1、 2019 年湖北省荆州市中考数学试卷年湖北省荆州市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题每小题只有唯一正确答案，每小题小题每小题只有唯一正确答案，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） （2019 荆州）1 （3 分）下列实数中最大的是（ ） A B C D|4| （2019 荆州）2 （3 分）下列运算正确的是（ ） Axx Ba3 （a2）a6 C （1） （+1）4 D（a2）2a4 （2019 荆州）3 （3 分）已知直线 mn，将一块含 30角的直角三角板 ABC 按如图方式 放置（ABC30） ，其中 A，B 两点分别落在直线 m，n 上，若140，
2、则2 的 度数为（ ） A10 B20 C30 D40 （2019 荆州）4 （3 分）某几何体的三视图如图所示，则下列说法错误的是（ ） A该几何体是长方体 B该几何体的高是 3 C底面有一边的长是 1 D该几何体的表面积为 18 平方单位 （2019 荆州）5 （3 分）如图，矩形 ABCD 的顶点 A，B，C 分别落在MON 的边 OM，ON 上，若 OAOC，要求只用无刻度的直尺作MON 的平分线小明的作法如下：连接 AC，BD 交于点 E，作射线 OE，则射线 OE 平分MON有以下几条几何性质：矩形 的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，等腰三角形的“三线合一” 小明的 作法依据
3、是（ ） A B C D （2019 荆州） 6（3 分） 若一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限， 则关于 x 的方程 x2+kx+b 0 的根的情况是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 （2019 荆州）7 （3 分）在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（1，） ，以原点为中心， 将点 A 顺时针旋转 30得到点 A，则点 A的坐标为（ ） A （，1） B （，1） C （2，1） D （0，2） （2019 荆州）8 （3 分）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为 1.65 米， 而甲、乙、丙三位同学的平均身高为 1.63 米
4、，下列说法一定正确的是（ ） A四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高 B丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高 C丁同学的身高为 1.71 米 D四位同学身高的众数一定是 1.65 （2019 荆州）9 （3 分）已知关于 x 的分式方程2的解为正数，则 k 的取值范 围为（ ） A2k0 Bk2 且 k1 Ck2 Dk2 且 k1 （2019 荆州）10 （3 分）如图，点 C 为扇形 OAB 的半径 OB 上一点，将OAC 沿 AC 折叠， 点 O 恰好落在上的点 D 处，且 l：l1：3（l 表示的长） ，若将此扇形 OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ） A
5、1：3 B1： C1：4 D2：9 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 18 分）分） （2019 荆州）11 （3 分）二次函数 y2x24x+5 的最大值是 （2019 荆州）12 （3 分）如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4cm，E，F，G 分别是 AB，AA1，AD 的中点，截面 EFG 将这个正方体切去一个角后得到一个新的几何 体（如图） ，则图中阴影部分的面积为 cm2 （2019 荆州）13 （3 分）对非负实数 x“四舍五入”到个位的值记为（x） ，即当 n 为非负 整数时，若 n0.5xn+0.5，则（x）
6、n如（1.34）1， （4.86）5若（0.5x1） 6，则实数 x 的取值范围是 （2019 荆州）14 （3 分）如图，灯塔 A 在测绘船的正北方向，灯塔 B 在测绘船的东北方向， 测绘船向正东方向航行 20 海里后， 恰好在灯塔 B 的正南方向， 此时测得灯塔 A 在测绘船 北偏西 63.5的方向上，则灯塔 A，B 间的距离为 海里（结果保留整数） （参考 数据 sin26.50.45，cos26.50.90，tan26.50.50，2.24） （2019 荆州）15 （3 分）如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，过 B 点的切线交 AC 的延长线于点 D， E 为弦 AC 的中
