1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 2.22.2 直线的方程直线的方程 2.2.22.2.2 直线的两点式方程直线的两点式方程 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握直线方程两点式的形式、 特点及适用范围(重点) 2.了解直线方程截距式的形式、 特点及适用范围(重点) 3.会用中点坐标公式求两点的 中点坐标. 1.通过直线两点式方程的推导,提 升逻辑推理的数学素养. 2.通过直线的两点式方程和截距 式方程的学习, 培养直观想象和数 学运算的数学素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 某区商业中心 O 有通往东、西、南、北的四条大街,某公园位 于东大街北侧、北大街东 P 处,
2、如图所示公园到东大街、北大街 的垂直距离分别为 1 km 和 4 km.现在要在公园前修建一条直线大道 分别与东大街、北大街交汇于 A、B 两处,并使区商业中心 O 到 A、 B 两处的距离之和最短 在上述问题中,实际上解题关键是确定直线 AB,那么直线 AB 的方程确定后,点 A、B 能否确定? 1直线的两点式和截距式方程 名称 两点式方程 截距式方程 已知条件 P1(x1,y1),P2(x2,y2)其中 x1x2,y1y2 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a、b,且 a0,b0. 示意图 名称 两点式方程 截距式方程 直线方程 _ _ 适用范围 斜率存在且不为零 斜率存在且不为零,不过
3、原点 yy1 y2y1 xx1 x2x1 x a y b1 思考:方程 yy1 y2y1 xx1 x2x1和方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1) 的适用范围相同吗? 提示 不同前者为分式形式方程,它不表示垂直于坐标轴的 直线,后者为整式形式方程,它表示过任何两点的直线 2线段的中点坐标公式 若点 P1,P2的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),设 P(x,y)是线段 P1P2的中点,则 xx 1x2 2 , yy 1y2 2 . 1思考辨析(正确的打“”,错误的打“”) (1)直线的两点式方程也可以用 yy1 xx1 y2y1 x2x1(x1x2,y1y2)表 示 ( ) (
4、2)任何直线都可以用方程x a y b1 表示 ( ) (3)能用两点式写出的直线方程,也可以用点斜式方程写出 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2过点 A(3,2),B(4,3)的直线方程是( ) Axy10 Bxy10 Cxy10 Dxy10 D 由直线的两点式方程,得y2 32 x3 43,化简,得 xy1 0. 3若直线 l 经过点 A(2,5),B(2,7),则直线 l 的方程为_ x2 因为两点的横坐标相等,都是 2,所以直线方程是 x2. 4直线 y3x2 在 x 轴上的截距是_ 2 3 令 y0 得 x 2 3,即在 x 轴上的截距为 2 3. 合合 作作 探探 究究 释释
5、 疑疑 难难 直线的两点式方程 【例 1】 (1)若直线 l 经过点 A(2,1),B(2,7),则直线 l 的方 程为_ (2)若点 P(3,m)在过点 A(2,1),B(3,4)的直线上,则 m _. (1)x2 (2)2 (1)由于点 A 与点 B 的横坐标相等,所以直线 l 没有两点式方程,所求的直线方程为 x2. (2)由直线方程的两点式得y1 41 x2 32, 即y1 5 x2 5 . 直线 AB 的方程为 y1x2, 点 P(3,m)在直线 AB 上, 则 m132,得 m2. 由两点式求直线方程的步骤 (1)设出直线所经过点的坐标 (2)根据题中的条件,找到有关方程,解出点的
6、坐标 (3)由直线的两点式方程写出直线的方程 提醒:当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断 是否满足两点式方程的适用条件: 两点的连线不垂直于坐标轴 若满 足,则考虑用两点式求方程 跟进训练 1求经过两点 A(2,m)和 B(n,3)的直线方程 解 当 m3 时,直线垂直于 y 轴,方程为 y3, 当 n2 时,直线垂直于 x 轴,方程为 x2. 当 m3 且 n2 时,由两点式得 直线方程为ym 3m x2 n2. 直线的截距式方程 【例 2】 求过点(4,3)且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的 方程 思路探究 解 设直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a,b. 当 a0,b
7、0 时,设 l 的方程为x a y b1. 点(4,3)在直线上,4 a 3 b 1, 若 ab,则 ab1,直线方程为 xy10. 当 ab0 时,直线过原点,且过点(4,3), 直线的方程为 3x4y0. 综上知,所求直线方程为 xy10 或 3x4y0. 1变条件本例中把“截距相等”改为“截距互为相反数”, 求直线 l 的方程 解 当截距均为零时,设直线方程为 ykx,把点(4,3)代入 得34k,解得 k3 4,所求的直线方程为 y 3 4x,即 3x4y 0. 当截距均不为零且相反时,可设直线方程为x a y a1,把点(4, 3)代入得4 a 3 a1,解得 a7,所求直线方程为
