1、第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 1.41.4 空间向量的应用空间向量的应用 1.4.11.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系用空间向量研究直线、平面的位置关系 第第1 1课时课时 空间向量与平行关系空间向量与平行关系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解空间中点、直线和平 面的向量表示 2掌握直线的方向向量， 平面的法向量的概念及求 法(重点) 3熟练掌握用方向向量， 法向量证明线线、线面、 面面间的平行关系(重 点、难点) 1.通过空间中点、直线和平面的向量 表示的学习，培养学生直观想象和逻 辑推理的核心素养 2通过直线的方向向量和平面法向量 的学习，培养学生
2、数学运算的核心素 养 3借助利用空间向量解决平行问题的 学习，提升学生的数学运算及逻辑推 理的核心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 (1)如何确定一个点在空间的位置？ (2)在空间中给一个定点A和一个定方向(向量)，能确定一条直线 在空间的位置吗？ (3)给一个定点和两个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的 位置吗？ (4)给一个定点和一个定方向(向量)，能确定一个平面在空间的 位置吗？ 1空间中点、直线和平面的向量表示 点 P 的位 置向量 在空间中，取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一 点 P 可以用向量_表示，我们把向量_称为点 P 的 位置向量. OP OP 空间
3、直线 的向量表 示式 a 是直线 l 的方向向量， 在直线 l 上取AB a， 取定空间 中的任意一点 O， 可以得到点 P 在直线 l 上的充要条件 是存在实数 t，使OP _，也可以表示为OP _.这两个式子称为空间直线的向量表示式. OA ta OA tAB 空间平面 ABC 的向 量表示式 设两条直线相交于点 O， 它们的方向向量分别为 a 和 b， P 为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)， 使得OP _.那么取定空间任意一点 O， 可以 得到，空间一点 P 在平面 ABC 内的充要条件是存在实 数 x，y，使OP _，这就是空间平面 ABC 的向量表示式. xayb
4、OA xAB yAC 2.直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_的非零向量，一条 直线的方向向量有_个 (2)平面的法向量的定义 直线 l，取直线 l 的_a，则向量 a 叫做平面 的法向 量 平行或共线 无数 方向向量 思考：直线的方向向量(平面的法向量)是否唯一？ 提示 不唯一，直线的方向向量(平面的法向量) 有无数个，它 们分别是共线向量 3空间中平行关系的向量表示 线线 平行 设两条不重合的直线 l1， l2的方向向量分别为 u1(a1， b1， c1)，u2(a2，b2，c2)，则 l1l2_ _ 线面 平行 设 l 的方向向量为 u
5、(a1，b1，c1)， 的法向量为 n(a2， b2，c2)，则 l_ u1u2 (a1，b1，c1)(a2，b2，c2) u n0 a1a2b1b2c1c20 面面 平行 设 ， 的法向量分别为 n1(a1，b1，c1)，n2(a2，b2， c2)，则 _ n1n2 (a1，b1，c1)(a2，b2，c2) 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)直线 l 的方向向量 a 一定是单位向量 ( ) (2)直线 l 的一个方向向量为 a(1,2,1)，平面 的一个法向量 为 n(1，1,1)，l，则 l. ( ) (3)若 n1，n2分别是平面 ， 的法向量，则 n1n2.( ) (4)
6、若点 A(1,0,1)，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的向量参数方 程可以为AP tAB . ( ) 提示 (1) (2) (3) (4) 2已知向量 a(2,3,5)，b(3，x，y)分别是直线 l1，l2的方向 向量，若 l1l2则( ) Ax9 2，y15 Bx3，y15 2 Cx3，y15 Dx9 2，y 15 2 D 由 l1l2，得 ab，即3 2 x 3 y 5. 解得 x9 2，y 15 2 ，故选 D. 3若直线 l 的方向向量 a(2,2，1)，平面 的法向量 ( 6,8,4)，则直线 l 与平面 的位置关系是_ l 或 l a121640， a，l 或 l.
