 但 23 是质数，因数只有 1 和 23，且 x2，x-1=1 或 x-1=2
4、3.如果 x-1=1，则 x=2，k=45，不 符合 k32 的题设条件. 如果 x-1=23，则 x=24，k=23，符合题意.这时旅客人数等于 k(x-1)=23 23=529 人. A 级 1. 1 4 . 2.1 3. 18 提示：设某人出生于19xy，则1998 1910 xyxy，即 11x+2y=88，解得 8 0 x y . 4. 5013 提示： 由题中条件得 a+b+c=a+4011， 又因为 a+b=2006， ab.故 2a2006， a1003. 又因为 a 为正整数，故 a 的最大值为 1002，于是 a+b+c 的最大值为 5013. 5. B 6. C 设置限速
5、标志、照相标志的千米数分别表示为 3+4x，10+9y（x、y 为自然数） ，将问 题转换为求不定方程 3+4x=10+9y的正整数解， 则 793 21 44 yy xy ， 4 （y+3） ， 13 5 x y 为所求的解. 7. A 8.A 9.大小盒子分别为 2 个，15 个. 10.设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为 x、y、z.则有 100 53100 3 xyz z xy ，消去 z，得 7x+4y=100， 显然（0，25）是方程的一个特解，所以方程的通解为 4 257 xt yt （t 为整数）.于是 z=100-x-y=100+4t-25-7t=75-3t.由 x、 y、 z0
6、且 t 为整数得 40 2570 7530 t t t ， 解得0, 1, 2, 3t ， 将 t 的值代入通解，得四组解为（x，y，z）=（0，25，75） ， （4，18，78） ， （8，11，81） ， （12，4，84） （0，25，75）应舍去 11设长方形的长宽高分别为 x，y，则22xyxy， 22424 2 222 xx y xxx ， 2 |4x，3x 或 4 或 6，6y 或 4 或 3，故长方形面积为 18 或 16 12由方程组得 354 41 528 41 k x k y ，当 35441 52841 km kn （其中 m，n 是整数）时，方程有整数 解消去上面方
7、程的 k，得：547mn，由得： 34 25 mt nt （其中 t 为整数）将 代入得354123164kt，2241kt解不等式191022412010t，得： 220 4648 4141 t，故有个的值使原方程组有整数解 B 级 1144 提示： 222 30abbcc 210 提示：96xy xy 31972 设这个四位数为abcd，则1000100101991abcdabcd， 即10011011121991abcd，1a ，从而101112990bcd，又112cd最大为 99+18=117故101990 117873b ，即9b ，得11281cd，进一步得7,2cd， 故这个四
8、位数为 1972 412 14 24 提示：由题目中“通牌枚数是金牌枚数的 2 倍”得知金牌与铜牌数的和为 3 的倍数 因为银牌只有一盒， 所以铜牌数和金牌数的和应为 3， 6， 9， 14， 18 中四个数的和 因 此银牌数为 14 枚，金牌数为（3+6+9+18） 1 3 =12 枚，铜牌数为 24 枚 5C 提示：1 722 364 186 128 9xyxy 6A 7A 提示：有方程组得：12xyz 8B 提示：设两位数为 10a+b，中间插入的一位数为 m，则 9(10a+b)=100a+10m+b， 10(a+m)=8b 9原来支票的面额是 14.32 元，兑换员看错成了 32.1
9、4 元，应退回 32.14-14.32=17.82 元 10设第一次看到的两位数为xy，则以后两次看到的数分别为yx，0 x y，由题意得 0 x yyxyxxy， 即 1 0 01 01 01 0 x yy xy xx y， 正理解的： x=1， y=6， 故三块里程碑上的数分别是 16，61，106 11当4c ， 3 1610cccd，此时不存在满足条件的四位数 当3c 时，则 3233 2abcdd于是1d，若1d，得：1ab，即 1131 满足条件；若0d，得1ab，即 1130 满足条件 当2c 时， 则 3233 11abcdd，于是2d，若2d，得 33 5ab，无解； 若1d
10、或0d，得 33 11ab，无解 当1c 时，则 323 8abdd，于是2d，若2d，得1ab，即 1112 满足 条件；若1d，得2,0ab，即 2011 满足条件；若0d ，得2,0ab，即 2010 满 足条件 12由题中条件易知 x，y，z 都大于 1不妨设1xyz，则 111 xyz ， 11113 xxyzx ，即 153 6xx ，由此得2x 或 3， 当2x 时， 111511112 623xxyyyy ，即 112 3yy ，由此得4y 或 5 或 6 同理，当3x 时，3y 或 4，由此得：1xyz时，(x，y，z)共有(2，4，12)，(2，6， 6)，(3，3，6)，(3，4，4)4 组由于 x，y，z 在原方程中地位平等，可得原方程的解共有 15 组：(2，4，12)，(2，12，4)，(4，2，12)，(4，12，2)，(12，2，4)，(12，4，2)，(2，6， 6)，(6，2，6)，(6，6，2)，(3，3，6)，(3，6，3)，(6，3，3)，(3，4，4)，(4，4，3)，(4， 3，4)