7、点， AD10， BD6， 若点 P 为直径 AB 上的一个动点， 连接 EP，当AEP 是直角三角形时，AP 的长为 （2019 荆州）16 （3 分）边长为 1 的 8 个正方形如图摆放在直角坐标系中，直线 yk1x 平 分这 8 个正方形所组成的图形的面积，交其中两个正方形的边于 A，B 两点，过 B 点的 双曲线 y的一支交其中两个正方形的边于 C，D 两点，连接 OC，OD，CD，则 S OCD 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） （2019 荆州）17 （8 分）已知：a（1） （+1）+|1|，b2sin45+（） 1，求 ba 的算术
8、平方根 （2019 荆州）18 （8 分）先化简（1），然后从2a2 中选出一个合适 的整数作为 a 的值代入求值 （2019 荆州）19 （8 分）如图，等腰直角三角形 OEF 的直角顶点 O 为正方形 ABCD 的 中心， 点 C， D 分别在 OE 和 OF 上， 现将OEF 绕点 O 逆时针旋转 角 （090） ， 连接 AF，DE（如图） （1）在图中，AOF ； （用含 的式子表示） （2）在图中猜想 AF 与 DE 的数量关系，并证明你的结论 （2019 荆州）20 （8 分）体育组为了了解九年级 450 名学生排球垫球的情况，随机抽查了 九年级部分学生进行排球垫球测试（单位：个
9、） ，根据测试结果，制成了下面不完整的统 计图表： 组别 个数段 频数 频率 1 0 x10 5 0.1 2 10 x20 21 0.42 3 20 x30 a 4 30 x40 b （1）表中的数 a ，b ； （2）估算该九年级排球垫球测试结果小于 10 的人数； （3）排球垫球测试结果小于 10 的为不达标，若不达标的 5 人中有 3 个男生，2 个女生， 现从这 5 人中随机选出 2 人调查，试通过画树状图或列表的方法求选出的 2 人为一个男 生一个女生的概率 （2019 荆州）21 （8 分）若二次函数 yax2+bx+c（a0）图象的顶点在一次函数 ykx+t （k0）的图象上，则
10、称 yax2+bx+c（a0）为 ykx+t（k0）的伴随函数，如：y x2+1 是 yx+1 的伴随函数 （1） 若 yx24 是 yx+p 的伴随函数， 求直线 yx+p 与两坐标轴围成的三角形的 面积； （2）若函数 ymx3（m0）的伴随函数 yx2+2x+n 与 x 轴两个交点间的距离为 4， 求 m，n 的值 （2019 荆州）22 （10 分）如图，AB 是O 的直径，点 C 为O 上一点，点 P 是半径 OB 上一动点（不与 O，B 重合） ，过点 P 作射线 1AB，分别交弦 BC，于 D，E 两点， 在射线 l 上取点 F，使 FCFD （1）求证：FC 是O 的切线； （
11、2）当点 E 是的中点时， 若BAC60，判断以 O，B，E，C 为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理 由； 若 tanABC，且 AB20，求 DE 的长 （2019 荆州）23 （10 分）为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市 某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动在此次活动中，若每 位老师带队 14 名学生，则还剩 10 名学生没老师带；若每位老师带队 15 名学生，就有一 位老师少带 6 名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 35 30 租金（元/辆） 400 320 学校计划此次研
12、学活动的租金总费用不超过 3000 元，为安全起见，每辆客车上至少要有 2 名老师 （1）参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？ （2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有 2 名老师，可知租车总辆 数为 辆； （3）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ （2019 荆州）24 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 OABC 的顶点 A，C 的 坐标分别为（6，0） ， （4，3） ，经过 B，C 两点的抛物线与 x 轴的一个交点 D 的坐标为（1， 0） （1）求该抛物线的解析式； （2）若AOC 的平分线交 BC 于点 E，交抛物线的对称轴于点 F，点 P
13、 是 x 轴上一动点， 当 PE+PF 的值最小时，求点 P 的坐标； （3）在（2）的条件下，过点 A 作 OE 的垂线交 BC 于点 H，点 M，N 分别为抛物线及其 对称轴上的动点，是否存在这样的点 M，N，使得以点 M，N，H，E 为顶点的四边形为 平行四边形？若存在，直接写出点 M 的坐标，若不存在，说明理由 2019 年湖北省荆州市中考数学试卷年湖北省荆州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题每小题只有唯一正确答案，每小题小题每小题只有唯一正确答案，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 【解答】解：|4|4
