1、版权所有 翻版必究 1 中公学员内部专用 讲解一、泰勒公式 一、概念 （1）泰勒公式：设函数( )f x在点 0 x处有直至n阶导数，则当 0 xx时有： ( ) 2 00 000000 ()() ( )()()()()()() 2! n nn fxfx f xf xfxxxxxxxxx n （2）麦克劳林公式：在 0 0 x 处的泰勒公式又称为麦克劳林公式. 常见函数的麦克劳林公式： 22 22 24 224 33 33 33 33 1()ln(1)() 2!2 (1) (1)1()cos1() 2!2!4! sin()arcsin() 3!6 tan()arctan(). 33 x a x
2、x exxxxx a axx xaxxxxx xx xxxxxx xx xxxxxx ， ， ， ， 二、应用 应用一：等价无穷小替换公式的推广 【例【例 1】计算下列极限. （1）； （2） 1 lncos 0 sin lim x x x x ； 3 0 tanarcsin lim x xx x 版权所有 翻版必究 2 中公学员内部专用 （3） 22 0 11 lim sin x xx ； （4） 0 tanarcsin lim sinarctan x xx xx . 【答案】【答案】 （1） 1 6 ； （2） 1 3 e ； （3） 1 3 ； （4）1. 【小结】【小结】 运用泰勒公式
3、计算极限的基本步骤： 展开、 整理、 替换 （当多个无穷小相加时， 抓住其中起主导作用那一项）. 【补充】 （【补充】 （1）常见的等价无穷小替换公式：）常见的等价无穷小替换公式：当时， sinarcsintanarctanln(1)1 x xxxxxxe (1)1 a xax ， 2 1 1 cos 2 xx. （2）等价无穷小替换的广义化：当0时， sin arcsin tan arctan ln(1) 1e ， 2 1 (1)1, 1 cos 2 a a. 【例【例 2】计算下列极限. （1）； （2） 0 tan(tan )sin(sin ) lim sin x xx xx . 0 x
4、 2 2 22 0 cos lim sin x x ex xx 版权所有 翻版必究 3 中公学员内部专用 【答案】【答案】 （1） 1 4 ； （2）6. 【小结】【小结】麦克劳林公式的广义化：当0时， 22 22 24 224 33 33 33 33 1()ln(1)() 2!2 (1) (1)1()cos1() 2!2!4! sin()arcsin() 3!6 tan()arctan(). 33 a e a a a ， ， ， ， 【例【例 3】计算下列极限. （1） 2 10 0 (1 cos)(tan )(sin ) lim x xxx xx x ； （2） 3 0 tan(tan )
5、tan lim x xx x ； （3） 222 4 0 tan2arcsin lim tan x xxx x ； （4） 22 6 0 2 sinsin lim x xxxx x . 【答案】【答案】 （1） 1 36 ； （2） 1 3 ； （3）1； （4） 1 36 . 版权所有 翻版必究 4 中公学员内部专用 应用二：极限式中参数的讨论 【例【例 4】已知，求a，b. 【答案】【答案】1a ， 1 2 b . 【例【例 5】 【2006-2】 【2006-2】试确定A，B，C的值，使得 23 (1)1() x eBxCxAxo x ， 其中 3 ()o x是当0 x 时比 3 x 高
6、阶的无穷小. 【答案】【答案】 1 3 A ， 2 3 B ， 1 6 C . 23 0 ln(1) lim0 tan x xxaxbx xx 版权所有 翻版必究 5 中公学员内部专用 练习题（一） 练习题 1、计算下列极限. （1） 0 arcsinsin lim arctantan x xx xx ； （2） 2 2 4 0 cos lim x x xe x ； （3）； （4）. 2、设在点处二阶可导，求 . 3、设 ，则（ ） （A）， （B）， （C）， （D）， 练习题解析 1、 （1） 【答案】【答案】 1 2 . 【解析】【解析】本题中将arcsinx，sinx，arctanx
