1、第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 1.31.3 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示 1.3.11.3.1 空间直角坐标系空间直角坐标系 学 习 目 标 核 心 素 养 1.了解空间直角坐标系的建立 过程 2掌握空间直角坐标系中点的 坐标的确定(重点) 3掌握空间向量的坐标表示 (重点、难点) 1.通过建立空间直角坐标系，确 定点的坐标，提升学生直观想象 的核心素养 2通过空间向量的坐标表示，培 养学生直观想象和数学建模的核 心素养. 情情 景景 导导 学学 探探 新新 知知 (1)数轴Ox上的点M，用代数的方法怎样表示呢？ 数轴Ox上的点M，可用与它对应的实
2、数x表示； (2)直角坐标平面上的点M，怎样表示呢？ 直角坐标平面上的点M，可用一对有序实数(x，y)表示 (3)如果我们也能建立一个空间直角坐标系，又该怎样表示空间 的点呢？ 1空间直角坐标系 空间直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底i，j， k，以O为原点，分别以_为正方 向，以它们的长为单位长度建立三条数轴：x 轴、y轴、z轴，这样就建立了空间直角坐标系 i，j，k的方向 坐标轴 _轴、_轴、_轴 坐标原点 点_ 坐标向量 _，_，_ 坐标平面 _平面、_平面和_平面 右手直角 坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向_正 方向，食指指向_正方向，如果中指指向_ 正方向，则
3、称坐标系为右手直角坐标系 x y z O i j k Oxy Oyz Oxz x轴 y轴 z轴 2.空间向量的坐标表示 空间直 角坐标 系中 A 点坐标 在空间直角坐标系中，i，j，k 为坐标向量，对空间任一点 A，对应一个向量OA ，且点 A 的位置由向量OA 唯一确定， 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)， 使OA _， 则_叫做点 A 在空间直角坐 标系中的坐标 记作_， 其中_叫点 A 的横坐标， _叫做点 A 的纵坐标，_叫做点 A 的竖坐标 xiyjzk (x，y，z) A(x，y，z) x y z 空间直 角坐标 系中 A 点坐标 在空间直角坐标系中，给定向量
4、 a.由空间向量基本定理， 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使 a_，则 _叫做 a 在空间直角坐标系中的坐标，简记作 _ xiyjzk (x，y，z) a (x，y，z) 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)空间直角坐标系中x轴上点的横坐标x0，竖坐标z0.( ) (2)空间直角坐标系中xOz平面上点的坐标满足z0. ( ) (3)关于坐标平面yOz对称的点的坐标其纵、竖坐标不变，横坐 标相反 ( ) 提示 (1) (2) (3) 2已知i，j，k是空间直角坐标系O- xyz的坐标向量，并且 AB ijk，则B点的坐标为( ) A(1,1，1) B(i，j，k) C(1，1，
5、1) D不确定 D 向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题 中起点没固定，所以终点的坐标也不确定 3已知正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为1，若以AB ，AD ，AA1 为基底，则AC1 _，AC1 的坐标是_ AA1 AB AD (1,1,1) 若以AB ，AD ，AA1 为基底，AC1 AA1 A1C1 AA1 A1B1 B1C1 AA1 AB AD AC1 的坐标为(1,1,1) 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 求空间点的坐标 【例1】 如图，在长方体ABCD- A1B1C1D1中，|AB|4，|AD| 3，|AA1|5，N为棱CC1的中点，分别以DA，DC
6、，DD1所在的直线 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系 (1)求点A，B，C，D，A1，B1，C1，D1的坐标； (2)求点N的坐标 思路探究 将各个点在坐标上的射影求出，即可写出空间各 点的坐标 解 (1)显然D(0,0,0)， 因为点A在x轴的正半轴上，且|AD|3， 所以A(3,0,0)同理，可得C(0,4,0)，D1(0,0,5) 因为点B在坐标平面xOy内，BCCD，BAAD，所以 B(3,4,0)同理，可得A1(3,0,5)，C1(0,4,5)，与B的坐标相比，点B1的 坐标中只有竖坐标不同，|BB1|AA1|5，则B1(3,4,5) (2)由(1)知C(0,4,0)，C1(0
7、,4,5)， 则C1C的中点N为 00 2 ，44 2 ，05 2 ， 即N 0，4，5 2 . 坐标轴上或坐标平面上点的坐标的特点 x 轴上 (x,0,0) xOy 平面上 (x，y,0) y 轴上 (0，y,0) yOz 平面上 (0，y，z) z 轴上 (0,0，z) xOz 平面上 (x,0，z) 坐标原点 (0,0,0) 跟进训练 1在正方体ABCD- A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中 点，棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则E，F的坐标分 别为_ 答案 E 1，1，1 2 ，F 1 2， 1 2，1 求对称点的坐标 【例2】 在空间直角坐标系中，点P(2,
8、1,4) (1)求点P关于x轴的对称点的坐标； (2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标； (3)求点P关于点M(2，1，4)的对称点的坐标 思路探究 求对称点的坐标，可以过该点向对称平面或对称 轴作垂线并延长，使得垂足为所作线段的中点，再根据有关性质即 可写出对称点坐标 解 (1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y 轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1(2，1， 4) (2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在 z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(2,1，4) (3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点由中点坐 标公