14、， 所给的几个数中，最大的数是|4| 故选：D 2 【解答】解：A、xxx，故本选项错误； B、a3 （a2）a5，故本选项错误； C、 （1） （+1）514，故本选项正确； D、（a2）2a4，故本选项错误； 故选：C 3 【解答】解：直线 mn， 2+ABC+1+BAC180， ABC30，BAC90，140， 218030904020， 故选：B 4 【解答】解：A、该几何体是长方体，正确； B、该几何体的高为 3，正确； C、底面有一边的长是 1，正确； D、该几何体的表面积为：2（12+23+13）22 平方单位，故错误， 故选：D 5 【解答】解：四边形 ABCD 为矩形， AE
15、CE， 而 OAOC， OE 为AOC 的平分线 故选：C 6 【解答】解：一次函数 ykx+b 的图象不经过第二象限， k0，b0， k24b0， 方程有两个不相等的实数根 故选：A 7 【解答】解：如图，作 AEx 轴于 E，AFx 轴于 F AEOOFA90，AOEAOAAOF30 AOEA， OAOA， AOEOAF（AAS） ， OFAE，AFOE1， A（，1） 故选：A 8 【解答】解：A、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误； B、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误； C、丁同学的身高为 1.6541.6331.71 米，正确； D四位同学身高的众
16、数一定是 1.65，错误 故选：C 9 【解答】解：2， 2， x2+k， 该分式方程有解， 2+k1， k1， x0， 2+k0， k2， k2 且 k1， 故选：B 10 【解答】解：连接 OD 交 OC 于 M 由折叠的知识可得：OMOA，OMA90， OAM30， AOM60， 且：1：3， AOB80 设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 2r， r：i2：9 故选：D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题每小题小题每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 11 【解答】解：y2x24x+52（x+1）2+7， 即二次函数 yx24x+5 的最大值是 7， 故答案为：
17、7 12 【解答】解：已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 4cm，E，F，G 分别是 AB，AA1， AD 的中点， GFGEEF2， 过 G 作 GHEF 于 H， GHGF， 图中阴影部分的面积22cm2 故答案为：2 13 【解答】解：依题意得：60.50.5x16+0.5 解得 13x15 故答案是：13x15 14 【解答】解：由题意得，MN20，ANB63.5，BMN45，AMNBNM 90， BNMN20， 如图，过 A 作 AEBN 于 E， 则四边形 AMNE 是矩形， AEMN20，ENAM， AMMNtan26.5200.5010， BE201010， AB10
18、22.4 海里 故答案为：22 15 【解答】解：过 B 点的切线交 AC 的延长线于点 D， ABBD， AB8， 当AEP90时，AEEC， EP 经过圆心 O， APAO4； 当APE90时，则 EPBD， ， DB2CDAD， CD3.6， AC103.66.4， AE3.2， ， AP2.56 综上 AP 的长为 4 和 2.56 故答案为 4 和 2.56 16 【解答】解：设 A（4，t） ， 直线 yk1x 平分这 8 个正方形所组成的图形的面积， 4t4+1，解得 t， A（4，） ， 把 A（4，）代入直线 yk1x 得 4k1，解得 k1， 直线解析式为 yx， 当 x2
19、 时，yx，则 B（2，） ， 双曲线 y经过点 B， k22， 双曲线的解析式为 y， 当 y2 时，2，解得 x，则 C（，2） ； 当 x3 时，y，则 D（3，） ， SOCD3232（2）（3） 故答案为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 72 分）分） 17 【解答】解：a（1） （+1）+|1|31+11+， b2sin45+（） 12 +2+2 ba+211 1 18 【解答】解： （1） ， 当 a2 时，原式1 19 【解答】解： （1）如图 2， OEF 绕点 O 逆时针旋转 角， DOFCOE， 四边形 ABCD 为正方形， AOD90，
20、AOF90； 故答案为 90； （2）AFDE 理由如下： 如图，四边形 ABCD 为正方形， AODCOD90，OAOD， DOFCOE， AOFDOE， OEF 为等腰直角三角形， OFOE， 在AOF 和DOE 中 ， AOFDOE（SAS） ， AFDE 20 【解答】解（1）抽查了九年级学生数：50.150（人） ， 20 x30 的人数：5020（人） ，即 a20， 30 x40 的人数：50521204（人） ， b0.08， 故答案为 20，0.08； （2）该九年级排球垫球测试结果小于 10 的人数 4500.1）45（人） ， 答：该九年级排球垫球测试结果小于 10 的人