7、和tanx分别按泰勒公式展开后，第一项 被抵消；由多退少补的原则，需展开至第二项. 3333 00 3333 11 ()() arcsinsin66 limlim 11arctantan ()() 33 xx xxo xxxo x xx xx xxo xxxo x 33 0 33 1 () 1 3 lim 2 2 () 3 x xo x xo x . 0 sintantan lim tansinsin x xx xx 2 0 ln(1)2cos2 lim (tan )ln(1) x xx xxx ( )f x0 x 2 0 (2 )2 ( )(0) lim x fxf xf x 2 2 0 l
8、n(1)() lim2 x xaxbx x 1a 5 2 b 0a 2b 0a 5 2 b 1a 2b 版权所有 翻版必究 6 中公学员内部专用 （2） 【答案】【答案】 1 12 . 【解析】【解析】本题中将cos x和 2 2 x e 分别按泰勒公式展开后，二次被抵消；由多退少补的原 则，需展开至四次. 2 2 2 242 44 2 44 00 2 1() 1() cos 2!4!22 limlim x xx x xxx o xo x xe xx 44 4 0 11 () 14!8 lim 12 x xo x x . （3） 【答案】【答案】. 【解析】【解析】本题可以采用等价无穷小替换公
9、式 3 1 0,sin 6 xxxx， 3 1 tan 3 xxx 的广义化形式. . （4） 【答案】【答案】. 【解析】【解析】本题中和分别按泰勒公式展开后，常数项和平方项均被抵消， 由多退少补的原则，二者需展开至四次项. 1 2 3 00 3 1 (tan ) sintantan1 6 limlim 1 tansinsin2 (sin ) 3 xx x xx xx x 5 4 2 ln(1)x cosx 22222 244 2 00 3 ()() ()2 1()2 224!ln(1)2cos2 limlim 1 (tan )ln(1) 3 xx xxx xo xo x xx xxx xx
10、 版权所有 翻版必究 7 中公学员内部专用 . 2、 【答案】【答案】. 【解析】【解析】由泰勒公式，将函数和分别在处展开，可得 ， ， 则有. 3、 【答案】【答案】 （A）. 【 解 析 】【 解 析 】 题 中 所 给 的 函 数 中 ，x的 最 高 次 为次 ， 所 以 根 据 泰 勒 公 式 有 .由题可得， ， 上式成立要求，解得，. 4 4 0 4 5 () 5 12 lim 1 4 3 x x o x x (0)f ( )f x(2 )fx0 x 22 (0) ( )(0)(0)() 2 f f xffxxo x 22 (0) (2 )(0)(0) 2(2 )() 2 f fx
11、ffxxo x 22 22 00 (2 )2 ( )(0)(0)() limlim(0) xx fxf xffxo x f xx 2 2 2 ln(1)() 2 x xxo x 2 2222 2 222 000 1 2 () ()(1)() ln(1) () 22 limlimlim2 xxx xb xo xax bxa xxo x xax bx xxx 10a 12 2 2 b 1a 5 2 b 版权所有 翻版必究 8 中公学员内部专用 讲解二、导数的概念 1函数在一点的导数 （1）设函数( )f x在点 0 x的某邻域内有定义，当自变量x在点 0 x处取得增量x时，相 应地，得到因变量的增
12、量.如果极限 存在，则称函数( )f x在点处可导在点处可导，该极限称为函数( )f x在点处的导数在点处的导数，记作 00 (),()fxy x或 0 x x dy dx .导数的定义式还可以写成 0 0 0 0 ( )() ()lim xx f xf x fx xx . 【注】【注】导数的几何意义：表示曲线在点处切线的斜率； 导数的本质是极限，检验一个函数在一点是否可导或需要计算其导数时，最本质的方 法就是计算极限或. （2）设函数( )f x在点的某左邻域内有定义，如果极限 存在，则称( )f x在点处的左导数存在在点处的左导数存在，该极限称为函数( )f x在点处的左导数在点处的左导数
13、， 记作 0 ()fx . 类似地，可以定义函数( )f x在点处的右导数在点处的右导数 0 ()fx . 【注】【注】函数( )f x在点 0 x的导数存在的充要条件是该点的左右导数存在且相等. 2导函数 y 00 ()()yf xxf x 00 00 ()() limlim xx f xxf xy xx 0 x 0 x 0 ()fx( )yf x 00 ,()xf x 00 0 ()() lim x f xxf x x 0 0 0 ( )() lim xx f xf x xx 0 x 0 000 0 0 ()()( )() limlim xxx f xxf xf xf x xxx 0 x
14、0 x 0 x 版权所有 翻版必究 9 中公学员内部专用 （1）开区间内可导：）开区间内可导：如果函数( )f x在开区间内每一点都可导，则称( )f x在开区 间内可导 开区 间内可导. （2）闭区间上可导）闭区间上可导：如果函数( )f x在开区间内可导，且在处存在右导数， 在处存在左导数，则称( )f x在闭区间上可导在闭区间上可导. 3高阶导数 如果可导函数( )f x的导函数( )fx 仍然可导，则将它的导数称为原函数( )f x的二 阶导数 二 阶导数，记作. 类似地，可以递归地定义函数( )f x的阶导数阶导数. 【例 1】【例 1】利用定义计算下列函数的导数. （1）( )f
15、xC； （2）( ) x f xe； （3）( )lnf xx； （4）( ) a f xx； （5）( )sinf xx； （6）( )cosf xx. ( , )a b ( , )a b ( , )a bxa xb , a b 0 ()( ) ( )lim x f xxf x fx x n ( )( )n fx 版权所有 翻版必究 10 中公学员内部专用 【例 2】【例 2】求下列函数( )f x的(1)f及(1)f，讨论(1) f 是否存在？ （1）( )1f xx； （2） 1, 1 ( ) ,1. x ex f x xx ， 【答案】【答案】 （1）(1)1f ，(1)1f，(1)
16、f 不存在. （2）(1)(1)1ff ，(1)1 f . 【例 3】【例 3】设 cos ,0 ( ) 1,0, x xx f x ex ， 则在0 x 处（ ） （A）左导数存在、右导数不存在 （B）左导数不存在、右导数存在 （C）左右导数均不存在 （D）左右导数均存在 【答案】【答案】 （A）. 【例例4】 【2018-123-4分分】下列函数中，在0 x 处不可导的是（ ） （A）( )sinf xxx （B）( )sinf xxx （C）( )cosf xx （D）( )cosf xx ( )f x 版权所有 翻版必究 11 中公学员内部专用 【答案】【答案】 （D）. 【例例 5】
17、已知函数 2 ,0 ( ) e1,0 x x xx f x xx ，求( )fx . 【答案答案】 2 2(ln1),0, ( ) (1)e ,0 x x xxx fx xx . 【 例例 6 】 【 2015-13-10 分分 】 （ 1 ） 设 函 数( ), ( )u x v x可 导 ， 利 用 导 数 定 义 证 明 ( ) ( )( ) ( )( ) ( )u x v xu x v xu x v x； （2）设函数 12 ( ),( ),( ) n u x uxux可导， 12 ( )( )( )( ) n f xu x uxux，写出( )f x的求 导公式. 【答案】【答案】
18、（2） 121212 ( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ) nnn fxu x uxuxu x uxuxu x uxux 版权所有 翻版必究 12 中公学员内部专用 练习题（二） 练习题 1、求下列函数在0 x 处的左右导数，并判断函数 ( )f x在0 x 处的可导性. （1）( )1cosf xx； （2） 1 arctan ,0 ( ) 2 0,0 x x x f x e x . 2、已知 11 sin,0 ( ) 0,0 a xx f xx x ，其中0a ，则( )f x在0 x 处（ ） （A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续但不可导 （D）可
19、导 3、函数 2 sin ,0 ( )1,0 2 1 cos ,0 x x x f xx x x x ，求( )f x. 练习题解析 1、 （1） 【答案】【答案】 2 (0) 2 f ， 2 (0) 2 f ；函数( )f x在0 x 处不可导. 【解析】【解析】左导数为 2 000 12 1 cos02 22 (0)limlimlim 02 xxx xx x f xxx ； 右导数为 2 000 12 1 cos02 22 (0)limlimlim 02 xxx xx x f xxx . 版权所有 翻版必究 13 中公学员内部专用 左右导数不相等，从而函数( )f x在0 x 处不可导.