9、式，可得x22(2)6，y2(1)13，z2( 4)412，所以P3(6，3，12) 1求对称点的坐标可按以下规律写出：“关于谁对称谁不变， 其余的符号均相反” 在空间直角坐标系中，任一点P(a，b，c)的几种特殊的对称点 的坐标如下： 对称轴或对称中心 对称点坐标 x轴 (a，b，c) y轴 (a，b，c) z轴 (a，b，c) xOy平面 (a，b，c) yOz平面 (a，b，c) xOz平面 (a，b，c) P(a，b，c) 坐标原点 (a，b，c) 2.在空间直角坐标系中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线 段AB的中点坐标为 x1x2 2 ，y 1y2 2 ，z
10、1z2 2 . 跟进训练 2点P(3,2，1)关于平面xOz的对称点是_，关于z轴 的对称点是_，关于M(1,2,1)的对称点是_ (3，2，1) (3，2，1) (5,2,3) 点P(3,2，1)关 于平面xOz的对称点是(3，2，1)，关于z轴的对称点是(3， 2，1)设点P(3,2，1)关于M(1,2,1)的对称点为(x，y，z) 则 x3 2 1 y2 2 2 z1 2 1 解得 x5 y2 z3. 故点P(3,2，1)关于点M(1,2,1)的对称点为(5,2,3) 空间向量的坐标表示 探究问题 1在正三棱柱ABC- A1B1C1中，已知ABC的边长为1，三棱柱 的高为2，如何建立适当
11、的空间直角坐标系？ 提示 分别取BC，B1C1的中点D，D1，以D为原点，分别以 DC ，DA ，DD1 的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标 系，如图所示 2若AB (a，b，c)，则BA 的坐标是多少？ 提示 BA (a，b，c) 【例3】 如图，在直三棱柱ABC- A1B1C1的底面ABC中，CA CB1，BCA90 ，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中 点，试建立恰当的坐标系求向量BN ，BA1 ，A1B 的坐标 思路探究 以点C为原点，分别以 CA ， CB ， CC1 的方向为x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，然后，把BN， BA1 ， A1B 分
12、别用CA ，CB ，CC1 表示出来，再写出它们的坐标 解 法一：由题意知CC1AC，CC1BC，ACBC，以点C 为原点，分别以CA，CB，CC1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立 空间直角坐标系C- xyz，如图所示 BN AN AB 1 2CC1 CA CB CA CB 1 2CC1 ，BN 的坐 标为(1，1,1)， 而BA1 CA1 CB CA CB CC1 ， BA1 的坐标为(1，1,2) 又A1B BA1 ，A1B 的坐标为(1,1，2) 法二：建系同法一，则B(0,1,0)，A(1,0,0)，A1(1,0,2)，N(1,0,1)， BN (1，1,1)，BA1 (1，1,2
13、)，A1B (1,1，2) 变条件本例中，若把条件“AA12”改为“AA11”，结果 怎样？ 解 建系方式与例题相同，建系，BN CA CB 1 2 CC1 ，因 为CA ，CB ，CC1 为单位正交基底， BN 1，1，1 2 . 又BA1 CA CB CC1 ，BA1 (1，1,1) 所以A1B BA1 (1,1，1) 用坐标表示空间向量的步骤 跟进训练 3.已知正方体ABCD- A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱BB1， DC的中点，如图所示建立空间直角坐标系 (1)写出各顶点的坐标； (2)写出向量EF ，B1F ，A1E 的坐标 解 (1)由题图知A(2,0,0)，B(2,2
14、,0)，C(0,2,0)，D(0，0,0)， A1(2,0,2)，B1(2,2,2)，C1(0,2,2)，D1(0,0,2)， (2)因为E，F分别为棱BB1，DC的中点， 由中点坐标公式，得E(2,2,1)，F(0,1,0) 所以 EF (2，1，1)， B1F (2，1，2)， A1E (0,2，1) 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1在空间直角坐标系中，确定点的坐标或求对称点坐标时，要 记住规律：“在谁的轴上，谁属于R，其它为零；在谁的平面上， 谁属于R，其它为零”“关于谁对称谁不变，其余变成相反 数” 2空间几何体中，要得到有关点的坐标时，先建立适当的坐标 系，一般选择两两垂
15、直的三条线段所在直线为坐标轴，然后选择基 向量，根据已知条件和图形关系将所求向量用基向量表示，即得所 求向量的坐标 1设点P(1,1,1)关于xOy平面的对称点为P1，则点P1关于z轴的 对称点P2的坐标是( ) A(1,1，1) B(1，1，1) C(1，1,1) D(1，1,1) B 由条件知，P1(1,1，1)，P1关于z轴的对称点为(1， 1，1) 2在长方体ABCD- A1B1C1D1中，若 AB 3i， AD 2j， AA1 5k，则向量AC1 在基底i，j，k下的坐标是( ) A(1,1,1) B 1 3， 1 2， 1 5 C(3,2,5) D(3,2，5) C AC1 AB
16、BC CC1 AB AD AA1 3i2j5k，向量 AC1 在基底i，j，k下的坐标是(3,2,5) 3在空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(3,4,1)，则|AB | _. 2 3 AB OB OA 3i4jk i2j3k2i2j 2k. |AB | 2222222 3. 4已知点A(1,2,2)，B(1，3,1)，则AB的中点M的坐标为 _ 1，1 2， 3 2 AB的中点坐标为 11 2 ，23 2 ，21 2 ，即 1，1 2， 3 2 . 5.已知PA正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中 点，并且ABAP1，分别以DA ，AB ，AP 为单位正交基底建立如 图所示的空间直角坐标系，求MN ，DC 的坐标 解 设DA e1，AB e2，AP e3，则DC AB e2， MN MA AP PN MA AP 1 2PC MA AP 1 2(PA AD DC ) 1 2e2e3 1 2(e3e1e2) 1 2e1 1 2e3， MN 1 2，0， 1 2 ，DC (0,1,0) 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