7、 4设平面 的法向量为(1,2，2)，平面 的法向量为(2， 4，k)，若 ，则 k_. 4 由 得 1 2 2 4 2 k ，解得 k4. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 求平面的法向量 【例 1】 四边形 ABCD 是直角梯形，ABC90 ，SA平面 ABCD，SAABBC2，AD1. 在如图所示的坐标系 A- xyz 中，分别求平面 SCD 和平面 SAB 的 一个法向量 解 A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(2,2,0)，S(0,0,2)AD平面 SAB， AD (1,0,0)是平面 SAB 的一个法向量设平面 SCD 的法向量为 n (1，y，z)，则 n DC (1
8、，y，z) (1,2,0)12y0， y1 2.又 n DS (1，y，z) (1,0,2)12z0，z1 2.n 1，1 2， 1 2 即为平面 SCD 的一个法向量 求平面法向量的步骤 (1)设法向量 n(x，y，z)； (2)在已知平面内找两个不共线向量 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2， b3)； (3)建立方程组 n aa1xa2ya3z0， n bb1xb2yb3z0； (4)解方程组：用一个未知量表示其他两个未知量，然后对用来 表示两未知量的未知量赋以特殊值，从而得到平面的一个法向量 跟进训练 1已知三点 A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面 ABC
9、 的一个法 向量 解 设平面 ABC 的一个法向量为 n(x，y，z)， 由题意得AB (1,1,0)，BC (1,0，1) 因为 nAB ，nBC ， 所以 n AB xy0， n BC xz0. 令 x1，得 yz1，所以平面 ABC 的一个法向量 n(1,1,1). 利用空间向量证明线线平行 【例 2】 (1)已知 a(1,0,2)，b(6,21,2)，若 ab，则 与 的值可以是( ) A2，1 2 B 1 3， 1 2 C3,2 D2,2 (2)在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，P， Q，R，S 分别是 AA1，D1C1，AB，CC1的中点 求证：P
10、QRS. 思路探究 (1)利用空间向量共线的充要条件求值 (2)可采用两 种方法：一是向量法，二是坐标法，要证 PQRS，只要证PQ RS ， 也就是要证PQ RS 即可 (1)A 若 ab，则 210 且1 6 2 2，解得 1 2且 2 或 3，故选 A. (2)证明 法一：以 D 为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 D- xyz. 则 P(3,0,1)，Q(0,2,2)，R(3,2,0)，S(0,4,1)， PQ (3,2,1)，RS (3,2,1)， PQ RS ，PQ RS ，即 PQRS. 法二：RS RC CS 1 2D
11、C DA 1 2DD1 ， PQ PA1 A1Q 1 2DD1 1 2DC DA ， RS PQ ，RS PQ ，即 RSPQ. 证明两直线平行的方法 法一：平行直线的传递性 法二： 基向量法， 分别取两条直线的方向向量 m， n， 证明 mn， 即 mn. 法三：坐标法，建立空间直角坐标系，把直线的方向向量用坐标 表示，如 m1(x1，y1，z1)，m2(x2，y2，z2)，即证明 m1m2，即 x1x2且 y1y2且 z1z2. 跟进训练 2.如图所示，在正方体 ABCD- A1B1C1D1中，E，F 分别为 DD1和 BB1的中点求证：四边形 AEC1F 是平行四边形 证明 以点 D 为
12、坐标原点，分别以DA ，DC ，DD1 为正交基底 建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 1，则 A(1,0,0)， E 0，0，1 2 ，C1(0,1,1)，F 1，1，1 2 ， AE 1，0，1 2 ， FC1 1，0，1 2 ，EC1 0，1，1 2 ，AF 0，1，1 2 ， AE FC1 ，EC1 AF ， AE FC1 ，EC1 AF ， 又FAE，FEC1，AEFC1，EC1AF， 四边形 AEC1F 是平行四边形. 利用空间向量证线面、面面平行 探究问题 1在用向量法处理问题时，若几何体的棱长未确定，应如何处 理？ 提示 可设几何体的棱长为 1 或 a，再求点的坐标 2依
13、据待定系数法求出的平面法向量唯一吗？ 提示 不唯一利用待定系数法求平面法向量时，由于方程组 n AB 0， n AC 0 有无数组解，因此法向量有无数个求解时，只需取一 个较简单的非零向量作为法向量即可 3求平面法向量的坐标时，为什么只构建两个方程求解？ 提示 根据线面垂直的判定定理可知，只要直线垂直于该平面 内的任意两条相交直线， 它就垂直于该平面， 也就垂直于该平面内的 任意一条直线，因此，求法向量的坐标只要满足两个方程就可以了 【例 3】 在正方体 ABCD- A1B1C1D1中， M， N 分别是 CC1， B1C1 的中点求证：MN平面 A1BD. 思路探究 证明 法一：如图，以 D
14、 为原点，DA，DC，DD1所在直线分 别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，M 0，1，1 2 ，N 1 2，1，1 ， 于是DA1 (1,0,1)，DB (1,1,0)， MN 1 2，0， 1 2 . 设平面 A1BD 的法向量为 n(x，y，z)，则 nDA1 ， nDB ， 即 n DA1 xz0， n DB xy0， 取 x1，则 y1，z1，平面 A1BD 的 一个法向量为 n(1，1，1) 又MN n 1 2，0， 1 2 (1，1，1)0，MN n.MN平面 A1BD. 法二：MN C