20、（2） 【答案】【答案】(0)0f， 1 (0) 2 f；函数( )f x在0 x 处不可导. 【解析】【解析】左导数为 1 1 000 arctan ( )(0)arctan1 2 (0)limlimlim0 0 2 x xxx x x f xfx e f xxx e ，其中 1 0 lim x x e ； 右导数为 1 1 000 arctan ( )(0)arctan11 2 (0)limlimlim 02 2 x xxx x x f xfx e f xxx e ，其中 1 0 lim0 x x e . 左右导数不相等，从而函数( )f x在0 x 处不可导. 2、 【答案】【答案】 （
21、D）. 【解析】【解析】因为0a ，所以 1 0 lim0 a x x . 当0 x时， 1 sin x 在 1,1间振荡，但是为有 界量. 由无穷小量有界量无穷小量，可知 1 0 1 limsin0(0) a x xf x ，故( )f x在 0 x 连续. ( )f x在0 x 处左、右导数分别为： 1 000 1 sin ( )(0)1 (0)limlimlimsin0 0 a a xxx x f xf x fx xxx ， 1 000 1 sin ( )(0)1 (0)limlimlimsin0 0 a a xxx x f xf x fx xxx ， (0)(0)ff ，故( )f x
22、在0 x 处可导，故选（D）. 版权所有 翻版必究 14 中公学员内部专用 3、 【答案】【答案】 2 23 cossin ,0 ( )0,0 2sin4(1 cos ) ,0 xxx x x fxx xx x xx . 【解析】【解析】当0 x 时， 2 cossin ( ) xxx fx x ； 当0 x 时， 2 2 0000 sin1 1 sincos1 2 (0)limlimlimlim0 022 xxxx x x xxx x f xxxx ， 2 2 32 000 2(1 cos ) 1 2(1 cos )2sin2 (0)limlimlim 03 xxx x xxxx x f x
23、xx 0 2(cos1) lim0 6 x x x ，所以(0)0f； 当0 x时， 23 2sin4(1cos ) ( ) xx fx xx . 故 2 23 cossin ,0 ( )0,0 2sin4(1 cos ) ,0 xxx x x fxx xx x xx . 版权所有 翻版必究 15 中公学员内部专用 讲解三、三角函数的积分 1、含弦的三角函数积分 【例 1】计算下列不定积分. （1） 3 sin xdx ； （2） 23 sincosxxdx ； （3） 2 sin xdx ； （4） 24 sincosxxdx . 【答案】 （1） 3 cos cos 3 x xC； （2）
24、 35 sinsin 35 xx C； （3） 1sin2 24 x xC； （4） 3 sin4sin 2 166448 xxx C 【小结小结】形如的积分，其中 ,m n为非负整数： 若与中至少有一个奇数，则将奇次幂因子拆出一个一次幂因子并与凑微分 （，） ，所剩偶次幂因子利用转化 sincos nm xxdx mn dx sincosxdxdx cossinxdxdx1cossin 22 xx 版权所有 翻版必究 16 中公学员内部专用 为同一种三角函数. 若与皆为偶数， 则用倍角公式进行降幂化简被积函数后再积分， 其中倍角公式为： 2 1 cos2 sin 2 x x ， 2 1cos
25、2 cos 2 x x ， 1 sincossin2 2 xxx . 【例 2】计算下列不定积分 （1） 2sincos5 dx xx ； （2） 53cos dx x . 【答案】【答案】 （1） 3tan1 1 2 arctan 55 x C ； （2） 1 arctan(2tan) 22 x C. 【小结】【小结】对于三角有理式，也可以利用万能公式， 令，则 2 22 12 cos,sin 11 tt xx tt . 2、含切、割的三角函数积分 【例例 3】计算下列不定积分 （1） 3 tan xdx ； （2） 4 tan xdx mn 2arctanxt 版权所有 翻版必究 17 中
26、公学员内部专用 【答案】 （1） 2 1 sec+ln cos 2 xxC； （2） 3 1 tantan 3 xxxC. 【小结】形如tannxdx 的积分，其中n为非负整数， 若n为奇数，则切割化弦. 若n为偶数，则用公式 22 tansec1xx以及 2 sectanxdxdx来化简. 【例例 4】计算下列不定积分 （1）secxdx ； （2） 3 sec xdx ； （3） 2 sec xdx ； （4） 4 sec xdx . 【答案】 （1）ln sectanxxC； （2） 11 sec tanln sectan 22 xxxxC； （3）tan xC； （4） 3 1 tan
27、tan 3 xxC. 【小结】secnxdx 的积分 （1）当n为偶数时，利用公式 2 sectanxdxdx 进行凑微； （2）当n为奇数时，使用分部积分法 （3）无论n为奇数还是偶数，都可使用分部积分法，特殊的，当n为比较小的偶数时， 可用方法（1） 版权所有 翻版必究 18 中公学员内部专用 【例例 5】计算下列不定积分 （1） 43 sectanxxdx ； （2） 35 sectanxxdx ； （3） 23 sectanxxdx ； （4） 2 sec tanxxdx 【答案】 （1） 64 11 tantan 64 xxC； （2） 753 121 secsecsec 753 x
28、xxC； （3） 4 1 tan 4 xC； （4） 11 sec tanln sectan 22 xxxxC. 【小结】sectan nm xxdx 的积分 （1）当n为偶数时，可利用公式 2 sectanxdxdx 来进行凑微. （2）当m为奇数时，可利用公式sec tansecxxdxdx来进行凑微. 版权所有 翻版必究 19 中公学员内部专用 3、弦化切割的三角函数积分 【例例 6】计算下列不定积分 （1） 2 1 1 cos dx x ； （2） 1 1 sin2 dx x ； 【答案】 （1） 1tan arctan 22 x C ； （2） 1 1tan C x 版权所有 翻版必
29、究 20 中公学员内部专用 练习题（三） 练习题 1、计算下列不定积分. （1） 42 sincosxxdx ； （2） 3 cos sin x dx x ； （3） cos 2cos2 x dx x ； （4） 1 1 sincos dx xx ; （5） 3 cot xdx ； （6） 22 1 3cos4sin dx xx . 练习题解析 1、 （1） 【答案答案】 3 11 sin4sin 2 166448 x xxC. 【解析】【解析】 4223 111 sincossin 21 cos2sin4sin 2 8166448 x xxdxxxdxxxC . （2） 【答案】【答案】 2
30、 1 ln sinsin 2 xxC. 【解析】【解析】 322 coscos1 sin sinsin sinsinsin xxx dxdxdx xxx 2 11 sinsinsinln sinsin sin2 dxxdxxxC x . （3） 【答案答案】 26 arcsinsin 23 xC . 版权所有 翻版必究 21 中公学员内部专用 【解析】【解析】 2 2 cos1112 sinsin 32cos222 32sin 1sin 3 x dxdxdx x x x 26 arcsinsin 23 xC . （4） 【答案答案】ln 1 tan 2 x C. 【解析】【解析】 22 22
31、1121 tan ln 1 211sincos211 1 11 x dx tdtdttC ttxxtt tt ln 1tan 2 x C. （5） 【答案】【答案】 2 1 cscln sin 2 xxC. 【解析】【解析】 22 3 33 cos1 sin cotsinsin sinsin xx xdxdxdx xx 2 32 11111 sinsinln sincscln sin. sinsin2 sin2 dxdxxCxxC xxx （6） 【答案答案】 32 3 arctantan 63 xC . 【解析】【解析】 2 22222 2 tan 1sec1tan33 3cos4sin34