21、数为 45 人； （3）列表如下 P（选出的2人为一个男生一个女生的概率） 21 【解答】解：yx24， 其顶点坐标为（0，4） ， yx24 是 yx+p 的伴随函数， （0，4）在一次函数 yx+p 的图象上， 40+p p4， 一次函数为：yx4， 一次函数与坐标轴的交点分别为（0，4） ， （4，0） ， 直线 yx+p 与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|4|4， 直线 yx+p 与两坐标轴围成的三角形的面积为： （2）设函数 yx2+2x+n 与 x 轴两个交点的横坐标分别为 x1，x2，则 x1+x22，x1x2 n， ， 函数 yx2+2x+n 与 x 轴两个交点间的距离为
22、4， ， 解得，n3， 函数 yx2+2x+n 为：yx2+2x3（x+1）24， 其顶点坐标为（1，4） ， yx2+2x+n 是 ymx3（m0）的伴随函数， 4m3， m1 22 【解答】解： （1）证明：连接 OC，OBOC， OBCOCB， PFAB， BPD90， OBC+BDP90， FCFD FCDFDC FDCBDP OCB+FCD90 OCFC FC 是O 的切线 （2）如图 2，连接 OC，OE，BE，CE， 以 O，B，E，C 为顶点的四边形是菱形理由如下： AB 是直径，ACB90， BAC60，BOC120， 点 E 是的中点， BOECOE60， OBOEOC B
23、OE，OCE 均为等边三角形， OBBECEOC 四边形 BOCE 是菱形； 若 tanABC，且 AB20，求 DE 的长 tanABC，设 AC3k，BC4k（k0） ， 由勾股定理得 AC2+BC2AB2，即（3k）2+（4k）2202，解得 k4， AC12，BC16， 点 E 是的中点， OEBC，BHCH8， OEBHOBPE，即 10810PE，解得：PE8， 由勾股定理得 OP6， BPOBOP1064， tanABC，即 DPBP3 DEPEDP835 23 【解答】解： （1）设参加此次研学活动的老师有 x 人，学生有 y 人， 依题意，得：， 解得： 答：参加此次研学活动
24、的老师有 16 人，学生有 234 人 （2）（234+16）357（辆）5（人） ，1628（辆） ， 租车总辆数为 8 辆 故答案为：8 （3）设租 35 座客车 m 辆，则需租 30 座的客车（8m）辆， 依题意，得：， 解得：2m5 m 为正整数， m2，3，4，5， 共有 4 种租车方案 设租车总费用为 w 元，则 w400m+320（8m）80m+2560， 800， w 的值随 m 值的增大而增大， 当 m2 时，w 取得最小值，最小值为 2720 学校共有 4 种租车方案，最少租车费用是 2720 元 24 【解答】解： （1）平行四边形 OABC 中，A（6，0） ，C（4，
25、3） BCOA6，BCx 轴 xBxC+610，yByC3，即 B（10，3） 设抛物线 yax2+bx+c 经过点 B、C、D（1，0） 解得： 抛物线解析式为 yx2+x （2）如图 1，作点 E 关于 x 轴的对称点 E，连接 EF 交 x 轴于点 P C（4，3） OC BCOA OECAOE OE 平分AOC AOECOE OECCOE CEOC5 xExC+59，即 E（9，3） 直线 OE 解析式为 yx 直线 OE 交抛物线对称轴于点 F，对称轴为直线：x7 F（7，） 点 E 与点 E关于 x 轴对称，点 P 在 x 轴上 E（9，3） ，PEPE 当点 F、P、E在同一直线
26、上时，PE+PFPE+PFFE最小 设直线 EF 解析式为 ykx+h 解得： 直线 EF：yx+21 当x+210 时，解得：x 当 PE+PF 的值最小时，点 P 坐标为（，0） （3）存在满足条件的点 M，N，使得以点 M，N，H，E 为顶点的四边形为平行四边形 设 AH 与 OE 相交于点 G（t，t） ，如图 2 AHOE 于点 G，A（6，0） AGO90 AG2+OG2OA2 （6t）2+（t）2+t2+（t）262 解得：t10（舍去） ，t2 G（，） 设直线 AG 解析式为 ydx+e 解得： 直线 AG：y3x+18 当 y3 时，3x+183，解得：x5 H（5，3） HE954，点 H、E 关于直线 x7 对称 当 HE 为以点 M，N，H，E 为顶点的平行四边形的边时，如图 2 则 HEMN，MNHE4 点 N 在抛物线对称轴：直线 x7 上 xM7+4 或 74，即 xM11 或 3 当 x3 时，yM9+9 M（3，）或（11，） 当 HE 为以点 M，N，H，E 为顶点的平行四边形的对角线时，如图 3 则 HE、MN 互相平分 直线 x7 平分 HE，点 F 在直线 x7 上 点 M 在直线 x7 上，即 M 为抛物线顶点 yM49+74 M（7，4） 综上所述，点 M 坐标为（3，） 、 （11，）或（7，4）