15、1N C1M 1 2C1B1 1 2C1C 1 2(D1A1 D1D )1 2DA1 ， MN DA1 ，MN平面 A1BD. 法三： MN C1N C1M 1 2C1B1 1 2C1C 1 2DA 1 2A1A 1 2 DB BA 1 2 A1B BA 1 2DB 1 2A1B . 即MN 可用A1B 与DB 线性表示，故MN 与A1B ，DB 是共面向量，故 MN平面 A1BD. 1本例中条件不变，试证明平面 A1BD平面 CB1D1. 证明 由例题解析知，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)， 则CD1 (0，1,1)，D1B1 (1,1,0)， 设平面 CB1D1的
16、法向量为 m(x1，y1，z1)， 则 mCD1 mD1B1 ，即 m CD1 y1z10， m D1B1 x1y10， 令 y11，可得平面 CB1D1的一个法向量为 m(1,1,1)， 又平面 A1BD 的一个法向量为 n(1，1，1) 所以 mn，所以 mn，故平面 A1BD平面 CB1D1. 2本例条件不变，证明：AC1 是平面 A1BD 的一个法向量 证明 根据例题建立的空间直角坐标系知 D(0,0,0)，B(1,1,0)， A1(1,0,1)，A(1,0,0)，C1(0,1,1) 则AC1 (1,1,1)，DB (1,1,0)，DA1 (1,0,1) 由于AC1 DB 1100，
17、AC1 DA1 1010， AC1 DB 且AC1 DA1 . 所以AC1 是平面 A1BD 的一个法向量 1向量法证明线面平行的三个思路 (1)设直线l的方向向量是a， 平面的法向量是u， 则要证明l， 只需证明 au，即 a u0. (2)根据线面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一 条直线平行， 则该直线与此平面平行， 要证明一条直线和一个平面平 行，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可 (3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量 是共面向量， 那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平 行， 因此要证明一条直线和一个平面平行， 只要证明这条
18、直线的方向 向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可 2证明面面平行的方法 设平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 v，则 v. 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1应用向量法证明线面平行问题的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直 (2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线 (3)证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表 示即用平面向量基本定理证明线面平行 2证明面面平行的方法 设平面 的法向量为 n1(a1，b1，c1)，平面 的法向量为 n2 (a2，b2，c2)，则 n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kR) 3直线的方向向
19、量和平面的法向量都不唯一，各有无数个，且 直线的方向向量都是共线向量，平面的法向量也都是共线向量 1已知线段 AB 的两端点坐标为 A(9，3,4)，B(9,2,1)，则线段 AB 与坐标平面( ) AxOy 平行 BxOz 平行 CyOz 平行 DyOz 相交 C AB (0,5，3)，坐标平面 yOz 的一个法向量为 n(1,0,0)， 因为AB n0，所以AB n. 故线段 AB 与坐标平面 yOz 平行 2 已知直线l的方向向量为(2， m,1)， 平面的法向量为 1，1 2，2 ， 且 l，则 m_. 8 l，l 的方向向量与 的法向量垂直 (2，m,1) 1，1 2，2 2 1 2
20、m20. 解得 m8. 3与向量 a(2，1,3)共线的单位向量是_ 14 7 ， 14 14 ，3 14 14 或 14 7 ， 14 14 ，3 14 14 |a| 221232 14，所以与 a 共线的方向向量为 1 14(2，1,3) 14 7 ， 14 14 ， 3 14 14 . 与 向 量a共 线 的 方 向 向 量 为 14 7 ， 14 14 ，3 14 14 或 14 7 ， 14 14 ，3 14 14 . 4已知平面 经过三点 A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)， 求平面 的一个法向量 解 因为 A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，所以AB (1， 2，4)，AC (2，4，3)设平面 的法向量为 n(x，y，z)， 则有 n AB 0， n AC 0， 即 x2y4z0， 2x4y3z0. 得 z0，x2y，令 y1，则 x2，所以平面 的一个法向量为 n(2,1,0) 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