32、tan36 22 1tan1tan 33 dx xdx dxdx xxx xx 版权所有 翻版必究 22 中公学员内部专用 32 3 arctantan 63 xC . 版权所有 翻版必究 23 中公学员内部专用 讲解四、对称区间上的定积分与定积分计算的特殊技巧 1对称区间上的定积分 设( )f x在区间, a a上可积，则有 0 0,( ) ( ) 2( )( ) a a a f x f x dx f x dxf x 为奇函数, 为偶函数.， . 【例 1】【例 1】设 25 2 4 2 sin 1 xx Mdx x ， 55 2 2 (sincos)Nxx dx ， 55 2 2 (sin
33、coscos)Pxxx dx ，试比较它们的大小. .【答案】【答案】PMN 【小结】【小结】如果积分区间是关于原点对称，计算时首先考虑利用函数的奇偶性进行化简. 【例 2】【例 2】计算下列积分. （1） 1 1( ) x xx edx ； （2） 2 2 1 sin 1 x x e xx dx e . 【答案】【答案】 （1） 1 2(12)e； （2）2. 版权所有 翻版必究 24 中公学员内部专用 【例 3】【例 3】计算下列积分. （1） 3 1 1 1 1 x dx e ； （2） sin 2 2 ln(1) x xedx . 【答案】【答案】 （1）1； （2）1. 【小结】【小
34、结】 如果积分区间关于原点对称， 而被积函数不具有奇偶性并且常规方法难以求解， 则可以利用对称区间的特点，做变量代换：，然后再将代换后的积分与原积分相 加，很多情况下，这一变换往往可以简化计算. 【例例 4】计算下列定积分. （1） 1 arctan 1 ln(1) x xedx ； （2） 2 2 2 sin 1 x x exdx e . 【答案】【答案】 （1） 1 42 ； （2） 4 . xu 版权所有 翻版必究 25 中公学员内部专用 2定积分计算的特殊技巧 【例【例 5】 2 0 ln 1 x dx x . 【答案】【答案】0. 【例【例 6】 2 0 (1)(1) a a x d
35、x xx . 【答案】【答案】 4 . 【例【例 7】若函数( )f x为0,1上的连续函数， （1）试证： 22 00 (sin )(cos )fx dxfx dx ； （2）计算： 2 0 sin sincos x dx xx ， 2 0 1 1tana dx x . 【答案】【答案】 （2） 4 ； 4 . 版权所有 翻版必究 26 中公学员内部专用 练习题（四） 练习题 1、计算下列定积分. （1） 35 1 3 1 1 (1) xx dx x ； （2） 2 2 2 1 (1)cos 1 x x x e x exdx e . 2、计算下列定积分. （1） 2 2 2 cos 1 3x
36、 x dx ； （2） 2 1 2020 2 1 1 x x e xdx e ； 3、计算 2 0 1 cota dx x . 练习题解析 1、 （1） 【答案】【答案】 3 4 . 【解析】【解析】 35 111 3332 110 1 11113 2 0(1)(1)(1)(1)4 xx dxdxdx xxxx . （2） 【答案】【答案】 2 2(3 11)e. 【解析】【解析】 22 22 22 1 (1)cos(1) 1 x xx x e x exdxx edx e 22 222 20 (12)2(1)2(3 11) xx xxedxxe dxe . 2、 （1） 【答案】【答案】. 【
37、解析】【解析】 222 2 222 0 22 cos1coscos cos 1 321 31 34 xtt xtt dxdttdt . 4 版权所有 翻版必究 27 中公学员内部专用 （2） 【答案】【答案】 1 2021 . 【解析】【解析】 222 11 202020202020 222 11 1 1211 xxx xxx eee xdxxxdx eee 2 11 20202020 2 10 111 212021 x x e xdxxdx e . 3、 【答案答案】 4 . 【解析解析】令 2 xt ， 22 00 1cot1tan dxdt xt 原式 ， 222 000 1(tan )1 21(tan )1(tan )24 dtxdx dx tx 原式.