8、x 7 y 71,即 x y70, 故所求 l 的方程为 xy70 或 3x4y0. 2变条件本例中把“相等”改为“绝对值相等呢?” 解 当直线在两轴上的截距的绝对值相等时,包括: 两截距均为零,即 3x4y0 两截距均不为零且相等即 xy10. 两截距均不为零且相反即 xy70. 故所求的直线方程为 xy70 或 xy10 或 3x4y0. 利用截距式求直线方程的注意事项 (1)用截距式求直线方程时,纵截距和横截距都必须存在且都不为 0. 若 a0,b0,则直线方程为 x0; 若 a0,b0,则直线方程为 y0; 若 a0,b0,则直线方程为 ykx(k0) (2)截距相等且不为零,可设 x
9、ya; 截距相反且不为零,可设 xya; 截距相等且均为零,可设 ykx. 直线方程的灵活应用 探究问题 1. 若已知直线过定点,选择什么形式较好?过两点呢? 提示 点斜式. 若直线过两定点可选择两点式或点斜式 2若已知直线的斜率,选哪种形式的方程? 提示 可选择斜截式 3若已知直线与两坐标轴相交,选哪种形式的方程较好? 提示 选择截距式较好 【例 3】 已知 A(3,2),B(5,4),C(0,2),在ABC 中, (1)求 BC 边的方程; (2)求 BC 边上的中线所在直线的方程 思路探究 (1)B,C两点坐标 两点式 求方程 (2)求中点坐标 两点式求直线方程 解 (1)BC 边过两点
10、 B(5,4),C(0,2), 由两点式,得 y4 24 x5 05,即 2x5y100, 故 BC 边的方程是 2x5y100(0 x5) (2)设 BC 的中点为 M(a,b), 则 a50 2 5 2,b 42 2 3, 所以 M 5 2,3 , 又 BC 边的中线过点 A(3,2), 所以 y2 32 x3 5 23 ,即 10 x11y80, 所以 BC 边上的中线所在直线的方程为 10 x11y80. 1本例中条件不变,试求 AB 边上的高线所在直线的方程 解 设 AB 边上的高线所在直线斜率为 k, kAB2(4) 35 3 4, k4 3, 又高线过点 C(0,2), 由点斜式
11、方程得高线所在直线方程为 y24 3(x0), 即 4x3y60. 2本例中条件不变,试求与 AB 平行的中位线所在直线的方程 解 由探究 1 知 kAB3 4,即中位线所在直线斜率为 3 4,由 例题知 BC 的中点为 5 2,3 , 所以由点斜式方程可得,中位线所在直线方程为 y33 4 x5 2 ,即 6x8y90. 直线方程的选择技巧 (1)已知一点的坐标,求过该点的直线方程,一般选取点斜式方 程,再由其他条件确定直线的斜率 (2)若已知直线的斜率,一般选用直线的斜截式,再由其他条件 确定直线的一个点或者截距 (3)若已知两点坐标,一般选用直线的两点式方程,若两点是与 坐标轴的交点,就
12、用截距式方程 (4)不论选用怎样的直线方程,都要注意各自方程的限制条件, 对特殊情况下的直线要单独讨论解决 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1当直线没有斜率(x1x2)或斜率为 0(y1y2)时,不能用两点式 yy1 y2y1 xx1 x2x1求它的方程,此时直线的方程分别是 xx1 和 yy1, 而它们都适合(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1),即两点式的整式形式, 因此过任意两点的直线的方程都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(x x1)的形式 2直线的截距式是两点式的一个特殊情形,用它来画直线以及 判断直线经过的象限或求直线与坐标轴围成的三角形的面积比较方 便注
13、意直线过原点或与坐标轴平行时,没有截距式方程,但直线过 原点时两截距存在且同时等于零 1过 P1(2,0),P2(0,3)两点的直线方程是( ) Ax 3 y 20 Bx 2 y 30 Cx 2 y 31 Dx 3 y 21 C 由条件可知,直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 2,3,所以 方程为x 2 y 31. 2过两点(1,1)和(3,9)的直线在 x 轴上的截距是_ 3 2 由两点式得 y1 91 x1 31,即 y12(x1),令 y0 得 x 3 2,所以直线在 x 轴上的截距为 3 2. 3 经过点(1,5), 且与直线x 2 y 61 垂直的直线方程是_ x3y160 直线x 2 y 61 的斜率是3,所以所求直线的斜 率是1 3,所以所求直线方程是 y5 1 3(x1),即 x3y160. 4求过点 P(6,2),且在 x 轴上的截距比在 y 轴上的截距大 1 的直线方程 解 设直线方程的截距式为 x a1 y a1. 则 6 a1 2 a 1,解得 a2 或 a1, 则直线方程是 x 21 y 21 或 x 11 y 11, 即 2x3y60 或 x2y20. 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !