1、第一章第一章 空间向量与立体几何空间向量与立体几何 1.31.3 空间向量及其运算的坐标表示空间向量及其运算的坐标表示 1.3.21.3.2 空间运算的坐标表示空间运算的坐标表示 学 习 目 标 核 心 素 养 1.掌握空间向量运算的坐标表 示，并会判断两个向量是否共 线或垂直(重点) 2掌握空间向量的模，夹角公 式和两点间距离公式，并能运 用这些公式解决简单几何体中 的问题(重点、难点) 1.通过空间向量的坐标运算及空 间向量夹角及长度的学习，培养 学生的数学运算核心素养 2借助利用空间向量的坐标运算 解决平行、垂直问题，提升学生 的数学运算及逻辑推理的核心素 养. 情情 景景 导导 学学
2、探探 新新 知知 平面向量的坐标运算 设a(a1，a2)，b(b1，b2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)a b(a1 b1，a2 b2)，a(a1，a2)(R) a ba1b1a2b2. (2)ab(b0)ab，即a1b1，a2b2. aba b0a1b1a2b20. (3)|a| a2 1a 2 2，AB (x2x1，y2y1) cosa，b a1b1a2b2 a2 1a 2 2 b2 1b 2 2. 思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运 算吗？它们是否成立？为什么？ 1空间向量运算的坐标表示 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，空间向量的
3、坐标运算法则 如下表所示： 运算 坐标表示 加法 ab_ 减法 ab_ 数乘 a_ 数量积 a b_ (a1b1，a2b2，a3b3) (a1b1，a2b2，a3b3) (a1，a2，a3)，R a1b1a2b2a3b3 2.空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设 a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 平行(ab) ab(b0)ab 垂直(ab) aba b0_(a，b 均 为非零向量) a1b1， a2b2，R a3b3 a1b1a2b2a3b30 模 |a| a a_ 夹角公式 cos a， b a b |a| |b| a1b1a2b2a3b3 a2 1a 2 2a
4、 2 3 b2 1b 2 2b 2 3 a2 1a 2 2a 2 3 思考：若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则ab一定有 a1 b1 a2 b2 a3 b3成立吗？ 提示 当b1，b2，b3均不为0时，a1 b1 a2 b2 a3 b3成立 3向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设 A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)AB _； (2)dAB|AB |_. (a2a1，b2b1，c2c1) a2a12b2b12c2c12 1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”) (1)若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，ab，则a1 b1 a
5、2 b2 a3 b3. ( ) (2)四边形ABCD是平行四边形，则向量 AB 与 DC 的坐标相同 ( ) (3)若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则aba1b1a2b2 a3b30. ( ) 提示 (1) (2) (3) 2已知向量 a(3,2,1)，b(2,4,0)，则 4a2b 等于( ) A(16,0,4) B(8,16,4) C(8,16,4) D(8,0,4) D 4a(12,8,4)，2b(4,8,0)， 4a2b(8,0,4) 3已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂 直，则k的值是( ) A1 B1 5 C 3 5 D 7 5 D
6、 由a，b的坐标可得kab(k1，k,2)，2ab(3,2， 2)，两向量互相垂直则a b0，即3(k1)2k220，解得 k7 5. 4若点A(0,1,2)，B(1,0,1)，则AB _，|AB | _. (1，1，1) 3 AB (1，1，1)， |AB | 121212 3. 合合 作作 探探 究究 释释 疑疑 难难 空间向量的坐标运算 【例1】 (1)若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，满足 条件(ca) 2b2，则x_. (2)已知a(2，1，2)，b(0，1,4)，求ab，ab， a b，(2a) (b)，(ab) (ab) (1)2 ca(0,0,1x)，
7、2b(2,4,2)，由(ca) 2b2得2(1 x)2，解得x2. (2)解 ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11， 24)(2，2,2)； ab(2，1，2)(0，1,4)(20，11，24) (2,0，6)； a b(2，1，2) (0，1,4)20(1)(1)(2)4 7； (2a) (b)2(a b)2(7)14； (ab) (ab)(2，2,2) (2,0，6)22202(6) 8. 进行空间向量的数量积坐标运算的技巧 利用向量坐标运算解决问题的关键是熟记向量坐标运算的法 则，同时掌握下列技巧 (1)在运算中注意相关公式的灵活运用，如(ab) (ab)a2b2 |a|2|b|
8、2，(ab) (ab)(ab)2等 (2)进行向量坐标运算时，可以先代入坐标再运算，也可先进行 向量式的化简再代入坐标运算，如计算(2a) (b)，既可以利用运算 律把它化成2(a b)，也可以求出2a，b后，再求数量积；计算(a b) (ab)，既可以求出ab，ab后，求数量积，也可以把(a b) (ab)写成a2b2后计算 跟进训练 1(1)已知向量a(1,2,3)，b(2，4，6)，|c|14 ，若 (ab) c7，则a与c的夹角为_ (2)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(1,2，3)，若|PQ |3|MN |且PQ MN ，则Q点的坐标为( ) A(2,5,0) B(4，1
9、，6)或(2,5,0) C(3,4,1) D(3,4,1)或(3，2，5) (1)120 (2)B (1)因为a(1,2,3)，b(2，4，6)，所以 ab(1，2，3)，所以|ab|14 .因为(ab) c7，所以a b与c夹角的余弦值为 1 2 ，即夹角为60 .因为a(1,2,3)与ab( 1，2，3)方向相反，所以可知a与c的夹角为120 . (2)设Q(x，y，z)，则PQ (x1，y2，z3)，MN (1,1,1)， x12y22z323 121212， x1y2z3， 解得 x4， y1 z6 ，或 x2， y5， z0， Q点的坐标为(4，1，6)或(2,5,0) 空间向量的平
10、行与垂直 探究问题 1已知A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段AB的中点P的坐标 是多少？ 提示 P x1x2 2 ，y 1y2 2 ，z 1z2 2 . 2类比平面向量，空间向量共线的充要条件是什么？ 提示 若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 则abab a1b1， a2b2， a3b3. 3空间两个向量垂直的充要条件是什么？ 提示 若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)， 则aba b0a1b1a2b2a3b30. 【例 2】 (1)对于空间向量 a(1,2,3)，b(，4,6)若 ab， 则实数 ( ) A2 B1 C1 D2 (2)正方体 A
11、BCD- A1B1C1D1中，E 是棱 D1D 的中点，P、Q 分别为 线段 B1D1，BD 上的点，且 3B1P PD1 ，若 PQAE，BD DQ ，求 的值 思路探究 (1)利用向量共线充要条件 (2)建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算，求值 (1)D 因为空间向量a(1,2,3)，b(，4,6)，若ab，则 1 2 4 3 6 1 2，所以2，故选D. (2)解 如图所示，以D为原点，DA ，DC ，DD1 的方向分别为x 轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则 A(1,0,0)，E 0，0，1 2 ，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,
12、1)， 由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)， 因为3B1P PD1 ，所以3(a1，a1,0)(a，a,0)， 所以3a3a，解得a3 4， 所以点P的坐标为 3 4， 3 4，1 . 由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)， 因为PQAE，所以PQ AE 0， 所以 b3 4，b 3 4，1 1，0，1 2 0， 即 b3 4 1 20，解得b 1 4， 所以点Q的坐标为 1 4， 1 4，0 ， 因为BD DQ ，所以 1，1，0 1 4， 1 4，0 ， 所以 41，故4. 1变条件若本例中的PQAE改为B1QEQ，其他条件不 变，结果如何？ 解 以D为原点，DA ，DC ，DD1 的
13、方向分别为x轴，y轴，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，点Q的坐标为 (c，c,0)， 因为B1QEQ，所以B1Q EQ 0， 所以(c1，c1，1) c，c，1 2 0， 即c(c1)c(c1)1 20,4c 24c10， 解得c1 2，所以点Q的坐标为 1 2， 1 2，0 ， 所以点Q是线段BD的中点， 所以BD 2DQ ，故2. 2变条件，变设问本例中若G是A1D的中点，点H在平面AC 上，且GHBD1，试判断点H的位置 解 以D为原点，DA ，DC ，DD1 的方向分别为x轴，y轴，z轴 的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，因为G是A1D 的中点，所以点
14、G的坐标为 1 2，0， 1 2 ，因为点H在平面xDy上， 设点H的坐标为(m，n,0)，因为GH (m，n,0) 1 2，0， 1 2 m1 2，n， 1 2 ，BD1 (0,0,1)(1,1,0)(1，1,1)且GHBD1 ， 所以 m1 2 1 n 1 1 2 1 ， 解得m1，n1 2，所以点H的坐标为 1，1 2，0 ， 所以H为线段AB的中点 1判断空间向量垂直或平行的步骤 (1)向量化：将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行； (2)向量关系代数化：写出向量的坐标； (3)对于a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，根据x1x2y1y2z1z2是 否为0判断两向量是
15、否垂直；根据x1x2，y1y2，z1z2(R)或 x1 x2 y1 y2 z1 z2(x2，y2，z2都不为0)判断两向量是否平行 2由空间向量垂直或平行求值只需根据垂直或平行的条件建立 方程(组)求解即可 跟进训练 2已知a(1,1,2)，b(6,2m1,2) (1)若ab，分别求与m的值； (2)若|a| 5，且与c(2，2，)垂直，求a. 解 (1)由ab，得 (1,1,2)k(6,2m1,2)， 16k， 1k2m1， 22k， 解得 k1 5， m3. 实数1 5，m3. (2)|a| 5，且ac， 1212225， 1，1，2 2，2，0， 化简，得 5223， 2220， 解得1
16、.因此，a(0,1，2) 空间向量的夹角与长度问题 【例3】 如图所示，在直三棱柱ABC- A1B1C1中，CACB 1，BCA90 ，棱AA12，M，N分别为A1B1，A1A的中点 (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； (3)求证：BN平面C1MN. 思路探究 建系C- xyz得各点的坐标数量积运算 夹角、长度公式几何结论 解 (1)如图所示，建立空间直角坐标系C- xyz. 依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， |BN | 102012102 3， 线段BN的长为 3. (2)依题意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， BA1 (1，1
17、,2)，CB1 (0,1,2)， BA1 CB1 10(1)1223. 又|BA1 | 6，|CB1 | 5. cosBA1 ，CB1 BA1 CB1 |BA1 |CB1 | 30 10 . 故A1B与B1C所成角的余弦值为 30 10 . (3)证明：依题意得A1(1,0,2)，C1(0,0,2)，B(0,1,0)， N(1,0,1)，M 1 2， 1 2，2 ， C1M 1 2， 1 2，0 ，C1N (1,0，1)， BN (1，1,1)， C1M BN 1 21 1 2(1)010， C1N BN 110(1)(1)10. C1M BN ，C1N BN ， BNC1M，BNC1N， 又
18、C1MC1NC1，C1M平面C1MN，C1N平面C1MN， BN平面C1MN. 1利用向量数量积的坐标公式求异面直线所成角的步骤 (1)根据几何图形的特点建立适当的空间直角坐标系； (2)利用已知条件写出有关点的坐标，进而获得相关向量的坐 标； (3)利用向量数量积的坐标公式求得异面直线上有关向量的夹 角，并将它转化为异面直线所成的角 2利用向量坐标求空间中线段的长度的一般步骤 (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)求出线段端点的坐标； (3)利用两点间的距离公式求出线段的长 跟进训练 3在棱长为1的正方体ABCD- A1B1C1D1中，E，F分别是DD1， DB的中点，G在棱CD上，CG1
19、 4CD，H是C1G的中点 (1)求证：EFB1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长 解 如图，以D为原点建立空间直角坐标系D- xyz， 则B1(1,1,1)，C(0,1,0)， E 0，0，1 2 ，F 1 2， 1 2，0 ， G 0，3 4，0 ，C1(0,1,1)， H 0，7 8， 1 2 ， (1) EF 1 2， 1 2， 1 2 ， B1C (1,0，1)， EF B1C 1 2， 1 2 1 2 (1，0，1)0， EFB1C. (2)C1G 0，1 4，1 ， EF C1G 1 2， 1 2， 1 2 0，1 4，1 3 8， |EF | 1 2
20、2 1 2 2 1 2 2 3 2 ， |C1G |02 1 4 2 12 17 4 ， cos(EF ，C1G ) 3 8 3 2 17 4 51 17 ， EF与C1G所成角的余弦值是 51 17 . (3)FH 1 2， 3 8， 1 2 ，|FH | 1 2 2 3 8 2 1 2 2 41 8 . 课课 堂堂 小小 结结 提提 素素 养养 1类比平面向量坐标运算：空间向量的加法、减法、数乘和数 量积与平面向量的类似，学习中可以类比推广推广时注意利用向 量的坐标表示，即向量在平面上是用唯一确定的有序实数对表示， 即a(x，y)而在空间中则表示为a(x，y，z) 2在空间直角坐标系中，已
21、知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则AB (x2x1，y2y1，z2z1)一个向量在空间直角坐标系中的坐 标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标 3两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)， 则|AB|AB |AB |2 x2x12y2y12z2z12. 4空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工 具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成的角 问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线 所成的角与对应向量的夹角的取值范围 1下列向量中，与向量a(0,0,1)平行的向量为( ) Ab(1,0,
22、0) Bc(0,1,0) Cd(1，1，1) De(0,0，1) D 法一：比较各选项中的向量，观察哪个向量符合a (0,0，)的形式，经过观察，只有ea. 法二：向量a(0,0,1)的横、纵坐标都是0，所以向量az轴，经 过观察易得只有e(0,0，1)的横、纵坐标也都是0. 2已知a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，如果a与b为共线向量， 则( ) Ax1，y1 Bx1 2，y 1 2 Cx1 6，y 3 2 Dx1 6，y 3 2 D 因为a与b为共线向量，所以存在实数，使得ab，所以 2x， 12y， 39， 解得x1 6，y 3 2，故选D. 3已知ab(2， 2，2 3)，ab(
23、0， 2，0)，则cosa， b_. 6 3 由已知得a(1， 2， 3)，b(1,0， 3)， cosa，b a b |a|b| 103 6 4 6 3 . 4已知点A的坐标为A(1,1,0)，向量 1 2AB (4,0,2)，则点B的坐标 为_ (9,1,4) 由条件可知AB (8,0,4)，设B(x，y，z) 则 x18 y10 z04 ，解得 x9 y1 z4. 故点B的坐标为(9,1,4) 5已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，1,2)，B(1,2，1)， C(1,1，3)，D(3，5,3) 求证：四边形ABCD是一个梯形 证明 因为AB (1,2，1)(3，1,2)(2,3，3)，CD (3，5,3)(1,1，3)(4，6,6)， 因为2 4 3 6 3 6 ，所以AB 和CD 共线，即ABCD. 又因为AD (3，5,3)(3，1,2)(0，4,1)，BC (1,1， 3)(1,2，1)(2，1，2)， 因为 0 2 4 1 1 2，所以AD 与BC 不平行， 所以四边形ABCD为梯形 点击右图进入点击右图进入 课课 时时 分分 层层 作作 业业 Thank you for watching !
